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辽宁省本溪市第一中学2010-2011学年高一下学期期末考试试题(数学理)


辽宁省本溪市第一中学 2010-2011 学年高一下学期期末考试试题 (数学理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、在 ? ABC 中, sin A sin B < cos A cos B ,则 ? ABC 一定是( ) A、正三角形 B、等腰三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形 2、在 ? ABC 中, AB = 5, BC = 2, ∠B = 60o ,则 AB ? BC 的值为( A、 5 3 B、 5 C、 ?5 3 D、 ?5 )
?? ?? → →



3、 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也为 2, 则这个圆心角所对的弧长是 ( 2 B、 2sin1 C、 2 D、 sin 2 A、 sin1 8 15 24 4、数列 ?1, , ? , ,L 的一个通项公式是( ) 5 7 9 n2 A、 (?1) 2n + 1
n

n(n + 2) B、 (?1) n +1
n

(n + 2) 2 ? 1 C、 (?1) 2(n + 1)
n

D、 (?1) n

n(n + 2) 2n + 1

5、若 sin(α ? β ) sin β ? cos(α ? β ) cos β = ( A、 7 ) B、
1 7

4 π ,且 α 为第二象限角,则 tan( + α ) = 5 4 1 7

C、 ?7

D、 ?

π 4 π 6、已知 sin(α + ) = , 则 cos(α ? ) = ( ) 3 5 6 4 3 4 3 A、 ? B、 ? C、 D、 5 5 5 5

7、 使函数 f ( x) = sin(2 x + θ ) + 3 cos(2 x + θ ) 是奇函数, 且在 [0, ] 上是减函数的 θ 一 4 个值是( ) π 2π 4π 5π A、 B、 C、 D、 3 3 3 3 8、已知 D 是 ? ABC 所在平面内一点, AD =
? ?→ ?→ 2? BC 5 ? ?→ ?→ 3? BC 5 ? ?→ ?→ 2 ? ?→ 3? AB + AC , 则( 5 5 ?→ 3? BC 2 ? ?→

π


?→ 2? BC 3

A、 BD =

B、 BD =

C、 BD =

? ?→

D、 BD =

9、在等差数列 {a n } 中, 3(a3 + a 5 ) + 2(a 7 + a10 + a13 ) = 48 ,则等差数列 {a n } 的前 13 项的和为( A、24 ) B、39 C、52 D、104

-1-

10、在 ? ABC 中, sin A =
A、 63 33 或 65 65


4 12 , cos B = , 则 sin c 的值为( 5 13 33 63 33 13 B、 C、 D、 或 65 65 65 65




11、已知向量 a = ( 3 ,1) ,向量 b = (sin α ? m, cos α ), α ∈ R, 且 a ∥ b ,则 m 的最小 值为为( A、 2 ) B、 3 C、 ? 2 D、 ? 3 )





12、在 ? ABC 中, a = 1, b = x, ∠A = 30 o , 则使 ? ABC 有两解的 x 的范围是( A、 (1,

2 3 ) 3

B、 (1,+∞)

C、 (

2 3 , 2) 3
? ?→

D、 (1,2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13、已知点 D 为 ? ABC 的 BC 边的中点,若 CD = p AB + q AC , 则p + q = 14、 ? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 3b 2 + 3c 2 ? 3a 2 = 4 2bc, 则 sin A =
15、已知函数 y = A sin(ωx + ? ) + K , ( A > 0, ω > 0, | ? |< 点 (0,3 ? 2 ), 两条相邻对称轴之间的距离为
? ?→ ? ?→

π
2

) 的值域为 [1,5] ,其图象过

π
3

, 则此函数解析式为

π 5 3 4 3 , sin α = 16、已知 α , β ∈ (0, ), sin(α + β ) = , 则 sin β = 2 14 7
三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,其它均为 12 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17 、 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 ,
AD ⊥ CD, AD = 10, AB = 14, ∠BDA = 60 o

D C



A

B

∠BCD = 135 o , 求BC的长

18、已知 | a |= 4, | b |= 3, (2 a - 3 b ) ? (2 a + b ) = 61 (1)求 a 与 b 的夹角 θ (2)求 | a + b | 和 | a - b |
→ → → → → →













