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19年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理

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第五节

两角和与差及二倍角的三角函数

[考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差 的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公 式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

(对应学生用书第 57 页)

[基础知识填充]

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β ;

(2)cos(α ±β )=cos α cos β ?sin α sin β ;

(3)tan(α

±β

)=1t?atnanα

±tan α tan

β β

.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α =2sin α cos α ; (2)cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ;

(3)tan 2α =12-tatnanα2α .

3.有关公式的变形、逆用

(1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β );

(2)cos2α =1+co2s 2α ,sin2α =1-co2s 2α ,sin α cos α =sin22α ;

(3)1+sin 2α =(sin α +cos α )2,1-sin 2α =(sin α -cos α )2,

sin α ±cos α = 2sin???α ±π4 ???.

[知识拓展]

1.辅助角公式

asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )???其中tan φ =ba???.

1

2.sin 15°=

6- 4

2,cos 15°=

6+ 4

2,tan 15°=2-

3.

3.tan

α 2

=1+sicnosα

α

=1-sicnosα α

.

4.sin 2α =12+tatnanα2α ,cos 2α =11- +ttaann22αα .

[基本能力自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( )

(2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( )

(3)公式

tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β

可以变形为

tan

α

+tan

β

=tan(α



β )(1-tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( )

(4)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )

A.-

3 2

B.

3 2

1 C.-2

1 D.2

D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° 1
=sin(20°+10°)=sin 30°=2,故选 D.]

3.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α -cos α =43,则 sin 2α =(

)

A.-79

B.-29

C.29

D.79

A [∵sin α -cos α =43,

∴(sin

α

-cos

α

)2=1-2sin

α

cos

α

=1-sin



16 =9,

∴sin 2α =-79.故选 A.]

4.函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________.

-2 [函数 f(x)=2sin???x+π6 ???的最小值是-2.]

2

5.若锐角 α ,β 满足 tan α +tan β = 3- 3tan α tan β ,则 α +β =________.

π 3

[由已知可得t1a-ntαan+αtatnan

β β



3,即 tan(α +β )=

3.又 α +β ∈(0,π ),

所以 α +β =π3 .]

(对应学生用书第 58 页)

三角公式的基本应用

(1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若 cos θ =23,θ 为第四象限角,则

cos???θ +π4 ???的值为( )

A.

2+ 6

10

B.2

2+ 6

10

2- 10 C. 6

2 2- 10 D. 6

(2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角 α ,β 满足 sin α =45,tan(α

2 -β )=3,则 tan β =________.

(1)B (2)167 [(1)因为 cos θ =23,θ 为第四象限角,则 sin θ =- 35,故 cos???θ +π4 ???

= 22cos θ - 22sin θ = 22×???23+ 35???=2

2+ 6

10,故选 B.

(2)因为锐角 α

4 满足 sin α =5,所以 cos α =

1-sin2α

3 =5,则 tan α

sin =cos

α α

42

4 =3,tan

β

=tan[α

-(α

-β

)]=1t+antaαn

-tan(α α tan(α

-β -β

) 3-3 6 )= 8=17.]
1+9

[规律方法] 三角函数公式的应用策略 使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. 使用公式求值,应先求出相关角的三角函数值,再代入公式求值.

[跟踪训练] 已知 α ∈???π2 ,π ???,sin α = 55,则 cos???56π -2α ???的值为________.

3

-4+130 3 [因为 α ∈???π2 ,π ???,sin α = 55,
所以 cos α =- 1-sin2α =-2 5 5.
sin 2α =2sin α cos α =2× 55×???-2 5 5???=-45, cos 2α =1-2sin2α =1-2×??? 55???2=35, 所以 cos???56π -2α ???=cos5π6 cos 2α +sin56π sin 2α =???- 23???×35+12×???-45???
=-4+130 3.]

【导学号:79140121】

三角公式的逆用与变形应用

sin 110°sin 20° (1)计算cos2155°-sin2155°的值为( )

1 A.-2

1 B.2

3 C. 2

3 D.- 2

(2)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知 θ

∈???0,π4 ???,且 sin

θ

-cos

θ

=-

14 4,

则 2cos2θ -1 =( )
cos???π4 +θ ???

A.23

B.43

3 C.4

3 D.2

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° (1)B (2)D [(1)cos2155°-sin2155°= cos 310°

=cos c2o0s°5s0i°n 20°=12ssiinn 4400°°=12.

