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福建省泉州五中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)


福建省泉州五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={1,3,zi},i 为虚数单位,B={4},A∪B=A,则复数 z=() A.﹣2i B.2i C.﹣4i D.4i 2. (5 分)有编号为 1,2,…,700 的产品,现需从中抽取所有编号能被 7 整除的产品作为样 品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图,其中正确的是()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为()

A.5

B. 3

C. 7

D.﹣8

4. (5 分)某班 50 名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其结果的频率分布直方 图如图所示.若 A 高校某专业对视力的要求在 1.1 以上,则该班学生中能报 A 高校该专业的 人数为()

A.10

B.20
x

C. 8

D.16

5. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是() A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3)

6. (5 分)已知圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为() 2 2 2 2 2 A.(x+1) +(y﹣1) =2 B.(x﹣1) +(y+1) =2 C. (x﹣1) +(y 2 2 2 ﹣1) =2 D. (x+1) +(y+1) =2 7. (5 分)已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 () A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. (5 分)若 a>0,b>0,且 a+2b﹣2=0,则 ab 的最大值为() A. B. 1
2

C. 2

D.4

9. (5 分)设函数 f(x)=x ﹣2x+m,m∈R.若在区间上随机取一个数 x,f(x)<0 的概率 为 ,则 m 的值为() A.2 B . ﹣2 C. 3 D.﹣3 ,

10. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 a=2bcosA,B= c=1,则△ ABC 的面积等于() A. B. C. D.

11. (5 分)过双曲线
2

的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =a

2

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P.若 心率为() A. B. C. D.

,则双曲线的离

12. (5 分)对于函数 f(x) ,若存在区间 A=,使得{y|y=f(x) ,x∈A}=A,则称函数 f(x)为 “可等域函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个“可等域区间”.给出下列 4 个函数: ①f(x)=sin(
2

x) ;

②f(x)=2x ﹣1; x ③f(x)=|1﹣2 |; ④f(x)=log2(2x﹣2) . 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为() A.①②③ B.②③ C.①③

D.②③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 2 2 13. (4 分)已知 tanθ=2,则 sin θ﹣sinθcosθ+cos θ=.

14. (4 分)设向量


x

,则向量 在向量 方向上的投影为.

15. (4 分) 已知函数 f (x) 满足: x≥4, 则f (x) =2 ; 当 x<4 时 f (x) =f (x+1) , 则f (2+log =.

3)

16. (4 分)点集{(x,y)|||x|﹣1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线,这条封闭折线所围成的区 域的面积是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)从一批草莓中,随机抽取 n 个,其重量(单位:克)的频率分布表如下: 分组(重量) 19. (12 分) 设{an}是等差数列, {bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=b1=1, a3+b3=9, a5+b5=25. (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

20. (12 分)如图,梯形 ABCD 中,CE⊥AD 于 E,BF⊥AD 于 F,且 AF=BF=BC=1,DE= , 现将△ ABF,△ CDE 分别沿 BF 与 CE 翻折,使点 A 与点 D 重合. (Ⅰ)设面 ABF 与面 CDE 相交于直线 l,求证:l∥CE; (Ⅱ) 试类比求解三角形的内切圆 (与三角形各边都相切) 半径的方法, 求出四棱锥 A﹣BCEF 的内切球(与四棱锥各个面都相切)的半径.

21. (12 分)设 P 是圆 x +y =a (a>0)上的动点,点 D 是点 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上 一点,且 (a>b>0) .

2

2

2

(Ⅰ)求证:点 M 的轨迹 Γ 是椭圆; (Ⅱ)设(Ⅰ)中椭圆 Γ 的左焦点为 F,过 F 点的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,C 为线段 AB 的中点,当三角形 CFO(O 为坐标原点)的面积最大时,求直线 l 的方程. 22. (14 分)已知函数 ,

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间,并判断是否有极值; (Ⅱ)若对任意的 x>1,恒有 ln(x﹣1)+k+1≤kx 成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: (n∈N+,n≥2) .

