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平面向量知识点易错点归纳


段宇昕数学资料

平面向量知识点归纳

§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:a+b 加法 求两个向量和的运 算 =b+a. (2)结合 律:(a+b)+c= 定义 既有大小又有方向的量; 向量的大小叫 做向量的长度(或称模) 长度为 0 的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0 0 与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作 0 a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

a+(b+c).
求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|;(2)当 λ>0 时,λa 的方向 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方 向与 a 的方向相反; 当 λ=0 时, λa=0 λ(μa)=(λμ)a;(λ +μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b)

数乘

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 方法与技巧 1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行 四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的 三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”. → → 2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线. 如AB∥CD且 AB 与 CD 不共线, 则 AB∥CD; → → 若AB∥BC,则 A、B、C 三点共线.
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失误与防范 1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的 方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2 λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1.

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0. 方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键. 2.平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 a=λb,这与 x1y2-x2y1=0 在本质上是 没有差异的,只是形式上不同. (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量,然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范 1.要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两种信息;两个向量共线 有方向相同、相反两种情况. x1 y1 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等 x2 y2 于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.

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§5.3 平面向量的数量积
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b, 它们的夹角为 θ, 则数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积), 记作 a· b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a· b=0, 两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 a· b =± |a||b|. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|,a· a=a2,|a|= a· a; a· b (4)cos θ= ; |a||b| (5)|a· b|__≤__|a||b|. 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(λ 为实数); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2. → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. 方法与技巧 1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有关 的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 失误与防范 1.(1)0 与实数 0 的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a· 0=0≠0;(2)0 的方向是任意的,并 非没有方向,0 与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.

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2.a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有可能 a⊥b.

§5.4 平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、 垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0) ?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. (3)求夹角问题,利用夹角公式 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2 (θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2+y2 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相 似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F· s=|F||s|cos θ (θ 为 F 与 s 的夹角). 3.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结 合, 当平面向量给出的形式中含有未知数时, 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于 该未知数的关系式. 在此基础上, 可以解有关函数、 不等式、 三角函数、 数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算, 其转化途径主要有两种: 一是利用平面向量平行 或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质. 方法与技巧 1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用 向量的有关知识可以解决某些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类 综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题 的一般方法. 3.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为 我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 失误与防范 1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价. 2.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量 a,b 夹角为锐角和 a· b>0 不等价.
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