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2017年高三数学试题——湖北省七市州2017届高三数学第一次联合调考3月联考试题(理)(含答案)


2017 年 3 月湖北省七市(州)高三联合考试 理 科 数 学
命题单位:荆门教研室 十堰教科院 审题单位:荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院 本试卷共 6 页,23 题(含选考题),全卷满分 150 分。考试用时 150 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前,请考生认真阅读答题卡上的注意事项。务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位 置,贴好考号条形码或将考号对应数字凃黑。用 2B 铅笔将试卷类型 A 填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷、 草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后,监考人员将答题卡收回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.集合 A ? ??1 , 0 , 1 , 2 , 3? , B ? ?x log2 ( x ? 1) ? 2? ,则 A ? B 等于 A. {?1, 0,1, 2}

{0,1,2} B.
1+2i i

{-1,0,1,2,3} C.

{0,1,2,3} D.

2.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A. ?2

错误!未找到引用源。的虚部为 C. i D. ?1

B. ?i

2 2 3. 在各 项都为正数的数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 2 , 且点( an , an ?1 )在直线 x ? 9 y ? 0 上, 则数列 ?an ? 的

前 n 项和 Sn 等于 A. 3n ? 1

B.

1 ? ? ?3? 2

n

C.

1 ? 3n 2

D.

3n 2 ? n 2

4.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续 5 个年度的广告费和销售额进行统计,得到 统计数据如下表(单位:万元) : 广告费 x 2 3 4 5 6

销售额 y

29

41

50

59

71

? ? 10.2 x ? a ? ,据此模型,预测 广告费为10 万元时的销售额约为 由上表可得回归 方程为 y
A. 101.2 B. 108.8 C. 111.2 D. 118.2

5.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例, 若输 入 n , x 的值分别为 3, 4 ,则输出 v 的值为 A.6 B.25 C.100 D.400

开始 输入n,x v=1 i=n-1 v=vx+i,i=i-1 i≥0 否 输出v 结束
第 5 题图



π 6.函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0 , ?>0 , ? ? ) 的部分图象如图所示, 2
若 x1 , x2 ? ( ? A. 1 B.

π π , ) , x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? 6 3
y

1 2
π 6 -1

C.

2 2 3 2

-

O

π 3

x

D.

第 6 题图

7.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 (?? , 0] 上单调递增,若实数 a 满足

f (2log3 a ) ? f (? 2) ,则 a 的取值范围是
A. (?? , 3) B. (0 , 3) C. ( 3 , +?) D. (1 ,

3)

8 .已知圆 C : ( x ? 1)2 ? y2 ? r2 (r ? 0).设条件 p : 0 ? r ? 3 ,条件 q : 圆 C 上至多有 2 个点到直线

x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离为 1 ,则 p 是 q 的
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

9.从数字 1,2,3 ,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位 数字之和等于 12 的概率为 A. C.

2 25

B. D.

13 125
9 125
4 4 2 3 侧视图

18 125

10.一个几何体的三视图如图所示,该几何体 外接球的表面积为 A. 36 π C. 32 π B.

2 2 正视图 4 4 俯视图 4

112 3

π

D. 28π
第 10 题图

11.关于曲线 C: x2 ? y 4 ? 1 ,给出下列四个命题: ①曲线 C 有两条对称轴,一个对称中心; ②曲线 C 上的点到原点距离的最小值为 1 ; ③曲线 C 的长度 l 满足 l ? 4 2 ; ④曲线 C 所围成图形的面积 S 满足 π ? S ? 4 . 上述命题中,真命题的个数是 A.4 B.3 C.2

D.1

12.已知正三角形 ABC 的顶点 A , B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,另一个顶点 C (4 , 0) ,则这样的正三角形 有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~ 23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 D.4 个

? ? ? ? ? ? 13.平面向量 a , b , c 不共线,且两两所成的角相等,若 | a |?| b |? 2,| c |? 1 ,
则 | a ? b ? c |?

?

? ?



. .

