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高中数学1-3-2-1函数的奇偶性课件新人教A版必修B


第一章
集合与函数概念

第一章
1.3 函数的基本性质

第一章
1.3.2 奇 偶 性

第一章
第 1 课时 函数的奇偶性

课前自主预习

基础巩固训练 方法警示探究
思路方法技巧 能力强化提升 名师辩误做答

课前自主预习

温故知新 1.轴对称图形:如果一个图形上的任意一点关于某一条
直线 的对称点仍是这个图形上的点,就称该图形关于该直线

成轴对称图象,这条直线称作该轴对称图形的 对称轴. 2.中心对称图形:如果一个图形上的任意一点关于某一
点 的对称点仍是这个图形上的点,就称该图形关于该点成中

心对称图形,这个点称作该中心对称图形的 对称中心.

(-a,b) ,关于 3.点 P(a、b)关于 y 轴的对称点为 P′__________ (-a,-b) 原点的对称点 P″_______________ .

1 4.对于函数 f(x)=|x|,f(-1)=f(1)=1. 1 1 f(-2)=f(2)= ,f(-3)=f(3)= ,…, 2 3 1 = 可类推出:f(-x)_____ f(x)=|x|(x≠0)

5.对于函数 f(x)=x3,f(-1)=-f(1)=-1, f(-2)=-f(2)=-8,f(-3)=-f(3)=-27,
= …可类推出:f(-x)_______ -f(x)=-x3.

新课引入 在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象:美丽的 蝴蝶,盛开的花朵,六角形的雪花晶体,建筑物和它在水中的 倒影…… 1 观察函数 y=x 和 y=- x(x≠0)的图象,我们可以发现它
2

们也有着很好的对称特征,本节课我们将从图象以及数量关系 两方面来研究函数图象的对称性.

自主预习 探究:(1)图(a)中两个图象关于 y 轴对称,两个函数解析 式都满足 f(3)=f(-3),f(2)=f(-2),f(1)=f(-1).可以发现, 对于函数定义域内的任意两个相反数,它们对应的函数值相 等,即对于定义域内的任一个 x,有 f(-x)=f(x). (2)图(b)中两个图象关于原点对称, 两个解析式都满足 f(- 3)=-f(3),f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).可以发现,对于定 义域内的任意两个相反数,它们对应的两个函数值互为相反 数,即对于定义域内的任一个 x,有 f(-x)=-f(x).

总结:(1)偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x,都有
f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做偶函数.

(2)奇函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x,都有
f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数.

【归纳提升】

(1)奇偶函数的定义域关于原点对称,如

果函数的定义域不关于原点对称,则此函数既不是奇函数也 不是偶函数. (2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这 一点与函数的单调性不同,函数的单调性是局部性质,而奇 偶性是整体性质, 只有对函数定义域内的每一个值 x 都有 f(- x)=-f(x)或 f(-x)=f(x),才能说 f(x)是奇函数或偶函数.

(3)函数按奇偶性分类:①有的函数为偶函数;②有的函 数为奇函数;③有的函数既是奇函数又是偶函数,如 f(x)=0; ④有的函数既不是奇函数也不是偶函数,如 y= x(x≥0).

(4)奇偶函数图象的性质 ①如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标 原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图 象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是 奇函数. 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴 的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称, 则这个函数是偶函数.

②若奇函数 y=f(x)的定义域内有零,则由奇函数的定义 知 f(-0)=-f(0),即 f(0)=-f(0),∴f(0)=0. ③奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致; 偶函数则相反.

通过以上所学,完成下列练习. 判断下列函数的奇偶性 ①f(x)=x; ②f(x)=x-1; ③f(x)=|x|; ④f(x)=x2 (x≥1);

⑤f(x)=|x+1|-|x-1|; ⑥f(x)= 1-x2+ x2-1.

[ 答案]

①奇

②非奇非偶

③偶

④非奇非偶

⑤奇

⑥既是奇函数,又是偶函数

思路方法技巧

1

函数奇偶性的判断

学法指导:函数奇偶性判断的方法 (1)定义法:

(2)图象法:即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函 数;若函数图象关于 y 轴对称,则函数为偶函数.此法多用在 解选择填空题中.

