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高中数学2016-2017学年新课标人教A版选修2-3学案_1.2第4课时 组合问题完美版

1.2 排列与组合 第四课时 组合问题 一、课前准备 1.课时目标 (1) 会处理一些复杂的组合问题; (2)能解决的排列组合综合应用题 2.基础预探 排列组合问题的常见策略为:(1)特殊元素____安排的策略;(2)合理分类与准确分步的策 略;(3)排列、组合混合问题______的策略;(4)正难则反、等价转化的策略;(5)相邻问 题______处理的策略;(6)不相邻问题____处理的策略;(7)定序问题等概率除法处理的策 略;(8)分排问题直排处理的策略;(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略。 二、学习引领 1. 处理排列组合问题的基本步骤是什么? 首先判断这个问题是组合问题还是排列问题,即看取出的元素能否交换位置:若能则为 组合问题,否则为排列问题;其次要注意两个基本原理的灵活应用,对问题进行合适的分类 与分步,转化为多个简单的问题处理,但要注意有无重复或遗漏. 2. 如何解答有限制条件的组合问题? 解决有限制条件的组合问题的基本方法有两种:直接法和排除法。直接法求解时应坚持 特殊元素优先选取的原则,再处理其它一般元素;若正面处理问题时需要讨论的情况比较多, 计算量较大,不妨从问题的反面入手利用排除法解决。一般含有“至多”、“至少”等组合问题 多用此法解决,体现了正难则反的策略。 3.如何处理分组分配问题? 分组分配问题是一类常见的排列组合综合应用题,它的常见形式是这样的:n 个不同元 素按照某些条件分配给 k 个不同得对象,称为分组分配问题。一般有定定向分配和不定向分 配两种问题。解决这个问题的关键是先对元素进行的恰当的分组,然后再分配。 将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组,称为分组问题.分组问题有不平均分组(如将 6 个元素,分成 3 个一组、2 个一组一个一组分为 3 组)、平均分组(如将 6 个元素,分成每 2 个一组分为 3 组)和部分平均分组(如将 6 个元素,分成 4 个一组、1 个一组、1 个一组分 为 3 组)三种情况。其中出现平均分组和部分平均分组问题时要去掉顺序即若平均分为 m
组则除以 Amm 。
三、典例导析 题型一 排列、组合的简单应用 例 1 从 a,b,c,d,e 这 5 个元素中取出 4 个放在 4 个不同的格子中,要求一个格子放一个元素, 且元素 b 不能放在第二个格子里,问共有多少种不同的放法? 思路导析:第二个格子是特殊位置,因此应该先安排,然后再处理其它位置;或将 b 看做特 殊元素,先行处理。 解:方法一:先从 a,c,d,e 中选一个放到第二个格子里,其余的再选 3 个任意排列,根据乘法原理
有 C41 A43 ? 4 ? 4 ? 3? 2 ? 96 种不同的放法.
方法二:分两类:若选 b,则有 A44 ? 24 种放法,若不选 b,则 b 有 3 种放法,其余再任选 3 个排列,

有 C31 A43 ? 72 种放法,共有 24+72=96 种.
规律总结:处理排列组合问题要先观察题目的特点,找出特殊的元素或者位置,再利用分类 分步计数原理将问题简化为多个小问题来解决。 变式训练:从 6 名运动员中选出 4 个参加 4×100m 接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒, 共有多少种不同的参赛方法?

