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广东省佛山市第一中学、中山市中山纪念中学2015-2016学年高二数学下学期联考试题 文


2015-2016 学年广东省佛山一中、中山纪念中学高二下学期联考数学文试 卷
注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置. 1.设 i 是虚数单位, z ? A. 2 ? i

3?i ,则 z 等于( 1? i
2 2

) C. 1 ? 2i ) D.

B. 2 ? i

1 ? 2i

2.“ 0 ? ? ? ? ”是“ x ? y cos ? ? 1 表示椭圆”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知等差数列{ an },满足 a4 ? a8 ? 8 ,则此数列的前 11 项的和

S11 ? (
A.11

) B.22 C.33 D.44 主视图 左视图

4.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直 角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积 为( ) 1 1 1 A. 1 B. C. D. 2 3 6 5. 复数 a ? bi 与 c ? di ( a , b , c , d ? R )的积是纯虚数的充要条件是 A. ac ? bd ? 0 C. ac ? bd ? 0 且 ad ? bc ? 0

俯视图 ( )

B. ad ? bc ? 0 D. ac ? bd ? 0 且 ad ? bc ? 0 ( ) D. -1

6.若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线,则实数 m 的值为 A.

e

B.

?e

C.

1

7.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做 100 次和 150 次试 验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 t 1 和 t 2 ,已知两人在试验中发现对变量 x 的观测 数据的平均值都是 s ,对变量 y 的观测数据的平均值都是 t ,那么下列说法正确的是( A. t 1 与 t 2 有交点 ( s, t ) C. t 1 与 t 2 必定平行 B. t 1 与 t 2 相交,但交点不一定是 ( s, t ) D. t 1 与 t 2 必定重合
1



2 8、已知抛物线的方程为 y ? 2 px ( p ? 0 ) , O 为坐标原点, A、B 为抛物线上的点, 若 ?OAB

为等边三角形,且面积为 12 3 , 则 p 的值为() A. 2 B.1C. 3 D.

1 2

9.在 ?ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c , 若 a, b, c 等比,则下列结论一定正确的是() A.

A 是锐角B. B 是锐角C. C 是锐角

D. ?ABC 是钝角三角形

10. 已知 i 是虚数单位, 复数 z 的实部记作 Re(z) , 如 z ? ?2 ? 3i , 则 Re(z) ? ?2 . 已知复数

z ? 1 ? i , 某同学做了如下运算:
z 2 ? (1 ? i) 2 ? 2i , z3 ? (1 ? i)3 ? ?2 ? 2i , z 4 ? (1 ? i) 4 ? ?4 , z5 ? (1 ? i)5 ? ?4 ? 4i ,
据此归纳推理可知 Re(z
2017

Re(z 2 ) ? 0 Re(z 3 ) ? ?2 Re(z 4 ) ? ?4 Re(z 5 ) ? ?4

) 等于 (
D. ?21008

)

A. 22017 B. ?22017 C. 21008 11.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 | PF1 |? 4 | PF2 | , a 2 b2


则此双曲线离心率的最大值为( A. 2 B. C. 3

5 3

D.

4 3


? ? x 2 ? 1, x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? ax ,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0
A. [1, 2] B. [1, ??) C. [2, ??] D. ( ??,1] 第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 13.函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ? 2 在区间 [0, 2] 上最大值为 3

2

14.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 y ? ? 2 x ,则双曲线的离心率等于 a 2 b2

15.已知等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n , a1 ? a2 ?

3 , a4 ? a5 ? 6 ,则 S6 ? 4

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如 图所示

若函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点,则 a 的取值范围为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 . 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? n ? 1 , n ? N * , a1 ? 3 , (1)求 a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? 4 的值; (2)根据(1)的结果试猜测 ?an ? n? 是否为等比数列, 证明你的结论, 并求出 {an } 的通项公式.

