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定积分的性质


§9.4

定积分的性质

一、基本性质 二、积分中值定理

一、基本性质
对定积分的补充规定:
(1)当a b 时, f ( x )dx 0 ;
a b

(2)当 a b 时, f ( x )dx f ( x )dx .
a b

b

a

说明 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小.

性质1 证
b

a kf ( x )dx k a f ( x )dx
n i 1

b

b

( k 为常数).

kf ( x )dx lim0 kf (i ) xi a T

lim k f (i )xi
T 0
b

n

k lim f (i ) xi
T 0 i 1

n

i1

k a f ( x )dx .

性质2 证

a [ f ( x ) g ( x )]dx a f ( x )dx a g ( x )dx .
b

b

b

b

a [ f ( x ) g( x )]dx n lim [ f ( i ) g ( i )]xi 0
lim f ( i )xi lim g ( i )xi
0 i 1
b i 1 n n

0 i 1

a f ( x )dx a g ( x )dx .
b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

性质3
b

假设a c b
c b

a f ( x )dx a f ( x )dx c
例 若 a b c,

f ( x )dx .

补充:不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
b c

c



a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
b

c

c

a f ( x )dx c f ( x )dx .
c b

(定积分对于积分区间具有可加性)

性质4

a 1 dx a
b a

b

b

dx b a .

性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x ) 0 ,
则 f ( x )dx 0 .

(a b)



f ( x ) 0, f ( i ) 0, ( i 1,2,, n)

xi 0,
n



max{x1 , x2 ,, xn }
b

f ( i ) x i 0, i 1

n

lim f ( i )xi f ( x )dx 0. a 0
i 1

例 1 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小.
x

2

2



令 f ( x ) e x x,

x [2, 0]

f ( x ) 0,


0

(e x x )dx 0, 2
0



2 e

0

x

dx 2xdx , e dx 0 xdx .
x
2

于是

0

2

性质5的推论: (1)如果在区间[a , b ]上 f ( x ) g ( x ) ,
则 a f ( x )dx
b

a g ( x )dx .

b

(a b)



f ( x ) g ( x ),

g ( x ) f ( x ) 0,



a [ g( x ) f ( x )]dx 0, b b a g( x )dx a f ( x )dx 0,
b

于是

a f ( x )dx a g( x )dx .

b

b

性质5的推论: (2) 证

a f ( x )dx a
b

b

b

f ( x )dx . (a b )

f ( x) f ( x) f ( x) ,

a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx ,
b b

即 f ( x )dx
a

b

a

b

f ( x )dx .

说明: | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的.

性质6

设 M 及 m 分别是函数

f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值,
则 m ( b a ) a f ( x )dx M ( b a ) .
b



m f ( x) M ,



a mdx a f ( x )dx a Mdx ,
b b b b

m (b a ) a f ( x )dx M (b a ).
(此性质可用于估计积分值的大致范围)

例 2 估计积分



0

1 dx 的值. 3 3 sin x



1 f ( x) , 3 3 sin x

x [0, ],

0 sin x 1,
3

1 1 1 , 3 4 3 sin x 3

0



1 1 1 dx dx dx , 3 0 3 sin x 0 3 4

1 dx . 3 4 0 3 sin x 3

例 3 估计积分

2 4

sin x dx 的值. x



sin x f ( x) , x

x [ , ] 4 2

x cos x sin x cos x ( x tan x ) f ( x ) 0, 2 2 x x
f ( x ) 在[ , ]上单调下降, 4 2
故 x 为极大点, x 为极小点, 4 2

2 2 M f( ) , 4

2 m f( ) , 2

ba , 2 4 4
2 sin x 2 2 dx , 4 x 4
1 sin x 2 2 dx . 2 4 x 2 2 4

二 定积分中值定理
定理9.7(积分第一中值定理) 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ]上连续,
则 在 积 分 区 间 [ a , b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ,

使 a f ( x )dx f ( )( b a ) .

b

(a b )

积分中值公式



m (b a ) a f ( x )dx M (b a )

b

1 b m a f ( x )dx M ba
由闭区间上连续函数的介值定理知

在区间[a , b]上至少存在一个点 ,

使 即

1 b f ( ) a f ( x )dx , ba

f ( )(b a ) . (a b ) 积分中值公式的几何解释:

a f ( x )dx

b

y
f ( )

在区间[a , b]上至少存在一 个点 ,使得以区间[a , b]为
底边, 以曲线 y f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( )
的一个矩形的面积。

o

a

b x

例 4 设 f ( x ) 可导,且 lim f ( x ) 1,
x

求 lim

x x



x2

3 t sin f ( t )dt . t

解 由积分中值定理知有 [ x , x 2],

3 3 使 x t sin f ( t )dt sin f ( )( x 2 x ), t x2 3 3 lim x t sin f ( t )dt 2 lim sin f ( ) x t
x 2

2 lim 3 f ( ) 6.


2.推广的积分第二中值定理
g (x)

定理 9.8 设 f (x) ,g (x) 和 f ( x) g ( x) 在 [a,b]可积,

在 [a, b] 不变号, a xb , axb 则存在 , mb M ,使得 b f ( x) g ( x)dx g ( x)dx
a a

m inf f ( x )

M sup f ( x)



证 不妨设 g ( x) 0 , mg( x) f ( x) g ( x) Mg( x) , 则 由积分不等式,我们有

b a

g ( x)dx 0

m g ( x)dx f ( x) g ( x) dx M g ( x) dx
a

b

b

b

,取任意 b 都行.

a

a



b

a

g ( x) dx 0



a

f ( x) g ( x)dx
b a

,令



g ( x)dx

即可.

推 论 1 若 f (x ) 在 [ a , b ] 连 续 , g (x ) 在 [ a , b ] 上可积,不变号,则 [ a , b ] ,使得



b

a

f ( x ) g ( x )dx f ( ) g ( x) dx
a

b

推论1是推广的积分第一中值定理与连续 函数取中间值定理的直接结论。

推论 2

若 f (x ) 在 [a, b] 连 续 , 则 存 在

( a, b) ,使得

f (x)dx f ()(b a) .
a

b

推论 2 的结论中要求 (a, b) ,证明还需要 作点加工:

若 f 为常数,结论显然;若
f ( x1 ) f ( x2 ) ,还可找到
1

f

非常数,则
2

x1 , x2 ,使得 f ( x ) M , f ( x ) m 且,
M f ( x) 0 ,
0 ,使得 x x1


f ( x) m 0 ,
所以

. b m(b a ) f ( x )dx M (b a )
a

x x2

1 b a f ( x)dx , m M , ba 取 所以 (a, b) ,使得 f ( ) .



三、小结
1.定积分的性质
(注意估值性质、积分中值定理的应用)

2.典型问题
(1)估计积分值; (2)不计算定积分比较积分大小.

作业 P219 1-6.

思考题
定积分性质中指出,若 f ( x ), g ( x ) 在[a , b] 上都可积,则 f ( x ) g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[a , b] 上也可积。这一性质之逆成立吗?为什么?

思考题解答
由 f ( x ) g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[a , b]上可 积,不能断言 f ( x ), g ( x ) 在[a , b]上都可积。
1, x为有理数 例 f ( x) 0, x为无理数
0, x为有理数 g( x ) 1, x为无理数

显然 f ( x ) g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 在[0,1]上可积,但 f ( x ), g ( x ) 在[0,1]上都不可积。


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