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广东省汕头市高中数学第二章基本初等函数(I)2.2.1对数与对数运算(第1课时)课件新人教A必修1_图文

2.2.1 对数与对数运算 (第1课时)

请大家计算4538×28374的值?
结果1 2876 1212
相信如果没有计算器,没有接受过快速计算训练 的人要计算这道题,都要花费不少时间,还不一 能够算对,在没有计算器16世纪到17世纪,天文 学家,航海学家,工程学家每天都要面对无数这样 大的数,那么有没有什么办法简化这样的运算呢?
这就是对数发明的原因

二、对数的由来
早在公元前200年,古希腊著名数学家阿基米德就注意到 下面这两组数据之间的联系
1, 10, 102, 103, 104, 105, 106,107……
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…… 用今天的语言来说,这两组数之间存在一一对应关系 并且第一列数的乘法或除法对应第二列数的加法或减法
如102× 105=107,对应下列的数2+5=7 通过这样子的对应,可以把繁琐的乘除运算转化成简单 的加减运算

二、知识探究

思考1: 24= 16
2-2= 1 4
思考2: 若2x=16,则x= 4

若2x= 1 ,则x= -2

4
若4x=8, 则x=

3

2

若2x=3, 则x=

苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程, 为简化运算发明了对数

二、知识探究
满足2x=3的x的值,用log23表示,即x=log 2 3,
并叫做“以2为底3的对数”.

若2x=3, 则x= log23

思考3: 若2x=16,则 x= log216

若2x=

1 4

,则

x=

log2

1 4

若4x=8, 则 x= log48

三、概念讲解 1、对数 一般地,如果a x ? N (a ? 0且a ? 1),那么数 x 叫做 以a为底N的对数; 记作:x ? loga N . 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
x=loga N

三、概念讲解 1、对数 一般地,如果a x ? N (a ? 0且a ? 1),那么数 x 叫做 以a为底N的对数; 记作:x ? loga N .

根据对数定义;表述下列各式:

(1) 52 =25 以5_ 为底_2_5_的对数是_2_ 记作log5 25 ? 2

(2) 2?6 = 1 64

以2为底

1 的对数是 64

?

6,log2

1 64

?

?6

三、概念讲解

思考1:对数式与指数式之间联系

当a ? 0,且a ? 1时

a x =N

loga N ? x

式子 名称 a x

N

指数式 a x =N 底数 幂指数 幂

对数式loga N =x 底数 对数 真数

三、概念讲解
思考2:当a ? 0时,且a ? 1时,loga(?2)、loga 0存在吗? 若存在log a(-2)=x,则 a x= - 2 若存在log a0=x,则 a x=0
当a>0,且a≠1时,恒有a x > 0
ax ? N ? loga N ? x
2、对数式loga N ? x 中各字母的取值范围
(1) 底数:a ? 0且a ? 1 (2)真数:N >0 负数与零没有对数

四、例题分析

例1 将下列指数式写成对数式:

(1)54 ? 625

(1) log5 625 ? 4

(2)2?6 ? 1 64

1 (2)log2 64 ? ?6

(3)3a ? 27

(4)

? ??

1 3

?m ??

?

5.73

(3)log3 27 ? a
(4) log1 5.73 ? m
3

ax ? N ? loga N ? x

底数 指数 幂

底数 真数 对数

练习1 将下列指数式写成对数式:

(1) 25 ? 32 ? log 2 32 ? 5

(2) 2?1 ? 1 ? 2

log2

1 2

?

?1

(3) (4)

3x ? 81 ? 4x ? 1 ?
6

log 3 81 ? x 1
log4 6 ? x

ax ? N ? loga N ? x

底数 指数 幂

底数 真数 对数

三、讲授新课
3.两个重要对数:
(1)常用对数:10为底的对数 log10 N 简记作:lgN。
例如: log10 5 ? lg 5 log10 3.5 ? lg 3.5
(2)自然对数:无理数e (=2.71828……)为底的对数
log e N 简记作:lnN。
例如loge 3= ln 3 loge 5= ln 5

四、例题分析

例2 将下列对数式写成指数式:

loge N ? ln N

(1)log1 27 ? ?3
3

?

? ??

1 3

??3 ??

?

