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《方程的根与函数的零点》说课稿


《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修 1 第三章《函数的应用》第一 节《函数与方程》的第一课时,主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、 函数零点存在性定理,是一节概念课. 新课标教材新增了二分法,也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的 近似解”打基础,零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识. 之前的教材虽然没有设置本节内容, 但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的, 所 以将本节课直接编入教材很有必要. 本节课也就不仅为二分法的学习做准备, 而且为方程与 函数提供了零点这个连接点,从而揭示了两者之间的本质联系,这种联系正是“函数与方程 思想”的理论基础.用函数的观点研究方程,本质上就是将局部的问题放在整体中研究,将 静态的结果放在动态的过程中研究, 这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠 定了坚实的基础. 从研究方法而言, 零点概念的形成和零点存在性定理的发现, 符合从特殊到一般的认识规律, 有利于培养学生的概括归纳能力,也为数形结合思想提供了广阔的平台. 1.2 教学重点 基于上述分析,确定本节的教学重点是:了解函数零点概念,掌握函数零点存在性定理. 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习,学生已经了解一些基本初等函数的模型,具备一定的看图识图能力,这为 本节课利用函数图象,判断方程根的存在性提供了一定的知识基础. 方程是初中数学的重要内容,用所学的函数知识解决方程问题,扩充方程的种类,这是学生 乐于接受的,故而学生具备心理与情感基础. 2.2 学生缺乏函数与方程联系的观点. 高一学生在函数的学习中,常表现出不适,主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表 现为将函数孤立起来,认识不到函数在高中数学中的核心地位. 例如一元二次方程根的分布问题,学生自然会想到韦达定理,而不是看二次函数的图象.函 数与方程相联系的观点的建立, 函数应用的意识的初步树立, 就成了本节课必须承载的任务. 2.3 直观体验与准确理解定理的矛盾. 从方程根的角度理解函数零点, 学生并不会觉得困难. 而用函数来确定方程根的个数和大致 范围,则需要适应.换言之,零点存在性定理的获得与应用,必须让学生从一定量的具体案 例中操作感知,通过更多的举例来验证. 定理只为零点的存在提供充分非必要条件,所以定理的逆命题、否命题都不成立,在函数连 续性、简单逻辑用语未学习的情况下,学生对定理的理解常常不够深入.这就要求教师引导 学生体验各种成立与不成立的情况,从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适 用范围. 2.4 教学难点 基于上述分析,确定本节的教学难点是:对零点存在性定理的准确理解.

3 目标分析 依据新课标中的内容与要求,以及学生实际情况,指定教学目标如下: 3.1 知识与技能目标: 1、了解函数零点的概念:能够结合具体方程(如二次方程) ,说明方程的根、函数的零点、 函数图象与 x 轴的交点三者的关系; 2、理解函数零点存在性定理:了解图象连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零 点的一个充分条件;了解函数零点可能不止一个; 3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数,及所在区间. 3.2 过程与方法目标: 1、经历“类比—归纳—应用”的过程, 感悟由具体到抽象的研究方法,培养归纳概括能力. 2、初步体会函数方程思想,能将方程求解问题转化为函数零点问题. 3.3 情感、态度和价值观目标: 1、体会函数与方程的“形”与“数” 、 “动”与“静” 、 “整体”与“局部”的内在联系. 2、体验规律发现的快乐. 4 过程分析 4.1 教学结构设计: 4.2 教学过程设计: (一)创设情境,感知概念 1、实例引入 解方程: (1)2-x=4; (2)2-x=x. 意图:通过纯粹靠代数运算无法解决的方程,引起学生认知冲突,激起探求的热情. 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系. 填空: 方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 根 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 图象

图象与 x 轴的交点 两个交点: (-1,0),(3,0) 一个交点:(1,0) 没有交点 问题 1:从该表你可以得出什么结论? 归纳: 判别式Δ Δ >0 Δ =0 Δ <0 方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 两个不相等的实数根 x1、x2 有两个相等的 实数根 x1 = x2 没有实数根 函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

函数的图象与 x 轴的交点 两个交点: (x1,0),(x2,0) 一个交点: (x1,0) 无交点 问题 2:一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系? 学生讨论,得出结论:一元二次方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标. 意图: 通过回顾二次函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系,为一般函数及相应方程 关系作准备. 3、一般函数的图象与方程根的关系. 问题 3:其他的函数与方程之间也有类似的关系吗?请举例! 师生互动,在学生提议的基础上,老师加以改善,现场在几何画板下展示类似如下函数的图 象:y=2x-4,y=2x-8,y=ln(x-2),y=(x-1)(x+2)(x-3).比较函数图象与 x 轴的交点 和相应方程的根的关系,从而得出一般的结论: 方程 f(x)=0 有几个根, y=f(x)的图象与 x 轴就有几个交点, 且方程的根就是交点的横坐标. 意图:通过各种函数,将结论推广到一般函数,为零点概念做好铺垫.

