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2009年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题


2009 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

1.已知 ?ABC 是钝角三角形,且角 C 为钝角,则点 P ( sin A + sin B ? sin C ,sin A ? cos B ) 落在( ▲ ) D.第四象限

2 . 已 知 集 合 M = {3, log 2 x 4} , N = { x, y} , 且 M I N = {2} , 函 数 f : M → N 满 足 : 对 任 意 的

x ∈ M , 都有x + f ( x ) 为奇数 ,满足条件的函数的个数为
B.1 C.2

( ▲ ) D.4

4. 已知函数 f ( x + 2 ) 为奇函数, 且满足 f ( 6 ? x ) = f ( x ) ,f (3) = 2 , f ( 2008 ) + f ( 2009 ) 的值 ▲ ) 则 ( A.0
4

A.0

B.2
2

C. ? 2

D.2009 ( ▲ )

5.已知函数 f ( x ) = sin x + cos x + A.最大值为 2 C.一条对称轴为 x = 6. 已知函数 f ( x ) = 2
x ?1

1 sin 2 x cos 2 x ( x ∈ R ) ,则 f ( x ) 4

π
4

B.最小正周期为 π

D.一个对称中心为 (?

π 7 , ) 16 8

? 2 , 关于 x 的方程 f 2 ( x ) ? 2 f ( x ) + k = 0 , 下列四个命题中是假命题的 ▲ ) ( .

A.存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; B.存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; C.存在实数 k ,使得方程恰有 6 个不同的实根; D.存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 7.如图,在 ?OAB 中,点 P 是线段 OB 及 AB、AO 的延长线所围成的阴影区域内(含边界) N 实数对 ( x, y ) 所表示的区域在直线 y ? x = 3 的右下侧部 分的面积是( ▲ ) A. 的任意一点, OP = xOA + yOB , 且 则在直角坐标平面上,

uuu r

uuu r

uuu r

P

B

7 2

B.

9 2

C.4

D.不能求

? 4 3 2 1 O 1? M 8.已知函数 f ( x ) = x + ax + bx + cx + d a, b, c, d 为实常数 的图象经过三点 A ? 2, ? , B ? 3, ? , ? ? 2? ? 3? ? ? 1? ( ▲ ) C ? 4, ? ,则 f (1) + f ( 5 ) 的值等于 ? 4?

(

)

A

A.0

B.1

C.

26 5

D.25

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9.已知 α , β 10.若 ( x +

? π? ∈ ? 0, ?, sin β = 2cos (α + β ) sin α ,若 tan (α + β ) = 3, 则 tan α = 且 ? 2?
,则



。.

11.函数 f ( n ) = n ? 1 + n ? 2 + n ? 3 + L + n ? 100 + 50n ( n ∈ N + ) 的最小值等于 12.设函数 f ( x ) = 3
x

y) 5 ? x 5 + y = 0
,若

y=



。 ▲
2?



1 + 3x

[ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则函数 ? f ( x ) ? 1 ? + ? f ( ? x ) + 1 ? 的值域是 ? ? ? ?
? 2? ?

13. 已知二次函数 f ( x ) = x ? 2mx + 1 , 若对于 [ 0,1] 上的任意三个实数 a, b, c , 函数值 f ( a ) , f ( b ) , f ( c )
2

都能构成一个三角形的三边长,则满足条件的 m 的值可以是 14.如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数,然后 把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到 下一行,数表从左到右、从上到下无限。则 2000 在表中出 现 ▲ 次。



。 (写出一个即可)

1 3 8

2 5 20

3 7 28

4 9 36

5 11

6

7



13 … 24 …

12 16 20 48 … 64 80 … …

44 … …

高一数学竞赛试卷

第 1 页(共 6 页)

112 144 …

三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 15. (本题满分 16 分)如图,已知 O 为 ?ABC 的外心, a, b, c分别是 角 A、 B、C 的对边,且满足 CO ? AB = BO ? CA 。 (1)推导出三边 a, b, c 之间的关系式; (2)求

uuu uuu r r

uuu uuur r

C

tan A tan A + 的值。 tan B tan C

16. (本题满分 19 分)已知函数 f ( x ) =

1 , 对于n ∈ N + ,定义 1? x f1 ( x ) = f ( x ) , f n +1 ( x ) = f ? f n ( x ) ? ,偶函数 g ( x ) 的定义域为 { x x ≠ 0} , ? ?

