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北京市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(13)概率


北京市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 13 部分:概率 一、选择题: 5. (北京市海淀区 2011 年 4 月高三年级第二学期期中练习文科)从集合 A ? {?1,1, 2} 中随机 选取一个数记为 k ,从集合 B ? {?2,1, 2} 中随机选取一个数记为 b ,则直线 y ? kx ? b 不经 过第三象限的概率为( A )

A.

2 9

B.

1 3

C.

4 9

5 D. 9
甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9

7. (北京市西城区 2011 年高三一模试题文科)右面茎叶图表示 的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被 污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

2 (A) 5

7 (B) 10

4 (C) 5

9 (D) 10

x2 ? y2 ? 1 F,F 7. (北京市石景山区 2011 年高三统一测试理科)已知椭圆 4 的焦点为 1 2 ,在 ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 0
长轴 A1A2 上任取一点 M,过 M 作垂直于 A1A2 的直线交椭圆于点 P,则使得 的点 M 的概率为 ( B )

2 6 2 6 A. 3 B. 3 C. 3

1 D. 2

7.北京市丰台区 2011 年 3 月高三年级第二学期统一练习一理科)从如图所示的正方形 OABC ( 区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为( B ) y C O B (1,1) A x
y ? x2

1 (A) 2 1 (C) 4

1 (B) 3 1 (D) 6

y? x

二、填空题: 12. ( 北 京 市 海 淀 区 2011 年 4 月 高 三 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 理 科 ) 已 知 平 面 区 域

D ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} ,在区域 D 内任取一点,则取到的点位于直线 y ? kx

1 ( k ? R )下方的概率为____________ . 2

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? ?2 ? x ? 2, ? ?2 ? y ? 2 12. (北京市西城区 2011 年高三一模试题文科) 设不等式组 ? 表示的区域为 W ,圆
2 2 C : ( x ? 2) ? y ? 4 及其内部区域记为 D .若向区域 W 内投入一点,则该点落在区域 D 内

? 的概率为_____. 8
三、解答题: 17. (北京市海淀区 2011 年 4 月高三年级第二学期期中练习理科)(本小题共 13 分) 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测, 每一件一等品都能通过检测, 每一件二等品通过

2 检测的概率为 3 .现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ)随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.

17.(北京市朝阳 区 2011 年 4 月高三年级第一次综合练习理科)(本小题满分 13 分) 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球, 至少投进 4 个球且最后 2 个球都投

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2 进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 3 .
( Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师乙在这场比赛中获奖 的概率;教师乙在这场比 赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗? 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.

2 依条件可知 X~B(6, 3 ).
?2? P( X ? k ) ? C ? ? ? ?3?
k 6 k

?1? ?? ? ? 3?
1

6? k

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) 2 3 4 5 6

X 的分布列为: X 0 P

1 729

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

64 729

EX ?
所以

1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3?160 ? 4 ? 240 ? 5 ?192 ? 6 ? 64) ?4 729 = 729 .

2 2 EX ? 6 ? ? 4 3 或因为 X~B(6, 3 ),所以 . 即 X 的数学期望为 4. ?????5 分
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,

1 2 1 2 2 32 2 1 P( A) ? C4 ? ( )2 ? ( )4 ? C4 ? ? ( )5 ? ( )6 ? . 3 3 3 3 3 81 [ 则 32 . 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 81
(Ⅲ)设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B,

????????????10 分

P( B) ?


2 4 A4 A4 2 ? 6 A6 5

.

2 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 5 . 2 32 32 ? ? 显然 5 80 81 , 所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率
不相等. ???????13 分 16.(北京市朝阳区 2011 年 4 月高三年级第一次综合练习文科)(本小题满分 13 分)
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已知集合 A ={-2,0,2}, B ={-1,1}. (Ⅰ)若 M={ ( x, y) | x? A , y ? B },用列举法表示集合 M ; (Ⅱ)在(Ⅰ)中的集合 M 内,随机取出一个元素 ( x, y) ,求以 ( x, y) 为坐标的点位于区域

D:

? x ? y ? 2 ≥ 0, ? ? x ? y ? 2 ≤ 0, ? y ≥ ?1 ?

