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第1单元 集合与常用逻辑用语-数学(理科)人教A版-浙江


浙江省专用

新课标·人教A版

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第一单元

集合与常用逻辑用语

第1讲 第2讲 第3讲

集合及其运算 命题及其关系、充分条件、必要条件 简单的逻辑联结词

单元网络

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核心导语
一、集合 1.关系——元素与集合之间是从属关系,集合与集 合之间是包含关系. 2.运算——并集、交集和补集. 二、常用逻辑用语 1.命题——四种命题及其关系,特别是原命题与逆 否命题的等价性、逆命题与否命题的等价性. 2.充分、必要条件——命题p与q之间能否推导成立, 是判断充分、必要条件的关键.

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3.逻辑联结词——“且”是几个简单命题都成立, “或”是几个简单命题至少有一个成立,“非”是对原命 题结论的否定,解题中可类比集合中的交集、并集和补 集.

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使用建议
1.编写意图 高考对集合和常用逻辑用语的要求不高,集合主要是 一种基本语言和数学表达的工具,常用逻辑用语主要是数 学学习和思维的工具. 编写中注意到以下几个问题:(1)考虑到该部分在高 考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方 法的讲解和练习题的力度,控制了选题的难度;(2)从近 几年高考来看,涉及该部分内容的信息迁移题是高考的一 个热点话题,因此适当加入了类似的题目;(3)考虑到该 部分内容是第一轮初始阶段复习的知识,因此在选题时尽 量避免选用综合性强,思维难度大的题目.
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2.教学指导 高考对该部分内容的要求不高,教师在引导学生复习 该部分时,切忌对各层次知识点随意拔高,习题一味求深、 求广、求难. 教学时,注意到以下几个问题:(1)集合主要是强调 其工具性和应用性,解集合问题时,要引导学生充分利用 Venn图或数轴的直观性来帮助解题;(2)对“命题的逆命 题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解,重点关注 必要条件、充分条件、充要条件;(3)对逻辑联结词 “或”“且”“非”的含义,只要求通过数学实例加以了 解,帮助学生正确地表述相关的数学内容;
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(4)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形 式化定义,在复习中,应通过对具体实例的探究,加强学 生对于含有一个量词的命题的否定的理解;(5)常用逻辑 用语理论性强,重在注意引导学生提高逻辑思维能力和判 断问题的能力,在使用常用逻辑用语的过程中,体会运用 常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性,避免对逻 辑用语的机械记忆和抽象解释. 3.课时安排 本单元共3讲及1个45分钟滚动基础训练卷、1个单元 能力检测卷.每讲建议1课时完成,45分钟滚动基础训练 卷建议1课时完成,单元能力检测卷建议1课时完成,大约 共需5课时.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第1讲 集合及其运算

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考试说明
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集 合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合并集与交集的含义,会求两个简单 集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求 给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

—— 知 识 梳 理 —— 一、元素与集合 1.集合中的元素有三个性质: 确定性 , 互异性 , 无序性. 属于和 不属于 两 2.集合中元素与集合的关系分为____ ∈ 和____ 种,分别用____ ? 表示. 3.常见数集的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

表示法

N ____

N* 或N+ ____

Z ____

Q ____

____ R

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

4.集合有三种表示法: 列举法 , 描述法 , 图示法 . 5.集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以 分为 有限集 、 无限集 、 空集 .

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

二、集合间的基本关系
表示 关系
子集 文字语言 集合A的 元素 ________ 都 是集合B的元 素 集合A是集合 B的子集,但 集合B中 至少 ________ 有 一个元素不 属于A 集合A,B的 元素完全 相同 ________ 相等 符号语言 记法 A?B或 B?A ________

x∈A?x∈B

真子 集 基本关系

A?B, ?x0∈B, x0? A

A___B或B

A

A?B, B?A?A=B

________

A =B

________ 任 不含 何元素的集 合.空集是 任何集合A的 子集

?x,x??, ??A

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

三、集合的基本运算
集合的并集 符号 表示 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U,则集合A的 x∈A或x∈B 补集为____________

图形 表示

意义

x∈A且 x∈B {x| ________ }

?U A {x|____}

x∈U且x?A } ?UA={x|____________

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

四、集合问题中的几个基本结论 A?A 1.集合A本身是本身的子集,即________ ;

2.子集关系的传递性,即A?B,B?C?_____ ___; A?C 3.A∪A=A∩A=________ ,A∪?=________ ,A∩? A A ? =________ ,?U U=________, ?U ?=__________ ? U

第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.集合概念的认识 (1)已知集合 A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x, y)|y=x2},则 A=B=C.( ) (2)[2012· 江西卷改编] 若集合 M={z|z=x+y,x∈A, y ∈ B} ,其中 A = { - 1,1} , B = {0,2} ,则集合 M = { - 1,1,3}.( )
[答案] (1)× (2)√

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

[解析] (1)集合 A 是函数 y=x2 的定义域,即 A=(- ∞, +∞); 集合 B 是函数 y=x2 的值域, 即 B=[0, +∞); 集合 C 是满足方程 y=x2 的实数 x,y 的集合,也可以看 作是函数 y=x2 图象上的点组成的集合, 因此这三个集合 互不相等. (2)因为 x∈A,y∈B,所以当 x=-1 时,y=0,2,此 时 z=x+y=-1,1.当 x=1 时, y=0,2, 此时 z=x+y=1,3, 所以集合 M={z|z=-1,1,3}={-1,1,3}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

2.集合间关系的基本问题 (1)A={x|2m+1<x<3m},集合 B={x|3<x<9},若 A ?B,则 1≤m≤3.( ) (2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n、真子集个 数是 2n-1、非空真子集的个数是 2n-2.( )
[答案] (1)× (2)√

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

[解析] (1)当 3m≤2m+1,即 m≤1 时,集合 A=?, 此时 A?B;当 3m>2m+1,即 m>1 时,A≠?,此时只要 2m+1≥3 且 3m≤9,即 1<m≤3 时满足 A?B.故 m≤3 即可. 1 2 (2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 C0 + C + C n n n n n +?+Cn n=2 ,则真子集个数是 2 -1,非空真子集的个 数是 2n-2.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

3.集合的运算与集合间基本关系的联系 (1)A∩B=A∪B 的充要条件是 A=B.( ) (2)A∩B=?的充要条件是 A=B=?.( ) (3)A∩B=A?A?B.( ) (4)A∪B=A?B?A.( ) (5)若全集 U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则 ?UP={0,2}.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

[解析] (1)根据韦恩图分析可知. (2)A∩B=?时,只要集合 A,B 没有公共元素即可, 不一定是 A=B=?. (3)当 A?B 时,显然 A∩B=A;当 A∩B=A 时,对 任意 x∈A,得 x∈A∩B,得 x∈B,即 x∈A?x∈B,故 A?B. (4)当 B?A 时,显然 A∪B=A;当 A∪B=A 时,对 任意 x∈B,则 x∈A∪B,得 x∈A,即 x∈B?x∈A,即 B?A. (5)因为 P={-1,0,1},所以?UP={2}.