O

当 x > 0 时, g ( x ) = f 2009 ( x ) 。 (1)求 g ( x ) ;

A

B

(2)若存在实数 a, b ( a < b ) 使得该函数在 [ a, b] 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零实数 m 的 取值范围。

答案解析: 答案解析:
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 1.D 解:由正弦定理 sin A + sin B ? sin C =

1 π π ( a + b ? c ) > 0 ,角 C 为钝角得 A + B < , A < ? B , 2R 2 2

所以 sin A < sin ? π ? B ? = cos B, 所以 sin A ? cos B < 0 ,选 D ? ? 2.B 解:由已知得 x = 1, y = 2 , M = {3, 2} , N = {1, 2} ,对任意的 x ∈ M , 都有x + f ( x ) 为奇数,所以 解 : 由 已 知 得 f ( ? x + 2 ) = ? f ( x + 2 ) , 所以f ( x ) = ? f ( 4 ? x ),又 f ( 6 ? x ) = f ( x ) , 推 出

?2

?

满足条件的函数只有一个即 f ( 3) = 2, f ( 2 ) = 1 。 4.C

得 f ( 0 ) = f ( 4 ) = f ( 2 ) = 0 ,选 C 5.D
4

f ( x + 4 ) = f ( x ) ,所以 f ( 2008 ) + f ( 2009 ) = f ( 0 ) + f (1) , f (1) = ? f ( 4 ? 1) = ?2 ,又由上面关系式推 1 1 sin 4 x = 1 ? sin 2 x cos 2 x + sin 4 x 8 8 1 2 1 1 1 7 2 π? 7 ? = 1 ? sin 2 x + sin 4 x = cos 4 x + sin 4 x + = sin ? 4 x + ? + ,选 D 4 8 8 8 8 8 4? 8 ?
解:因为 f ( x ) = sin x + 1 ? sin x +
2

6.D

解:设 t = f ( x ) , t ? 2t + k = 0,因为对称轴为x = 1, 所以当t1 = 3, t2 = ?1 时,A 答案正确;
2

当 t1 = 0, t2 = 2 ,B 答案正确;当 t1 = 7.A

1 3 , t2 = 时,C 答案正确;选 D。 2 2

解:如图 过P作MN // OB ,则 uuu uuuu uuur r r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r OP = OM + MP = m AO + nMN = m AO + n AN ? AM uuur uuu uuur r = m AO + n (1 + m ) AB ? AO uuu r uuu r = ? mOA + n (1 + m ) OB ( m ≥ 0, 0 ≤ n ≤ 1)

N

(

)

(

)

P

B

?x ≤ 0 ?x ≤ 0 ? x = ?m ? ? ? 所以 ? ?? ? ?y ≥ 0 y ≤1 ? ? y = n (1 + m ) ?0 ≤ n = ? 1? x ? ?x + y ≤ 1 如图,选 A 8.D
高一数学竞赛试卷

A M O

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解:由已知,设

1? ? g ( x ) = ? f ( x ) ? ? x = x 5 + ax 4 + bx3 + cx 2 + dx ? 1 x? ?
1 ? ? = ( x ? 2 )( x ? 3)( x ? 4 ) ? x 2 + mx + ? 24 ? ?
所 以
f ( x) =

( x ? 2 )( x ? 3)( x ? 4 ) ? x2 + mx + ?
? x

1 ? ? 24 ?

+

1 x



21 ? 25 ? f (1) = ?6 ? + m ? + 1 = ? ? 6m 4 ? 24 ?



1 ? ? 6 ? 25 + 5m ? ? 24 ? + 1 = 121 + 6m ,所以 f (1) + f ( 5 ) = 25 ,选 D f ( 5) = 5 5 4 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。

9.1。解:由知得 sin (α + β ? α ) = 2 cos (α + β ) sin α ? sin (α + β ) cos α = 3cos (α + β ) sin α

? tan (α + β ) = 3 tan α ? tan α = 1
5

10.0。解:原方程可化为 ( x + y ) + ( x + y ) = x + x ? x + y = x ? y = 0
5

11.4400。解:因为 f ( n + 1) ? f ( n ) = n ? n ? 100 + 50 = ?

?150, n > 100 ?2n ? 50,1 ≤ n ≤ 100

所以f (1) > f ( 2 ) > L > f ( 25) = f ( 26 ) < f ( 27 ) < L 所以f ( n )的最小值为f ( 25 ) = f ( 26 ) = 4400
12.{0,1}。解:由已知得 0 < f ( x ) < 1, f ( x ) + f ( ? x ) = 1, 所以当f ( x ) = f ( ? x ) =

1 时, 值为1; 2

1 1 当0 < f ( x ) < 时, 值为0;当 < f ( x ) < 1时, 值为0; 所以值域为{0,1} 2 2
13. ? 0, 2 ? 内的任一实数。解:由题意当 x ∈ ? ? ? 2 ? ? ? 当 m ≤ 0 时, ? 当 m ≥ 1 时, ? 当0 < m ≤

? [0,1]时, ? f ( x ) min > 0 ?

? 2 f ( x ) min > f ( x ) max ?



