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数学理卷·2015届广东省惠州市高三第一次调研考试word典藏版


惠州市 2015 届高三第一次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.复数 z =

A. -

1 2

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ( 1+ i 1 1 B. i C. 2 2



1 D. - i 2


2.已知集合 A = { y y = x - 1, x ? R} , B = {x x ? 2} ,则下列结论正确的是(

C. A ? B = B D. A ? B = B 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、 900、 1200 人,现用分层抽样的方 A. - 3 ? A B. 3 ? B
法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, 则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30
)
4 3 2 正视图 侧视图 3 俯视图 3

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 = 18 - a5 ,则 S8 = (

B. 36 C. 54 D. 72 1 2 5 4 5.在二项式 ( x - ) 的展开式中,含 x 的项的系数是( ) x A. 10 B. - 10 C. - 5 D. 20

A. 18

6.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于(



A. 30

B. 12

C. 24

D. 4

p 7.已知 x, y 都是区间 [0, ] 内任取的一个实数,则使得 y ? sin x 的取值的概率是( 2 4 2 1 2 C. A. 2 B. D. 2 p p 2 p



8.已知向量 a 与 b 的夹角为 q ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积” ,且 a ? b 是一个向量,它 的
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长度 a ? b = a b sin q ,若 u = (2, 0) , u - v = (1, - 3) ,则 u ? (u + v) = (

r

r r



A. 4 3

B. 3

C. 6

D. 2 3

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 函数 y = log 3 (3 x - 2) 的定义域是
2

. .

10.以抛物线 y = 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是 11.用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有____________个.

ìx ? 0 ? 12.设变量 x, y 满足 í x ? y + 1 ,则 x + y 的最大值是 ?y ? 1 ?

.

13.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (-1) = 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x ) > 2 ,则 f ( x) > 2 x + 4 的 解 集为 . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14. (坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中,A,B 分别是直线 r cosq - r sin q + 5 = 0 和 圆 r = 2 sin q 上的动点,则 A,B 两点之间距离的最小值是 15.(几何证明选讲选做题)如图所示, DOAB 是等腰三角形, P 是底边 AB 延长线上一点, 且 PO = 3 , PA × PB = 4 ,则腰长 OA = . O .

A B P 三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分)

x x - 2 cos = 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2 x (2)求 的值. p 2 cos( + x) × sin x 4
已知 sin 17. (本小题满分 12 分) 去年 2 月 29 日, 我国发布了新修订的 《环境空气质量标准》 指出空气质量指数在 0 - 50 为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,
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得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间 为 ( 5,15] , (15, 25] , ( 25,35] , ( 35, 45] ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图, 如图. (1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ( i = 1, 2,3,L , n ) ,则 样本数据的平均值为 X = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + L + xn pn .) (3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为“特优等级” ,则从这一年的监测数 据中随机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 x ,求 x 的分布列和数学 期望. 频率 组距 0.032

a

0.020 0.018

O 18.(本小题满分 14 分)

5 15 25 35 45 空气质量指数

如图,在直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中,平面 A1 BC ^ 侧面 A1 ABB1 ,且 AA1 = AB = 2 (1) 求证: AB ^ BC ; (2) 若直线 AC 与平面 A1 B C 所成的角为

p ,求锐二面角 A - A1C - B 的大小。 6
A1 B1 C1

A B 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 = 3 ,前 n 项和 S n = (1) 求数列 {an } 的通项公式;
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C

1 (n + 1)(an + 1) - 1 . 2

(2) 设数列 í 都

ì

1 ü ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n ? an gan +1 ?

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 1 椭圆 C : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P (2,1) 的距离为 10 . a b 2
(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点), 且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. y l

A

P x A2

F1 O B 21. (本小题满分 14 分) 已 知 关 于 x 的 函 数 f ( x) = -

F2

1 3 x + bx 2 + cx + bc , 其 导 函 数 为 f ?( x) . 记 函 数 3

g ( x) = f ?( x) 在区间 [ -11 , ] 上的最大值为 M .
(1) 如果函数 f ( x) 在 x = 1 处有极值 -

4 ,试确定 b、c 的值; 3

(2) 若 b > 1 ,证明对任意的 c ,都有 M > 2 ; (3) 若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.