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第1讲

集合及其运算

考点统计
点 面 讲 考 向 1.集合的基本概念

题型(考频)
选择(1)

题型示例(难度)
2011年浙江T10(C)

2.集合的基本关系
3.集合的基本运算

选择(1)
选择(1)

2010年浙江T1(A)
2012年浙江T1(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009~2012年浙江卷情况.

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第1讲

集合及其运算

?

探究点一

集合的基本概念的理解

点 面 讲 考 点

例 1 (1)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若 1∈A,则实数 a 构成的集合 B 的元素个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知集合 A={x|x2+mx+4=0}为空集,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-4,4) B.[-4,4] C.(-2,2) D.[-2,2]

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

思考流程 (1)分析: 需要根据 1∈A 进行计算与判断; 推理:根据 1∈A 逐个求解 a 值;结论:根据集合元素的互 异性得集合 B 中元素的个数. (2)分析:从集合 A 是空集进行判断;推理:一元二次 方程 x2+mx+4=0 无解;结论:根据判别式 Δ <0 得出实 数 m 的取值范围.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

[答案] (1)B (2)A [解析] (1)若 a+2=1,则 a=-1,代入集合 A,得 A={1,0,1},与集合元素的互异性矛盾; 若(a+1)2=1,得 a=0,-2,代入集合 A,得 A={2, 1,3},或者 A={0,1,1},后者与集合的互异性矛盾, 故 a=0 符合要求; 若 a2+3a+3=1,则 a=-1,-2,代入集合 A,得 A ={1,0,1}或者 A={0,1,1},都与集合的互异性相矛 盾. 综上可知只有 a=0 符合要求, 故集合 B 中只有一个元 素. (2)依题意知一元二次方程 x2+mx+4=0 无解,所以 Δ =m2-16<0,解得-4<m<4.故选 A.
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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

[点评] (1)本题要特别注意集合元素的互异性,即集 合中的元素不存在两个相同的,在以字母参数给出的集合 中,要求其中的任意两个元素都不能相等,当根据某些条 件求出参数值后要检验集合中是否有相同的元素.(2)注 意对空集的理解和认识,即在定义上空集是不含有任何元 素的集合,而在具体问题中要针对实际情景去理解,如本 题中的空集意义就是对应的一元二次方程无实数解.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

归纳总结 一个元素是不是某个集合中的元素,只要 令这个元素等于集合的代表元素,看所得到的方程是不是 有符合条件的解.

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第1讲

集合及其运算

变式题
点 面 讲 考 点

(1)下列结论不正确的是(

)

A. 2∈{x|x=a+b 2,a,b∈Z} B. 3∈{x|x= 2+a 3,a∈R} C.i∈{x|x=a+bi,a,b∈R} D.1+i?{x|x=a+bi,a,b∈R} (2)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A ={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为( ) A.0 B.2 C.3 D.6

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第1讲

集合及其运算

[答案] (1)D

(2)D

[解析] (1)令 a=0,b=1, 则 a+b 2= 2, 故 2∈{x|x
点 面 讲 考 点

3- 2 =a+b 2,a,b∈Z};令 a= ,则 2+a 3= 3, 3 故 3∈{x|x= 2+a 3,a∈R};令 a=0,b=1,则 a+bi =i,故 i∈{x|x=a+bi,a,b∈R};令 a=1,b=1,则 a +bi=1+i,故 1+i∈{x|x=a+bi,a,b∈R}.故不正确 的是 D. (2)根据指定的法则,集合 A*B 中的元素是由 A,B 中 的元素的乘积组成的集合, 根据集合元素的无序性, 得 A*B ={0,2,4},故集合 A*B 中所有元素之和为 6.正确选项为 D.
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第1讲

集合及其运算

?

探究点二
例2

集合间基本关系的认识

(1)[2012· 全国卷] 已知集合 A={1,3, m},B ) B.0 或 3 D.1 或 3

点 面 讲 考 点

={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 C.1 或 3

(2)若集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A∪ B=A∩B,则实数 a 的取值集合是________.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析: 需要找出集合 A, B 之间的关系; 推理:A∪B=A?B?A,得关于 m 的方程解之;结论:根 据求出的 m 值,用集合的包含关系检验得出结论. (2)分析:需要判断集合 A,B 之间的关系;推理:A ∪B=A∩B?A=B,得出关于 a,b 的方程组解之;结论: 根据集合元素的性质加以检验得出结论.

[答案] (1)B (2){-1}

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第1讲

集合及其运算

[解析] (1)因为 A∪B=A,所以 B?A,所以 m=3 或 m= m.若 m=3,则 A={1,3, 3},B={1,3},满足 A
点 面 讲 考 点

∪B=A.若 m= m,解得 m=0 或 m=1.若 m=0,则 A= {1,3,0},B={1,0},满足 A∪B=A.若 m=1,A={1,3,1}, B={1,1}显然不成立,综上 m=0 或 m=3,选 B. (2)方法 1:因为 A∪B=A∩B,所以 A=B,所以{1,
2 ? 1 = a , ? 2 b} = {a , ab} , 所 以 ? ? ?b=ab

? ?1=ab, 或者? 2 ? b = a , ?

解得

? ?a=-1, ? ? ?b=0

? ?a=1, 或? ? ?b∈R

? ?a=1, 或? ? ?b=1.

反代回集合 A, B 知只

? ?a=-1, 有? ? ?b=0

? ?a=-1, 适合,所以? ? ?b=0.
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第1讲

集合及其运算

方法 2: 由于两个数和另外两个数相等的充要条件是 这两个数的和与积分别等于另外两个数的和与积,故{1,
点 面 讲 考 点
2 ? 1· b = a · ab, ? 2 b} = {a , ab} 的 充 要 条 件 是 ? 2 ? 1 + b = a +ab, ?