? f ( x ) min = f ( 0 ) = 1 > 0 ? 不存在; ? 2 f ( x ) min = 2 > f ( x ) max = f (1) = 2 ? 2m ? m > 0, ?

? f ( x ) min = f (1) = 2 ? 2m > 0 3 ? ? m < ,不存在; 4 ? 2 f ( x ) min = 4 ? 4m > f ( x ) max = f ( 0 ) = 1 ?

2 ? 1 ? f ( x ) min = f ( m ) = 1 ? m > 0 时, ? ? 0 < m < 1, 2 2 ? 2 f ( x ) min = 2 ? 2m > f ( x ) max = f (1) = 2 ? 2m ?

1 ; 2 ? f ( x ) min = f ( m ) = 1 ? m 2 > 0 1 2 2 ? 当 < m < 1 时, ? , ?? <m< 2 2 2 2 ?2 f ( x ) min = 2 ? 2m > f ( x ) max = f ( 0 ) = 1 ?
所以这时 0 < m ≤

2 所以这时 1 < m < 2 ;综上所述 0 < m < 。 2 2 2
14.4。解:由数表推得,每一行都是等差数列,第 n 行的公差为 2
n ?1

记第 n 行的第 m 个数为

f (n, m ) ,则 f ( n,1) = f ( n ? 1,1) + f ( n ? 1, 2 )
f ( n,1) 2
n



= 2 f ( n ? 1,1) + 2n ? 2 ?

=

f ( n ? 1,1) 2n ?1

+

1 4
第 2 页(共 4 页)

高一数学竞赛试卷

算得 f ( n,1) = ( n + 1) ? 2

n?2

? f ( n, m ) = f ( n,1) + ( m ? 1) ? 2n ?1 = 2n ? 2 ( 2m + n ? 1)( n ∈ N + )

2n ? 2 ( 2m + n ? 1) = 2000 = 24 × 53 ,当n = 1,3,5, 6时符合。 答案为 4。
三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 15.解:(1)取 AB、AC 的中点 E、F,则 uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu uuu 1 uuu uuu uuu uuu r r r r r r r r r CO ? AB = (CE + EO) ? AB = CE ? AB = CB + CA ? CB ? CA 2 1 2 2 = ( a ? b )LLLLLLL 4分 2

C

(

)(

)

F O

同理 BO ? CA

=

tan A tan A ? cos B cos C ? sin A sin ( B + C ) ? sin A + =? + = LLLLL12分 ?? (2) tan B tan C ? sin B sin C ? cos A sin B ? sin C ? cos A = a2 = 2LLLLLL16分 b2 + c2 ? a2 bc ? 2bc

1 2 c ? a2 2

(

);所以 2a

2

= b 2 + c 2 ………8 分
A E B

1 x ?1 1 16.解: (1)因为 f ( x ) = f ( x ) = 1 , f ( x ) = f f ( x ) = = , f3 ( x ) = f ? f 2 ( x )? = =x (1 ) 1 2 ? ? 1 x ?1 1? x x 1? 1? 1? x x

f 4 ( x ) = f [ f 3 ( x )] =

1 , 所以迭代函数以 3为周期 ,f 1? x
?x ? 1 1 = 1+ , ?x x

2009

( x ) = f 2 (x ) =

x ?1 ……(5 分) x

设 x < 0, 则 ? x > 0, g ( x ) = g ( ? x ) = 所以

? 1 ?1+ x , x < 0 ………………(9 分) ? g ( x) = ? 1 ?1? , x > 0 ? x ? 图象如右: (2)因为 a < b, ma > mb > 0 ? m < 0, a < b < 0 ;

又因为 mb

≠ 0 ,所以 ? 1 ? [a, b] (否则 m = 0, mb = ma = 0 ,矛盾)

? 1 ?1 + = ma 1 ? 当 a < b < ?1, 则f ( x ) = 1 + 在(?∞, ?1]上是减函数 由题意 ? a x ?1 + 1 = mb ? b ? 1 1 1 2 所以 a, b是方程1 + = mx的两不同实根, ? x ? x ? = 0在 ( ?∞, ?1) 有两个不同实根, x m m
1 4 ? ?? = m 2 + m > 0 ? 1 1 1 ? ? g ( ?1) = 1 + ? > 0 ? ? < m < 0LLLL (15分 ) m m 4 ? ? 1 ? 2m < ?1 ?

1 ? ??1 ? a = mb 1 ? 当 ? 1 < a < b < 0时, 则f ( x ) = ?1 ? 在( ?1,0)上是增函数,由题意 ? x ??1 ? 1 = ma ? b ? ? a = b不合.

综上所述 ?

1 < m < 0 。----------------------------19 分。 4
高一数学竞赛试卷 第 3 页(共 4 页)


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