题型二 非均匀分组问题 例 2(1)若从 10 名工人中选出 9 人分成 3 个小组,各组人数分别是 2,3,4,则有 种 分法. (2)若从 10 名工人中选出 9 人分成 3 个小组,各组人数分别是 2,3,4,去参 加不同的劳动,则其安排方法有 种.
思路导析:(1)为将 9 人分三组,且不是均分;(2)为先分组后,再分配问题。
解:(1)第一步,先从 10 人中选出 2 人有 C120 种选法;第二步,再从余下的 8 人中选出 3
人,有 C83 种选法;第三步,从余下的 5 人中选出 4 人,有 C54 种选法;根据分步乘法计
数原理知不同的选法共有 C120C83C54 ? 12600 种分法.
(2)由于选出的 3 组人要参加不同的三种劳动,因此在(1)的基础上,还应考虑再分
配问题,因此安排方法有 C120.C83.C54.A33 ? 75600 种安排方法.
规律方法: 本题主要研究不均匀分组和分配问题,只分成几组的问题为分组问题,分组后 各组要担任不同的工作的问题为分组分配问题,此时需乘以组数的全排列. 变式训练:某医院有 6 台不同的仪器,按照以下要求处理,各有几种分法? (1)甲科室分 1 台,乙科室分 2 台,丙科室分 3 台; (2)一科室分 1 台,一科室分 2 台,一科室分 3 台;

题型三 均匀分组问题

例 3 将 4 名司机和 8 名售票员分配到四辆公共汽车上,每辆车上分别有 1 名司机和 2 名售

票员,则可能的分配方案是(



A C82C62C42 A44 A44

B A82 A62 A42 A44

C

C82C62C42 A44

D C82C62C42

思路导析:先将四名司机分 4 组,再分配到 4 辆车上;再将 8 名售票员分 4 组,再分配到 4

辆车上;也可以利用组合的知识直接分配。

解析:方法一:首先,将四名司机分配到四辆公共汽车上,每车一名,不同的分配方法有

C41C31C21C11 A44

A44

种;

其次,将

8 名售票员分配到

4

辆车上,每车

2

名,不同的分配方法有

C82C62C42C22 A44

A44 种.

由分步计数原理可得:可能的分配方案有 C82C62C42 A44 种. 故选 C.

方法二:第一步:给第 1 辆车分配 1 名司机和 2 名售票员,不同的分配法有 C41C82 种;

第二步:给第

2

辆车分配

1

名司机和

2

名售票员,不同的分配法有

C31C

2 6

种;

第三步:给第 3 辆车分配 1 名司机和 2 名售票员,不同的分配法有 C21C42 种;
第四步:将所剩的 1 名司机和 2 名售票员分配到第 4 辆车,只有 1 种分配法;

由分步计数原理得,可能的分配方案有 C41C82C31C62C21C42 ?1,故选 C .

规律方法:均匀分组分配要注意去掉顺序,如利用 C41C31C21C11 将 4 个人分成四组后,这 4 组

就已经排序了,此时只有去掉顺序才是分组.

变式训练:将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放

2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )

A 12 种

B 18 种

C 36 种

D 54 种

答案:B

题型四 部分均匀分组问题 例 4 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答). 思路导析:先将 4 名大学生分为 2、1、1 三组,再分配到各个乡镇,其中分成 1、1 的两组
是均匀分组,需去掉顺序。

解析:分两步完成:第一步将

4

名大学生按,2,1,1

分成三组,其分法有 C42

? C21 ? C11 A22

;

第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇,其分法有 A33 ,

所以满足条件的分配方案有

C42

? C21 A22

? C11

?

A33

?

36

种.

规律方法:部分均匀分组问题,要将其中均匀分组的那部分去掉顺序,然后再分配,否则会

出现重复计算.

变式训练:将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四

个不同场馆服务,不同的分配方案有

种(用数字作答).

四、随堂练习

1. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求

星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有( )

A 40 种 B 60 种

C 100 种

D 120 种

2. 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分

配方案有( )

A.30 种

B.90 种

C.180 种

D.360 种

3.若 x∈A 则 1 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, 1 , 1 ,1,2,3,4}的所

x

32

有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )

A.15

B.16

C.28

D.25

4.从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、 乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_____种(用数字作答).

