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深圳一模文数(2014.2.25)有答案


2014 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 D 8 B 9 C 10 B

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 1 13. ? x ? 1? ? y ?
2 2

12. x x ? 2

?

?

(注:或写成 ? 2, ?? ? ;如写成 x ? 2 不给分) 15. ?1, 2 ? .

4 5

14. 2 6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图象过点 ? (1)求 ? 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ,

?π ? ,1? . ? 12 ?

f(

A π 2 ,求 sin B . ? )? 2 12 2

解: (1)由 f (

π π ) ? 1 得 sin( ? ? ) ? 1 ????1 分 12 6

0 ? ? ? π ????2 分

π π 7π ? ?? ? ? ????3 分 6 6 6

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π π ? ? ? ????4 分 6 2 π ????5 分 3
a2 ? b2 ? c2 ? ab

?? ?

(2)法一:

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? cos C ? ? ????6 分 2ab 2
0?C ?π

?C ?

π ????7 分 3

由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? )

π 3

A π π ? f ( ? ) ? sin( A ? ) ? cos A 2 12 2
? cos A ? 2 ????9 分 2

0? A? π

?A?

π ????10 分 4 5π ????11 分 B ? π ?? A? C? ? 12

? sin B ? sin

5π ?π π? ? sin ? ? ? 12 ?6 4?

π π π π 1 2 3 2 2? 6 ????12 分 ? sin cos ? cos sin ? ? ? ? ? 6 4 6 4 2 2 2 2 4
(2)法二:

a2 ? b2 ? c2 ? ab

? cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ????6 分 2ab 2

0?C ?π

? sin C ? 1 ? cos 2 C ?

3 ????7 分 2
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由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? )

π 3

A π π ? f ( ? ) ? sin( A ? ) ? cos A 2 12 2
? cos A ? 2 ????9 分 2

0? A? π

? sin A ? 1 ? cos 2 A ?

2 ????10 分 2

sin B ? sin(π ? ( A ? C)) ? sin( A ? C) ????11 分

? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ?

2 1 2 3 2? 6 ????12 分 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

【说明】本题主要考查三角函数图像与性质、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、余弦 定理、两角和的正弦公式,考查学生对基本知识的掌握程度. 17. (本小题满分 12 分) 某网络营销部门随机抽查了某市 200 名网友在 2013 年 11 月 11 日的网购金额,所得数据 如下:
频率 组距

网购金额 (单位:千元)

人数

频率

0.50

(0, 1] (1,2]

16
24

0.08 0.12
p

(2,3] (3,4] (4,5] (5,6]
合计

x
y

q

16
14

0.08 0.07 1.00

200
(1)

0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

金额(千元)

0
图4

1

2

3

4

5
(2)

6

已知网购金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 3 : 2 . (1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图 4(2)) . (2)营销部门为了了解该市网友的购物体验,在这 200 名网友中,用分层抽样方法从
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网购金额在(1, 2] 和(4,5]的两个群体中确定 5 人进行问卷调查.若需从这 5 人中随 机选取 2 人继续访谈,则此 2 人来自不同群体的概率是多少? 解: (1)根据题意,有
频率 组距

?16 ? 24 ? x ? y ? 16 ? 16 ? 200 ? , ?16 ? 24 ? x 3 ? y ? 16 ? 16 ? 2 ?
解得 ?

0.50

? x ? 80 ? y ? 50

??????3 分

? p ? 0.4 , q ? 0.25 .??????4 分
补全频率分布直方图如图所示. ???6 分

0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

金额(千元)

0
(2)根据题意, “网购额在 (1, 2] ”的群体中应抽取

1

2

3

4

5

6

24 ? 5 ? 3 人,记为 a, b, c , “网 24 ? 16

购额在 (4,5] ”的群体中应抽取

16 ? 5 ? 2 人,记为 A 、 B .?????7 分 24 ? 16

在此 5 人中随机选取 2 人, 有以下可能情况:(a, b) ,(a, c) ,(a, A) ,(a, B) ,(b, c) ,

(b, A) , (b, B) , (c, A) , (c, B) , ( A, B) ,共10 种情况;?????9 分
设 “此 2 人不是同一群体” 为事件 M , 包含了 (a, A) , (a, B) ,(b, A) ,(b, B) ,(c, A) ,

(c, B) 共 6 种可能,?????10 分
∴ P( M ) ?