福建省泉州五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月 份)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={1,3,zi},i 为虚数单位,B={4},A∪B=A,则复数 z=() A.﹣2i B.2i C.﹣4i D.4i 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据 A∪B=A,得到 zi=4,即可求出 z 的值. 解答: 解:∵集合 A={1,3,zi},B={4},A∪B=A ∴zi=4, 解得:z=﹣4i. 故选 C 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)有编号为 1,2,…,700 的产 品,现需从中抽取所有编号能被 7 整除的产品作为样 品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图,其中正确的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图;设计程序框图解决实际问题. 专题: 阅读型;图表型. 分析: 由已知中编号为 1,2,…,700 的产品,现需从中抽取所有编号能被 7 整除的产品作 为样品进行检验,我们分析出程序的功能,进而分析出四个答案中程序流程图的执行结果,比 照后,即可得到答案. 解答: 解:由于程序的功能是从编号为 1,2,…,700 的产品中,抽取所有编号能被 7 整除 的产品作为样品进行检验. 即抽取的结果为 7,14,21,…,700, A 答案输出的结果为 0,7,14,…,700,从 0 开始,故 A 不满足条件; B 答案输出的结果为 7,14,21,…,700,故 B 满足条件; C 答案输出的结果为 0,7,14,…,693,从 0 开始,到 693 结束,故 C 不满足条件; D 答案输出的结果为 7,14,21,…,693,到 693 结束,故 D 不满足条件; 故选 B 点评: 本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题,其中分析出程序的功能及各流程 图的输出结果,是解答本题的关键.

3. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为()

A.5

B. 3

C. 7

D.﹣8

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 首先作出可行域,再作出直线 l0:y=﹣3x,将 l0 平移与可行域有公共点,直线 y=﹣ 3x+z 在 y 轴上的截距最大时,z 有最大值,求出此时直线 y=﹣3x+z 经过的可行域内的点 A 的 坐标,代入 z=3x+y 中即可. 解答: 解:如图,作出可行域,作出直线 l0:y=﹣3x,将 l0 平移至过点 A(3,﹣2)处时, 函数 z=3x+y 有最大值 7. 故选 C.

点评: 本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.解答的步骤是有两种方法:一种是: 画出可行域画法,标明函数几何意义,得出最优解.另一种方法是:由约束条件画出可行域, 求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证,求出最优解. 4. (5 分)某班 50 名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其结果的频率分布直方 图如图所示.若 A 高校某专业对视力的要求在 1.1 以上,则该班学生中能报 A 高校该专业的 人数为()

A.10

B.20

C. 8

D.16

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 通过频率分布直方图读取视力在 1.1 以上所占的比例,即可求出所需人数 解答: 解:由频率分布直方图可知,人数在 1.1 以上的比例为: (0.75+0.25)×0.2=0.2. 故视力在 1.1 以上的人数为 50×0.2=10 故选:A 点评: 本题主要考查频率分布直方图的读图能力,属于基础题型. 5. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是() A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2 ) D.(2,3)
x

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f(0)=1﹣2=﹣1<0,f( )= 判定定理可得函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间.
x

﹣ >0,再根据函数零点的

解答: 解:由于函数 f(x)=e +x﹣2,且 f(0)=1﹣2=﹣1<0,f( )= 可得函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是(0, ) ,
x

x

﹣ >0,

故选 A. 点评: 本题主要考查函数零点的判定定理的应用,求函数的值,属于基础题. 6. (5 分)已知圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为() 2 2 2 2 2 A.(x+1) +(y﹣1) =2 B.(x﹣1) +(y+1) =2 C. (x﹣1) +(y 2 2 2 ﹣1) =2 D. (x+1) +(y+1) =2 考点: 圆的标准方程. 分析: 圆心在直线 x+y=0 上, 排除 C、 D, 再验证圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切, 就是圆心到直线等距离,即可. 解答: 解:圆心在 x+y=0 上,圆心的纵横坐标值相反,显然能排除 C、D; 验证:A 中圆心(﹣1,1)到两直线 x﹣y=0 的距离是 圆心(﹣1,1)到直线 x﹣y﹣4=0 的距离是 ; .故 A 错误.