解得

? ?a=1, ? ? ?b=0 ? ?a=-1, ? ? ?b=0



? ?a=-1, ? ? ?b=0



? ?a=1, ? ? ?b∈R.

经 检 验 只 有

符合.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

[点评]两个元素个数比较少的集合相等,可以根据两 个集合相等时其元素完全对等的方法解决,但要注意集合 元素的无序性,本题实际可以归结为具有两个元素的集合 相等,一般有如下规律:?a(c+d-a)=cd?a2-(c+d)a +cd=0?(a-c)(a-d)=0,即a=c或者a=d,相应地b=d 或者b=c.反之当a=c,b=d或者a=d,b=c时一定有a+b =c+d,ab=cd,这说明两个二元集合{a,b}={c,d}的 充要条件是a+b=c+d,ab=cd.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

归纳总结 ①在一定的情况下,集合的运算关系和包含关系之间可以 相互转化,如A∪B=A?B?A?A∩B=B. ②两个有限集合相等,可以从两个集合中的元素相同求解, 如果是两个无限集合相等,根据两个集合相等的定义求解, 即如果A?B,B?A,则A=B. ③空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;集 合A本身就是其子集. ④注意?,{0},{?}的区别.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

变式题 (1)已知 M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}, 若 M∩N=N,则实数 a 的值为( ) A.1 B.-1 C.1 或-1 D.0 或 1 或-1 (2)设集合 A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若 A= B,则实数对(x,y)构成的集合是________.
[答案] (1)D (2){(1,-1),(-1,1)}

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

[解析] (1)M∩N=N?N?M.当 a=0 时,N=?,符合 1 要求,当 a≠0 时,只要 a=a,即 a=± 1 即可. (2)方法 1: 由 A=B, 且 0∈B, 知集合 B 中的元素 x2≠0, xy≠0,故 x≠0,y≠0,那么只能是集合 A 中的 x+y=0, 此时在条件 x+y=0 下,{x,y}={x2,xy}, ?x+y=0, ? 2 即 ?x =x, ?xy=y ?
? ?x=-1, ? ? ?y=1.

?x+y=0, ? 2 或 ?x =y, ?xy=x. ?

解得

? ?x=1, ? ? ?y=-1



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第1讲

集合及其运算

方 法 2 : {x , y} = {x2 , xy} 的 充 要 条 件 是
2 ? ?x+y=x +xy, ? 2 ? xy = x xy, ?

由第二个方程可得 xy(x2-1)=0, 即 x=0

点 面 讲 考 点

或者 y=0 或者 x=1 或者 x=-1.当 x=0 时由第一个方程 得 y=0,代入集合检验不符合要求;当 y=0 时也不符合 要求;当 x=1 时,代入第一个方程得 y∈R,再由 x+y=0 得 y=-1,代入集合检验知符合要求;当 x=-1 时,代 入第一个方程得 y=1,满足
? ?x=-1, ? ? ?y=1. ? ?x=1, x + y = 0. 故 ? ? ?y=-1



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第1讲

集合及其运算

?

探究点三

集合的基本运算的求解

点 面 讲 考 点

例 3 (1)[2012·辽 宁 卷 ] 已 知 全 集 U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 集 合 A = {0,1,3,5,8} , 集 合 B = {2,4,5,6,8},则 CUA)∩CUB)=( ) A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} (2)[2011· 陕西卷] 设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x
?? 1 ?? ∈R}, N=x? x- i ?? ? ? ?< ?

2, i 为虚数单位, x∈R, 则 M∩N

为(

) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析:需要求出?UA,?UB;推理:根 据补集定义求出?UA, ?UB; 结论: 根据交集定义得出结论. (2)分析:需要求出集合 M,N;推理:集合 M 为函数 y=|cos2x-sin2x|的值域,集合 N 是一个不等式的解集;结 论:根据交集定义得出结果. [答案] (1)B (2)C [ 解 析 ] (1) 方 法 1 : 因 为 全 集 U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 集 合 A = {0,1,3,5,8} , 集 合 B = {2,4,5,6,8} ,所以 ? UA= {2,4,6,7,9} , ? UB = {0,1,3,7,9} ,所 以(?UA)∩(?UB)={7,9}.故选 B. 方法 2:集合(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={7,9}. (2)函数 y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,其值域是[0,1],故 ? 1? 集合 M=[0,1]; 不等式?x- i ?< 2, 即|x+i|< 2, 即 x2+12<2, ? ? 解得-1<x<1,故集合 N=(-1,1).所以 M∩N=[0,1).
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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 点

[点评] (1)本题方法2使用了狄摩根定律,是集合理论 中重要的定律之一.(2)本题需要注意两个问题,一是两个 集合的含义,二是要注意集合N中的不等式是一个复数模 的实数不等式,不要根据实数的绝对值求解.高考考查集 合一般是以集合的形式与表示等式的解、函数的定义域、 函数的值域等为主,在解题时要特别注意集合的含义.

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第1讲

集合及其运算

归纳总结 ①在进行集合的运算时,要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般来讲,集合中的元 素是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素是连续的实 数的,用数轴表示,此时要注意端点的情况. ②运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活 使用这些关系,会使运算简化.如下面的五个关系是等价 的: A?B, A∩B=A, A∪B=B, CUA? CUB, A∩(CUB) =?.

点 面 讲 考 点

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第1讲

集合及其运算

变式题 (1)[2013· 北京海淀区模拟] 已知全集 U=R, 集合 A={x|x2≥1},则 CUA=( ) A.(-∞,1) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) - 点 (2)[2012· 镇海模拟] 设全集 U=R,A={x|2x(x 2)<1},B 面 ) 讲 ={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为(
考 点

A.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1}

图 1-1-1 B.{x|1≤x<2} D.{x|x≤1}

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第1讲

集合及其运算
(2)B

[答案] (1)B

[解析] (1)即不等式 x2<1 的解集,即(-1,1). (2)集合 A=(0,2),集合 B=(-∞,1).阴影部分表示 点 的集合为 A∩(?RB)=[1,2),所以选 B.
面 讲 考 点

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第1讲

集合及其运算

思想方法1

以集合为背景的新定义问题

多 元 提 能 力

例 [2011· 浙江卷] 设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a)(x2 +bx+c), g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1). 记集合 S={x|f(x)=0, x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集合 S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( ) A.|S|=1 且|T|=0 B.|S|=1 且|T|=1 C.|S|=2 且|T|=2 D.|S|=2 且|T|=3

[解析]

? ? ? D 当 a=b=c=0 时,? ?S?=1 且 |T|=0;当 ? ?

