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高一数学专题 函数的定义域与值域

第二课时 函数的定义域与值域
一、求函数的定义域的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (4)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 注意:如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使 这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. (5)分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集 二、典型例题 例 1、求下列函数的定义域并用区间表示出来 (1) y ?
2x 1
2

?3



(2) y ?

4? x

2

?

1 | x | ?1



(3) y ?

x ?1
3

x? | x |

【变式 1】求函数 y ?

x?2 4? x

?

x ? 4 x ? 3 的定义域;
2

【变式 2】 f ( x ) ?
1 2 A. ? 0,? ? ?1, ?

?

x ?1

?

0

4 ? 2x

的定义域为( C.


1 2 ? 0,? ? ? 1, ?

B.
ax

1 2 ? 0,? ? ? 1, ?
2

D.

2 ? 0, ?

【例 2】若函数 y ?

? ax ? 2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。

【变式】已知函数 y ?

m x ? 6 m x ? m ? 8 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。
2

1

例 3. 已知函数的解析式求函数的值域
1. 直接法:有的函数结构不复杂,可以通过基本的函数的值域直接观察求函数的值域。 例 1:求函数 y= 1 的值域 2+x2 【变式 1】求函数 y ?
x ? 1 的定义域

2. 配方法:二次函数或可转化成形如:F(x)= af 例 1:求函数 y ? 3 x ? x ? 2 的值域。
2

2

( x ) ? bf ( x ) ? c 类型函数的值域。

注意:1o 自变量 x 没有条件限制时,求出最大值或最小值便可知函数的值域
2o 若自变量 x 有条件限制时应配方法和图形结合来考虑 【例 2】求函数 y ? 3 x ? x ? 2 在 x ? [ ? 1, 3 ] 上的值域。
2

说明:对于二次函数 y

? ax

2

? bx ? c 当 a>0 时,点 x0 离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函

数值越大;当 a<0 时,点 x0 离对称轴越近函数值越大,离对称轴越远函数值越小。 3. 换元法: 例:求函数 y ? 2 x ?
1 ? 2 x 的值域。

4. 分离常数法:一般形如 y ? 例: 求函数 y ?
x ?1 x? 2

cx ? d ax ? b

( a ? 0 ) 的值域可用分离常数法。

的值域。

5. 利用数形结合法求函数的值域。 例 1:求函数 y ? | x ? 1 | ? | x ? 4 | 的值域。 例 2:求函数 y ? x ? 2 | x | ? 3 的值域。
2

2


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