6 3 ? 10 5 3 5
??????12 分

即此 2 人不是同一群体的概率是

【说明】本题主要考查频率分布直方图,分层抽样,古典概型等基础知识,考查学生数据处 理和数据分析、运算求解能力和应用知识、或然与必然思想方法的理解程度. 18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在平面四边形 ABCD 中,?A ? 90? ,?B ? 135? ,?C ? 60? , AB ?

AD ,

M , N 分别是边 AD, CD 上的点,且 2 AM ? MD , 2CN ? ND .将 ?ABD 沿对角线 BD 折

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起,使得平面 ABD ? 平面 BCD ,并连结 AC, MN (如图 5). (1)证明: MN // 平面 ABC ; (2)证明: AD ? BC ; (3)若 BC ? 1 ,求三棱锥 A ? BCD 的体积.

A M

A M

B 135°

D
B

D
60°

N
C
图4
图5

N

C

(1)证明:在 ?ACD 中,

2 AM ? MD , 2CN ? ND ,

? MN // AC ,????????????2 分


MN ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC ,????????????3 分

? MN // 平面 ABC ????????????4 分
(2)在 ?ABD 中, AB ?

AD , ?A ? 90? ,

??ABD ? 45? ,
在平面四边形 ABCD 中, ?B ? 135? ,

? BC ? BD ????????????5 分
又 平面 ABD ? 平面 BCD , 平面 BCD ? BD ,??????6 分

且 BC ? 平面 BCD ,平面 ABD

? BC ? 平面 ABD ,????????????7 分
又 AD ? 平面 ABD ,

? AD ? BC ????????????8 分
(3)解:在 ?BCD 中,

BC ? 1, ?CBD ? 90?, ?BCD ? 60? ,
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? BD ? 3 ??????????????9 分
在 ?ABD 中, 又

?A ? 90?, AB ? AD ,
6 ,????????????10 分 2

? AB ? AD ?

? S?ABD ?

1 3 AB ? AD ? ,????????????11 分 2 4

另由(2)知 BC ? 平面 ABD ????????????12 分

1 3 1 ?VA? BCD ? VC ? ABD ? ? ?1 ? .????????????14 分 3 4 4
【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系及三棱锥的体积,考查空间想象能力、 运算能力和逻辑推理能力. 19. (本小题满分 14 分)

a1 ? a3 ? a5 ? 21,a2 ? a4 ? a6 ? 27 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , 已知等差数列 ?a n ? 中,
且 4Sn ? 3bn ? a1 (n ? N ) . (1)求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式; (2)当 n ? N 时,求 cn ?
?

?

4bn ? 1 的最小值与最大值. bn ? 1

解: (1)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,

a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 21 , a2 ? a4 ? a6 ? 3a4 ? 27
? a3 ? 7 , a4 ? 9 , d ? a4 ? a3 ? 2 ,????????????2 分 ? an ? a3 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 1 ,????????????3 分
由 an ? 2n ? 1得 a1 ? 3 ,????????????4 分

? 4Sn ? 3bn ? 3 ①,
令 n ? 1 得 4S1 ? 3b1 ? 3 ,解得 b1 ? ?3 ,????????????5 分

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当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? 3bn?1 ? 3 ②,????????????6 分

? ①-②得 4bn ? 3bn ? 3bn ?1 ,即 bn ? ?3bn?1 (n ? 2) ? 数列 ?bn ? 是首项为 ?3 ,公比为 ?3 的等比数列, ????????????7 分 ? bn ? ? ?3?
n

综上所述: an ? 2n ? 1, bn ? ? ?3? ????????????8 分
n

n 4 ?? ?3? ? 1? ? 5 5 ? ? (2)由(1)得 cn ? ,??????9 分 ? ? 4? n n n ? ?3? ? 1 ? ?3? ? 1 ? ?3? ? 1

4 ? ?3? ? 1
n

当 n 为奇数时, cn ? 4 ?

5

? ?3?

n

?1

? 4?

5 ,??????10 分 3 ?1
n

3n ? 1 ? 4 (当 n ? 1 时取等号) ,
?0?

5 5 11 5 ? , ? 4? n ? 4 ,????????????11 分 3 ?1 4 4 3 ?1
n

当 n 为偶数时, cn ? 4 ?