?S?=1 且|T|=1; a≠0, c≠0 且 b2-4c<0 时, 当 a≠0, c≠0 ? ?

且 b2-4c=0 时, |S|=2 且|T|=2; 当 a≠0, c≠0 且 b2-4c>0
? 时,? ?S?=3 且|T|=3. ? ?

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第1讲

集合及其运算

多 元 提 能 力

[方法解读] 解决这类问题的基本方法是:(1)紧扣新 定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的 本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性 质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解 新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于 从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处 用好集合的性质.

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第1讲

集合及其运算

自我检评 (1)[2012· 浙江重点中学协作体联考 ] 对于 非空集合 A, B, 定义运算: A B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}, 已知 M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中 a,b,c,d 满 足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M N=( ) A.(a,d)∪(b,c) B.(c,a]∪[b,d) C.(a,c]∪[d,b) D.(c,a)∪(d,b)
多 元 提 能 力

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第1讲

集合及其运算

(2)已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x ∈A 时, x-1?A 且 x+1?A, 则称 x 为 A 的一个“孤立元素”, 那么 S 中含有 4 个元素且无“孤立元素”的子集共有 ________个.

多 元 提 能 力

[答案] (1)C (2)6 [解析] (1)由题意,a<c<0<d<b,所以 M⊕N=(a,c] ∪[d,b).其实也可以举出特例:如 a=-5,b=4,c=- 3,d=2. (2)依题意知,S 中没有“孤立元素”的 4 个元素的子 集有{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5}, {2,3,4,5},共有 6 个.故填 6.

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第1讲

集合及其运算

【备选理由】 例1在求A与B的交集时,集合B中有无数个整数点,需 要对参数k的取值进行讨论,这是一类典型题,在正文例 题中没有涉及.例2考查创新集合定义“有序集合对”, 可以看作是对集合的创新定义问题的补充.例3补充考查 性质A∩B=B,A∪B=B的应用.

教 师 备 用 题
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第1讲

集合及其运算

例 1 设全集 U=R,集合 A={x|x2-x-30<0},B=
? ? ? πx 1 ?x?cos = 3 2 ? ? ? ? ? ?,则 ? ?

A∩B 等于(

)

A.{-1,1,5} B.{-1,1,5,7} C.{-5,-1,1,5,7} D.{-5,-1,1,5}
[解析] A πx 1 依题意得 A={x|-5<x<6}. 由 cos 3 =2得

教 师 备 用 题

πx π =2kπ± ,即 x=6k± 1,k∈Z. 3 3 5 令-5<6k+1<6 得-1<k<6,又 k∈Z,则 k=0,故 x 2 7 =1;令-5<6k-1<6 得- <k< ,又 k∈Z,则 k=0 或 k 3 6 =1,故 x=-1 或 x=5.于是,A∩B={-1,1,5}.
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第1讲

集合及其运算

例 2 如图,有四个半径都为 1 的圆,其圆心分别为 O1(0,0) , O2(2,0) , O3(0,2) , O4(2,2) .记集合 M = { ⊙ Oi|i =1,2,3,4},若 A,B 为 M 的非空子集,且 A 中的任何一 个圆与 B 中的任何一个圆均无公共点, 则称(A, B)为一个 “有序集合对”(当 A≠B 时,(A,B)和(B,A)为不同的有 序集合对 ),那么 M 中“有序集合对”(A,B)的个数是 ( )

教 师 备 用 题

A.2

B.4

C.6

D.8

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第1讲

集合及其运算

[解析]B 注意到⊙O1 与⊙O4 无公共点,⊙O2 与⊙O3 无公共点,则满足题意的“有序集合对”(A,B)的个数是 4.

教 师 备 用 题
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第1讲

集合及其运算

例 3 设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x +a2-1=0}. (1)若 A∩B=B,求 a 的取值范围; (2)若 A∪B=B,求 a 的值.

教 师 备 用 题
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第1讲

集合及其运算

教 师 备 用 题

[解析]由已知得 A={x|x2+4x=0}={0,-4}. (1)由 A∩B=B,得 B?A,而 B={x|x2+2(a+1)x+a2 -1=0}. ①若 B=?,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1. ②若 0∈B,则 a2-1=0,解得 a=± 1. 当 a=1 时, B=A, 满足 B?A; 当 a=-1 时, B={0}, 也满足 B?A. ③若-4∈B,则 a2-8a+7=0,解得 a=7 或 a=1. 当 a=7 时,B={-12,-4},此时 B? A. 综上可得,a 的取值范围为(-∞,-1]∪{1}. (2)由 A∪B=B 得 A?B,因为 A={0,-4},且 B 中 至多有两个元素, 所以 A=B,由(1)知 a=1.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第2讲 命题及其关系、充 分条件与必要条件

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考试说明
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.了解命题的概念,会分析原命题及其逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题的相互关系.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

—— 知 识 梳 理 —— 一、命题的概念 判断真假 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以________ 判断为真 的 语 句 叫 真 命 题 , 的 陈 述 句 叫 做 命 题 . 其 中 ________ 判断为假 的语句叫假命题. ________ 二、四种命题及其相互关系 1.四种命题 若 q,则 P ; 否 命 题 : 原 命 题 : 若 p , 则 q ; 逆 命 题 : ________ 若﹁p,则﹁q ;逆否命题:____________________. 若﹁q,则﹁ p _____________ 2.四种命题间的相互关系:

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

三、充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.如果p?q,则p是q的____________ 条件. 充分 2.如果q?p,则p是q的____________ 条件. 必要 3.如果既有p?q又有q?p,记作p?q,则p是q的 充要 条件. 充分且必要 条件,简称________ ____________

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

—— 疑 难 辨 析 ——
1.对于命题的理解 (1)一个命题非真即假.( ) (2)语句“x>20 吗?”是一个命题.(

)

[答案] (1)√

(2)×

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] (1)根据命题的概念, 只要是命题就一定能够 判断真假,即一个命题非真即假. (2)命题的定义是“能判断真假的陈述句”,本语句 是一个疑问句,故不能作为命题.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

2.命题及命题间的关系 (1)命题“已知 p 成立且 q 成立,则 r 成立”,其逆否 命题是“若 r 不成立,则 p 不成立且 q 不成立”.( ) (2)“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立, 则 p 成立”.( )

[答案] (1)×

(2)√

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

双 向 固 [解析] (1)p 成立且 q 成立的否定是“p 不成立或者 q 基 础 不成立”.