14. ( x ? y)( x ? y)8 展开式中 x3 y 6 的系数为 ▲

? ?x ? y ≥ 0 , ? y 15.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 5 ≤ 0 , 则 的最小值为 ▲ x ? 1 1 ? y ≥ x4 ? 12 4 ?



16.数列 {an } 满足 an?1 ? (?1)n an ? n ? 1 ,则 {an } 前 40 项的和 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 12 分) 如图,已知 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边 分别为 a , b , c , C ? 120? . (Ⅰ)若 c ? 1 ,求 △ ABC 面积的最大值; (Ⅱ)若 a ? 2b ,求 tan A . 18(本小题满分 12 分)
A





C

B
第 17 题图

某校举行运动会,其中三级跳远的成绩在 8.0 米 (四舍五入,精确到 0.1 米) 以上的进入决赛, 把所得数据进行整理后,分成 6 组画出 频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右 前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14, 0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7 .
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0

频率 组距

成绩(米)
5.25 6.15 7.05 7.95 8.85 9.75 10.65

(Ⅰ)求进入决赛的人数;

第 18 题图

(Ⅱ)若从该校学生(人数很多)中随机抽取两名,记 X 表示两人中进入决赛的人数,求 X 的 分布列及数学期望; (Ⅲ) 经过多次测试后发现,甲成绩均匀分布在 8~10 米之间,乙成绩均匀分布在 9.5~10.5 米 之间,现甲,乙各跳一次,求甲比乙远的概率. 19(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D 是 长 方 形 , 侧 棱 PD ? 底 面 A B C D ,且
P D? A D ?1 , D C ? ,过 2 D 作 DF ? PB 于 F,

P F E

过 F 作 FE ? PB 交 PC 于 E. (Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC; (Ⅱ)求平面 DEF 与平面 ABCD 所成 二面角的余弦值.

D A
第 19 题图

C B

20(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1 (? 6,0) , A2 ( 6,0), 再取两个动点 N1 (0 , m) , N 2 (0 , n) , 且 mn ? 2 .

(Ⅰ)求直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过 R(3 , 0) 的直线与轨迹 C 交于 P,Q,过 P 作 PN ? x 轴且与轨迹 C 交于另一点 N,F 为轨 迹 C 的右焦点,若 RP ? ? RQ(? ? 1) ,求证: NF ? ? FQ . 21(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln x ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

1 2 3 x ? ax(a ? R) , g ( x ) ? e x ? x 2 . 2 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的极值点的个数; (Ⅱ)若对于 ?x ? 0 ,总有 f ( x) ≤ g ( x) .(i)求实数 a 的范围; (ii)求证:对于 ?x ? 0 , 不等式 e ? x ? (e ? 1) x ?
x 2

e ? 2 成立. x

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? (cos? ? sin? ) ? 3 .若以极点 O 为原点,极轴所在 直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的参数方程; (Ⅱ)在直角坐标系中,点 P( x , y) 是圆 C 上动点,试求 x ? 2 y 的最大值,并求出此时点 P 的直 角坐标. 23(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 , g ( x) ? m x (m ? R) . (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围.

2017 年 3 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试 理科数学参考答案及评分说明 命题单位:荆门教研室 十堰教科院 审题单位:荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分) 1.B 2.D 3.A 4. C 5.C 6.D 7.B 8.C 9. A 10. B 11.A 12 .D

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13. 1 三、解答题 17(12 分)解: (Ⅰ)由余弦定理得 a 2 ? b2 ? 2ab cos120? ? 1 , ???????????????2 分 14. ?28 15.

1 3

16.440

a 2 ? b2 ? ab ? 1≥ 2ab ? ab ? 3ab ,当且仅当 a ? b 时取等号;
解得 ab ≤ 分 故 S△ ABC ?