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惠州市 2015 届高三第一次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 D

1. 【解析】化简得 z =

1 1 1 + i ,则虚部为 ,故选 C 2 2 2

2. 【解析】已知集合 A = (-3,+?), B = [2,+?), \ A I B = B ,故选 C 3. 【解析】三个年级的学生人数比例为 3 : 3 : 4 ,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人 数为 50 ?

4 = 20 人,故选 B 3+3+ 4

4. 【解析】由题意 a4 + a5 = 18 ,等差数列中 a4 + a5 = a1 + a8 ,所以 S8 = 故选 D 5. 【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为 C5 (-1) x
r r 10 - 3 r

8(a4 + a5 ) = 72 , 2

,则 10 - 3r = 4 得 r = 2 ,

所以含 x 项 的系数为 C5 (-1) = 10 ,故选 A
2 2

4

3 2 3 4 第 6 题图

6. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的, 如图 V =

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 - ( ? 3 ? 4) ? 3 = 24 ,故选 C 2 3 2

7. 【解析】此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y = sin x 的图像在 [0, 的图形的面积,即 S =

p ] 内与 x 轴围成 2

ò

p 2 0

sin xdx = 1 ,则事件 A 的概率为 P =

s 1 4 = = 2 ,故 s? p ? p p 2 2 r r r

选A 8.【解析】由题意 v = u - (u - v ) = (1, 3) ,则 u + v = (3, 3) , cos < u , u + v >=

r

r

r

r

r

r

3 ,得 2


r r r 1 sin < u , u + v >= , 由 定 2 r r u u r r r r r r r 1 u ? (u + v) = u gu + v sin < u , u + v >= 2 ? 2 3 ? = 2 3 ,故选 D 2
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二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题. 9.( ,+?) 15. 5

2 3

10.x 2

y2 =1 3

11. 12

12. 3

13. (-1, +?)

14.2 2 - 1

2 2 ,则定义域为: ( ,+?) 3 3 c 2 2 2 10. 【解析】 抛物线焦点 (1, 0) , 则双曲线中:a = 1 , 且e = = 2, 得c = 2, 又c = a +b a
9. 【解析】由 3 x - 2 > 0 得 x > 得 b = 3,
3

则双曲线的标准方程为: x 2

y2 =1 3

y

11. 【解析】由题意,没有重复数字的偶数,则末位是 2 或 4, 当末位是 2 时,前三位将 1 , 3 , 4 三个数字任意排列,则 有 A3 = 6 种排法,末位为 4 时一样有 A3 = 6 种,两类共有:
3 3 3 2 A3 = 12 种,故共有没有重复数字的偶数 12 个。

C 1 1 O -1 A

B

x y=-x

12. 【解析】由约束条件画出可行域如图所示, 则目标函数 z = x + y 在点 B (2,1) 取得最大值, 代入得 x + y = 3 , 故 x + y 的最大值为

3。
13. 【解析】设函数 g ( x) = f ( x ) - 2 x - 4 ,则 g ?( x ) = f ?( x ) - 2 > 0 ,得函数 g ( x) 在 R 上 为增函数, 且 g ( -1) = f ( -1) - 2 ? ( -1) - 4 = 0 , 所以当 f ( x ) > 2 x + 4 时, 有 g ( x) > 0 , 得 x > -1 , 故不等式 f ( x ) > 2 x + 4 的解集为 ( -1, +?) 14. 【解析】由题意,直线 l : x - y + 5 = 0 ,圆的标准方程 x + ( y - 1) = 1 ,则圆心 (0,1) 到
2 2

直线 l 的距离为 2 2 ,且圆半径 r = 1 ,故 AB min = d - r = 2 2 - 1 15. 【解析】以 O 为圆心,以 OA 为半径作圆,则圆 O 经过点 B ,即 OA = OB = r ,设 PO 与圆 O 交于 点 C 且 延 长 PO 交 圆 O 与 点 D , 由 切 割 线 定 理 知 PAgPB = PD gPC , 即

(3 + r )(3 - r ) = 4 ,
得r =

5 ,所以 OA = r = 5
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D

O C A B P

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ sin ∴



x x x - 2 cos = 0 ,则 cos ? 0 2 2 2 x tan = 2 2 x 2 tan 2 tan x = x 1 - tan 2 2 2? 2 4 = =2 1- 2 3 cos 2 x - sin 2 x ? 2 ? 2 2? cos x sin x ÷ sin x 2 è 2 ? = = (cos x - sin x)(cos x + sin x) (cos x - sin x) sin x