5. 某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个

班,不同的安排方法共有

种.(用数字作答)

6.为了提高学生参加体育锻炼的热情,华源中学组织篮球比赛共 24 个班参加,第一轮比赛 是先分四组进行单循环赛,然后各组取前两名再进行第二轮单循环比赛(在第一轮中已相遇 过的两队不再进行比赛),问共要进行多少场比赛?

五、课后作业 1.从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的十个形状大小相同的球中,任取 3 个球,

则这 3 个球编号之和为奇数的有 (



A 30 B 40 D 50 C 60

2.如图,A,B,C,D 为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的

建桥方案共有( )

A.8 种

B.12 种

C.16 种

D.20 种

3.将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球

的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )

A.10 种

B.20 种

C.36 种 D.52 种

4. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区

分站的位置,则不同的站法种数是

(用数字作答).

答案:336

5.某人有 3 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的 6 个点 A、B、C、A1、 B1、C1 上各安装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有多少 种?.

6. 某甲 A 篮球队 12 名队员(含 2 名外援)中有 5 名主力队员(含 1 名外援),选 5 名队员 首发上场,要求主力队员不少于 4 个且两名外援不同时上场,则有多少种不同的选法?

参考答案:

1.2 排列与组合

一、课前准备 2.基础预探 优先 先选后排 三、典例导析 例 1 变式训练

捆绑

第四课时 组合问题 插空

解:若甲跑第四棒,则有 A53 ? 60 种不同的安排方法,若甲不跑第四棒,则从剩余的 4 人中选一

人跑第四棒,再从除甲外的四人中选一人跑第一棒,其余的任意选排,共有 C41C41 A42 ? 192 种
不同的排法. 由加法原理得共有 60+192=252 种不同的安排方法.
例 2 变式训练
解:(1)共有分法 N ? C61C52C33 ? 60 .
(2)在(1)中甲科室分一台,乙科室分 2 台,丙科室分 3 台的基础上, 考虑到甲、乙、丙三科室的平等地位,让甲、乙、丙三科室全排列调换位置,
所以共有分法数 N ? C61C52C33.A33 ? 360 .
例 3 变式训练 答案:B

解析:标号 1,2 的卡片放入同一封信有 C31 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两

个有 C42C22 种方法,共有 C42C22C31 ? 18 种,故选 B.
例 4 变式训练 答案:1080

解析:6 名志愿者按 2,2

,1,1

分成四组,其分法有 C62C42C21C21 A22 A22



然后再将分好的组进行分配,有

C62C42C21C21 A22 A22

.A44

? 1080 种分配方案.

四、随堂练习 1. 答案:B
解析:不同的选派方法共有 C52 A32 ? 60 种,选 B.
2. 答案:B

解析:将

5

名教师分成三组,一组

1

人,另两组都是

2

人,有

C51C42C22 A22

? 15 种方法,再将

3 组分到 3 个班,共有15 ? A33 ? 90 种不同的分配方案.

3.答案:A

解析:具有伙伴关系的元素组有-1,1, 1 、2, 1 、3 共四组,它们中任一组、二组、三

2

3

组、四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为

C

1 4

+

C

2 4

+

C

3 4

+

C

4 4

=15,

选 A.

4.答案:36 解析:先从除甲、乙两人外的其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员,再从 4 人中选 2 人担

任学习委员和体育委员,不同的选法共有 C31 ? A42 ? 3? 4 ? 3 ? 36 种.

5.答案:240

解析:由题意可知有一个工厂安排 2 个班,另外三个工厂每厂一个班, 共有 C52 ? A44 ? 240.

种安排方法.

6.解:第一轮每组 6 个队进行单循环赛,共有 C62

场比赛,4

个组共计赛

4

C

2 6

场.

第二轮每组取 2 名,共计 8 名,本应赛 C82 场,

由于第一轮中分在同一组的两队不再进行第二轮比赛了,故应减去 4 场,比赛 C82 ? 4 场.

综上两轮比赛总共赛

4

C

2 6

+( C82

? 4 )=84(场).

