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广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三下学期期初联考数学(理)试题Word版含答案_图文

数学(理)试题

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ?1 ? ( ).[

A.-2i

B.-i

C.i

D.2i

2. 已知?, ? 是两个不同的平面, l, m, n 是不同的直线,下列命题不.正.确.的是( ).

A.若 l ? m,l ? n, m ? ?, n ? ?, 则 l ? ?

B.若 l / /m,l ?? ?, m ? ?, 则 l / /? C.若? ? ?,? ? ? l, m ? ?, m ? l, 则 m ? ?

D.若? ? ? , m ? ?, n ? ? , ,则 m ? n

频率/组距

3. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的

底部周长(单位:cm).根据所得数据画出了样本的频率分布 0.04 直方图(如图 1),那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm

的株数是( ).

0.02

A.30

B.60

0.01

C.70

D.80

4.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次

社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方

案种数为( ).

80 90 100 110 120 130 周长(cm) 图1

A.14

B.24

C.28

D.48

5. 某程序框图如图 2 所示,现将输出( x, y) 值依次记为:

(x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn ), ; 若程序运行中输出的一个数组是 (x, ?10), 则数组中的

x ? ( ).

A.32

B.24

C.18

D.16

6. 抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F,点 Px( ,y) 为该抛物线上的动点,又点 A(?1, 0), 则 | PF | | PA |

的最小值是( ).

A. 1 2

B. 2 2

C. 3 2

D. 2 3 3

?y ? x

7.



m

?

2

,点

P(

x,y)



? ?

y

?

mx

所表示的平面区域内任意一点,M (0,? 5) ,O

??x ? y ? 1

为坐标原点, f (m) 为 OP ? OM 的最小值,则 f (m) 的最大值为( ).

A. ? 10 3

B. 10 3

C. 0

D. 2

8. 将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图 3),设

图2
y B
OP A x 图3

顶点 P(x, y) 的轨迹方程是 y ? f (x) ,关于函数 y ? f (x) 的有下列说法:

① f (x) 的值域为[0, 2] ;② f (x) 是周期函数;

? ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ;④ 6 f (x)dx ? 9 ? .

0

2

其中正确的说法个数为:( )

A.0

B.1

C. 2

D. 3

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.本大题分为必做题和选做

题两部分.

(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答.

?

?

??

9. 已知向量 c ? (2x ?1, 4) , d ? (2 ? x,3) ,若 c// d ,则实数 x 的值等于



10. 不等式 2x ? log2 x ? 2x ? log2 x 的解集为



11. 设 Sn 为 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 8a2 ? a5 ? 0 , 则

y B
3

S5 ?

.

S2

A

O

?3

C

图4

12. 函数 f (x) ? 3 sin(?x ? ?)(? ? 0) 的部分图象如图 4 所

2

示,点 A(x1,0), B(x2 , 3) , C (x4 ,? 3) ,若 AB BC ?AB ,则? 等于



13. 如图 5,圆 O:x2 ? y2 ? ? 2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M(图

中阴影部分)随机往圆 O 内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率为

. ??

x
?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答只计算前一

题的得分.

图5

14. ( 极 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 4cos? 上 的 点 到 直 线

?(sin? ? cos? ) ? 2 的最大距离为



15.(几何证明选讲)如图 6,⊙O 中,直径 AB 和弦 DE 互相垂直,C 是 DE 延长线上

一点,连结

BC

与圆

O

交于

F , 若 ?D B C? ?

? , ?BCD ?

, AB ? 6 , 则

EC ? ________.

2

6

图6

三.解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算

步骤.

16.(本题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? sin?x ? sin(?x ? ? ),? ? 0 且函数 f (x) 的最小正周期为 2? .
2 (1)求 f (x) 的最大值及取得最大值的 x 值;

(2)若? ?(0,? ), 且 f (? ) ? 3 ,求 cos? 的值. 4
17.(本题满分 12 分)
学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,
现从中选 2 人.设? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(? ? 0) ? 7 . 10
(1) 求文娱队的人数;

(2) 写出? 的概率分布列并计算 E? .