(2)根据命题与其逆否命题等价可得.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

3.充分条件与必要条件的判断 (1)已知集合 A,B,则 A∪B=A∩B?A=B.( ) (2)[2011· 天津卷改编] 设 x,y∈R,则 x≥2 且 y≥2? “x2+y2≥4.( ) (3)p 是 q 的充分不必要条件等价于﹁q 是﹁p 的充分不 必要条件.( )

[答案] (1)√

(2)×

(3)√

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] (1)充分性是显然的, 只要结合韦恩图即可判 定必要性. (2)x≥2 且 y≥2?x2+y2≥4; 反之不能推出, 如 x=5, y=1 满足 x2+y2≥4,但不满足 x≥2,y≥2. (3)根据命题与其逆否命题等价可得.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

考点

考频

示例(难度)

点 面 讲 考 向

1.四种命题及其 关系
2.充分条件与必 要条件

0
选择 (3) 2010年浙江T4(B), 2011年浙江T7(B), 2012年浙江T3(A)

3.集合与充要条 件关系

0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题, 考频分析2009~2012年浙江卷情况.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点一

四种命题及其关系的分析

点 面 讲 考 点

π 例 1 (1)[2012· 湖南卷] 命题“若 α= ,则 tanα= 4 1”的逆否命题是( ) π π A.若 α≠4,则 tanα≠1 B.若 α=4,则 tanα≠1 π π C.若 tanα≠1,则 α≠4 D.若 tanα≠1,则 α=4 (2)给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y= f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否 命题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

思考流程 (1)分析:需要否定条件和结论;推理:根 据逆否命题的构成规律,把否定的结论作条件,否定的条 件作结论;结论:结合选项作出答案. (2)分析:画出满足条件的幂函数图象;推理:结合图 象的位置关系判断各个命题的真假;结论:根据命题的真 假得出真命题的个数.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

[答案] (1)C (2)C [解析] (1)因为“若 p,则 q”的逆否命题为“若﹁q, π 则﹁p”,所以“若 α=4,则 tanα=1”的逆否命题是“若 π tanα≠1,则 α≠4”. (2)由幂函数的图象(图略)易知原命题是真命题,所以 逆否命题为真命题;易知逆命题为假命题,故否命题也是 假命题.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

[点评]在根据原命题构造其否命题和逆否命题时,首 先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清 楚.注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”, 其中“都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其 中有些不是.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

归纳总结 ①在判断四种命题的关系时,首先要分清 命题的条件与结论,当确定了命题p为原命题时,根据四 种命题的关系写出其他三种命题. ②当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前 提需保持不变. ③判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命 题是假命题,只需举出反例. ④否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命 题的否定是只否定命题的结论.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

变式题 (1)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函 数”的否命题是( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 (2) 已知命题“函数 f(x) , g(x) 定义在 R 上, h(x) = f(x)· g(x),如果 f(x),g(x)均为奇函数,则 h(x)为偶函数”的 原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)B

(2)C

点 面 讲 考 点

[解析] (1)条件的否定是“f(x)不是奇函数”, 结论的否 定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若 f(x) 不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数”. (2)由 f(x), g(x)均为奇函数, 可得 h(x)=f(x)· g(x)为偶函 x2 2 数, 反之则不成立, 如 h(x)=x 是偶函数, 但函数 f(x)=ex, g(x)=ex 都不是奇函数, 故逆命题不正确, 故其否命题也不 正确,即只有原命题和逆否命题正确.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点二

充分条件与必要条件的判定

点 面 讲 考 点

3 例 2 (1)[2013· 石家庄模拟] “1+ ≥0”是“(x x-1 +2)(x-1)≥0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2012· 长春调研] “a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析:需要求出两个不等式的解集;推 理: 根据充要条件的概念或者集合的观点进行判断; 结论: 根据选项作出答案. (2)分析:理解函数在区间[-1,2]上存在零点的意义; 推理:根据函数零点存在性定理得到不等式,求出参数 a 的范围; 结论: 将不等式解集的范围与条件“a<-2”比较 得到正确判断.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)A (2)A x+2 3 [解析] (1)不等式 1+ ≥0,即不等式 ≥0, x-1 x-1
点 面 讲 考 点

其解集为(-∞, -2]∪(1, +∞), 不等式(x+2)· (x-1)≥0 的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).显然前者能推出后者, 反之不真,故选 A. (2)若函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点,则 3 f(-1)· f(2)≤0, 即(3-a)(2a+3)≤0, 所以 a≥3 或 a≤-2, 3 而“a<-2”是“a>3 或 a<-2”的真子集,所以“a<- 2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的 充分不必要条件.故选 A.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

[点评]充要条件问题必须以一定的数学知识为载体, 高考中的充要条件试题通常涉及代数、函数、几何、导数 等各个方面的知识.解决这类问题,首先要注意充分条件、 必要条件的判断方法,其次要把试题中的知识背景弄清楚, 在后续复习中要注意充要条件与其他知识的联系.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

归纳总结 充要条件的三种判断方法 ①定义法:根据p?q,q?p进行判断. ②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进 行判断. ③等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把 判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断.这个方法特 别适合以否定形式给出问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的 何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何 种条件.
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

变式题 (1)已知-2≤x≤2,f(x)=-x2+2x+1,g(x) =-x+1,则“f(x)>g(x)”是“f(x)>-g(x)”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2013· 杭州萧山区模拟 ] “x>1” 是“x2 + 1>2x”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)D

(2)A

点 面 讲 考 点

[解析] (1)∵-2≤x≤2 时,f(x)>g(x)?-x2+3x>0 得 0<x≤2, f(x)>-g(x)?-x2+x+2>0 得-1<x<2, ∴f(x)>g(x)是 f(x)>-g(x)的既不充分也不必要条件. (2)x>1 时 x2+1>2x 成立;由 x2+1>2x 得 x≠1.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点三