-2-

19、已知函数 f ( x) = 3 sin 2 x ? 2 sin 2 x + 2, x ∈ R (1)求函数 f (x) 的最大值及对应的 x 的取值集合 (2)在给定的坐标系中,画出函数 y = f ( x)在[0, π ] 上的图象

y 3 2 1
π
12

O -1

π
6

π
4

π 5π
3 12

π 7π 2π 3π 5π 11π
2 12 3 4 6 12

π

x

20、已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a3 = 5, S 3 = 21, 数列bn =| a n | ,求数列 {bn }
的前 n 项和 Tn

21、已知函数 f ( x) = 3 sin ωx cos ωx ? 3 cos 2 ωx + 2 sin 2 (ωx ? 小正周期为 π (1)求 f (x) 的递增区间

π
12

)+

3 , (ω > 0) 的最 2

(2)在 ? ABC 中,角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c,已知 a = 1, b = 2 , f ( A) = 1, 求 ∠C 的大小

22、已知函数 f ( x) = 4m sin x ? cos 2 x( x ∈ R )
-3-

(1) 若m = 0, 求f ( x)的单调递增区间 (2)若 f ( x) ≥ ?3恒成立,求m的范围

试卷答案 ③ 选择题: DDAD BCBA CCCD 二、填空题: 13、0 14、
1 3

15、 y = 2 sin(3 x ?

π
4

)+3

16、

3 2

三、解答题:17、解:在△ABC 中,由余弦定理得:
BD 2 + 10 2 ? 2 BD ? 10 ? cos 60 o = 14 2

解得 BD=16 或 BD=-6(舍) ————————5 分 在△BCD 中,由正弦定理得: BC 16 = o sin 30 sin 135 o 解得 BC= 8 2
→ →

——————————————10 分
→ →
→→

18、解: (1)Q (2 a ? 3 b ) ? (2 a + b ) = 61且 | a |= 4, | b |= 3 ∴ 4 a + 2 a b ? 6 a b ? 3 b = 61 即∴ 4 × 16 ? 4 × 4 × 3 cos θ ? 3 × 9 = 61 1 解得 cos θ = ? ———————————6 分 2 2π Q θ ∈ [0, π ],∴ θ = —————————8 分 3 (2) | a + b |= a + b + 2 a b = 13 ——————10 分
→ → →2 →2 →→ → → →2 →2 →→





→2

→→

→2

| a ? b |= a + b ? 2 a b = 37 ——————12 分

19、解: (1) f ( x ) = 3 sin 2 x ? 1 + cos 2 x + 2 = 2 sin( 2 x + π ) + 1 —————
6

—3 分

-4-

∴ f ( x ) max = 3, 此时{ x | x = kπ +

π
6

, k ∈ Z } ——————————6 分

(2)

y 3 2 1
π
12

O -1

π
6

π
4

π 5π
3 12

π 7π 2π 3π 5π 11π
2 12 3 4 6 12

π

x

—————12 分

22、解:

-5-

当 m = 0时,f ( x ) = ? cos 2 x ∴ 2kπ ≤ 2 x ≤ 2 kπ + π , ( k ∈ Z )

(1)

∴ kπ ≤ x ≤ kπ +

π
2

, (k ∈ Z )

————————2 分
π
2 ]k ∈ Z

∴函数的递增区间为[ kπ , kπ +

(2) f ( x ) = 2(sin x + m) 2 ? (2m 2 + 1) ————————————4 分
令 t = sin x, t ∈ [ ?1,1]则 f ( x ) = g (t ) = 2(t + m ) 2 ? (2 m 2 + 1)

? g ( ?1) ≥ ?3 ? m = 1 ————————————————6 分 当 ? m ≤ ?1时, ? ?m ≥ 1 ? g ( ? m ) ≥ ?3 ? ?1 < m < 1 ————————————8 分 当-1< ? m < 1时, ? ? ?1 < m < 1 ? g (1) ≥ ?3 当 ? m ≥ 1时, ? m = ?1 ————————————————10 分 ? ? m ≤ ?1

综上: -1 ≤ m ≤ 1 ————————————————————12 分
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