五、课后作业 1.答案:C

解析:分为两类,两个偶数一个奇数、三个奇数,故编号之和为奇数的结果数为

C

1 5

C

2 5

+

C

3 5

=60.

2.答案:C 解析:四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥,其中建三座桥连接四个小岛,符合要求的建 桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域,如桥 AC,BC,BD 符合要求,而围成封闭三

角形不符合要求,如桥 AC,CD,DA,不符合要求,故共有 C63 -4=16(种).也可以分与 C 岛

连接的是一座桥、二座桥、三座桥讨论求解. 3. 答案:A

解析:分情况讨论:①1 号盒子中放 1 个球,其余 3 个放入 2 号盒子,有 C41 ? 4 种方法;

②1 号盒子中放 2 个球,其余 2 个放入 2 号盒子,有 C42 ? 6 种方法;则不同的放球方法有

10 种,选 A. 4.答案:336

解析:对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 A73 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1

人,则共有 C31C22 A72 种,因此共有不同的站法种数是 336 种.w

5.解:先安排底面三个顶点,共有 A33 种不同的安排方法,再安排上底面的三个顶点,共有

C

1 2

种不同的安排方法.由分步计数原理可知,共有

A33

? C21

?

12

种不同的安排方法.

6.解:第一种情形,4 名主力队员中不含外援,则从其余的 6 名内援和另一名外援中任选 1

人的方法有 C71 种; 第二种情形,4 名主力队员中有 1 名外援,则有 C43C61 种;第三种情形,

5 名队员全是主力队员,只有 1 种方法。根据分类加法计数原理,不同的选法总数共有

C71 ? C43C61 ? 1 ? 32 种.

风,没有衣裳;时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少,同样的 损伤体力;饮食过多与过少,同样的损伤健康;唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少 年路岁月极美,在于它必然的流逝。 春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口,直到你归了土;因为你是从土而出的。你本是尘土,仍要归于尘土。 我始终相信,开始在内心生活得更严肃的人,也会在外表上开始生 活得更朴素。在一个奢华浪费的年代,我希望能向世界表明,人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情,最忌讳的就是个十全十美,你看那天上的月亮,一旦圆满了,马上就要 亏厌;树上的果子,一旦熟透了,马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺,才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺,才能练就创造天堂的力量;只有流过血的手指,才能弹出世间的绝响。时光只顾 催人老,不解多情,长恨离亭,滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急,淡月朦胧,好梦频惊,何处高楼雁一声? 如果你长时间盯着深渊,深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也 都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的 扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇,永远不会败落。 我也要求你读书用功,不是因为我要你跟别人比成就,而是因 为,我希望你将来会拥有选择的权利,选择有意义,有时间的工作,而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史,不外功名利禄;九万里悟道,终归诗酒田园。 这是一个最好的时代,这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代,这是一个愚蠢的年代;这是一个光明的季节,这是一个黑暗的季 节;这是希望之春,这是失望之冬;人们面前应有尽有,人们面前一无所有;人们正踏上天堂之路,人们正走向地狱之门。 我有所感事,结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。 所谓父母,就是那不断对着背影既欣喜又悲伤,想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围,就是他的世界。因为爱过,所以慈悲;因为懂得,所以宽容。 刻意去找的东西,往往是找不到的。天下万物的来和去,都有他的时间。 与善人居,如入芝兰之室,久而自芳也;与恶人居,如入鲍鱼之肆,久而自臭也。 曾经沧海难为水,除却巫山不是 云。 回首向来萧瑟处,归去,也无风雨也无晴。 半生闯荡,带来家业丰厚,儿孙满堂,行走一生的脚步,起点,终点,归根到底,都是家所在的地方,这是中国人秉持千年的信仰,朴素, 但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难,就可以问老天要多少人生。心,若没有栖息的地方,到哪里都是流浪...如果有来生,要做一只鸟,飞越永恒,没有迷途的苦恼。东方有火红 的希望,南方有温暖的巢床,向西逐退残阳,向北唤醒芬芳。如果有来生,希望每次相遇,都能化为永恒。不乱于心,不困于情。不畏将来,不念过往。如此,安好。 笑,全世界便与你同声 笑,哭,你便独自哭。 一辈子,不说后悔,不诉离伤。上帝作证,我是真的想忘记,但上帝也知道,我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了,一半一半, 选哪一半都很困难,所以这才是选择。跟着你,在哪里,做什么,都好。眠。我倾尽一生,囚你无期。择一人深爱,等一人终老。痴一人情深,留一世繁华。断一根琴弦,歌一曲离别。我背 弃一切,共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福,在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过,留下的且当珍惜 我相信,真正在乎我的人是不会被别人抢走的,无论是友情,还是爱情。 我还是相信,星星会说话,石头会开花,穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后,你终会抵达! 每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光,提醒我,若不学 会遗忘,就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样 的结局,我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻,愿每一颗流浪的心,在一盏灯光下,得到永远的归宿。 因为有了因为,所以有了所以。既然已成既然,何必再 说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦,会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。