4

(2)由 sin θ -cos θ =- 414,

得 sin???π4 -θ ???= 47,∵θ ∈???0,π4 ???, ∴0<π4 -θ <π4 ,∴cos???π4 -θ ???=34.
∴ 2cos2θ -1 = cos 2θ
cos???π4 +θ ??? sin???π4 -θ ???

=ssiinn??????π2π4--2θθ

??????=sisni???n2??????π4π4--θθ

?????? ???

=2cos???π4 -θ ???=32.]

[规律方法] 1.三角函数公式的活用方法

逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.

α tan β ,tan α +tan β 或 tan α -tan β , α +β 或

α

-β 三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.

2.三角函数公式逆用和变形应用应注意的问题

公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.

1

3

注意特殊角的应用,当式子中出现2,1, 2 , 3等这些数值时,一定要考虑引入特

殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.

[跟踪训练]

(1)ccooss

15°-sin 15°+sin

1155°°=________.

(2)已知 cos???α

-π6 ???+sin

α

4 =

5

3 ,则

sin???α

+76π

???的值是________.

(1)

3 3

(2)-45

[法一:原式=11- +ttaann

15° 15°

tan 45°-tan 15°

3

=1+tan 45°tan 15°=tan 30°= 3 .

法二:原式= 2(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°) 2(sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°)

1

sin 30° 2 3

=sin 60°=

= 3

3

.

2

5

法三:∵???ccooss

15°-sin 15°+sin

1155°°???2=11- +ssiinn

3300° °=13.

又ccooss

15°-sin 15°+sin

1155°°>0,

∴ccooss

15°-sin 15°+sin

1155°°=

33.

(2)由 cos???α -π6 ???+sin α =4 5 3,可得 23cos α +12sin α +sin α =4 5 3,即32sin

α + 23cos α =4 5 3,所以 3sin???α +π6 ???=4 5 3,sin???α +π6 ???=45, 所以 sin???α +76π ???=-sin???α +π6 ???=-45.]

角的变换

(1)(2017·深圳一模)若 α ,β 都是锐角,且 cos α = 55,sin(α -β )= 1100, 则 cos β =( )

2 A. 2

2 B. 10

2

2

C. 2 或- 10

22 D. 2 或 10

(2)(2018·海口调研)若 cos???π8 -α ???=15,则 cos???3π4 +2α ???的值为(

)

23 A.25

23

7

B.-25

C.8

7 D.-8

(1)A (2)A [(1)因为 α ,β 都是锐角,且 cos α = 55,sin(α -β )= 1100,所以

sin α =2 5 5,cos(α -β )=3 1010,从而 cos β =cos[α -(α -β )]=cos α cos(α

2 -β )+sin α sin(α -β )= 2 ,故选 A.

(2) 因 为

cos

???π8

-α

???



1 5





cos ???34π +2α ??? = cos ???π -???π4 -2α ?????? = -

cos???π4 -2α ???=1-2cos2???π8 -α ???=2235,故选 A.]

[规律方法] 利用角的变换求三角函数值的策略

6

当“已知角”有两个时:一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式. 当“已知角”有一个时:此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

[跟踪训练] (1)已知 tan(α +β )=1,tan???α -π3 ???=13,则 tan???β +π3 ???的值为(

)

【导学号:79140122】

2 A.3

1 B.2

3 C.4

4 D.5

(2)(2017·山西太原五中 4 月模拟)已知角 α 为锐角,若 sin???α -π6 ???=13,则

cos???α -π3 ???=( )

A.2

6+1 6

B.3-8 2

C.3+8 2

D.2

3-1 6

(1)B

(2)A

[(1)tan ???β +π3 ??? = tan ???(α +β )-???α -π3 ?????? =

tan(α +β )-tan???α 1+tan(α +β )tan???α

--π3π3??????=1+1-1×13 13=12.

(2)由于角 α 是锐角,且 sin???α -π6 ???=13,则 cos???α -π6 ???=2 3 2,则 cos???α -π3 ???=

cos ??????α

-π6 ???-π6 ??? = cos ???α

-π6

???

cos

π 6

+ sin ???α

-π6

???

sin

π 6

=232×

3 2



1 3

×

1 2



2 66+1,故选 A.]

7