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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第五节指数与指数函数 理

第五节

指数与指数函数

1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 2.理解指数函数的概念, 并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特 殊点. 3.了解指数函数模型的实际背景,知道指数函数是重要的函数模型.
错误!

知识梳理 一、指数 1.根式. (1)定义:如果 x =a 那么 x 叫做 a 的 n 次方根(其中 n>1,且 n∈N ),式子 a叫做根 式,这里的 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)性质. ①当 n 为奇数时, a =a;当 n 为偶数时, a =|a|=? ②负数没有偶次方根. ③零的任何次方根都是零. 2.幂的有关概念. (1)正整数指数幂: (2)零指数幂: a =1(a≠0). 1 -p * (3)负整数指数幂:a = p(a≠0,p∈N ).
0

n

*

n

n

n

n

n

? ?a,a≥0, ?-a,a<0. ?

a

m

(4)正分数指数幂:an= a (a>0,m,n∈N ,且 n>1).
m 1 1 - * ( 5)负分数指数幂:a n= = (a>0,m,n∈N ,且 n>1).

n

m

*

m a n

n

am

(6)零的正分数指数幂为零,零的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的性质. r s s+r (1)a a =a (a>0,r, s∈Q). r s sr (2)(a ) =a (a>0,r,s∈Q). r r r (3)(ab) =a b (a>0,b>0, r∈Q). 二、指数函数的定义 x 形如 y=a (a>0 且 a≠1)的函数叫做指数函数,其中 x 是自变量,定义域是(-∞,+ ∞),值域是(0,+∞). 三、指数函数的图象和性质
1

基础自测 1.化简 (a,b 为正数)的结果是( )

b a a C. b
A.

B.a D .B 1 8 5 4 a b a3 a b 3 3 3 3 = =a,故选 B. 2 4 2 4 a b a b 3 3 3 3

解析:原式= 答案:B

2.函数 f(x)=(a -1) 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B .(-2,2) C.(-∞, 2) D.(- 2,-1)∪(1, 2)

2

x

)

解析:0<a2-1<1,1<a2<2,解得- 2<a<-1 或 1<a< 2.故选 D. 答案:D 3.函数 y=4 +2
x x+1

-3 的值域是______ __.


解析:定义域为 R,因为 y=4x+2x 1-3=(2x)2+2· 2x+1-4=(2x+1)2-4,因为 2x>0,
2

所以(2x+1)2-4>1-4=-3. + 所以 y=4x+2x 1-3 的值域为{y|y>-3}. 答案:{y|y>- 3}
1 3 1 3

4.若 x>0,则(2x4+32)(2x4-32)-4x 2(x-x2)=______. 解析:(2x4+32)(2x4-32)-4x 2(x-x2) =4x2-33-4x2+4=-23.


1 -

1

1

3

1

3

1

1

1

1

答案:-23

1.(2013·北京卷)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关 于 y 轴对称,则 f(x)=( )

x

A. x+1

e

B.e

x-1

C.e

-x+1

D.e

-x-1

解析:与 y=ex 图象关于 y 轴对称的函数为 y=e x.依题意,f(x)图象向右平移一个单位, - - 得 y=e x 的图象.∴f(x)的图象由 y=e x 的图象向左平移一个单位得到. -(x+1) -x-1 ∴f(x)=e =e .故选 D. 答案:D


2.已 知函数 f(x)=(x-k)e . (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解析:(1)f′(x)=(x-k+1)ex.令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)随 x 的变化情况见下表: x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) 0 f′(x) - + k-1 f(x) -e ↗ 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞). (2) 当 k-1≤0 ,即 k ≤1 时,函数 f(x)在[0,1] 上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的 最小 值为 f(0)=-k;当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,由(1)知 f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1] - 上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;当 k-1≥1,即 k≥2 时, 函数 f(x)在[0,1]上单调递减,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. -k,k≤1, ? ? k-1 综上所述,f(x)min=?-e ,1<k<2, ? ??1-k?e,k≥2.

x

答案:见解析

3

1.已知 a= 为( ) A.m+n<0 C.m>n

5 x ,函数 f( x)=a ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(-n),则 m,n 满足的关系 2 B.m+n>0 D.m<n 5?x 是 R 上的增函数,实数 m,n 满足 f(m)>f(-n),故 m>-n,即 m+n ?2?

解析:f(x)=? >0.故选 B. 答案:B

2.若函数 f(x)=e

-(x-μ )2

的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,则 m+μ =______.

解析:∵函数 f(x)=e-(x-μ)2 的最大值是 1,∴m=1.又∵f(x)是偶函 数,∴μ=0.∴m +μ=1. 答案:1

4