集合与充要条件关系的应用

点 面 讲 考 点

例 3 (1)若 m-1<x<m+1 是 x2-2x-3>0 的充分不 必要条件,则实数 m 的取值范围是________________. (2)若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充 分条件,则实数 m 的取值范围是________________.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析:需要确定不等式解集之间的包 含关系;推理:等价于集合(m-1,m+1)是不等式 x2-2x -3>0 解集的真子集;结论:根据集合之间的关系得出关 于 m 的不等式解之即得. (2)分析: 需要确定不等式解集之间的包含关系; 推理: 等价于不等式 x2-2x-3>0 的解集是集合(-∞,m-1)∪ (m+1,+∞)的真子集;结论:根据集合之间的关系得出 关于 m 的不等式解之即得.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)(-∞,-2]∪[4,+∞)

(2)[0,2]

点 面 讲 考 点

[解析] 由不等式 x2-2x-3>0,得 x>3 或 x<-1. (1)欲使 m-1<x<m+1 是 x2-2x-3>0 的充分不必要 条件,则满足{x|m-1<x<m+ x|x>3 或 x<-1},只要 满足 m+1≤-1 或 m-1≥3,解得 m≤-2 或 m≥4. (2)欲使 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不 充分条件,则满足{x|x>3 或 x<- x|x<m-1 或 x>m+
? ?m-1≥-1, 1},只要满足? ? ?m+1≤3,

两个等号不能同时成立,解

得 0≤m≤2.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

[点评]关键是搞清楚命题中条件与结论的关系,并转 化为找集合间的包含关系,解题时要慎重,谨防把充分条 件与必要条件弄颠倒;解决集合间的包含关系时,利用数 轴的直观性,可优化解题过程,同时要注意端点处的取 舍.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

归纳总结根据充分条件、必要条件求参数范围时,将 其转化为集合之间的包含关系,通过集合之间的包含关系 确定参数范围,但要注意转化的准确性.

点 面 讲 考 点

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

变式题 设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0(a<0),设 q: 实数 x 满足 x2-x-6<0 或 x2+2x-8>0,且﹁p 是﹁q 的必 要不充分条件,则 a 的取值范围是________________.
点 面 讲 考 点

[答案]

? 2 ? ? (-∞,-4]∪ -3,0? ? ?

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 点

[解析] ∵x2-4ax+3a2<0(a<0),∴3a<x<a.∵x2-x- 6<0,∴-2<x<3.∵x2+2x-8>0,∴x<-4 或 x>2,∴命题 q: {x|x<-4, 或 x>-2}. ∵ ﹁p 是﹁q 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件, ∵p q, ∴a≤-4 或 3a≥-2, 2 解得 a≤-4 或 a≥-3, 又∵a<0, ∴a 的取值范围是(-∞,
? 2 ? -4]∪?-3,0?. ? ?

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

易错究源

1

充要条件判断中的致误原因

多 元 提 能 力

例 [2012· 枣庄模拟] “a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在 [-1,2]上存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 错解 B 函数 f(x)=ax+3 在开区间(-1,2)上存在零 点的充要条件是 f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0,即 a>3 或 3 者 a<- .① 2 根据集合判断充要条件的方法可知, “a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在[-1,2]上存在零点”的必要不充分条件.②
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[ 错因 ] ①处对函数在闭区间上存在零点和开区间上存在 零点的差异不清,导致漏解.函数的零点定理是在开区间 上的零点存在的一个充分条件,但如果在闭区间上讨论函 数的零点,一定要注意区间端点的情况. ②处颠倒了充分条件和必要条件的概念.在判断充分 条件、必要条件时一定要理解概念,并利用集合之间的包 含关系辅助判断.
多 元 提 能 力

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

多 元 提 能 力

[正解] A 函数 f(x)=ax+3 在开区间(-1,2)上存在零 点的充要条件是 f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0,即 a>3 或 3 者 a<- ; 在区间端点处如果 f(-1)=0, 则 a=3, 如果 f(2) 2 3 = 0, 则 a=-2.因此函数 f(x)=ax+3 在闭区间[-1,2]上存 3 在零点的充要条件是 a≥3 或者 a≤- .根据集合判断充要 2 条件的方法可知,“a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在[-1,2]上 存在零点”的充分不必要条件.正确答案为 A.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

自我检评

π 1 1 (1) 若 0<x< 2 ,则“ x < sinx ”是“ sinx

多 元 提 能 力

>x”( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“m<1”是“函数 f(x)=x2+x+m 有零点”的( ) A.充分非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件

[答案] (1)A (2)C

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

多 元 提 能 力

π 1 [解析] (1)当 0<x<2时,0<sinx<1,因为“ x<sinx” 1 等 价 于 “xsin2x<1” , “ sinx >x” 等 价 于 “xsinx<1” , 所 以 “xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要不充分条件,故选 A. 1 (2)当且仅当 Δ=1-4m≥0,即 m≤4时,二次函数 f(x) =x2+x+m 有零点,所以“二次函数 f(x)=x2+x+m 有零 1 点”可以得到“m≤4<1”,反之“m<1”得不到“二次函数 f(x)=x2+x+m 有零点”,故选 C.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

【备选理由】 本节的难点是如何写出一个命题的否命题和逆否命题、 充要条件的判断.下面的例1是逆否命题方面的,例2、例 3是充要条件的判断,可以在相应的探究点中使用.

教 师 备 用 题
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

例 1 命题“若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义 域内是减函数,则 loga2<0”的逆否命题是( ) A.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其 定义域内不是减函数 B.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其 定义域内是减函数 D.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数
教 师 备 用 题
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] A 小于 0 的否定是不小于 0,即大于或者等 于 0,故原命题结论的否定是 loga2≥0,这是逆否命题的 条件; “是减函数”的否定为“不是减函数”, 即函数 f(x) =logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数,这是逆否 命题的结论.