-------------------------1 分 ---------------------------2 分

----------------------------4 分

----------------------------5 分 ---------------------------7 分

(2) 原式 =

----------------------------9 分

cos x + sin x sin x 1 + tan x = tan x 1 = 4
17. (本小题满分 12 分)

------------------------------10 分 ------------------------------11 分 ------------------------------12 分

(1) 解:由题意,得 ( 0.02 + 0.032 + a + 0.018 ) ? 10 = 1 , 解得 a = 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

……………1 分 ……………2 分

X = 0.2 ? 10 + 0.32 ? 20 + 0.3 ? 30 + 0.18 ? 40 = 24.6


…………… 3

由样本估计总体, 可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . …………4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ( 5,15] 内为“特优等级” , 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则 x : B ? 3, ÷ .

? 1? è 5?

……………5 分

x 的取值为 0,1, 2,3 ,

……………6 分

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64 48 ?4? 1?1? ? 4? P (x = 0 ) = C ? ÷ = , P (x = 1) = C3 ? ÷ ? ? ÷ = , è 5 ? 125 è 5 ? è 5 ? 125
0 3

3

2

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? P (x = 2 ) = C32 ? ÷ ? ? ÷ = , P (x = 3) = C3 ? ÷ = . ……………10 分 è 5 ? è 5 ? 125 è 5 ? 125
∴ x 的分布列为:

2

3

x
P

0

1 48 125

2 12 125

3

64 125

1 125
……………11 分 ……………12 分

∴ Ex = 0 ?

64 48 12 1 3 + 1? + 2? + 3? = . 125 125 125 125 5 1 3 (或者 Ex = 3 ? = ) 5 5

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:如右图,取 A1 B 的中点 D ,连接 AD , 因 AA1 = AB ,则 AD ^ A1 B ……………1 分 ……………2 分

由 平 面 A1 BC ^ 侧 面 A1 ABB1 , 且 平 面 A1 BC

I

侧 面

A1 ABB1 = A1 B ,…………3 分
得 AD ^ 平面A1 BC ,又 BC ? 平面 A1 BC , 所以 AD ^ BC . …………………4 分 A1 E B1 C1

因为三棱柱 ABC —A1 B1C1 是直三棱柱, 则 AA1 ^ 底面ABC , 所以 AA1 ^ BC . 又 AA1 I AD =A ,从而 BC ^ 侧面 A1 ABB1 , 又 AB ? 侧面 A1 ABB1 ,故 AB ^ BC . D A

C B ………………7 分

(2)解法一:连接 CD ,由(1)可知 AD ^ 平面A1 BC ,则 CD 是 AC 在 平面A1 BC 内的 射影

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?ACD 即 为 直 线 AC 与 平面A1 BC 所 成 的 角 , 则
…………8 分

?ACD =

p 6

在等腰直角 DA1 AB 中, AA1 = AB = 2 ,且点 D 是 A1 B 中点 ∴ AD = ∴

1 p p A1 B = 2 ,且 ?ADC = , ?ACD = 2 2 6

AC = 2 2
过点 A 作 AE ^ A1C 于点 E ,连 DE

…………………9 分

由(1)知 AD ^ 平面A1 BC ,则 AD ^ A1C ,且 AE I AD = A ∴ 角

?AED

即 为 二 面 角

A - A1C - B 的 一 个 平 面

…………………10 分 且直角 DA1 AC 中: AE = 又 AD = 2 , ?ADE =

A1 AgAC 2 ? 2 2 2 6 = = 3 A1C 2 3

p 2



sin ?AED =

2 3 AD = = ,且二面角 A - A1C - B 为锐二面角 2 AE 2 6 3



?AED =

p 3

p 3

, 即 二 面 角

A - A1C - B

的 大 小 为

…………………14 分

解 法二(向量法) :由 ( 1 )知 AB ^ BC 且 BB1 ^ 底面ABC , 所以以 点 B 为 原点, 以

BC、BA、BB1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 B - xyz ,如图所
示,且设 BC = a ,则