[例 1]

判断下列函数的奇偶性
3

1 (1)f(x)=x + x; (2)f(x)=x2+1; (3)f(x)=|x+1|+|x-1|; (4)f(x)=2x+1; (5)f(x)= x-1+ 1-x; 1 (6)f(x)= . |x|-1 [分析] 利用函数奇偶性定义来判断.

[解析]

(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
3

1 1 3 ∵f(-x)=(-x) + =-x - =-f(x), x ?-x? ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)定义域为 R,且 f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),∴ f(x)为偶函数.

(3)定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|= |x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)为偶函数. (4)定义域为(-∞,+∞),f(-x)=-2x+1, ∵f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x), ∴f(x)为非奇非偶函数.

(5)定义域为{1}, ∵定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数. 1 (6)f(x)= 有意义, 须|x|-1≠0, ∴x≠± 1, 其定义域(- |x|-1 1 ∞, -1)∪(-1,1)∪(1, +∞)关于原点对称, 且 f(-x)= |-x|-1 1 = =f(x), |x|-1 ∴f(x)为偶函数.

判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x)= ; x (2)f(x)=-3x2+1; (3)f(x)=4-3x; (4)f(x)=0;

x3-x2 (5)f(x)= ; x-1
2 ? ?x +x,x<0, (6)f(x)=? 2 ? x - x ,x>0. ?

[分析]

根据函数奇偶性的定义, 先看函数的定义域是否

关于原点对称,若是,再检查函数解析式是否满足奇偶性的 条件.

[解析]

1 (1)函数 y=x的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)关于

1 原点对称,且 f(-x)=- x=-f(x), 1 ∴y=x 是奇函数. (2)函数 y=-3x2+1 的定义域为 R, 关于原点对称, 且 f(- x)=-3(-x)2+1=-3x2+1=f(x), ∴y=-3x2+1 是偶函数.

(3)函数 f(x)=4-3x 的定义域为 R,关于原点对称. ∵f(-x)=4+3x,-f(x)=-4+3x, ∴f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)=4-3x 既不是奇函数,又不是偶函数. (4)由于 f(-x)=0=f(x),且 f(-x)=0=-f(x), ∴f(x)=0 既是奇函数,又是偶函数. (5)函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点 对称,故函数 f(x)不具有奇偶性.

(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2)=-f(x), 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x)=-f(x), ∴f(-x)=-f(x), ∴函数 f(x)为奇函数.

2

利用函数的奇偶性求解析式

学法指导:利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)成立,但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x,然后把 x 转化 为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量), 通过适当推导, 求得所求区间上的解析式.

[例 2]

已知函数 y=f(x)的图象关于原点对称,且当 x>0

时,f(x)=x2-2x+3.试求 f(x)在 R 上的表达式,并画出它的图 象,根据图象写出它的单调区间. [ 分析 ] 由函数图象关于原点对称可知 y = f(x) 是奇函

数.利用奇函数性质可求得解析式.

[解析]

∵函数 f(x)的图象关于原点对称.

∴f(x)为奇函数,则 f(0)=0, 设 x<0,则-x>0,∵x>0 时,f(x)=x2-2x+3, ∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3 于是有: ?x2-2x+3 ? f(x)=?0 ?-x2-2x-3 ? ?x>0? ?x=0? ?x<0?

先画出函数在 y 轴右边的图象,再根据对称性画出 y 轴左 边的图象.如下图.

由图象可知函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1]、[1, +∞),单调递减区间是[-1,0)、(0,1].

已知函数 f(x)为偶函数,且当 x<0 时,f(x)=x+1,则 x>0 时,f(x)=________.

[答案]

-x+1

[解析]

x>0 时,-x<0,∴f(-x)=-x+1,

又∵f(x)为偶函数,∴f(x)=-x+1.

3

奇(偶)函数图象的对称性

学法指导:由函数奇偶性的对称性质,找到函数的最 高、低点与 x 轴 y 轴的交点作出对称.