如这山间清晨一般明亮清爽的人,如奔赴古城道路上阳光一般的人,温暖而不炙热,覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚,由山野到书房,一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人, 贯彻未来,数遍生命的公路牌。 岁月极美,在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生,风雪是你,成多每内淡是你,清贫是你,荣华是你,心底温柔是你,并用光 所内为界,也是你。个人的遭遇,命运的多舛都使我被迫成熟,这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过 很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人,有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有 那么一个时侯,你忽然会觉得很绝望,觉得全世界都背弃了你,活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说,没关系,很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当 你尚在年少,你受的苦,吃的亏,担的责,扛的罪,忍的痛,到最后都会变成光,照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化,不准偷偷想念,不准回头看。去过自己另外的生 活。你要听话,不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说,鲁迅是杂文,胡适是评论;鲁迅是酒,胡适是水。酒让人看到真性情,也看到癫狂,唯有水,才是日常所需,是真生活。有时 候会很自豪地觉得,我唯一的优势就是,比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文,只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨的遗恨,只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也 不去期待历史的震颤,只有凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边,以前住着我的祖父,现在埋着我的祖父。 诗意上来时,文字不要破坏它。 水,看似柔顺无骨,却能变得气势滚滚, 波涌浪叠,无比强大;看似无色无味,却能挥洒出茫茫绿野,累累硕果,万紫千红;看似自处低下,却能蒸腾九霄,为云为雨,为虹为霞…… 一切达观,都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫 道知道了,就得看不我们后心回的”家“,不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家,后心天能们后心回的”家“,不是空于而,风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目 光,却躲不过那些出其不意投来的目光。 中国人对待自然环境与外国人截然不同,外国人注意到的是人如何改变土地,而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零,喧腾是短命的别名。在流光溢彩的日子里,生命被铸上妖 冶的印记。托尔斯泰说:“忧来无方,窗外下雨,坐沙发,吃巧克力,读狄更斯,心情又会好起来,和世界妥协。” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉,一种圆润而不腻耳的声响,一种不再需要 对别人察言观色的从容,一种终于停止向周围申诉求告的大气,一种不理会喧闹的微笑,一种洗刷了偏激的淡漠,一种无需声张的厚实,一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂, 我只要底线。因为没有底线,就没有自由。 宠辱不惊,看庭前花开花落;去留无意,望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗,你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀,我就不能保护你。如果我有刀,我就不能拥抱你。“今 天比昨天慈悲,今天比昨天智慧,今天比昨天快乐。这就是成功。” 没有悲剧就没有悲壮,没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里,但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒,权力与财富只使人 更粗鄙堕落。 满地都是六便士,他却抬头看见了月亮。走出酒吧的那一刹,我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼,我想起了我的收音机。它已经很旧很老,退役多年了。


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