18.(本小题满分 12 分) “奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价 x 元和销售量 y 杯之间的一 组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 5 12 5.5 10 6.5 6 7 4

通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系。 (Ⅰ)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (Ⅱ) 已知一杯奶茶的成本价为 3 元, 根据 (Ⅰ) 中价格对销量的预测, 为了获得最大利润, “奶

3

茶妹妹”应该将奶茶的售价大约定为多少比较合理?

?? ?x ? a ? 中, b 注:在回归直线 y ? b
4

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? x. ? = y -b ,a

2 i

?x
i ?1

2 i

? 5 2 ? 5.5 2 ? 6.5 2 ? 7 2 ? 146.5

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD ,线段 CD 为圆 O 的弦, AE 垂 直于圆 O 所在平面, 垂足 E 是圆 O 上异于 C , D 的点,AE ? 3 , 圆 O 的直径 CE 为 9. (1)求证: CD ? 面 AED ; (2)求三棱 锥 D ? ABE 的体积。 20. (本小题满分 12 分) 已知焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2 3 ,长轴长为 4 .直线 l 与椭圆 a2 b2

交于 A, B 两点, O 为坐标原点, OA ? OB

??? ? ??? ?

?0,

(I)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)证明:点 O 到直线 AB 的距离为 定值,并求出这个定值;

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 3 2 x ? x ? (3a ? 1) x ? 1 , g ( x) ? a ln x ? x ? 1 . 3 2

(1) 若 f ( x) 在 R 上不单调, 求 a 的取值范围. (2) 若当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 恒成立, 求 a 的取值范围. (3) 若 a ? 0 , 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) , 试讨论 F ( x) 的导函数 F ?( x) 的零点的个数.

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
4

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
x ? 3x 如图,圆F?(x)? x ?x ?3x?0的直径 x ? 3 , F ?( x) 为圆周上一点,
3 2 2

, 过OC, BE, AC 作圆的切线 l , 过 BC ? 4 作直线 l 的

? ? 垂线OB ? OC ? BC ? 4, D 为垂足, ?CBO ? ?COB ? 60 与圆 O 交于点 C , 求线段? DCA ? CBO 60 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐标方程
? x ? ? 3t , ? 为 ? 2 cos 2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, t ? R ), ? ?y ?1? t

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)试求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f ( x) ? x ? a ? 2 x ,其中 a ? 0 (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? x ? 3 的解集 (2)若 x ? (?2,??) 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围

5

中山纪中 佛山一中 2015-2016 学年高二年级两校联考试题 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. ? 1 A 2 D 3 D 4 D 5 D 6 B 7 A 8 B 9 B 10 C 11 B 12 A

2 3

14.

3

15.

63 4

16. [1,2)

三、解答题: 17、 解: (1) a2 ? 2a1 ? 1 ? 1 ? 6 , a2 ? 2 ? 4 ????????2 分 ????????4 分 ????????6 分

a3 ? 2a2 ? 2 ? 1 ? 11, a3 ? 3 =8
a4 ? 2a3 ? 3 ? 1 ? 20 , a4 ? 4 =16
(2)猜测 ?an ? n? 为等比数列, 下面证明 当 n ? 1 时,

an ?1 ? (n ? 1) ? 2an ? n ? 1 ? (n ? 1) ? 2an ? 2n ? 2(an ? n)
????????10 分 又 a1 ? 1 ? 2 , 则 ?an ? n? 是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列, 所以

an ? n ? 2n 即 an ? n ? 2n

????????12 分

18、解: (Ⅰ)

?x y
i ?1 i

4

i

? 182???1分 x ? 6, y ? 8???2分

?x
i ?1

4

2

i

? ? -4,a ? ? 32 ..........7 分 ? ? y ? bx ? 4 x 2 ? 2.5??? 4分 b

? ? ?4x ? 32 ..........8 分 故回归直线方程为y (Ⅱ)设利润为 P ( x) , 则有
P( x) ? ( x ? 3)(?4 x ? 32) ? ?4( x ?
因此当 x ?