[例 3]

已知偶函数 f(x)(图(1))和奇函数 g(x)(图(2))在 y 轴

右边的一部分图象,试根据偶函数和奇函数的性质,分别作出 它们在 y 轴左边的图象.

[解析]

(1)根据偶函数图象关于 y 轴对称的性质,画出函

数在 y 轴左边的图象,如图(1). (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质,画出函数在 y 轴左边的图象,如图(2).

(1)如图①是奇函数 y=f(x)的部分图象,则 f(-4)· f(-2) =________. (2)如图②是偶函数 y=f(x)的部分图象,比较 f(1)与 f(3) 的大小的结果为________.

[答案] (1)2 (2)f(3)>f(1)

[解析]

(1)∵奇函数的图象关于原点对称,且奇函数 f(x)

图象过点(2,1)和(4,2), ∴必过点(-2,-1)和(-4,-2), ∴f(-4)· f(-2)=(-2)×(-1)=2. (2)∵偶函数 f(x)满足 f(-3)>f(-1), ∴f(3)>f(1).

[点评]

(1)可由奇函数的性质,先去掉函数记号“f”内的负

号,f(-4)· f(-2)=-f(4)· [-f(2)]=f(4)· f(2)=2×1=2.

4

奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性

学法指导:函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若 f(x)是奇函数, 则 f(x)在其关于原点对称的区间上单 调性一致;若 f(x)是偶函数,则 f(x)在其关于原点对称轴的区 间上单调性相反. (2)奇函数在对称区间上的最值相反,且互为相反数;偶 函数在对称区间上的最值相等.

[例 4]

已知 b>a>0,偶函数 y=f(x)在区间[-b,-a]上

是增函数, 问函数 y=f(x)在区间[a, b]上是增函数还是减函数? [分析] 由函数的奇偶性进行转化.

[解析]

设 a≤x1<x2≤b,则-b≤-x2<-x1≤-a.∵f(x)

在[-b,-a]上是增函数.∴f(-x2)<f(-x1) 又 f(x)是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2) 于是 f(x2)<f(x1),故 f(x)在[a,b]上是减函数.

[点评]

由函数单调性和奇偶性的定义,可以证明在关于

原点对称的两个区间上,偶函数的单调性恰是相反的,奇函数 的单调性是相同的.

(1)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,在[2,6]上是 减函数,比较 f(-5)与 f(3)的大小. (2)如果奇函数 f(x)在区间[1,6]上是增函数,且最大值为 10,最小值为 4,那么 f(x)在[-6,-1]上是增函数还是减函 数?求 f(x)在[-6,-1]上的最大值和最小值.

[解析]

(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-5)=f(5),

∵f(x)在[2,6]上是减函数, ∴f(5)<f(3),∴f(-5)<f(3). (2)设-6≤x1<x2≤-1,则 1≤-x2<-x1≤6, ∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为 10,最小值为 4,∴4 =f(1)≤f(-x2)<f(-x1)≤f(6)=10, 又∵f(x)为奇函数,∴4≤-f(x2)<-f(x1)≤10, ∴-10≤f(x1)<f(x2)≤-4, 即 f(x)在[-6,-1]上是增函数,且最小值为-10,最大值 为-4.

名师辩误做答

忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误 [例 5] 判断下列函数的奇偶性: x+1 ; x-1

(1)f(x)=(x-1) 1-x2 (2)f(x)= . |x+2|-2

[错解]

x+1 (1)f(x)=(x-1)· = x2-1. x-1

∵f(-x)= ?-x2?-1=f(x),∴f(x)为偶函数. 1-?-x?2 1-x2 (2)f(-x)= = , |-x+2|-2 |x-2|-2 ∵f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x), ∴f(x)为非奇非偶函数.

[错因分析]

要判断函数的奇偶性,必须先求函数定义域

(看定义域是否关于原点对称).有时还需要在定义域制约条件 下将 f(x)进行变形,以利于判定其奇偶性.

[正解]

x+1 (1)由 ≥0 得{x|x>1,或 x≤-1}, x-1

∵f(x)定义域关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.