5

? ?3?

n

?1

? 4?

5 ,????????????12 分 3 ?1
n

3n ? 1 ? 8 (当 n ? 2 时取等号) ,
?0?

5 5 5 37 ? ,4 ? 4? n ? ,????????????13 分 3 ?1 8 3 ?1 8
n

综上所求得

11 37 ? cn ? 且 cn ? 4 , 4 8 11 37 ;最大值是: c2 ? ????????????14 分 4 8

? cn 的最小值是: c1 ?

【说明】本题主要考查等差数列与等比数列的定义、通项公式,会根据数列的递推关系求 数列通项公式,以及根据通项公式求最值项,考查考生运算求解、推理论证、变形处理与分 类讨论能力.

20. (本小题满分 14 分)
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在平面直角坐标系中,直线 l : y ? 3x ? 3 经过椭圆 E : 个焦点,且点 (0, b) 到直线 l 的距离为 2 . (1)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一 a 2 b2

B、 (2)A 、 且 C 是椭圆 E 上的三个动点,A 与 B 关于原点对称,

CA ? CB , 问 ?ABC

的面积是否存在最小值?若存在,求此时点 C 的坐标;若不存在,说明理由. 解: (1)对于直线 l : y ? 3x ? 3 ,令 y ? 0 ,得 x ? 3 , 故焦点为 ( 3, 0) ,知 c ? 3 ??????2 分 点 (0, b) 到直线 l 的距离为:

| ?b ? 3 | ? 2 ,得 b ? 1 或 ?7 (舍去) 3 ?1

??????4 分

∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 ,故椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ??????5 分 4

(2) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意,知点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) ,

1 S?ABC ? ? OC ? AB ? ab ? 2 2
解法一:

??????6 分

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k ,直线 AB 的方程为 y ? kx

? x2 2 4 4k 2 ? ? y ?1 2 2 , y ? 联立方程组 ? 4 ,得 xA ? A 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
由于

??????7 分

CA ? CB 故 ?ABC 为等腰三角形, O 为 AB 的中点,知 OC ? AB ,

1 ? 直线 OC 的方程为 y ? ? x k
同理可得 xC ?
2

4k 2 4 , yC 2 ? 2 ??????8 分 2 k ?4 k ?4

2 ∴ OA ?

4 4k 2 4(1 ? k 2 ) 4k 2 4 4(1 ? k 2 ) 2 OC ? ? ? ? ? , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 1 ? 4 k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2

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于是 S?ABC ? 2S?OAC ?| OA | ? | OC |?

4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? 1 ? 4k 2 4 ? k2 (1 ? 4k 2 )(4 ? k 2 )
??????10 分

由于 (1 ? 4k )(4 ? k ) ?
2 2

(1 ? 4k 2 ) ? (4 ? k 2 ) 5(1 ? k 2 ) ? 2 2

∴ S?ABC ? 2S?OAC

4(1 ? k 2 ) 8 ? ? ,等号当且仅当 1 ? 4k 2 ? 4 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 时取得. 2 5(1 ? k ) 5 2

8 8 ? 2 综合(i) (ii)当 k 2 ? 1 时 S?ABC 有最小值 ??????12 分 5 5
此时 xC ?
2

4k 2 4 4 4 2 5 2 5 ? , yC 2 ? 2 ? ,即 xC ? ? ???13 分 , yC ? ? 2 k ?4 5 k ?4 5 5 5
2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ),( , ? ) , (? , ) , (? , ? ) 5 5 5 5 5 5 5 5
???????14 分

∴ C 点的坐标是 (

解法二: (ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k ,直线 AB 的方程为 y ? kx

? x2 2 4 4k 2 ? ? y ?1 2 2 , yA ? 联立方程组 ? 4 ,得 xA ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
由于

??????7 分

CA ? CB 故 ?ABC 为等腰三角形, O 为 AB 的中点,知 OC ? AB ,

1 ? 直线 OC 的方程为 y ? ? x k
同理可得 xC ?
2

4k 2 4 , yC 2 ? 2 ??????8 分 2 k ?4 k ?4

∴ OA ?
2

4 4k 2 4(1 ? k 2 ) 4k 2 4 4(1 ? k 2 ) 2 OC ? ? ? ? ? , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 1 ? 4 k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2
4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? 1 ? 4k 2 4 ? k2 (1 ? 4k 2 )(4 ? k 2 )
??????10 分

于是 S?ABC ? 2S?OAC ?| OA | ? | OC |?