教 师 备 用 题
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

例 2 数列{an}前 n 项和为 Sn, 则“a2>0”是“数列{Sn} 为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析]B 数列{Sn}为递增数列, 则有 S2-S1=a2>0 成 立.但 a2>0 时不能推出数列{Sn}为递增数列,例如特殊数 列:3,1,-1,-3,?.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

a+2b 2a+b 例 3 设 x= , y= .条件 p: a≠b; 条件 q: 3 3 ab<xy,则条件 p 是条件 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[ 解 析 ]C

?a+2b??2a+b? 2?a2+b2?+5ab xy = = 9 9

4ab+5ab ≥ =ab,其中等号成立的充要条件是 a=b,因此 9 a≠b 是 ab<xy 的充要条件.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第3讲 简单的逻辑联结词

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考试说明
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词

—— 知 识 梳 理 —— 命题p∧q,p∨q ﹁p的真假关系表
p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p ∧q


p ∨q

﹁p

真 ______


假 ________

假 ______ 假 ______


假 ________
真 ________ 真

真 ______
______ 假

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词

—— 疑 难 辨 析 ——
含逻辑联结词的命题中的问题 (1)若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题 p ∧q 为真命题.( ) (2)命题 p,﹁p 至少有一个真命题.( ) (3)命题 p∧q 的否定是(﹁p)∨(﹁q),命题 p∨q 的否 定是(﹁p)∧(﹁q).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词

[解析] (1)若 p 为真命题,q 为假命题,则命题 p∧q 为假命题. (2)一个命题与其否定一定是一真一假. (3)根据且命题、或命题、命题的否定的含义可得.

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第3讲

简单的逻辑联结词

考点 点 面 讲 考 向

考频

示例(难度)

含有逻辑联结词 选择(1) 命题真假 2010年浙江 T10(C) 2.根据命题的真 0 假求参数

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题, 考频分析2009~2012年浙江卷情况.

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第3讲

简单的逻辑联结词

?

探究点一

含有逻辑联结词命题真假的判断

点 面 讲 考 点

例 1 (1)命题 p:函数 f(x)=x3-3x 在区间(-1,1)内 单调递减,命题 q:函数 f(x)=|sin2x|的最小正周期为 π, 则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.﹁p∨q C.p∧(p∨q) D.﹁p∧(p∨q) (2)已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数, p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数,则在命题 q1:p1 ∨p2,q2:p1∧p2,q3:(﹁p1)∨p2 和 q4:p1∧(﹁p2)中, 真命题是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4

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第3讲

简单的逻辑联结词

点 面 讲 考 点

思考流程 (1)分析:需要判断命题 p,q 的真假;推 理:首先判断命题 p,q 的真假,再根据含有逻辑联结词的 命题真假判断方法逐项进行判断;结论:根据判断结果作 出答案. (2)分析:需要判断每个命题的真假;推理:根据每个 命题的结构和知识点判断真假;结论:得到正确命题的个 数.

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简单的逻辑联结词

点 面 讲 考 点

[答案] (1)C (2)C [解析] (1)由 f′(x)=3x2-3<0,解得-1<x<1,故函 数 f(x)=x3-3x 在区间(-1,1)内单调递减, 即命题 p 为真命 题;函数 y=sin2x 的最小正周期为 π,则函数 f(x)=|sin2x| π 的最小正周期为2,即命题 q 为假命题.由于 p 真,q 假, 故 p∧q 为假命题; 由于﹁p 假, q 假, 故﹁p∨q 为假命题; 由于 p 真,p∨q 真,故 p∧(p∨q)为真命题;由于﹁p 假, 故﹁p∧(p∨q)为假命题. (2)可判断 p1 为真,p2 为假;则 q1 为真,q2 为假,q3 为假,q4 为真.

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第3讲

简单的逻辑联结词

点 面 讲 考 点

[点评] (1)本题中由两个命题通过逻辑联结词得出新 的命题,其真假是由已知的两个命题的真假决定的,在判 断出已知两个命题真假后,就要突出分析逻辑联结词对新 命题的影响.(2)对于多个命题真假的判断,一般需要从命 题给出的结构出发,结合涉及的知识进行正确的推理.

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第3讲

简单的逻辑联结词

归纳总结

含有逻辑联结词的命题真假的一些等价关

点 面 讲 考 点

系: ①p∨q真?p,q至少一个真?(﹁ p)∧(﹁ q)假; ②p∨q假?p,q均假?(﹁ p)∧(﹁ q)真; ③p∧q真?p,q均真?(﹁ p)∨(﹁ q)假; ④p∧q假?p,q至少一个假?(﹁ p)∨(﹁ q)真; ⑤﹁ p真?p ﹁ p假?p真.

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第3讲

简单的逻辑联结词

点 面 讲 考 点

变式题 (1)若命题“p 且 q”为假,且“﹁p”为假, 则( ) A.p 或 q 为假 B.q 假 C.q 真 D.p 假 (2)如果命题“非 p 或非 q”是假命题,给出下列四个 结论: ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且 q”是假命 题; ③命题“p 或 q”是真命题;④命题“p 或 q”是假命 题. 其中正确的结论是( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

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简单的逻辑联结词

[答案] (1)B

(2)A

点 面 讲 考 点

[解析] (1)“﹁p”为假,则 p 为真,而 p∧q 为假,得 q 为假. (2)“非 p 或非 q”是假命题, 可得“非 p”与“非 q” 均为假命题,即 p,q 均为真命题,故结论①、③正确.

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简单的逻辑联结词

?

探究点二

根据命题的真假求参数的取值范围

点 面 讲 考 点

例 2 [2012· 浙大附中月考] 已知命题 p:方程 x2+ mx+1=0 有两个不等的负实数根;命题 q:方程 4x2+ 4(m-2)x+1=0 无实数根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.

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第3讲

简单的逻辑联结词

[解析] 若 p
点 面 讲 考 点

2 ? ?Δ1=m -4>0, 为真命题,则? ? ?-m<0,

则 m>2.

若 q 为真命题,则 Δ2=16(m-2)2-16=16(m2-4m +3)<0, 则 1<m<3. 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,∴p 与 q 一真 一假. ①当 p 真 q ②当 p 假 q
? ?m>2, 假时,? ? ?m≤1或m≥3, ? ?m≤2, 真时,? ? ?1<m<3,

解得 m≥3;

解得 1<m≤2.

∴m 的取值范围为 m≥3 或 1<m≤2.
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简单的逻辑联结词

点 面 讲 考 点

归纳总结 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 (一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件,再 求出含逻辑联结词的命题成立的条件.