18.(本题满分 14 分)

等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 3 , 点 D 、 E 分 别 是 边 AB 、 AC 上 的 点 , 且 满 足

AD DB

?

CE EA

?

1 2

(如图

7

甲).将△

ADE

沿

DE

折起到△

A1DE

的位置,使二面角

A1

?

DE

?

B

成直二面角,连结 A1B 、 A1C (如图 7 乙).

(1)求证: A1D ? 平面 BCED ;

(2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的长,若不存在,请说明理由.

19.(本题满分 14 分)

已知数列?an ?满足 a2

?

?

1 7



an

?

an?1
??1?n an?1

?2

(n

?

2, n ? N) .

(1)求 a1 的值;

(2)求证:数列

? ? ?

1 an

?

??

1?n

? ?

是等比数列;

?

(3)设 cn

?

an

sin (2n ?1)? 2

,数列 ?cn ?的前 n

项和为 Tn

.求证:对任意的 n ? N?



Tn

?

2 3



20.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1上的任一点到点(1,0)的距离与到直线 x ? 2 的距

离之比为

2 2

,动点Q是动圆C2:

x2

?

y2

?

r2 (1 ?

r

?

2) 上一点.

(1)求曲线C1的轨迹方程; (2)若点P为曲线C1上的点,直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的 距离|PQ|的最大值.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? (x3 ? 6x2 ? 3x ? t)ex , t ? R .

(1)若函数 y ? f (x) 在 x ? a, x ? b, x ? c 处取到极值,且 a,b, c 成等差数列,求 t 的值;

(2)若存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ??1, m? ,不等式 f (x) ? x 恒成立.求正整数 m
的最大值.

2013—2014 学年度高三理科数学测试题参考答案

? 2sin? cos? ? ? 7 且? ?( ? ,? ) ………………………………………………9 分

16

2

(cos? ? sin? )2 ? 1? 7 ? 23 ,? cos? ? sin? ? ? 23 ②,……………………11 分

16 16

4

由①、②解得 cos? ? 3 ? 23 …………………………………………………………12 分 88

17. (1)解法 1:∵ P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1? P(? ? 0) ? 7 , 10
∴ P( ? ? 0 ) ? 3 . ……………………………………………………………………2 分 10



C2 7?2x

C72?x

? 3, 10

∴ (7 ? 2x )(6 ? 2x ) ? 3 , (7 ? x)(6 ? x) 10

∴x=2.………………………………5 分

故文娱队共有 5 人. ……………………………………………………………………6 分 解法 2:因为会唱歌的有 2 人,故两项都会的可能 1 人或 2 人。……………………1 分

若有 1

人两项都会,则文娱队有

6 人,可得 P(?

?

0)?

C52 C62

?

3 ……………………2 分 5

因为 P(?

?

0)

?

P(?

? 1)

? 1? P(?

?

0)

?

7 ,故 P( ? 10

?

0)?

3 与 P(? 10

?

0)?

C52 C62

?

3 5

矛盾.…………………………………………………………………………………………………… 4分

若有 2

人两项都会,则文娱队有

5 人,此时 P( ?

?

0)?

C32 C52

?

3 满足条件.…………5 分 10

故文娱队有 5 人.………………………………………………………………………………6 分

(2)∵ P(? ? 1) ? C12 ? C13 ? 3 ,

C52

5



P(?

?

2)

?

C

2 2

?

1

.………………………………………8

C52 10

∴ ? 的概率分布列为

?

0

1

2

3

3

1

……………………………………10 分

P

10

5

10

? E? ? 0? 3 ? 1? 3 ? 2? 1 ? 4 …………………………………………………………12 10 5 10 5

18. 证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 AD ? CE ? 1 ,所以 AD ? 1 , AE ? 2 .…1
DB EA 2 分
在△ ADE 中, ?DAE ? 60 ,由余弦定理得 DE ? 12 ? 22 ? 2?1? 2? cos 60 ? 3 .…3

因为 AD2 ? DE2 ? AE2 ,所以 AD ? DE .折叠后有 A1D ? DE . ……………………4 分
因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A1DE ? 平面 BCED .