1 3

, ?????????????????????????????????4

3 1 3 3 ab sin C ? ab ≤ ,即 △ ABC 面积的最大值为 .??????6 分 2 4 12 12

(Ⅱ)因为 a ? 2b ,由正弦定理得 sin A ? 2 sin B ,????????????????8 分 又 C ? 120? ,故 A ? B ? 60? ,

?sin A ? 2sin(60? ? A) ? 3 cos A ? sin A ,????????????????10 分
? 3 cos A ? 2sin A ,? tan A ?
18(12 分)解: (Ⅰ)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴总人数为

3 2

.

??????????????????12 分

7 ? 50 (人). 0.14

?????????????????????????2 分

∴第 4、5、6 组成绩均进入决赛,人数为(0.28+0.30+0 .14)×50=36(人) 即进入决赛的人数为 36. ?????????????????????????4 分

(Ⅱ) X =0,1,2,进入决赛的概率为
0 P ? x ? 0? ? C2 (

36 18 ? 50 25

∴ X ~ (2,

18 ), 25

7 2 49 , ) ? 25 625

1 P( X ? 1) ? C2 (

324 7 18 252 , 2 18 2 . ???????????6 分 P ? x ? 2? ? C2 ( ) ? )( ) ? 25 625 25 25 625
X P
0 1 2

所求分布列为

49 625

252 625

324 625

EX ? 2 ?

36 18 36 ,两人中进入决赛的人数的数学期望为 . ?????????8 分 ? 25 25 25

(Ⅲ)设甲、乙各跳一次的成绩分别为 x 、 y 米,则基本事件满足的区域为

?8≤x≤10 , ? ?9.5≤y≤10.5
事件 A “甲比乙远的概率”满足的区域为 x ? y ,如图所示. ??????????10 分

y
10.5 9.5 D A 8 9 F C E B 10

1 1 1 ? ? 1 1 ∴由几何概型 P ( A) ? 2 2 2 ? . 即甲比乙远的概率为 . ????????12 分 16 1? 2 16
19(12 分)解: 解法一: (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC , 由底面 ABCD 为长方形,有 BC ? CD ,而 PD ? CD ? D , 所以 BC ? 平面PCD . 而 DE ? 平面PCD ,所以 BC ? DE . 又因为 DF ? PB , FE ? PB 所以 PB ? 平面 DEF . 而 PB ? 平面PBC ,所以 PB ? DE . 又 BC ? DE , PB ? BC ? B ,所以 DE ? 平面 PBC . ?????????4 分 ?????????6 分 ?????????2 分

x

(Ⅱ)如图 1,在面 PBC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G ,则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线. 由(Ⅰ)知, PB ? 平面DEF ,所以 PB ? DG . ?????????8 分

又因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? DG . 而 PD ? PB ? P ,所以 DG ? 平面PBD . 故 ?BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 在 Rt△PDB 中, 由 cos ?BDF ? sin ?PBD ? 故面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的余弦为
P F E G D C
6 , 6 6 . 6

?????????10 分

?????????12 分

解法二:如图 2, 由 PD ? 平面ABCD , ??? ? 所以 DP ? (0 , 0 , 1) 是平面 ABCD 的一个法向量;

??????????????8 分

由(Ⅰ)知, PB ? 平面DEF , ??? ? 所以 PB ? (1 , 2 , ? 1) 是平面 DEF 的一个法向量 ??????????????10 分 ??? ? ??? ? BP ? DP 1 6 ? ??? ? ? 设平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角为 ? 则 cos? ? ??? , ? 6 | BP | ? | DP | 6 故面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的余弦为
z P F E
6 . 6

????????????? ?12 分

D x A 图2 B

C

y

20(12 分)解: (Ⅰ)依题意知直线 A1N1 的方程为 y ? 直线 A2N2 的方程为 y ? ?

m ( x + 6) 6



n ( x ? 6) 6

②????????????2 分

设 M(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点,①×②得 y 2 ? ? 由 mn=2,整理得

mn 2 ( x ? 6) , 6
????????????4 分

x2 y2 ? ?1 ; 6 2

(Ⅱ)设 l : x ? ty ? 3 , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), N ( x1 , ? y1 )

