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龙岗区2013-2014学年第一学期高二文科数学期末试题及答案

龙岗区 2013-2014 学年第一学期期末学业评价试题 高二(文科)数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损;考生务必用规定的笔将自己的学 校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上。同时,将监考教师发放的条 形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。不按以上要求作答 的答案无效。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.请保持答题卡的整洁,不折叠、不破损。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。)
1.已知命题 P: ?x ? 1 ,使得 x 2 ? 1 ? 0 ,那么 ?p 是 A. ? x ? 1,均有 x2 ? 1 ? 0 C. ? x ? 1 ,使得 x2 ? 1 ? 0 A.6
2

B. ? x ? 1,均有 x2 ? 1 ? 0 D. ? x ? 1 ,使得 x2 ? 1 ? 0 C.10
2

2.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,公差 d=2,则 a 4 的值为 B .8
2

D.16 D.不能确定

3.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是 A.锐角三角形
2

B.直角三角形

C.钝角三角形

4 .点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,点 P 到直线 x ? ?1 的距离是 3 ,则点 P 到抛物线
y 2 ? 4 x 的焦点的距离是

A.1

B .2

C .3

D.4

5.若 p、q 是两个简单命题,且“p 或 q”是假命题,则必有 A.p 真 q 真 B .p 真 q 假
高二(文科)数学试题

C .p 假 q 真
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D.p 假 q 假

6.下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是
?x ? y ? 1 ? 0 A. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 C. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 B. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0
1

y

?x ? y ? 1 ? 0 D. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0

?2

?1 O

1

x

7.设椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (m ? 0, n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同,离心率为 , 2 2 m n 则此椭圆的方程为
A. D.

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 B. ? C. ? ? ?1 ?1 ?1 64 48 48 64 12 16 8.在等差数列 ?an ? 中 a3 ? a13 ? 3 , a5 ? a11 ? 4 ,则 a13 ? a3 ?
A.1 或 3 B.-2 C .2

x2 y 2 ? ?1 16 12

D.2 或-2

( x)< 0 的解为 9.在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则关于 x 的不等式 x ? f ?

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 10.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,如果存在两项 am 和an 使得 am an ? 4a1 ,

1 4 ? 的最小值为 m n 3 A. 2


B.

5 3

C.

25 6

D.不存在

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)
x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 a2 2 ?y ? 2 ? 12.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
11.若双曲线 13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ,则 a2 ? a18 = 14.函数 y ? x3 的图象在点 A (2,8)处的切线方程为 . . .



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三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 80 分, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 )
15.(本小题满分 12 分) 已知命题 p: ?4 ? x ? a ? 4 ,命题 q:( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ,且 q 是 p 的充分而不必要条 件,求 a 的取值范围.

16.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,其中 a=1,A+C=2B,△ABC 3 3 的面积 S= . 4 (1)求 b 的长; (2)求 sin C 的值.

17.(本小题满分 14 分) 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元, 每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料 都不超过 12 千克.那么通过合理安排生产计划,每天生产的甲、乙两种产品分别多少桶 时,公司共可获得的最大利润?并求出该最大利润.

高二(文科)数学试题

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18.(本小题满分 14 分) 在等比数列{an}中, a2 a3 =32, a 5 =32. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 S1+2S2+…+nSn.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ?0),长轴长为 4. ? ?1 (a ? b ? c)的右焦点 F( 3?, a 2 b2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? b2 上第一象限内的任意一点,过 P 作圆的切线与椭圆 C 的一个交
( x1?, ? y1 )(x1 ? 0?, ? y1 ? 0) ,求证: PQ ? FQ ? 2 . 点为 Q

20.(本小题满分 14 分) 1 1 已知函数 f(x)? x3 ? mx2 ? nx , x ? R . 3 2 (1)当 m ? 1 , n ? ?2 时,求 f ( x)的单调区间;
?1? 上的最大值. (2)当 n ? 0 ,且 m ? 0 时,求 f ( x)在区间 ? ?1?,

高二(文科)数学试题

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高二文科数学参考答案
说明:1.参考答案与评分参考给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答 案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解 答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数 不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:( 10*5=50 分) 1-5 : A B C C D 6-10:A D D B A 二、填空题:( 4*5=20 分) 11.

2

12. 11

13. 34

14. 12x ? y ? 16 ? 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 解: 设 q,p 表示的范围为集合 A,B, 则 A=(2,3),B=(a-4,a+4). ???? 4 分

由于 q 是 p 的充分而不必要条件,则有 A 是 B 的真子集, ???? 6 分 即?
? ?a-4≤2, ?a+4>3 ?

或 ?

? ?a-4<2, ?a+4≥3, ?