故选 B. 点评: 一般情况下:求圆 C 的方程,就是求圆心、求半径.本题是选择题,所以方法灵活 多变,值得探究. 7. (5 分)已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 () A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 判充要条件就是看谁能推出谁.由 m⊥β,m 为平面 α 内的一条直线,可得 α⊥β; 反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所以不一定能得到 m⊥β. 解答: 解:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线,且 m⊥β,则 α⊥β,反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所以不一定能得到 m⊥β, 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题,属基本题. 8. (5 分)若 a>0,b>0,且 a+2b﹣2=0,则 ab 的最大值为() A. B. 1 C. 2 D.4

考点: 基本不等式.

专题: 计算题. 分析: 由于 a>0,b>0,a+2b=2,故可利用基本不等式求 ab 的最大值. 解答: 解: :∵a>0,b>0,a+2b=2 ∴ ∴ab 当且仅当 a=2b=1 即 a= ,b=1 时取等号

∴ab 的最大值为 故选 A 点评: 本题以等式为载体,考查基本不等式,关键是注意基本不等式的使用条件:一正, 二定,三相等. 9. (5 分)设函数 f(x)=x ﹣2x+m,m∈R.若在区间上随机取一个数 x,f(x)<0 的概率 为 ,则 m 的值为() A.2 B . ﹣2 C. 3 D.﹣3
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题符合几何概型,只要分别求出已知区间长度以及满足不等式的区间长度,再由 根与系数的关系得到关于 m 的方程解之. 解答: 解:在区间上随机取一个数 x 对应的区间长度为 6,而使 f(x)<0 的概率为 ,即 x ﹣2x+m<0 的概率为 , 得到使 x ﹣2x+m<0 成立的 x 的区间长度为 4,即|x1﹣ x2|=4, 所以(
2 2 2

﹣4x1x2=16,

所以 1﹣m=3,解得 m=﹣3; 故选:D. 点评: 本题考查了几何概型的运用以及一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的根 的关系;属于中档题. 10. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 a=2bcosA,B= c=1,则△ ABC 的面积等于() A. B. C. D.



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知及正弦定理化简已知等式可得 tanA= A=B=C= ,由三角形面积公式即可得解.

,结合 A 为三角形内角,可得

解答: 解:∵a=2bcosA, ∴由正弦定理可得:sinA=2sinBcosA, ∵B= ,可得 sinA= cosA, ,C=π﹣A﹣B= ,

∴解得 tanA=

,A 为三角形内角,可得 A= = .

∴S△ ABC= acsinB=

故选:C. 点评: 本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式的应用,属于基本知识的考查.

11. (5 分)过双曲线
2

的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =a

2

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P.若 心率为() A. B. C. D.

,则双曲线的离

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 综合题. 分析: 先设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ,因为抛物线为 y =4cx,所以 F'为 抛物线的焦点, O 为 FF'的中点, 又可得 E 为 FP 的中点, 所以 OE 为△ PFF'的中位线, 得到|PF|=2b, 再设 P(x,y) 过点 F 作 x 轴的垂线,由勾股定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可求得离 心率. 解答: 解:设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ∵抛物线为 y =4cx, ∴F'为抛物线的焦点,O 为 FF'的中点, ∵ ∴E 为 FP 的中点 ∴OE 为△ PFF'的中位线, ∵O 为 FF'的中点 ∴OE∥PF' ∵|OE|=a ∴|PF'|=2a ∵PF 切圆 O 于 E ∴OE⊥PF ∴PF'⊥PF, ∵|FF'|=2c ∴|PF|=2b 设 P(x,y) ,则 x+c=2a,∴x=2a﹣c 过点 F 作 x 轴的垂线,则点 P 到该垂线的距离为 2a
2 2

由勾股定理 y +4a =4b ∴4c(2a﹣c)+4a =4(c ﹣a ) 2 ∴e ﹣e﹣1=0 ∵e>1 ∴e= .