27

log10 N ? lg N

1 (2) log5 125 ? ?3

? 5?3 ? 1 125

(3)ln10 ? 2.303 ? e2.303 ? 10

(4)lg 0.01 ? ?2

? 10?2 ? 0.01

ax ? N ? loga N ? x

底数 指数 幂

底数 真数 对数

五、练习巩固

练习 2 将下列对数式写成指数式:

(1) log 3 9 ? 2 ?

32 ? 9

(2) (3) (4)

log 5 125 ? 3 ? 1
ln e2 ? ?2 ? lg 1 ? ?3 ?
1000

53 ? 125

e ?2

?

1 e2

10?3 ? 1 1000

四、例题分析

例3 求下列各式中x的值:

(1)

log64 x ? 求真数

?

2 3

;(2)

logx 8 ? 6;(3) 求底数

lg100 ? x;  求对数

解(1)由log64

x

?

?

2

得64?

2 3

3

?

x

?

x

?

?2
64 3

?

(26

?
)

2 3

?

2?2

?

1

4

1

1

(2)由logx 8 ? 6得x6 ? 8 ?( x6 )6 ? 86 ,即x= 2

(3)由lg100 ? x 得10x ? 100? x ? 2

性质探究

填空

(1)log 21 ? 0 (2)log 11 ? 0 (3)ln1 ? 0
2
解:(1)设 log 21 ? x, 则有2x ? 1,? x ? 0

(2)设 log 1 1 ? x,
2

则有( 1 )x ? 1,? x ? 0 2

(3)设 ln1 ? x, 则有ex ? 1,? x ? 0

性质1:log a1 ? 0 即:1的对数是0

性质探究

填空

(1) log 3 3 ?

1 (2)log 1 ?
12

1 (3)ln e ? 1

2

解:(1)设 log 3 3 ? x, 则有3x ? 3,? x ? 1

(2)设 log 1 ? x, 则有(1)x ? 1 ,? x ? 1

12

22

2

(3)设ln e ? x, 则有e x ? e,? x ? 1

性质2:log a a ? 1 即:底数的对数是1

性质探究

填空

(1) log 3 34 ?

4

(2)

log

1 2

(

1 2

) 2.3

?2.3

(3) ln e?5

?

-5

解:(1)设 log 3 34 ? x,则有3x ? 34 ,? x ? 4

(2)设 log

1 2

(

1 2

)2.3

?

x,

则有( 1 )x ? ( 1 )2.3 ,? x ? 2.3 22

(3)设 ln e?5 ? x, 则有e x ? e?5 ,? x ? ?5

性质3:log a ab ? b

三、知识讲解

3、对数性质(a ? 0且a ? 1)

(1)loga 1=0

? a0 =1

(2)loga a=1 (3)loga an ? n

? a1 ? a

(4)aloga N ? N

? 对数恒等式

分析:设 loga N ? b,则ab ? N, ? aloga N ? ab ? N

五、练习巩固
练习3 计算:
(1)2log2 10 =10

aloga N ? N

? ? (2)2

1 2

log

2

10

=

2log2 10

1

1

2 =102 =

10

1+
(3)2

1 2

log2

10

=2

?

2

1 2

log2

10

=2

10

六、性质探究

代回

ax ? N ? loga N ? x

底数 指数 幂

底数 真数 对数

1、负数与零没有对数(真数N大于0)

2、log a1 ? 0 即:1的对数是0

3、log a a ? 1 即:底数的对数是1

a ? N 4、对数恒等式:log a ab ? b

loga N

五、练习巩固
1、对于a ? 0, a ? 1,下列说法: N ? 0
(1)若M ? N,则lg M ? lg N; lg N = log10 N (2)若 ln M ? ln N,则M ? N; ln N = loge N
(3)若 loga M 2 ? loga N 2,则M ? N; (4)若M ? N,则loga M 2 ? loga N 2 正确的有 ________

五、练习巩固

2、下列叙述正确的是 ___________

(1) lg(ln e) ? 0; loga a ? 1 loga 1 ? 0

(2) lg103 ? 3;

loga an ? n

(3)若10 ? lg x,则x ? 10; x=1010

(4)若6log6 x ? 4,则x ? 4. aloga N ? N

五、练习巩固 3、对数式log(2x?1) 1? x2中x的取值范围是 4、若 log 5[log3(log2 x)]=0,x =_______

1、(作业本)P74 习题2.2 A组 1、2 即:1的对数是0
2、《练习册》第一课时 对数


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