???? 10 分 ???? 12 分 ???? 2 分

解得-1≤a≤6. π 16.解:(1)∵A+C=2B,A+B+C=π ,∴B= , 3 3 3 2× 4 1 3 3 2S ∵S= acsin B= ,∴c= = =3. 2 4 asin B 3 1× 2 1 2 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2ac cos B=1+9-6× =7, 2 ∴b= 7. (2)由正弦定理知 = , sin B sin C 3 3× 2 csin B 3 21 ∴sin C= = = , b 14 7

???? 5 分

???? 8 分

b

c

???? 12 分

高二(文科)数学试题

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17. (本小题满分 14 分) 解:设每天分别生产甲产品 x 桶,乙产品 y 桶,相应的利润为 z 元,

x+2y≤12, ? ? 则?2x+y≤12, ? ?x≥0,y≥0,

z=300x+400y,

???? 6 分

在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域 及直线 300x+400y=0, 平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点 A(4,4)时, 相应直线在 y 轴上的截距达到最大, ????12 分 ????10 分

此时 z=300x+400y 取得最大值,最大值是 z=300×4+400×4=2 800, 即该公司生产甲产品 4 桶乙产品 4 桶时可获得的最大利润是 2 800 元. ????14 分 18.(本小题满分 14 分) 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意得
? ?a1q·a1q =32, ? 4 ?a1q =32, ?
2

???? 2 分 ???? 4 分 ???? 6 分

解得 a1=2,q=2, 故 an ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n . (2)∵Sn 表示数列{an}的前 n 项和, ∴ sn ?

2 1 ? 2n ? 2 2n ?1 1? 2
2

?

? ?

?

???? 8 分

∴S1+2S2+?+nSn =2[(2+2·2 +?+n·2 )-(1+2+?+n)] =2(2+2·2 +?+n·2 )-n(n+1), 设 Tn=2+2·2 +?+n·2 ,① 则 2Tn=2 +2·2 +?+n·2 ①-②,得 -Tn=2+2 +?+2 -n·2 ∴ Tn ? ?n ? 1?2
n?1
2 2 3 2 2

n

n

???? 10 分

n

n+1

,②

n

n+1



-2 1-2

n

-n·2

n+1

=(1-n)2

n+1

-2,?? 12 分 ???? 13 分

?2
n+1

∴S1+2S2+?+nSn=2[(n-1)2

+2]-n(n+1)

高二(文科)数学试题

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? ?n ? 1?2 n?2 ? 4 ? n?n ? 1? .
19.(本小题满分 14 分) 解:(1)由题得 a ? 2, c ? 3.

???? 14 分

?????2 分 ????4 分

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1.
代入,得:

x2 ? y2 ? 1 4

?????6 分
2

(2)? Q( x1 , y1 )在椭圆上,

?

x1 2 ? y1 ? 1. 4

????8 分

2 则 FQ ? ( x1 ? 3) 2 ? y1 ? (2 ?

3 2 3 x1 ) ? 2 ? x1 2 2
x12 3 ?1 ? x ? 4 2 1

?????10 分

| PQ |? OQ2 ? OP2 ? x12 ? y12 ? 1 ? x12 ? 1 ?
? | PQ | ? | FQ |? 2.
20.(本小题满分 14 分) 解:(1)当 m ? 1 , n ? ?2 时, f ( x) ?
2 则 f ?( x) ? x ? x ? 2

????13 分

??????14 分

1 3 1 2 x ? x ? 2x , 3 2

??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

令 f ?( x) ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 , x ? 1 ,
2

当 x ? 1 或 x ? ?2 时,有 f ?( x) ? 0 ; 当 ?2 ? x ? 1 时,有 f ?( x) ? 0 ,???? 5 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间 ? ??, ?2? 和 (1, ??) ,

f ( x) 的单调递减区间 ? ?2,1? .
(2)当 n ? 0 ,且 m ? 0 时, f ( x) ?

?????7 分

1 3 1 2 x ? mx , x ? R . 3 2
????8 分

2 ' 则 f ?( x) ? x ? mx , 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?m .

①当 ? m ? ?1 ,即 m ? 1 时,
高二(文科)数学试题 第 7 页 共 8 页(2014.01)

当 ?1 ? x ? 0 时,有 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (?1, 0) 上为减函数, 当 0 ? x ? 1 时,有 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0,1) 上为增函数, ???9 分

1 1 1 1 ? m , f (1) ? ? m , 3 2 3 2 1 1 所以 f ( x ) 的最大值为 f (1) ? ? m ; 3 2
又 f ( ?1) ? ? ②当 ?1 ? ? m ? 0 ,即 0 ? m ? 1 时,

????10 分

此时当 ?1 ? x ? ? m 或 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?m ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 所以 f ( x ) 在 (?1, ?m) 和 (0,1) 上为增函数,在 (?m, 0) 上为减函数.???12 分

1 1 1 1 1 1 1 f (?m) ? (?m)3 ? m(?m) 2 ? m3 ? , f (1) ? ? m ? , 3 2 6 6 3 2 3 1 1 所以 f ( x ) 的最大值为 f (1) ? ? m , ????13 分 3 2 1 1 综上, f ( x ) 在区间 ??1,1? 上的最大值为 ? m . ?????14 分 3 2

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