2

2

2

2

2

2

故选 B. 点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用等基础知识,考查 运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题. 12. (5 分)对于函数 f(x) ,若存在区间 A=,使得{y|y=f(x) ,x∈A}=A ,则称函数 f(x)为 “可等域函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个“可等域区间”.给出下列 4 个函数: ①f(x)=sin(
2

x) ;

②f(x)=2x ﹣1; x ③f(x)=|1﹣2 |; ④f(x)=log2(2x﹣2) . 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为() A.①②③ B.②③ C.①③ 考点: 正弦函数的定义域和值域. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论. 解答: 解:①函数 f(x)=sin(

D.②③④

x)的周期是 4,正弦函数的性质我们易得,A=为函数的

一个“可等域区间”,同时当 A=时也是函数的一 个“可等域区间”,∴不满足唯一性. ②当 A=时,f(x)∈,满足条件,且由二次函数的图象可知,满足条件的集合只有 A=一个. x ③A=为函数 f(x)=|2 ﹣1|的“可等域区间”, x 当 x∈时,f(x)=2 ﹣1,函数单调递增,f(0)=1﹣1=0,f(1)=2﹣1=1 满足条件, ∴m,n 取值唯一.故满足条件. ④∵f(x)=log2(2x﹣2)单调递增,且函数的定义域为(1,+∞) , 若存在“可等域区间”,则满足
x

,即
x


x

∴m ,n 是方程 2 ﹣2x+2=0 的两个根,设 f(x)=2 ﹣2x+2,f′(x)=2 ln2﹣2,当 x>1 时, f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增, ∴f(x)=2 ﹣2x+2=0 不可能存在两个解, 故 f(x)=log2(2x﹣2)不存在“可等域区间”. 故选:B. 点评: 本题主要考查与函数有关的新定义问题,根据“可等域区间”的定义,建立条件关系是 解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13. (4 分)已知 tanθ=2,则 sin θ﹣sinθcosθ+cos θ= .
2 2 x

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值. 解答: 解:∵tanθ=2,则 sin θ﹣sinθcosθ+cos θ=
2 2

=

=

= ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题.

14. (4 分)设向量



,则向量 在向量 方向上的投影为﹣1.

考点: 向量的投影. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据投影的定义,应用公式向量 在向量 方向上的投影为| |cos< , >= 解. 解答: 解:向量 , ,根据投影的定义可得: 求

向量 在向量 方向上的投影为| |cos< , >=

=

=﹣1.

故答案为:﹣1. 点评: 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用.解答关 键在于要求熟练应用公式. 15. (4 分)已知函数 f (x) 满足: x≥4, 则f (x) =2 ; 当 x<4 时 f (x) =f (x+1) , 则f (2+log = .
x

3)

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中函数 ( f x) 满足: x≥4, 则( f x) =2 ; 当 x<4 时 ( f x) =f (x+1) , 结合 2+log (0,1) ,可得 f(2+log 3)=f,结合对数的运算性质代入可得答案.
x x

3∈

解答: 解:∵函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)=2 ;