? x ? ty ? 3, ? ? (t 2 ? 3) y 2 ? 6ty ? 3 ? 0 ( ? ) 由 ? x2 y 2 ????????????6 分 ?1 ? ? 2 ?6 ??? ? ??? ? 由 RP ? ? RQ ? ( x1 ? 3 , y1 ) ? ? ( x2 ? 3 , y2 ) 故 x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), y1 ? ? y2 , ??????8 分 ???? ??? ? 要证 NF ? ? FQ ,即证 (2 ? x1 , y1 ) ? ? ( x2 ? 2, y2 ) ,只需证: 2 ? x1 ? ? ( x2 ? 2),
只需

x1 ? 3 x ?2 即证 2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 12 ? 0 即 2t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 0 ,???10 分 ?? 1 x2 ? 3 x2 ? 2
2

3 6t ?t ? 2 ? 0 ,即证. ????????12 分 t ?3 t ?3 (本题亦可先证直线 NQ 过焦点 F,再由 y1 ? ? y2 得证)
由( ? )得: 2t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 2t 2 ? 21(12 分)解: (Ⅰ)解法一:由题意得 f ?( x) ? x ?

1 x 2 ? ax ? 1 ? a= ( x ? 0) , 令 ? ? a 2 ? 4 x x

2 2 (1)当 ? ? a ? 4 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 时, x ? ax ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立

即 f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立,此时 f ( x) 没有极值点;????2 分 x
2

(2)当 ? ? a ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2或a ? 2 ① a ? ?2 时,设方程 x ? ax ? 1=0 两个不同实根为 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2
2

则 x1 ? x2 ? ?a ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 ,故 x2 ? x1 ? 0 ∴ x ? x1或x ? x2 时 f ( x) ? 0 ;在 x1 ? x ? x2 时 f ( x) ? 0 故 x1 , x2 是函数 f ( x ) 的两个极值点.
2 ② a ? 2 时,设方程 x ? ax ? 1=0 两个不同实根为 x1 , x2 ,

则 x1 ? x2 ? ?a ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 ,故 x2 ? 0, x1 ? 0 ∴ x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;故函数 f ( x ) 没有极值点. 综上,当 a ? ?2 时,函数 f ( x ) 有两个极值点; 当 a ? ?2 时,函数 f ( x ) 没有极值点. ???????????????5 分 ???????????4 分

解法二: f ?( x) ? x ?

1 ?a, x

????????????????1 分

? x ? 0,? f ?( x) ?[a ? 2, ??) ,
?2 ,? ?) ①当 a ? 2 ≥ 0 , 即 a ?[
没有极值点; 时, f ?( x) ≥ 0 对 ?x ? 0 恒成立, f ( x) 在 (0, ??) 单调增, f ( x)

???????????????????????3 分
2

②当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? (??, ?2) 时,方程 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不等正数解 x1 , x2 ,

f ?( x) ? x ?

1 x 2 ? ax ? 1 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ?a ? ? ( x ? 0) x x x

不妨设 0 ? x1 ? x2 ,则当 x ? (0, x1 ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 增; x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 减;x ? ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 增, 所以 x1 , x2 分别为 f ( x ) 极大值点和极小值点, f ( x ) 有两个极值点. 综上所述,当 a ? [?2, ??) 时, f ( x ) 没有极值点; 当 a ? (??, ?2) 时, f ( x ) 有两个极值点. ????????????5 分 (Ⅱ) (i) f ( x) ? g ( x) ? e x ? ln x ? x2 ? ax , 由 x ? 0 ,即 a ?

e x ? x 2 ? ln x e x ? x 2 ? ln x ( x ? 0) , 对于 ?x ? 0 恒成立,设 ? ( x) ? x x

1 (e x ? 2 x ? ) x ? (e x ? x 2 ? ln x) e x ( x ? 1) ? ln x ? ( x ? 1)( x ? 1) x , ? ?( x) ? ? x2 x2
? x ? 0 ,? x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 减, x ? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 增,

?? ( x) ≥ ? (1) ? e ? 1,? a ≤ e ? 1 .