内的概率.

16. (满分 13 分) 解: (Ⅰ)M ={(-2, -1),(-2, 1),(0, -1),(0, 1),(2, -1),(2, 1)}. ?????6 分 (Ⅱ)记“以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 A. 集合 M 中共有 6 个元素,即基本事件总数为 6,区域 D 含有集合 M 中的元素 4 个,

P( A) ?
所以

4 2 ? 6 3.

2 故以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内的概率为 3 . ???????????13 分
16. (北京市石景山区 2011 年高三统一测试理科) (本小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的 500 名志愿者中随机抽样 100 名志原者的年龄情况如下表所示。 (Ⅰ) 频率分布表中的①、 ②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图 (如 图) ,再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [30,35) 岁的人数; (Ⅱ) 在抽出的 100 名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传 活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁” 的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望。

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(17)(北京市东城区 2011 年第二 学期综合练习一文科)(本小题共 13 分) 频率 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩 组距 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 0.07 分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85), 0.06 第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组 0.05 [95,100]得到的频率分布直方图如图所示. 0.04 (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; 0.03 (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组 0.02 中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 0.01 试,求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二 75 80 85 90 轮面试?
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95 100

分数

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(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率. (17) (共 13 分) 解:(Ⅰ)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 , 第 4 组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 第 5 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1. ????????3 分 (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3?100 ? 30 , 第 4 组的人数为 0.2 ?100 ? 20 , 第 5 组的人数为 0.1?100 ? 10 . 因为第 3 , 4 , 5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为:

30 ?6 ? 3 第 3 组: 60 , 20 ?6 ? 2 第 4 组: 60 , 10 ?6 ?1 第 5 组: 60 .
所以第 3 , 4 , 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人. ????????8 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 第 4 组的 2 位 同学为 第 5 组的 1 位同学为

A1 , A2 , A3 ,

B1 , B2 ,

C1 .

则从六位同学中抽两位同学有:

( A , A2 ),( A , A3 ),( A , B1),( A , B2 ),( A , C1), 1 1 1 1 1 ( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C1),
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(B1, B2 ),(B1, C1),(B2 , C1),
共 15 种可能. 其中第 4 组的 2 位同学为

B1 , B2 至少有一位同学入选的有:

( A , B1),( A , B2 ),( A2 , B1),( A2 , B2 ), 1 1 ( A3 , B1 ),(B1, B2 ),( A3 , B2 ),(B1, C1),(B2 , C1), 共 9 种可能,
9 3 ? 所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 15 5 .
????????13 分 17.(北京市怀柔区 2011 年 3 月高三第二学期适应性练习理科)(本小题满分 13 分) 为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队,队员来源人 数如下表: 队别 人数 北京 4 上海 6 天津 3 八一 5

(Ⅰ )从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一支队的概率; (Ⅱ )中国女排奋力拼搏,战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言,设其中来自 北京队的人数 为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,及数学期望 E? . 解:(Ⅰ )“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A,
P( A) ?
2 2 C4 ? C6 ? C32 ? C52 2 ? 2 9 . ----------------------------------------------5 分 C18



(Ⅱ? 的所有可能取值为 0,1,2. ----------------------------------------------------2 分 )
C2 C1C1 C2 91 56 6 P(? ? 0) ? 14 ? P(? ? 1) ? 4 2 14 ? P(? ? 2) ? 4 ? 2 2 153 , C18 153 , C18 C18 153 , ∵

? ∴ 的分布列为:

?
P

0
91 153

1
56 153 [网]

2
6 153

----------------------1 0 分
91 56 6 4 E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 153 153 153 9 . ----------------------------------------------13 分 ∴ 17.(北京市怀柔区 2011 年 3 月高三第二学期适应性练习文科)(本小题满分 13 分)

某网站就观众对 2011 年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查, 其中持各种态度的
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人数如下表: 喜爱程度 人数 喜欢 560 一般 240 不喜欢 200