当 x<4 时 f(x)=f(x+1) , 又∵2+log 3∈(0,1) ,

∴f(2+log

3)=f=f(2+log

3)=f(

)=

=



故答案为: 点评: 本题考查的知识点是分段函数,对数的运算性质,函数求值,难度不大,属于基础 题. 16. (4 分)点集{(x,y)|||x|﹣1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线,这条封闭折线所围成的区 域的面积是 14. 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据方程特点,判断函数的对称性根据对称性求出方程在第一象限的面积即可得到 结论. 解答: 解:由于方程|||x|﹣1|+|y|=2 中,把 x 换成﹣x,方程不变,故方程表示的曲线关于 y 轴对称; 把 y 换成﹣y,方程也不变,故方程表示的曲线关于 x 轴及原点都对称, 即点集{(x,y)|||x|﹣1|+|y|=2}的图形关于 x 轴、y 轴、及原点对称. 先考虑曲线位于第一象限及坐标轴上的情况. 令 x≥0,y≥0,方程化为 y=2﹣|x|,表示线段 AB 和 BC,如图所示: 曲线在第一象限内围成的图形的面积等于直角梯形 OABD 的面积, 加上直角三角形 BDC 的面 积. 而直角梯形 OABD 的面积为 = ,直角三角形 BDC 的面积等于 =2,

故曲线在第一象限内围成的图形的面积等于 +2= , 故整条封闭折线所围成的区域的面积是 4× =14, 故答案为:14

点评: 本题主要考查带有绝对值的函数的图象特征,函数的对称性的应用,体现了分类讨 论与数形结合的数学思想,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)从一批草莓中,随机抽取 n 个,其重量(单位:克)的频率分布表如下: 分组(重量) 20. (12 分)如图,梯形 ABCD 中,CE⊥AD 于 E,BF⊥AD 于 F,且 AF=BF=BC=1,DE= , 现将△ ABF,△ CDE 分别沿 BF 与 CE 翻折,使点 A 与点 D 重合. (Ⅰ)设面 ABF 与面 CDE 相交于直线 l,求证:l∥CE; (Ⅱ) 试类比求解三角形的内切圆 (与三角形各边都相切) 半径的方法, 求出四棱锥 A﹣BCEF 的内切球(与四棱锥各个面都相切)的半径.

考点: 球的体积和表面积;平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知可得 CE∥BF,由线面平行的判定定理得到 CE 与平面 ABF 平行,再由 线面平行的性质定理得到 l∥CE; (Ⅱ)根据线面垂直的判定定理,可得 AF⊥平面 BCEF,故四棱锥 A﹣BCEF 是以平面 BCEF 为底面,以 AF 为高的棱锥,求出棱锥的体积,类比求解三角形的内切圆(与三角形各边都相 切)半径的方法,可得答案. 解答: 证明: (Ⅰ)∵CECE∥BF,CE?面 ABF,BF?面 ABF ∴CE∥面 ABF 又∵CE?面 ACE,面 ABF∩面 ACE=l. ∴l∥CE…(6 分) (Ⅱ)∵AF=BF=BC=1,DE= , 2 2 2 2 ∴AE =DE =AF +FE , 即 AF⊥ EF, 又∵BF⊥AD 于 F,即 AF⊥BF,EF,BF?平面 BCEF,EF∩BF=F, ∴AF⊥平面 BCEF, 故四棱锥 A﹣BCEF 是以平面 BCEF 为底面,以 AF 为高的棱锥, 故四棱锥 A﹣BCEF 的体积 V= ×1×1×1= , 四棱锥 A﹣BCEF 的表面积 S= (1+1+1+ )×1+ ×1×1+ ×1× =2+ ,

类比求解三角形的内切圆(与三角形各边都相切)半径的方法,

设四棱锥 A﹣BCEF 的内切球半径为 R, 则 V= SR, 故 R= =

点评: 本题考查了线面平行、类比推理及棱锥的体积表面积公式,是立体几何的简单综合 应用,难度中档. 21. (12 分)设 P 是圆 x +y =a (a>0)上的动点,点 D 是点 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上 一点,且 (a>b>0) .
2 2 2

