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从力做的功到向量的数量积导学案


从力做的功到向量的数量积 一、教学目标: 1.知识与技能 (1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何 意义。 (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系; 向量的夹角。 (3)掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识( “做功” )得到向量的数量积的含义及其物理意 义、几何意义。通过讲解例题,培养学生逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习,使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧 密的联系;让学生进一步领悟数形结合的思想;同时以较熟悉的物理背景去理解向 量的数量积,有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量数量积的概念、物理意义、几何意义及其性质;向量数量积的运算律. 难点: 对向量数量积概念的理解和应用。 三.学法 (1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存 在的差距. 四.教学设想 创设问题情景, 创设问题情景,引出新课 1、问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的 结果是什么? 2、问题 2:两个向量之间能进行乘法运算吗?物理学中有没有两个向量之间的 有关乘法运算? 阅读课文第 91 页实例分析。 回答下列问题: (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S,那么力 F 所做的功:W= (2)这个公式有什么特点?请完成下列填空:
F

量, ② F(力)是 量, ① W(功)是 量, ④ θ是 。 ③ S(位移)是 0°≤θ<90°时,w 0,力做 功;θ=90°,w 0,力不做功; 90°<θ≤180°,w 0,力做 功。 (3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

θ

s

(4)如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量,其结果又该如何表述? 还应该注意什么问题?

探究问题: 探究问题: 1、向量的夹角:

r a

uuu r uuu r 已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,∠AOB=θ
(0°≤θ ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角。 当θ=0°时, a 与 b 同向;当θ=180°时, a 与 b 反向; 当θ=90°时, a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 规定:零向量可与任一向量垂直。 规定:零向量可与任一向量垂直。 画出以下几组向量的夹角:
O

r b

A
θ

B

练习:在 ?ABC 中已知 A=45°,B=50°,C=85°。 uuu uuur r uuu uuu r r uuur uuu r 求下列向量的夹角: (1) AB与 AC (2) AB与BC (3) AC与BC 的夹角。 2、射影的概念 r r r b cos θ 叫作向量 b 在 a 方向上的射影。

r r 给出如下六个图形,让学生指出 b 在 a 方向上的射影,并判断其正负。
B B B

r b

r b

θ
O

θ
r B1 a A
B1 O

r a A

θ r A O( B1 ) a

O

A

B

B

O

A

注意:①射影也是一个数量,不是向量。 注意 ②当θ为锐角时射影为 值;当θ为钝角时射影为 值;当θ为直角时射影 为 ;当θ = 0°时射影为 ;当θ = 180°时射影为

3、数量积的定义: 已知两个向量 a 与 b ,它们的夹角为θ,我们把数量︱ a ︱·︱ b ︱cos cosθ叫做 a cos 与 b 的数量积(或内积) ,记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos cosθ cos r r r r rr 注意: 注意:① a ? b 不能写成 a × b 或 ab 的形式。 ②两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹 角有关。其正负如何确定? r r r r 当 θ 为锐角时, a ? b = a b cos θ >0;
r r r r 当 θ 为钝角时, a ? b = a b cos θ <0; r r r r 当 θ = 90° 时, a ? b = a b cos θ =0; r r r r 当 θ = 0° 时, a ? b = a b ; r r r r 当 θ = 180° 时, a ? b = ? a b 。

r r r 数量积的几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 方向上投影 b cos θ 的 r r r r 乘积,或 b 的长度︱ b ︱与 a 在 b 方向上投影 a cos θ 的乘积。
ur r 数量积的物理意义:力 F 与其作用下物体位移 s 的数量积 F ? s
4、向量数量积的性质

请完成下列练习,并通过观察,看看自己能否发现向量数量积的性质。

r π r r r (1)已知 a = 8 , e 为单位向量,当它们的夹角为时 ,求 a 在 e 方向上的投影及 3 r r r r a ? e、e ? a
性质为: r r r r r r (2)已知 a = 2 , b = 3 , a 与 b 的交角为 θ = 90° ,则 a ? b = 性质为: r r r r r r (3)若 a = 1 , b = 3 , a 、 b 共线,则 a ? b = 性质为:

ur r r r r r (4)已知 m = 3 , n = 4 ,且 m ? n = 6 ,则 m 与 n 的夹角为

性质为:
r r r r r r 性质: 性质: (1)e是单位向量, a ? e = e ? a = a cos θ
(2) θ = 90° ? a ⊥ b ? a ? b = 0

r r

r r r r r r (3)a // b ? a ? b = ± a b

r r r2 r r * 特别地:a ? a = a 或 a = a 2 r r r r a ?b * ( 4 ) cos θ = r r , a b ≠0) ( a b
r r r r r r (5) a ? b ≤ a b (当且仅当a // b时等号成立)
5、运算定律:

已知向量 a 、 b 、 c 和实数λ,则:
1.交换律: a · b = b · a 2.数乘结合律: (λ a ) b =λ( a · b )= a · · (λ b ) 3.分配律: ( a + b ) c = a · c + b · c ·

巩固深化, 巩固深化,发展思维
判断下列各题是否正确。

r ①若 a = 0 ,则对任一向量 b ,有 a · b = 0. r r ②若 a ≠ 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a · b ≠ 0 . r r ③若 a ≠ 0 , a · b = 0,则 b = 0 .
④若 a · b = 0,则 a 、 b 至少有一个为零.

( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) )

r r r ⑤ 若 a ≠ 0 , a · b = a · c ,则 b = c
r r r ⑥对任意向量 a , b , c ,有( a · b ) · c ≠ a · b · c ) (
⑦对任意向量 a ,有 a · a = | a |2.

应用与提高 例 1、 (1)已知︱ a ︱=5,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角θ=120°,求 a · b 。 (2)已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°,求( a +2 b )( a -3 b ) · ( 2 3 , | a +2 b |;并思考此运算过程类似于哪种实数运算? 2 例 2、对任意向量 a ,b 是否有以下结论: (1) ( a + b )2= a 2+2 a · b + b 2 (2) ( a + b )·( a - b )= a — b 学习小结: (学生总结,其他学生补充) ①向量的夹角、射影、向量的数量积. ②向量数量积的几何意义和物理意义. ③向量数量积的五条性质. ④向量数量积的运算律. ⑤体现了数形结合的数学思想。
2 2

随堂练习:1、课本第 93 页 1、2. r r r r r r 2、已知 a = 2, b = 5, a ? b = ?3 ,则 a + b =

r r , a ?b =

.

3 、 已 知 : ︱ a ︱ =2, ︱ b ︱ =3, a 与 b 的 夹 角 θ =120 ° , 求 · 2 (3 a + b )( a -2 b ) 五、评价设计
一、课后作业:

1、课本 P95 习题 2-5,2、4、6 2、 拓展与提高: 已知 a 与 b 都是非零向量, a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,a -4 b 且 与 7 a -2 b 垂直,求 a 与 b 的夹角。 (本题供学有余力的同学选做) 二、课后讨论 平面向量数量积,是两个向量之间的一种乘法运算,它与两个实数之 间的乘法运算是否一样满足交换律、分配律、结合律呢?能否给出你的结 论的证明? 六、教学反思:


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