2018-2019学年高一数学北师大版必修二课件：第1章 7.3球的表面积和体积_图文

第一章 立体几何初步 7．3 球的表面积和体积 第一章 立体几何初步 学习导航 1.了解球的体积和表面积公式. 2.理解球的体积和表面积公式并能应用他们解 学习目标 决相关的问题．(重点) 3.利用球的体积和表面积公式解决球的组合体 的有关问题．(难点) 1.通过对球的体积和表面积公式的推导，提高 空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题 学法指导 和解决问题的信心. 2.从球的表面积和体积公式来看，表面积和体 积只与球的半径有关，表面积和体积是关于半 径的函数. 1．球的表面积 4πR2 设球的半径为 R，则球的表面积 S＝ __________ ． 2．球的体积 4 π R3 3 设球的半径为 R，则球的体积 V＝ __________ ． 1．判断下列命题． (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)决定球的大小的因素是球的半径． ( √ ) (2) 球 面 被 经 过 球 心 的 平 面 截 得 的 圆 的 半 径 等 于 球 的 半 径． ( √ ) R (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝ S.( √ ) 3 (4)球的表面积为其大圆面积的 4 倍． ( √ ) 2．将一个气球的半径扩大1倍，则它的体积扩大到原来的 (D ) B．2倍 D．8倍 A．1倍 C．4倍 4 解析： 设球的半径为 r， 扩大 1 倍变为 2r， 则体积变为 V＝ π 3 4 3 3 (2r) ＝ 8× π r . 3 3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a，则球的体 积为 ( C ) A．π a 3 B. 3π a 3 3 3 C. π a 2 D． 3π a3 3 解析：正方体的体对角线长为 3a，球的半径 R＝ a， 2 104 cm2 π取 4．一个球的体积是100 cm3，则它的表面积为________( 3.14，结果精确到1 cm2)． 4 3 解析： V＝ π R ＝ 100， 3 3 300 ∴ R＝ (cm)， 4π 3 S＝ 4π · ?300 ?2 3 2 2 ＝ 300 × 4 π ≈ 104(cm )． ?4π ? 球的体积 若三个球的表面积之比为 1∶ 2∶ 3，求这三个球的体 积之比． (链接教材 P47 例 6) [解] 设三球半径分别为 R1 ， R2， R3， ∵三球的表面积之比为 1∶ 2∶ 3， ∴ 4π R1 ∶ 4π R2∶ 4π R3＝ 1∶ 2∶ 3， 即 R1 ∶ R2 ∶ R3 ＝ 1∶ 2∶ 3. ∴ R1 ∶ R2 ∶ R3＝ 1∶ 2 2∶ 3 3. 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 3 3 ∴ V1∶ V2∶ V3＝ π R 1∶ π R2∶ π R3 3 3 3 3 3 3 ＝ R3 1 ∶ R2 ∶ R3＝ 1∶ 2 2∶ 3 3. 即三球的体积比为 1∶ 2 2∶ 3 3. 方法归纳 要注意球的表面积是关于半径平方的函数，而体积是关于半 径立方的函数． 1. 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为π ，则 球的体积为 ( B 8 A. π 3 ) 8 2 B. π 3 32 C． 8 2π D. π 3 解析：设截面圆的半径为 r，球的半径为 R，由于截面圆的面 积为 π ＝ π r2 ，∴ r＝ 1. 又球心到截面圆的距离为 d＝ 1，∴ 4 R2 － d2＝ r，即 R2 － 1＝ 1，∴ R＝ 2. 球的体积 V＝ π R3＝ 3 8 2 π ，故选 B. 3 球的表面积 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3， 5， 15， 9π 则它的外接球的表面积为 ________ ． ? ?yz＝ ?zx＝ xy＝ 3， ? 5， 解得?y＝ 1， ?z＝ 5. 15， x＝ 3， 1 1 ∴球的半径 R＝ AB＝ 2 2 ∴S 球＝ 4π R2＝ 9π . 3 2 2 2 x ＋y ＋z ＝ ， 2 方法归纳 长方体外接球的直径的长等于长方体的体对角线的长． 内切球与外接球问题 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与 正方体的体积之比． 在 Rt△ C′ CO 中，由勾股定理，得 CC′2＋ OC2＝ OC′2 ， 6 2 ? 2a ? 2 即 a＋ ? 2 ? ＝ R ，∴ R＝ 2 a. 2 3 2 2 6 6 3 ? ? 3 从而 V 半球＝ π R ＝ π a ＝ π a ， V 正方体＝ a3 . 3 3 ?2 ? 2 6 因此 V 半球∶ V 正方体＝ π a3∶ a3＝ 6π ∶ 2. 2 法二： 将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补 接一个同样的正方体， 构成的长方体刚好是这个球的内接长方 体，那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径． 设原 正方体棱长为 a，球的半径为 R， 则根据长方体的体对角线性质，得 (2R)2＝ a2＋ a2＋(2a)2， 即 4R2＝ 6a2，∴ R＝ 6 a. 2 3 2 2 ? 6 ? 6 3 3 3 从而 V 半球＝ π R ＝ π ? a ? ＝ π a ， V 正方体＝ a . 3 3 2 2 6 3 3 因此 V 半球∶ V 正方体＝ π a ∶ a ＝ 6π ∶ 2. 2 方法归纳 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球 心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球 心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直 径或半径， 关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图， 把 空间问题转化为平面问题来计算． 2. 一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球， 在圆锥内 又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积． 解： (1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形 SAB 内