(Ⅰ)求证:点 M 的轨迹 Γ 是椭圆; (Ⅱ)设(Ⅰ)中椭圆 Γ 的左焦点为 F,过 F 点的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,C 为线段 AB 的中点,当三角形 CFO(O 为坐标原点)的面积最大时,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,P 的坐标为(xP,yP) ,由已知可得

,由此

能求出 C 的方程; (Ⅱ)由椭圆 C 可得 c= ,左焦点 F 的坐标.由题意只考虑直线 l 的斜率存在且不为

0 即可.设直线 l 的方程为 my=x+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆的方程联立可得根与 系数的关系,再利用中点坐标公式可得 yP,利用 S△ CFO= |OF|?|yC|和基本不等式即可得出. 解答: (Ⅰ)证明:设 M 的坐标为(x,y) ,P 的坐标为(xp,yp) , 由已知 (a>b>0) ,

可得

∵P 在圆上, ∴x +(
2

) =a ,

2

2

即 C 的方程为

+

=1.

(Ⅱ)解:由椭圆 C: ∴左焦点 F(﹣c,0) .

+

=1.

由题意只考虑直线 l 的斜率存在且不为 0 即可, 设直线 l 的方程为 my=x+c,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 2 2 2 2 2 联立椭圆方程化为(a +b m )y ﹣2b cmy﹣a b =0, ∴y1+y2= ,

∴yC=

=



∴S△ CFO= |OF|?|yC|=

=



=



当且仅当|m|= 时取等号. 此时△ CFO 的最大值为 直线 l 的方程为± y=x+ bx+ay+b , ,即为 =0.

=0 或 bx﹣ay+b

点评: 本题考查点的轨迹方程的求法,直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、三角形的 面积最大值问题、基本不等式等基础知识与基本技能方法,属于中档题.

22. (14 分)已知函数



(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间,并判断是否有极值; (Ⅱ)若对任意的 x>1,恒有 ln(x﹣1)+k+1≤kx 成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: (n∈N+,n≥2) .

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;数列的求和. 专题: 导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)

, (x>0) ,

,分别解出 f'(x)>0,f'(x)

<0,即可得出单调区间、极值; (II)方法 1:由 ln(x﹣1)+k+1≤kx,分离参数可得:k≥f(x﹣1)max 对任意的 x>1 恒成立, 由(I)即可得出. 方法 2:记 g(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, 类讨论研究其单调性即可得出; (Ⅲ)
2 *

,对 k 分

,由(Ⅰ)知:

(当且仅当 x=1 取等号) .令

x=n (n∈N ,n≥2) ,即

,再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出.

解答: (Ⅰ)解:

, (x>0) ,



即 x∈(0,1) ,f'(x)>0,当 x∈(1,+∞) ,f'(x)<0, ∴f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, 在 x=1 处取得极大值,极大值为 f(1)=1,无极小值. (Ⅱ)解:方法 1:∵ln(x﹣1)+k+1≤kx, , k≥f(x﹣1)max 对任意的 x>1 恒成立,由(1)知 f(x)max=f(1)=1, 则有 f(x﹣1)max=1,∴k≥1. 方法 2:记 g(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, , 当 k≤0 时,g'(x)≥0; 当 k>0 时,由 g'(x)>0 得 ,

即当 k≤0 时,g(x)在(1,+∞)上为增函数; 当 k>0 时, 上为增函数;在 上为减函数.

∵对任意的 x>1,恒有 ln(x﹣1)+k+1≤kx 成立, 即要求 g(x)≤0 恒成立, ∴k>0 符合,且 (Ⅲ)证明: 则
2 *

,得 k≥1. ,由(Ⅰ)知 (当且仅当 x=1 取等号) . ,

令 x=n (n∈N ,n≥2) ,即

,则有









点评: 本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值,考查了恒成立问题的等价转化 方法、分离参数方法、分类讨论方法,考查了利用研究证明的结论证明不等式,考查了“累加 求和”、“裂项求和”、“放缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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