又平面 A1DE 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面 A1DE , A1D ? DE ,

所以 A1D ? 平面 BCED . …………………………………………………………………7 分

(2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面

A1BD 所成的角为 60 .………………………………………8 分

如图 7,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1H 、 A1P . ……9 分

由(1)有 A1D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED ,

B

A1
D H
图7

E PC

所以 A1D ? PH .………………………………………10 分

又 A1D BD ? D ,所以 PH ? 平面 A1BD .

所以 ?PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角. ………………………………………11


设 PB ? x ?0 ? x ? 3? ,则 BH ? x , PH ? 3 x .

2

2

在 Rt △ PA1H

中, ?PA1H

? 60

,所以 A1H

?

1 2

x.



Rt



A1DH

中,

A1D

?1,

DH

?

2

?

1 2

x

.



A1D2

?

DH

2

?

A1H

2 ,得12

?

? ??

2

?

1 2

2

x

? ?

?

?

? ??

1 2

2

x

? ?

.

?

解得 x ? 5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意. …………………………………………………13 分
2

所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1BD 所 成 的 角 为 60 , 此 时

PB ? 5 .………………………………………………………………………………………14 分 2

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1D ? 平面 BCED .

以 D 为坐标原点,以射线 DB 、DE 、DA1 分别为 x 轴、

z
A1

y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图

8…………………………………………8 分
设 PB ? 2a ?0 ? 2a ? 3? ,则
BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a .

D E

H

y

B x

图8

PC

? ? ? ? ? ? 所以 A1 ?0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 .所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .…………9

? ? 因为 ED ? 平面 A1BD ,所以平面 A1BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 .

因 为 直 线 PA1 与 平 面 A1BD 所 成 的 角 为 60 , 所 以 sin 60 ? PA1 DE PA1 DE

?

3a

? 3 , 解得 a ? 5 .………………………………………………12 分

4a2 ? 4a ? 5 ? 3 2

4

即 PB ? 2a ? 5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意.…………………………………………13 分 2

所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1BD 所 成 的 角 为 60 , 此 时

PB ? 5 .……………………………………………………………………………………14 分 2

19.

解:(1)由 a2

?

a1 a1 ?

2



a2

?

?

1 7

解得

a1

?

1 4

………………………………………2



? ? ? ? ? ? (2)由已知an ?

an?1

得1 ?

?1 n an?1 ? 2 an

?1 n an?1 ? 2 ? an?1

?1 n ? 2 ,………………4 an?1



1 ? ??1?n ? 2 ? ??1?n ? 2 ? ?2[ 1 ? ??1?n?1 ] .又 1 ? 1 ? 3 ? 0 ,………………6

an

an?1

an?1

a1





? ? ?

1 an

?

??

1?n

? ?

是以

?

3

为首项,公比为-2

的等比数列.……………………………………7



(3)由(2)得 1 ? ?? 1?n ? (4 ?1) ? (?2)n?1 ? 3 ? (?2)n?1 .………………………………8
an


所以 1 an

? 3 ? (?2)n?1 ? ??1?n , an

?

3?

1 (?2)n?1

?

?? 1?n

,…………………………10 分

cn

?

an

sin

(2n

? 2

1)?

?

1
3 ? (?2)n?1 ? ??1?n

? (?1)n?1

?

1? 3 ? 2n?1 ? 1

1 3 ? 2n?1

.………12 分

所以 Tn

?

1[1? (1)n ] 32
1? 1

?

2 [1? 3

(1)n 2

]

?

2 3

.………………………………………………14



2

20. 解:(1)设 P(x, y), ,依题意得

(x ?1)2 ? y2 ?

