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2018-2019学年高一数学北师大版必修二课件:第1章 7.3球的表面积和体积_图文

第一章 立体几何初步 7.3 球的表面积和体积 第一章 立体几何初步 学习导航 1.了解球的体积和表面积公式. 2.理解球的体积和表面积公式并能应用他们解 学习目标 决相关的问题.(重点) 3.利用球的体积和表面积公式解决球的组合体 的有关问题.(难点) 1.通过对球的体积和表面积公式的推导,提高 空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题 学法指导 和解决问题的信心. 2.从球的表面积和体积公式来看,表面积和体 积只与球的半径有关,表面积和体积是关于半 径的函数. 1.球的表面积 4πR2 设球的半径为 R,则球的表面积 S= __________ . 2.球的体积 4 π R3 3 设球的半径为 R,则球的体积 V= __________ . 1.判断下列命题. (正确的打“√”,错误的打“×” ) (1)决定球的大小的因素是球的半径. ( √ ) (2) 球 面 被 经 过 球 心 的 平 面 截 得 的 圆 的 半 径 等 于 球 的 半 径. ( √ ) R (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V= S.( √ ) 3 (4)球的表面积为其大圆面积的 4 倍. ( √ ) 2.将一个气球的半径扩大1倍,则它的体积扩大到原来的 (D ) B.2倍 D.8倍 A.1倍 C.4倍 4 解析: 设球的半径为 r, 扩大 1 倍变为 2r, 则体积变为 V= π 3 4 3 3 (2r) = 8× π r . 3 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 a,则球的体 积为 ( C ) A.π a 3 B. 3π a 3 3 3 C. π a 2 D. 3π a3 3 解析:正方体的体对角线长为 3a,球的半径 R= a, 2 104 cm2 π取 4.一个球的体积是100 cm3,则它的表面积为________( 3.14,结果精确到1 cm2). 4 3 解析: V= π R = 100, 3 3 300 ∴ R= (cm), 4π 3 S= 4π · ?300 ?2 3 2 2 = 300 × 4 π ≈ 104(cm ). ?4π ? 球的体积 若三个球的表面积之比为 1∶ 2∶ 3,求这三个球的体 积之比. (链接教材 P47 例 6) [解] 设三球半径分别为 R1 , R2, R3, ∵三球的表面积之比为 1∶ 2∶ 3, ∴ 4π R1 ∶ 4π R2∶ 4π R3= 1∶ 2∶ 3, 即 R1 ∶ R2 ∶ R3 = 1∶ 2∶ 3. ∴ R1 ∶ R2 ∶ R3= 1∶ 2 2∶ 3 3. 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 3 3 ∴ V1∶ V2∶ V3= π R 1∶ π R2∶ π R3 3 3 3 3 3 3 = R3 1 ∶ R2 ∶ R3= 1∶ 2 2∶ 3 3. 即三球的体积比为 1∶ 2 2∶ 3 3. 方法归纳 要注意球的表面积是关于半径平方的函数,而体积是关于半 径立方的函数. 1. 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π ,则 球的体积为 ( B 8 A. π 3 ) 8 2 B. π 3 32 C. 8 2π D. π 3 解析:设截面圆的半径为 r,球的半径为 R,由于截面圆的面 积为 π = π r2 ,∴ r= 1. 又球心到截面圆的距离为 d= 1,∴ 4 R2 - d2= r,即 R2 - 1= 1,∴ R= 2. 球的体积 V= π R3= 3 8 2 π ,故选 B. 3 球的表面积 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3, 5, 15, 9π 则它的外接球的表面积为 ________ . ? ?yz= ?zx= xy= 3, ? 5, 解得?y= 1, ?z= 5. 15, x= 3, 1 1 ∴球的半径 R= AB= 2 2 ∴S 球= 4π R2= 9π . 3 2 2 2 x +y +z = , 2 方法归纳 长方体外接球的直径的长等于长方体的体对角线的长. 内切球与外接球问题 在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与 正方体的体积之比. 在 Rt△ C′ CO 中,由勾股定理,得 CC′2+ OC2= OC′2 , 6 2 ? 2a ? 2 即 a+ ? 2 ? = R ,∴ R= 2 a. 2 3 2 2 6 6 3 ? ? 3 从而 V 半球= π R = π a = π a , V 正方体= a3 . 3 3 ?2 ? 2 6 因此 V 半球∶ V 正方体= π a3∶ a3= 6π ∶ 2. 2 法二: 将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补 接一个同样的正方体, 构成的长方体刚好是这个球的内接长方 体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径. 设原 正方体棱长为 a,球的半径为 R, 则根据长方体的体对角线性质,得 (2R)2= a2+ a2+(2a)2, 即 4R2= 6a2,∴ R= 6 a. 2 3 2 2 ? 6 ? 6 3 3 3 从而 V 半球= π R = π ? a ? = π a , V 正方体= a . 3 3 2 2 6 3 3 因此 V 半球∶ V 正方体= π a ∶ a = 6π ∶ 2. 2 方法归纳 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球 心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球 心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直 径或半径, 关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图, 把 空间问题转化为平面问题来计算. 2. 一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球, 在圆锥内 又有一个内切球.求: (1)圆锥的侧面积; (2)圆锥内切球的体积. 解: (1)如图所示,作出轴截面,则等腰三角形 SAB 内

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