2 ? ?1-x ≥0 (2)由? ? ?|x+2|-2≠0

得-1≤x≤1 且 x≠0,

定义域关于原点对称,又- 1≤x≤1 且 x≠0 时, f(x) = 1-x2 1-x2 = x , x+2-2 1-?-x?2 1-x2 ∵f(-x)= =- =-f(x), x -x ∴f(x)为奇函数.

基础巩固训练

1.下列函数不具备奇偶性的是( A.y=-x x-1 C.y= x+1
[答案] C

)

1 B.y=- x D.y=x2+2

[解析]

1 y=-x 与 y=- x都是奇函数, y=x2+2 是偶函数,

x-1 y= 的定义域为{x∈R|x≠-1}关于原点不对称,故选 C. x+1

2.下列命题中真命题的个数为(

)

(1)对 f(x)定义域内的任意 x,都有 f(x)+f(-x)=0 则 f(x)是 奇函数; (2)对 f(x)的定义域内的任意 x, 都有 f(x)-f(-x)=0, 则 f(x) 是偶函数; f?-x? (3)对 f(x)的定义域内的任意 x,都有 =-1,则 f(x)是 f?x? 奇函数;

f?-x? (4)对 f(x)的定义域内的任意 x,都有 =1,则 f(x)是偶 f?x? 函数. A.1
[答案] D

B.2

C .3

D.4

[解析]

四个命题都正确,故选 D.

3.若函数 y=f(x)为奇函数,则下列坐标表示的点一定在 函数 f(x)的图象上的是( A.(a,-f(a)) C.(-a,f(a)) )

B.(-a,-f(-a)) D.(-a,-f(a))

[答案]

D

[解析]

∵-f(a)=f(-a),∴点(-a,-f(a))在 y=f(x)的图

象上,故选 D.

1 4.(2012~2013 河南高中月考试题)f(x)= x -x 图象关于 ( )对称 A.y 轴 C.坐标原点 B.直线 y=x D.直线 y=-x

[答案]

C

[解析]

1 1 f(-x)=-x -(-x)=x- x=-f(x),

∴f(x)是奇函数图象关于原点对称.故选 B.

5.已知 y=f(x)是奇函数,且方程 f(x)=0 有六个实根,则 方程 f(x)=0 的所有实根之和是( A.4 B.2 ) C .1 D.0

[答案]

D

[解析]

奇函数的图象关于原点对称,方程 f(x)=0 的六个

根,即 f(x)图象与 x 轴的六个交点横坐标,它们分布在原点两 侧各三个,且分别关于原点对称, ∴和为 0.

6.(2012~2013 河南一中月考试题)已知 f(x)=(m-1)x2+ 2mx+3 为偶函数,则 f(x)在(-5,-2)上是( A.增函数 B.减函数 C.部分为增函数,部分为减函数 D.无法确定增减性 )

[答案]

A

[解析]

∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,

∴m=0,∴f(x)=-x2+3,因此 f(x)在(-5,-2)上为增函 数,故选 A.

7.偶函数 y=f(x)在区间[-4,-1]是增函数,下列不等式 成立的是( ) B.f(-π)<f(π) D.f(- 2)>f( 3)

A.f(-2)<f(3) C.f(1)<f(-3)
[答案] D

[解析]

∵f(x)在[-4,-1]上为增函数,-4<- 3<- 2<

-1,∴f(- 2)>f(- 3),又∵f(x)为偶函数,∴f(- 2)>f( 3).

8.(2012~2013 河南淇县一中月考试题)已知函数 f(x)=x2 +4x+3. (1)若 g(x)=f(x)+bx 为偶函数求 b; (2)求函数 f(x)在[-3,3]上的最大值.

[解析]

(1)g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3,

g(-x)=x2-(b+4)x+3,∵g(x)=g(-x), ∴b+4=0,∴b=-4. (2)f(x)=x2+4x+3 关于直线 x=-2 对称, 因此 f(x)在 x=-2 取得最小值-1, 在 x=3 取得最大值 24.


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