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记 1 ? k 2 ? t ,则 t ? 1 ,∴ 0 ?

1 ?1 t

故 S?ABC ? 4

t2 1 1 ?4 ?4 9 9 1 1 25 (4t ? 3)(t ? 3) ? 2 ? ?4 ?9( ? )2 ? t t t 2 4

当 ?

1 t

1 1 1 2 25 25 8 ,即 t ? 2, k 2 ? 1 时, ?9( ? ) ? 有最大值 ,此时 S?ABC 有最小值 4 5 2 t 2 4

8 8 ? 2 综合(i) (ii)当 k 2 ? 1 时 S?ABC 有最小值 ??????12 分 5 5
此时 xC ?
2

4k 2 4 4 4 2 5 2 5 ? , yC 2 ? 2 ? ,即 xC ? ? ???13 分 , yC ? ? 2 k ?4 5 k ?4 5 5 5
2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ),( , ? ) , (? , ) , (? , ? ) 5 5 5 5 5 5 5 5
???????14 分

∴ C 点的坐标是 (

解法三: (ii)设 A( x0 , y0 ) , C ( x1 , y1 ) , 根据 A 与 B 关于原点对称故有 B(? x0 , ? y0 ) ,

? AB ? 2 x0 2 ? y0 2 ,?????7 分
由于

CA ? CB 故 ?ABC 为等腰三角形, O 为 AB 的中点,知 OC ? AB ,
y0 y , kOC ? 1 x0 x1

k AB ?

?

y0 y1 x2 ? ? ?1 ①,且 C 在椭圆 E 上故 1 ? y12 ? 1 ②?????8 分 x0 x1 4
2 1

4 y0 2 4 x0 2 2 , y1 ? 联立①②解得: x ? 4 x0 2 ? y0 2 4 x0 2 ? y0 2

? OC ?

2 x0 2 ? y0 2 4 x0 2 ? y0 2

?????9 分

? S?ABC

2 ? x0 2 ? y0 2 ? 1 又 ? OC ? AB ? 2 4 x0 2 ? y0 2

x0 2 ? y0 2 ? 1 即 x0 2 ? 4 ? 4 y0 2 4

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? S?ABC ?

8 ? 6 y0 2 1 ??????10 分 OC ? AB ? 2 16 ? 15 y0 2
16 t 2 ? 15 15

记 t ? 16 ? 15 y0 2 , t ? ?1, 4? ? y0 2 ?

? S?ABC ?

8 2t 8 2t 8 2 5 ?????11 分 ? ?2 ? ? 此时 t ? 2 即 y0 ? ? 5t 5 5t 5 5 5

8 8 2 5 ? 2 综合(i) (ii)当 y0 ? ? 时 S?ABC 有最小值 ??????13 分 5 5 5
∴ C 点的坐标是 (

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ),( , ? ) , (? , ) , (? , ? ) 5 5 5 5 5 5 5 5
???????14 分

【说明】本题主要考查直线的方程,点到直线的距离,椭圆的方程及几何性质,直线与 椭圆的位置关系,基本不等式等基础知识,考查学生数形结合、运算求解、转化与化归以及 分析解决问题的能力. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?1 . (1)当 x ? 0 时,解不等式: x( x ? ) ?

1 2

1 ; e2

(2)当 x ? ?t , t ? ? (0 ? t ? ) 时,求函数 g ( x) ? f ( x) 的最大值; e 2

? ?

1? ?

1

(3)当 x ? e 时, f ( x) ? x ? (k ? 2e) x ? e ? ke 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

(注:题中的 e 为自然对数的底数) 解: (1)不等式: x( x ? ) ?

1 2

1 1 1 2 等价于不等式: x ? x ? 2 ? 0 ①?????1 分 2 e 2 e

解不等组①得: ? 又

1 1 1 1 1 1 ? + 2 ?x?? + + ,?????2 分 4 16 e 4 16 e2

x?0

? 1 1 1? ? ? + 2 ? ?????3 分 ? 原不等式的解集为 ? x 0 ? x ? x1 , 其中x1 ? ? + 4 16 e ? ? ? ?
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(2)

g ( x) ? f ( x) ? ln x ? 1
1 1 1 时,有 ? t ? ? 1 e e 2
? 1? ? ?