(二)辨析讨论,深化概念. 4、函数零点. 概念:对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 即兴练习:函数 f(x)=x(x2-16)的零点为 ( D ) A.(0,0),(4,0) B.0,4 C.(–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4 设计意图:及时矫正“零点是交点”这一误解. 说明:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. ②求函数零点就是求方程 f(x)=0 的根. 5、归纳函数的零点与方程的根的关系. 问题 4:函数的零点与方程的根有什么共同点和区别? (1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (2)区别:零点对于函数而言,根对于方程而言. 以上关系说明:函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些 方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础. 练习:求下列函数的零点: 设计意图:使学生熟悉零点的求法(即求相应方程的实数根) . (三)实例探究,归纳定理. 6、零点存在性定理的探索. 问题 5:在怎样的条件下,函数 y=f(x)在区间[a,b]上一定有零点? 探究: (1)观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象: 在区间[-2,1]上有零点______; f(-2)=_______,f(1)=_______,f(-2)·f(1)_____0( “<”或“>” ) . 在区间(2,4)上有零点______;f(2)·f(4)____0( “<”或“>” ) . (2)观察函数的图象: ①在区间(a,b)上___(有/无)零点;f(a)·f(b) ___ 0( “<”或“>” ) . ②在区间(b,c)上___(有/无)零点;f(b)·f(c) ___ 0( “<”或“>” ) . ③在区间(c,d)上___(有/无)零点;f(c)·f(d) ___ 0( “<”或“>” ) . 意图:通过归纳得出零点存在性定理. 7、零点存在性定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么, 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x) =0 的根. 即兴练习:下列函数在相应区间内是否存在零点? (1)f(x)=log2x,x∈[,2]; (2)f(x)=ex-1+4x-4,x∈[0,1]. 意图:通过简单的练习适应定理的使用. (四)正反例证,熟悉定理. 8.定理辨析与灵活运用 例 1 判断下列结论是否正确,若不正确,请使用函数图象举出反例: (1)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内有且仅有一 个零点. ( × )

(2)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)≥0,则 f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( × ) (3)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]满足 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内存在零点. ( × ) 请一位学生板书反例,其他学生补充评析,例如: 归纳:定理不能确零点的个数;定理中的“连续不断”是必不可少的条件;不满足定理条件 时依然可能有零点. 意图:通过对定理中条件的改变,将几种容易产生的误解正面给出,在第一时间加以纠正, 从而促进对定理本身的准确理解. 9、练习: (1)已知函数 f (x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 -7 11 -5 -12 -26 那么函数在区间[1,6]上的零点至少有 ( C ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 (2)方程– x 3 – 3x + 5=0 的零点所在的大致区间为 ( ) A.(– 2,0) B.(0,1) C.(0,1) D.(1,2) 意图:一方面促进对定理的活用,另一方面为突破后面的例题铺设台阶.

(五)综合应用,拓展思维. 10、例题讲解 例 2:求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数,并确定零点所在的区间[n,n+1](n∈Z). 解法 1(借助计算工具) :用计算器或计算机作出 x、f(x)的对应值表和图象. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表或图象可知,f (2)<0,f (3)>0,则 f (2) f (3)<0,这说明函数 f(x)在区间(2,3)内有零点. 问题 6:如何说明零点的唯一性? 又由于函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以它仅有一个零点. 解法 2(估算) :估计 f(x)在各整数处的函数值的正负,可得如下表格: x 1 2 3 4 f(x) - - + + 结合函数的单调性,f(x)在区间(2,3)内有唯一的零点.

解法 3(函数交点法) :将方程 lnx+2x-6=0 化为 lnx=6-2x,分别画出 g(x)=lnx 与 h(x)=6-2x 的草图,从而确定零点个数为 1.继而比较 g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小,确定交点所在 的区间,即零点的区间. 由图可知 f(x)在区间(2,3)内有唯一的零点. 意图:通过例题分析,能根据零点存在性定理,使用多种方法确定零点所在的区间,并且结 合函数性质,判断零点个数.解法 3 作为选讲内容,视学生基础而定. 练习 求方程 2-x =x 的解的个数,并确定解所在的区间[n,n+1](n∈Z). 意图:一方面与引例相呼应,又作为例题方法的巩固,也为下一节课作铺垫. (六)总结整理,提高认识. (1)一个关系:函数零点与方程根的关系: (2)两种思想:函数方程思想;数形结合思想. (3)三种题型:求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间. (七)布置作业,独立探究. 1.函数 f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5,6]上是否存在零点?若存在,有几个? 2.利用函数图象判断下列方程有几个根: (1)2x(x-2)=-3; (2)ex-1+4=4x. 3.结合上课给出的图象,写出并证明下列函数零点所在的大致区间: (1)f(x)=2xln(x-2)-3; (2)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x. 思考题:方程 2-x =x 在区间______内有解,如何求出这个解的近似值?请预习下一节. 设计意图:为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备. 5.4 板书设计

5 教法分析 新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式,本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应 用方面,都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会.教师主要起引导作用, 充分信任学生、依靠学生.只有充分激活了学生的思维,这节课的各环节才能顺利推进,内 容才会丰富充实,方法才会异彩纷呈.所以这节课总的设计理念是以学生为主体. 新课标注重提高学生的数学思维能力,本节课让学生直观感知概念,观察发现规律,归纳概 括定理,对思维能力有一定的要求,也提供了充足的媒介. 概念与定理的建立是一个感知、 探究的过程, 不仅关注知识的掌握, 也关注学生的学习过程, 把体验、尝试、发现的机会交给学生. 教法与学法归纳为: 紧扣教材、重组教材;信任学生、依靠学生; 学生主体、教师主导;注重思维、注重过程.


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