??????????????9 分
x

( ii )由( i )知,当 ? a ? e ? 1 时有 f ( x) ≤ g ( x) ,即: e ?

3 2 1 x ≥ ln x ? x 2 ? (e ? 1) x , 2 2

? ex ? x2 ? (e ? 1) x ? ln x ??①当且仅当 x ? 1 时取等号, ???????????10 分
以下证明: ln x ?

e e 1 e x?e ≥ 2 ,设 ? ( x) ? ln x ? , ? ?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x x

? 当 x ? (0, e) 时 ? ?( x) ? 0,? ( x) 减, x ? (e, ??) 时 ? ?( x) ? 0,? ( x) 增,
e ?? ( x) ≥ ? (e) ? 2 ,? ln x ? ≥ 2 ,??②当且仅当 x ? e 时取等号; x

由于①②等号不同时成立,故有 e ? x ? (e ? 1) x ?
x 2

e ? 2 .???????????12 分 x

第 22、23 题为选考题 22(10 分)解: (Ⅰ)因为 ? ? 4 ? (cos ? ? sin ? ) ? 3 ,
2

所以 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 , 即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5 为圆 C 的普通方程. 所以所求的圆 C 的参数方程为 ?
2 2

2

2

??????????????3 分

? ? x ? 2 ? 5 cos ? , ( ? 为参数) ??????????5 分 ? ? y ? 2 ? 5 sin ?
2 2

(Ⅱ) 解法一:设 x ? 2 y ? t ,得 x ? t ? 2 y 代入 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 整理得

5 y 2 ? 4(1 ? t ) y ? t 2 ? 4t ? 3 ? 0 (*),则关于 y 方程必有实数根 ????7 分
∴ ? ? 16(1 ? t )2 ? 20(t 2 ? 4t ? 3) ? 0 ,化简得 t ? 12t ? 11 ? 0
2

解得 1 ? t ? 11 ,即 x ? 2 y 的最大值为 11. ????????????????9 分 将 t ? 11 代入方程(*)得 y 2 ? 8 y ? 16 ? 0 ,解得 y ? 4 ,代入 x ? 2 y ? 11 得 x ? 3 故 x ? 2 y 的最大值为 11 时,点 P 的直角坐标为 (3, 4) . ?????????10 分 解法二:由(Ⅰ)可得,设点 P (2 ? 5 cos ? , 2 ? 5 sin ? ) ,

x ? 2 y ? 6 ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 6 ? 5(
设 sin ? ?

5 5

cos ? ?

2 5 5

sin ? ) ,

5 2 5 ,则 cos ? ? ,所以 x ? 2 y ? 6 ? 5sin(? ? ? ) 5 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, ( x ? 2 y ) max ? 11 ,????????????????????8 分 此时, ? ? ? ? 即? ?

π 2

? 2kπ, k ? Z ,
2 5 5 , cos ? ? sin ? ? 5 5

π 2

? ? ? 2kπ(k ? Z ) ,所以 sin ? ? cos ? ?

点 P 的直角坐标为 (3, 4) . 23(10 分)解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 5 ,得 x ? 2 ? 3 ,

????????????????????10 分

即 x ? 2 ? ?3 或 x ? 2 ? 3 ,

????????????????????3 分

? x ? ?1 或 x ? 5 .故原不等式的解集为 x x ? ?1或x ? 5 ?????????????5 分

?

?

(Ⅱ)由 f ( x) ≥ g ( x) ,得 x ? 2 ≥ m x ? 2 对任意 x ? R 恒成立, 当 x ? 0 时,不等式 x ? 2 ≥ m x ? 2 成立, 当 x ? 0 时,问题等价于 m ≤ x ? 2 ? 2 对任意非零实数恒成立, ?????????7 分
x

?

x?2 ?2 x



x?2?2 x

? 1 , ? m ≤1 ,即 m 的取值范围是 (?? , 1] .???????10 分


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