当0 ? t ?

(i)当 x ? ?t , ? 时, ln t ? ln x ? ?1 即 1 ? e

ln x ? ? ln t 即 0 ? ln x ? 1 ? ? ln t ? 1

? ln x ? 1 ? ? ln t ? 1 , ? 当 x ? t 时, g ( x)max ? ? ln t ? 1 ?????4 分
(ii)当 x ? ? , t ? ? 时, ?1 ? ln x ? ln ? t ? ? ? 0 , 0 ? ? ln ? t ? ? ? ln x ? 1 2 2 e 2

?1 ?

1? ?

? ?

1? ?

? ?

1? ?

? 1? ? 1? ?? ln ? t ? ? ? 1 ? ln x ? 1 ? 0 即 ln x ? 1 ? ln ? t ? ? ? 1 ? 2? ? 2?
1 ? 1? ? 当 x ? t ? 时, g ( x)max ? ln ? t ? ? ? 1 ?????5 分 2 ? 2?
综合(i) (ii)可得: g ( x) max ? max ?? ln t ? 1, ln ? t ?

? ?

? ?

1? ? ? ? 1? 2? ?

? ? ln t ? 1? ? ? ln ? ?t ?
? ?

?

1? ? 1 ? 1? ? ? 1? ? ? ln t ? t ? ? ? ln 2 2? ? e ? 2?

由(1)可得当 0 ? t ? x1 时,有: t (t ? ) ?

1 2

1 e2

即 ? ? ln t ? 1? ? ? ln ? t ?

? ?

? ?

1? ? ? ?1 ? 0 2? ? ?



1 ? 1 1 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? + + 2? ? + ? + 2 ? 2+ ? ? + ?0 ? ? e ? 4 16 e ? e 4 16 e e 16 2e 16 e 2

1 1 1 1 ? ?? + + ? x1 e 4 16 e2
? 1? ? 当 0 ? t ? x1 时 ? ln t ? 1 ? ln ? t ? ? ? 1 ????7 分 ? 2?

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? g ( x) max

?? ln t ? 1, 0 ? t ? x1 1 1 1 ? ?? ? 1? + 2 )????8 分 1 (其中 x1 ? ? + ln t ? ? 1, x ? t ? 4 16 e 1 ? ? ? e ? ? 2?

(3)当 x ? e 时, ln x ? 1 ? f ( x) ? ln x ? 1 记 ? ( x) ? f ( x) ? x 2 ? (k ? 2e) x ? e2 ? ke , x ?

?

?

?e, ?? ? ????9 分

?? ( x) ? ln x ? x2 ? (k ? 2e) x ? e2 ? ke ? 1 , x ? ?e, ?? ?

? (e) ? 0 且 ? ?( x) ?
2

?2 x 2 ? (k ? 2e) x ? 1 , x ? ?e,+? ? ????10 分 x

记 h( x) ? ?2 x ? (k ? 2e) x ? 1

? h( x) 为开口向下的二次函数且 h(0) ? 1 ? 0 ????11 分
(ⅰ)当 h(e) ? ke ?1 ? 0 即 k ? ? 时,

1 e

? 当 x ? (e,+?) , ? ?( x) ?

h( x ) ? 0 恒成立 x

?? ( x) 在 (e,+?) 上单调递减,

? x ? ? e,+? ? 时有 ? ( x) ? ? (e) ? 0 符合题意????12 分
(ⅱ)当 h(e) ? ke ?1 ? 0 即 k ? ? 时, 存在唯一 x0 ? ? e,+? ? 使得 h( x0 ) ? 0

1 e

? x ? ? e,x0 ? 时 h( x) ? 0 有 ? ?( x) ?

h( x ) ?0 x

?? ( x) 在 (e,+?) 上单调递增????13 分

1 ?? ( x0 ) ? ? (e) ? 0 ,不符合题意,综上所述: k ? ? ????14 分 e
【说明】本题考查解不等式、函数的最值、函数与不等式等基础知识及分类讨论、函数 与方程的思想方法,考查学生运算求解、数形结合、化归与转化的能力。 命题人:黄文辉 殷木森 蔡俊杰 审题人:魏显峰
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2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷


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