(Ⅰ )现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为 n 的样本,已知 从不喜欢小 品的观众中抽取的人数为 5 人,则 n 的值为多少? (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,若抽取到的 5 名不喜欢小品的观众中有 2 名为女性,现将抽取 到 的 5 名不喜 欢小品的观众看成一个总体 ,从中任选两名观众,求至少有一名为女性观众的概率. 解: )采用分层抽样的方法,样本容量与总体容量的比为 n :1000 (Ⅰ

n ? 200 ? 5 则不喜爱小品观众应抽取 1000 人

?n ? 25. ---------------------------------------------------------------------------------5 分
(Ⅱ )由题意得,女性观众抽取 2 人,男性观众抽取 3 人, 设女性观众为

a1, a2 ,男性观众为 b1, b2 , b3

则从 5 位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有 10 种可能:

(a1, a2 ),(a1, b1),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a2 , b1), (a2 , b2 ),(a2 , b3 ),(b1, b2 ),(b1, b3 ),(b2 , b3 ), ------------8 分 其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有 7 种可能:

(a1, a2 ),(a1, b1),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a2 , b1), (a2 , b2 ),(a2 , b3 ),
7 所以从 5 位不喜爱小品的观众中抽取两名观众,至少有一名为女性观众的概率为 10
---------13 分 17. (北京市丰台区 2011 年 3 月高三年级第二学期统一练习一理科)(本小题共 13 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动, 当日在该店消费的顾客可参加抽奖. 抽奖箱中有大小完 全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个球,记下上 面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多 取 4 次,并规定若取出“隆” 字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分 顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个 字的球为三等奖. (Ⅰ )求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ )设摸球次数为 ,求 的分布列和数学期望. 解: )设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. (Ⅰ ??1 分

?

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 则 P(A)= 4 4 4 4 256 , (列式正确,计算错误,扣 1 分)
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???3 分

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?
P(B) 种情况.

A 3 -1 5 3 ? 3 4 256

(列式正确,计算错误,扣 1 分) ???5 分

三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 2 2 ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64 .?7 分 P(C)
(Ⅱ )设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1,2,3. ??8 分

P (? ? 1) ?

1 4,

P (? ? 2) ?

3 1 3 ? ? 4 4 16 ,

P (? ? 3) ?

3 3 1 9 27 ? ? ? P (? ? 4) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 4 4 4 64 , 64 . (各 1 分)

故取球次数 ? 的分布列为

?
P
?12 分

1

2

3

4

1 4

3 16

9 64

27 64

1 3 9 27 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 2.75 4 16 64 64 .(约为 2.7)
17. (北京市西城区 2011 年 1 月高三理科试题)(本小题满分 13 分)

?13 分

一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1, 2,3, 4,5, 6 . (Ⅰ)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 2 次,求取出的两个球编号之和为 6 的概率; (Ⅱ)若从袋中每次随机抽取 2 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有 2 次抽到 6 号球的概 率; (Ⅲ)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X ,求随机变量 X 的分布列. 17.(本小题满分 13 分) 【解析】本小题主要考查古典概型概率、离散型随机变量的期望和方差等知识, 考查或然 与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识.(Ⅰ)设先后两次

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从袋中取出球的编号为 m, n ,则两次取球的编号的一切可能结

果 ( m, n ) 有

6 ? 6 ? 36 种,

??2 分

其中和为 6 的结果有 (1,5), (5,1), (2, 4), (4, 2), (3,3) ,共 5 种,

5 则所求概率为 36 .

????4 分

p?
(Ⅱ)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 ?6 分 所以, 3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为

1 C5 1 ? C62 3

.

1 2 2 C32 p 2 (1 ? p) ? 3 ? ( )2 ( ) ? 3 3 9.
(Ⅲ)随机变量 X 所有可能的取值为 3, 4,5,6 .

???8 分 ???9 分

P( X ? 3) ?

3 C3 1 ? 3 C6 20



P ( X ? 4) ?

C32 3 ? 3 C6 20



P ( X ? 5) ?

2 C4 6 3 ? ? 3 C6 20 10



P ( X ? 6) ?

C52 10 1 ? ? 3 C6 20 2

.

????12 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P
?13 分

3 1 20

4 3 20

5 3 10

6 1 2

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