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简单的逻辑联结词

变式题 已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单 调递增;命题 q:不等式 ax2-ax+1>0 对任意的 x∈R 恒 成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围.
点 面 讲 考 点

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简单的逻辑联结词

点 面 讲 考 点

[解析] ∵函数 y=ax 在 R 上单调递增,∴p:a>1. 不等式 ax2-ax+1>0 对任意的 x∈R 恒成立, ∴a>0 且 a2-4a<0,解得 0<a<4,∴q:0<a<4. ∵“p∧q”为假,“p∨q”为真, ∴p,q 中必有一真一假. ①当 p 真 q ②当 p 假 q
? ?a>1, 假时,? ? ?a≥4,

得 a≥4; 得 0<a≤1.

? ?0<a≤1, 真时,? ? ?0<a<4,

故 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).

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第3讲

简单的逻辑联结词

答题模板


1

借助常用逻辑用语求解参数范围问题

已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单 ?1 ? 2 调递减; q: 函数 f(x)=x -2cx+1 在?2,+∞?上为增函数, ? ? 若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数 c 的取值范围.
多 元 提 能 力

[ 分析 ] 解决此类问题的关键是首先准确地把每个条 件所对应的参数的取值范围求出来,然后转化为集合交、 并、补的基本运算.

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简单的逻辑联结词

多 元 提 能 力

[解析] ∵函数 y=cx 在 R 上单调递减, ∴0<c<1.即 p:0<c<1.2 分 ∵c>0 且 c≠1,∴ ﹁p:c>1.4 分 ?1 ? 2 又∵f(x)=x -2cx+1 在?2,+∞?上为增函数, ? ? 1 1 ∴c≤2,即 q:0<c≤2. 1 ∵c>0 且 c≠1,∴ ﹁q:c>2且 c≠1. 又∵“p∨q”为真, “p∧q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真. ① 当 p 真,q 当 p 假,q
? ? ? 1 假时,{c|0<c<1}∩?c?c>2且c≠1 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?=?c? <c<1 ? ? ? ? ?2 ? ? ?;② ? ?

? 1?? ? ? ? ? ? ? 真时,{c|c>1}∩ c 0<c≤2 ?=?.综上所述,实数 ? ? ? ? ??
? ? ? ?

c的

? ? 取值范围是?c ?

? 1 ? <c<1?. 2 ?

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第3讲

简单的逻辑联结词

多 元 提 能 力

自我检评 (1)[2012· 广东六校联考] 已知命题“存在 x∈ R,x2+2ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(—1,1) 1 (2)[2013· 哈尔滨模拟] 不等式 <1 的解集记为 p,关于 x-1 x 的不等式 x2+(a-1)x-a>0 的解集记为 q.若﹁q 是﹁p 的充 分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,-1] B.[-2,-1] C.? D.[-2,+∞)

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简单的逻辑联结词

多 元 提 能 力

[答案] (1)C (2)A [解析] (1)即 Δ=4a2-4>0,解得 a>1 或者 a<-1. (2)问题等价于 p 是 q 的充分不必要条件, 等价于不等 1 式 <1 的解集是不等式 x2+(a-1)x-a>0 的解集的真子 x-1 1 集.解 <1 得 x>2 或 x<1;不等式 x2+(a-1)x-a>0 可 x-1 以化为(x-1)(x+a)>0,当-a≤1 时,不等式的解集是 x>1 或 x<-a,此时只能是 a=-1;当-a>1 时,不等式(x- 1)(x+a)>0 的解集是 x<1 或者 x>-a,只能是-a<2,即- 2<a<-1.综合知-2<a≤-1.

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第3讲

简单的逻辑联结词

【备选理由】 由于逻辑知识需借助于数学的其他知识才能发挥其功 能,因此与逻辑有关的数学试题中涉及的知识面极为广泛, 下面的三个题目就是从方程、函数、不等式等方面与逻辑 相互综合的试题,它们既可以在相应探究点中使用,也可 以作为本讲总结使用.

教 师 备 用 题
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第3讲

简单的逻辑联结词

例 1 已知命题 P:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实 根;命题 Q:关于 x 的函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上 是增函数.若 P 或 Q 是真命题,P 且 Q 是假命题,则实 数 a 的取值范围是( ) A.(-12,-4]∪[4,+∞)B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞)
[解析] C 问题等价于命题 P 和 Q 一真一假,分类求解 a 的 取值范围后求其并集即可. 命题 P 等价于 Δ=a2-16≥0, 解得 a≤ a -4 或 a≥4;命题 Q 等价于-4≤3,a≥-12. P 或 Q 是真命题, P 且 Q 是假命题, 则命题 P 和 Q 一真一假. 当 P 真 Q 假时 a<-12;当 Q 真 P 假时-4<a<4.故所求 a 的取值范围 是(-∞,-12)∪(-4,4).
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教 师 备 用 题

第3讲

简单的逻辑联结词
2 3 x -4 2 已知 g(x)=mx+2,f(x)=x - 2 ,若对任 x

例 2

意的 x1∈[-1,2],总存在 x2∈[1, 3],使得 g(x1)>f(x2), 则 m 的取值范围是( A.{0} 1 2 C.- , 3 3 ) 1 B.- ,1 2 1 D. ,1 2

教 师 备 用 题
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简单的逻辑联结词

教 师 备 用 题

由题知函数 g(x)在区间[-1,2]上的最小值 4 2 大于函数 f(x)在区间[1, 3]上的最小值. 函数 f(x)=x +x2- 4 3≥2 x2· 当且仅当 x= 2时等号成立. 若 m≥0, x2-3=1, 则函数 g(x)在区间[-1,2]上的最小值为-m+2,由-m+ 2>1,解得 m<1,此时 0≤m<1;若 m<0,则函数 g(x)在区 1 间[-1,2]上的最小值为 2m+2,由 2m+2>1,解得 m>-2, 1 1 此时-2<m<0.故 m 的取值范围是-2,1.

[解析]B

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简单的逻辑联结词

例 3 设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正 根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根.求使 p ∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围.

教 师 备 用 题
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简单的逻辑联结词
2 ? ?Δ1=4m -4>0, [解析]由? ? ?x1+x2=-2m>0,

得 m<-1,

∴p:m<-1. 由 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0, 得-2<m<3,∴q:-2<m<3. 由 p∨q 为真,p∧q 为假可知,命题 p,q 一真一假, 当p真q 当p假q
教 师 备 用 题
? ?m<-1, 假时,? ? ?m≥3或m≤-2, ? ?m≥-1, 真时,? ? ?-2<m<3,

此时 m≤-2;

此时-1≤m<3.

∴m 的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m<3}.

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