A(0, 2, 0) , A1 (0, 2, 2) uuu r BC = (a, 0, 0) ,

B (0, 0, 0) ,

C (a, 0, 0) ,

uuu r BA1 = (0, 2, 2) ,

uuu r AC = (a, -2, 0) ,

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uuur AA1 = (0, 0, 2) ……9 分
设平面 A1 BC 的一个法向量 n1 = ( x, y, z ) 由 BC ^ n1 ,

ur

uuu r

ur

uuu r ur BA1 ^ n1 得:


ì xa = 0 í ?2 y + 2 z = 0 ur n1 = (0,1, -1)

y =1





x = 0, z = -1





…………10 分

设直线 AC 与 平面A1 BC 所成的角为 q ,则 q = 得

uuu r ur AC gn1 -2 p 1 sin = uuu = r ur = 2 6 AC n1 4+a 2 2
………12 分

p 6
解 得



a=2





uuu r AC = (2, -2, 0)

又设平面 A1 AC 的一个法向量为 n2 ,同理可得, n2 = (1,1, 0) 设锐二面角 A - A1C - B 的大小为 a ,则

uu r

uu r

ur uu r ur uu r n1 gn2 1 p p cos a = cos < n1 , n2 >= ur uu r = ,且 a ? (0, ) ,得 a = 2 3 n1 n2 2
∴ 锐 二 面 角

A - A1C - B









p 。 3
19. (本小题满分 14 分) 解: (1) (解法一)∵ S n =

…………………14 分

1 (n + 1)(an + 1) - 1 2 1 ∴ S n +1 = ( n + 2)(an +1 + 1) - 1 2
∴ an +1 = S n +1 - S n

1 = [(n + 2)(an +1 + 1) - (n + 1)(an + 1)] 2
3分 整理得 nan +1 = (n + 1)an - 1
∴ (n + 1)an + 2 = (n + 2)an +1 - 1

…………………

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相 ………………5 分





(n + 1)an + 2 - nan +1 = (n + 2)an +1 - (n + 1)an

即 (n + 1) an + 2 - 2(n + 1) an +1 + (n + 1)an = 0
∴ an + 2 - 2an +1 + an = 0 , 即 an + 2 - an +1 = an +1 - an

…………………

7分
∴ 数列 {an } 是等差数列

且 a1 = 3 ,得 a2 = 5 ,则公差 d = 2


an = 2n + 1
(解法二) ∵ Sn =

…………………8 分

1 (n + 1)(an + 1) - 1 2 1 ∴ S n +1 = ( n + 2)(an +1 + 1) - 1 2
∴ an +1 = S n +1 - S n

1 = [(n + 2)(an +1 + 1) - (n + 1)(an + 1)] 2
整理得 nan +1 = (n + 1)an - 1 等 式 两 边 同

…………………3 分







n(n + 1)



an +1 an 1 = , n + 1 n n(n + 1)


…………………5 分

an +1 an 1 1 1 - == n +1 n n(n + 1) n + 1 n
累加得

…………………6 分

an an an -1 an -1 an - 2 a a a = + +L L + 2 - 1 + 1 n n n -1 n -1 n - 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + +L L + -1+ 3 n n -1 n -1 n - 2 n - 2 n - 3 2 1 = +2 n
得 an = 2n + 1 …………………

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8分 (2) 由(1)知 an = 2n + 1


1 1 1 1 1 = = ( ) an gan +1 (2n + 1)(2n + 3) 2 2n + 1 2n + 3

………………… 10




1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn = ( - + - + L L + + ) 2 3 5 5 7 2n - 1 2n + 1 2 n + 1 2 n + 3 1 1 1 = ( ) 2 3 2n + 3 1 < …………………12 6 1 6

分 则要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,只要 (Tn ) max ? M ,所以只要 M ?

∴ 存 在 实数 M , 使得 Tn ? M 对 一 切 正 整 数 n 都 成 立 , 且 M 的 最 小 值为

1 …………14 分 6
20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题: e = 左 焦 点 ②

c 1 = ① a 2
到 点 P(2,1) 的 距 离 为 : d = (2 + c) 2 + 1 2 = 10

( - c,0)

…………………2 分 ………………

由①②可解得 c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. 3分 x2 y2 ∴所求椭圆 C 的方程为 + 4 3 =1 . ………………4 分

y

l

A

P x

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. 4m 2-12 8km ∴x1 + x2 = - 2 , x x = 1 2 4k + 3 4k 2 + 3 , 且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m. → → ∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ? A2B = 0. 分 所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4 ………………6 分 B F1 O F2 A2