11 2 ) ? 25 , .........11 分 2

11 11 利润达到最大, 从而定价约为 元较合理 。..............12 分 2 2

19、解: (1)? AE ? ? O , CD ? ? O

? AE ? CD 在正方形 ABCD 中, CD ? AD

????????2 分

6

又 AD ? AE ? A ? CD ? 面 AED (2)设正方形 ABCD 的边长为 a , ? CE 为 ? O 的直径

????????5 分

??CDE ? 90? 即 CD ? DE
在 Rt ? CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2

????????6 分 ????????7 分 ????????8 分

在 Rt ? ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,
2 2 2 2

?81 ? a 2 ? a 2 ? 9 ,
?a ? 3 5
? DE ? 6 ? CD ? 面 AED , AB / /CD
????????10 分

? AB ? 面ADE
VD ? ABE ? VB ? ADE ? 1 1 1 AB ? S? ADE ? ? ? 3 ? 6 ? 3 5 ? 9 5 3 3 2

????????11 分

????????12 分 20、解析:(Ⅰ)

2c ? 2 3, 2a ? 4 .............. 1 分

a ? 2, c ? 3 b2 ? a 2 ? c2 ? 1
所以椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 ................ 3 分 4

(Ⅱ)(ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , ① 当直线 AB 的斜率不存在时,则 ?AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA: y ? x

2 x2 5 将 y ? x 代入 ? y 2 ? 1 ,解得 x ? ? 5 4
所以点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 5; 5

.............. 5 分

② 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆 联立消去 y 得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m 2 ?4 ? 0

x2 ? y2 ? 1 4

x1 ? x2 ? ?

4m2 ? 4 8km ..........6 分 x x ? 1 2 1 ? 4k 2 , 1 ? 4k 2

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0

7

即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 所以 (1 ? k 2 )

4 m 2 ? 4 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 5m2 ? 4(1 ? k 2 ) , ..........10 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

m 1? k
2

?

2 5 5

综上可知点 O 到直线 AB 的距离 为定值

2 5 ..........12 分 5

21、解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 3x ? 3a ? 1 , ? ? 9 ? 4(3a ? 1) ? ?12a ? 13 ..........1 分 由于 f ( x) 在 R 上不单调, 则有 ? ? 0 , 即 ?12a ? 13 ? 0 , 故 a ?
13 ? ? ? ??, ? ..........2 分 12 ? ?
a a?x ?1 ? x x ①当 a ? 1 时,由于 x ? 1 ,所以 g ?( x ) ? 0 , 则 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递减, 从而当 x ? [1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 满足题意...........3 分 ②当 a ? 1 时,由于 x ? 1 , 则当 x ? (1, a) 时, 有 g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (1, a) 上单调递增, 故

13 , 因此 a 的取值范围为 12

(2) g ?( x) ?

g (a) ? g (1) ? 0 , 不合题意. 综上所述 a 的取值范围为 (??,1] ...........4 分

(3)定义域为 (0, ??)

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 3 3 2 x ? x ? (3a ? 1) x ? 1 ? ? a ln x ? x ? 1? 3 2

1 3 ? x3 ? x 2 ? 3ax ? a ln x 3 2
F ?( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3ax ? a ..........5 分 x

2 2 3 2 令 h( x) ? x ? 3x ? 3ax ? a ,则 h?( x) ? 3 x ? 6 x ? 3a ? 3 x ? 2 x ? a

?

?