2 , 化简方程得 x2 ? y2 ? 1.……3

| x?2|

2

2



(2)依题意可知直线PQ显然有斜率,设其方程为 y ? kx ? m,

设 P(x1, y1) 、 Q(x2 , y2 ) ,…………………………………………………………………4分

由于直线PQ与曲线C1相切,点P为切点,从而有

? ? ?

x12 2

?

y12

?1

?? y1 ? kx1 ? m

得 (1? 2k 2 )x12 ? 4kmx1 ? 2(m2 ?1) ? 0 ,故 (4km)2 ? 8(1? 2k 2 )(m2 ?1) ? 0 …………6分

从而可得 m2 ? 1? 2k 2 ,

(1)

,? x1

?

?

2k m

…………………………………………8分

又直线PQ与圆C2相切,则 | m | ? r,?m2 ? r2 (1? k 2 ) 1? k2

(2) ……………………9分

由(1)、(2)得 k 2

?

r2 ?1 2 ? r2

,………………………………………………………………10







| PQ |2 ?| OP |

? | OQ | ? x1 ? y1 ? r

? 1? x12 ? r 2

?1? r

2k 2 ? 1? 2k2 ? 3 ? r

2 ? r2 ? 3?2

2 ? ( 2 2 ?1)

即| PQ |? 2 ?1,当且仅当 r2 ? 2 ? (1, 2) 时取等号,………………………………………13



故P、Q两点的距离|PQ|的最大值 2 ?1 ………………………………………………14

21. .解:(1) f ?(x) ? (3x2 ?12x ? 3)ex ? (x3 ? 6x2 ? 3x ? t)ex ? (x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3)ex ……2
分 a,b,c是f (x)的三个极值点

?x3 ?3x2 ?9x ?t ?3 ? ?x ? a??x ?b??x ?c? ? x3 ? (a ?b ? c)x2 ? (ab ?bc ? ac)x ? abc … … 4



?a ? b ? c ? 3 (1)

?

??ab ??t ?

? 3

ac ? bc ? ?abc

?

?9

(2) (3)

由(1)和(4)解得 b ?1,再由(2)(4)得 ac ? ?11,?t ? 8 ……7

??a ? c ? 2b (4)



(2)不等式 f (x) ? x ,即 (x3 ? 6x2 ? 3x ? t)ex ? x ,即 t ? xe?x ? x3 ? 6x2 ? 3x 。

转化为存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ??1, m? ,不等式 t ? xe?x ? x3 ? 6x2 ? 3x 恒成
立。………………………………………………………………………………………………8 分
即不等式 0 ? xe?x ? x3 ? 6x2 ? 3x 在 x ??1, m? 上恒成立。

? ? 即不等式 0 ? e?x ? x2 ? 6x ? 3 在 x ? 1, m 上恒成立。……………………………………9

设?(x) ? e?x ? x2 ? 6x ? 3 ,则??(x) ? ?e?x ? 2x ? 6 .

设 r(x) ? ??(x) ? ?e?x ? 2x ? 6 ,则 r?(x) ? e?x ? 2 ,因为1? x ? m ,有 r?(x) ? 0 。

故 r(x) 在区间?1, ?m 上是减函数.……………………………………………………10 分
又 r(1) ? 4 ? e?1 ? 0, r(2) ? 2 ? e?2 ? 0, r(3) ? ?e?3 ? 0 .

故存在 x0 ? (2,3) ,使得 r(x0 ) ? ??(x0 ) ? 0 . 当1 ? x ? x0 时,有??(x) ? 0 ,当 x ? x0 时,有??(x) ? 0 .
从而 y ? ?(x) 在区间?1, x0 ? 上递增,在区间?x0, ??? 上递减.……………………………11

又?(1) ? e?1 ? 4 ? 0,?(2) ? e?2 ? 5>0,?(3) ? e?3 ? 6>0,

? (4) ? e?4 ? 5>0,?(5) ? e?5 ? 2 ? 0,?(6) ? e?6 ? 3 ? 0. …………………………………12



所以当1? x ? 5 时,恒有?(x) ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有?(x) ? 0 ;……………………13


故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5.


………………………………………………14


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