………………7

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4m 2-12 8km = (k + 1)· 4k 2 + 3 -(km-2)·4k 2 + 3 + m 2 + 4 = 0 .
2

………………10

分 2 ∴m = - k 或 m = -2k 都满足 △ > 0. 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0. 7 12 分 若 m = -2k 时, 直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) , 恒过定点 A2(2,0), 不合题意舍去; ……… 13 分 2 2 2 2 若 m = -7 k 时, 直线 l 为 y = kx-7 k = k (x-7 ), 恒过定点 (7 ,0) . 14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) ∵ f ?( x) = - x + 2bx + c ,由 f ( x) 在 x = 1 处有极值 2

………………

……………

4 ,可得 3


ì f ?(1) = -1 + 2b + c = 0 ? í 1 4 f (1) = - + b + c + bc = ? 3 3 ? ìb = -1 í ?c = 3
…………………2 分







ìb = 1 í ?c = -1



若 b = 1 , c = -1 ,则 f ?( x ) = - x + 2 x - 1 = -( x - 1) ? 0 ,此时函数 f ( x) 没有
2 2

极值;…3 分 若 b = -1 , c = 3 ,则 f ?( x ) = - x - 2 x + 3 = -( x + 1)( x - 1) ,此时当 x 变化时,
2

f ( x) , f ?( x) 的变化情况如下表: x f ?( x) f ( x)
∴ 求。

(-?, -3)

-3 0
极小值 -12

(-3,1)

1
0
极大值 -

(1, +?)



+


4 3



当 x = 1 时 , f ( x) 有 极 大 值 ………………4 分
2

4 , 故 b = -1 , c = 3 即 为 所 3
2 2

(2)证法一: g ( x) = f ?( x ) = - x + 2bx + c = -( x - b) + b + c 当 b > 1 时,函数 y = f ?( x) 的对称轴 x = b 位于区间 [-1,1] 之外
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∴ 中较大的一个 ∴

f ?( x) 在区间 [-1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (-1) 和 g (1)

2M

?

g (1) + g (-1) = -1 + 2b + c + -1 - 2b + c ? 4b > 4 , 即

M >2

…………8 分

证法二(反证法) :因为 b > 1 ,所以函数 y = f ?( x) 的对称轴 x = b 位于区间 [-1,1] 之外, ∴ 较大的一个, 假 设 M ?2 , 则 í 得: ………………6 分

f ?( x) 在区间 [-1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (-1) 和 g (1) 中 ì g (-1) = -1 - 2b + c ? 2 ? , 将 上 述 两 式 相 加 g (1) 1 2 b c 2 = + + ? ? ?

4 ? -1 - 2b + c + -1 + 2b + c ? 4b > 4 ,得 4 > 4 ,产生矛盾,


M >2
(3) g ( x) = f ?( x ) = -( x - b) + b + c
2 2

…………………………8 分



i





b >1









2







M > 2;

………………9 分

(ii)当 b ? 1 时,函数 y = f ?( x) 的对称轴 x = b 位于区间 [-1,1] 之内, 此 时

M = max { g (-1), g (1), g (b)}





f ?(1) - f ?(-1) = 4b





f ?(b) - f ?(±1) = (b ± 1) 2 ? 0
① 若 -1 ? b ? 0 ,则 f ? (1) ? f ?(-1) ? f ?(b) ,则 g ( -1) ? max { g (1), g (b)} , 于是 M = max

{ f ?(1) ,

1 1 f ?(b) } ? ( f ?(1) + f ?(b) ) ? ( f ?(1) - f ?(b) ) 2 2
…………………

=
………11 分

1 1 (b - 1) 2 ? 2 2

② 若 0 < b ? 1 ,则 f ? ( -1) ? f ?(1) ? f ?(b) ,则 g (1) ? max { g (-1), g (b)} 于 是

1 1 1 1 M = max { f ?(-1) , f ?(b) } ? ( f ?(-1) + f ?(b) ) ? ( f ?(-1) - f ?(b) ) = (b + 1) 2 ? 2 2 2 2
………………… ………13 分
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综上可知,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b = 0 ,c = 对 任 意 的

1 2

1 1 1 2 时,g ( x) = - x + 在区间 [-1,1] 上的最大值 M = , 故M ? k 2 2 2
b


c









k











1 。 2

…………………………14 分

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