①当 a ? 1 时, ? ? 4 ? 4a ? 0 , 则当 x ? (0, ??) 时, h?( x) ? 0 恒成立, 从而 h( x) 在 (0, ??) 上单

a ? 2? 0, h( ) ? ? 调递增,由于 h(1) ? 2

1 3

8 ? 0 , 由零点存在性定理可知, 存在唯一的 27

1 x0 ? ( ,1] , 使得 h( x0 ) ? 0 , 即 F ?( x0 ) ? 0 ...........7 分 3
②当 0 ? a ? 1 时, ? ? 4 ? 4a ? 0 , 令 h?( x) ? 0 , 即 x ? 2 x ? a ? 0 , 记方程的两个根为 x1 , x2 ,
2

8

( x1 ? x2 ) 由于 x1 ? x2 ? 2, x1x2 ? a ? 0 , 则 x2 ? x1 ? 0 .

h( x), h?( x) 随 x 的变化情况如下;
x

(0, x1 )
+ 单增

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
_ 单减

x2
0 极小值

( x2 , ??)
+ 单增

h( x )
h?( x)

..........8 分 由于 x12 ? 2 x1 ? a ? 0 , 则 x12 ? 2 x1 ? a , 从而

h( x1 ) ? x13 ? 3x12 ? 3ax1 ? a ? x1 (2x1 ? a) ? 3x12 ? 3ax1 ? a ? ?x12 ? 2ax1 ? a

? a ? 2 x1 ? 2ax1 ? a ? 2(a ? 1) x1 ? 0
同理 h( x2 ) ? 2(a ? 1) x2 ? 0 , ..........9 分 (i)当 x ? (0, x2 ) 时, h( x) ? h( x1 ) ? 0 ,不存在零点. (ii)当 x ? ( x2 , ??) 时,h( x) 单增, 又 h( x2 ) ? 0 ,h(3) ? 8a ? 0 ,由零点存在性定理可知, 存 在唯一的 x0 ? ( x2 ,3) , 使得 h( x0 ) ? 0 , 即 F ?( x0 ) ? 0 ...........10 分 ③当 a ? 0 时, F ?( x) ? ......... .11 分 综上所述, F ?( x) 存在唯一的零点...........12 分

x3 ? 3x 2 ? x 2 ? 3x ? 0 , 可知 x ? 3 , F ?( x) 存在唯一的零点 3. x

22、解:连结 OC , BE , AC ,则 BE ? AE . ??????2 分 ∵ BC ? 4 ,∴ OB ? OC ? BC ? 4 , 即 ?OBC 为 正 三 角 形, ??????4 分 ∴ ?CBO ? ?COB ? 60 ? ??????????5 分

9

又直线切⊙ O 与 C , ∴ ? DCA ∵ AD ^ l , ∴ ? DAC 而 ?OAC ? ?ACO ?

? CBO

60? ,??6 分
????7 分

90? - 60? = 30?

1 ?COB ? 30 ? , ∴ ?EAB ? 60 ? ????9 分 2 1 在 Rt△BAE 中,∠EBA=30°,∴ AE ? AB ? 4 ??????????10 分 2
23、解:(1)曲线 C 的普通方程是
x2 ? y 2 ? 1 ??????2 分 3

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 ??????4 分 (2)设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是
3 cos ? ? 3 sin ? ? 3 2

d?

π 3 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? ??????8 分 2
6? 3 . ??????10 分 2

因此当 sin(? ? ) ? ?1 时,所以 d 的最大值为 4

?

24、解析:(1)当 a=2 时,由不等式 f ( x) ? x ? 3 得 x ? 2 ? 2x ? x ? 3 ,??????1 分 得?

?x ? 2 ?x ? 2 , 或? ?3x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 2 ? x ? 3
5 或 x ? 2, 2

??????3 分

解得 2 ? x ?

??????4 分

所以不等式的解集为 ? ??, ? ; (2)因为 f ? x ? ? x ? a ? 2 x ? ? 显然函数在 R 上单调递增,

? ?

5? 2?

??????5 分

?3x ? a, x ? a , ? x ? a, x ? a

??????7 分 ??????8 分

所以当 x ? (?2,??) 时, f ? x ? ? f ? ?2? ? a ? 2 ,若 x ? (?2,??) 时,恒有 f ( x) ? 0 , ??????9 分 则 a ? 2 ? 0 ,得 a ? 2 .??????10 分

10


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