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高中数学知识点总结


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

高中数学知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如? ?? x C : B C ? 集 ?,A 合? A ?, ( g、 x |l y ?y ? g |l xy gx , x, ) |l y B ? ? ?y 、
中元素各表示什么?

2的 要 的 .集 , 集 进 算 和 行 时 空 合 不 ? 交 忘 特 、 记 殊 并 集 情 、 合 况 补 本 。 运 身
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如 | ??? 1 : 2x , 集 20 ?? 合 ? B A ? x 3 x x |? a x

?

?

若 数 集 B 实 的 ? a构 A 的合 , 则 成 值为
1 ? ? (: 1 0 ? 答? , ? , ) 3 ? ?
3. 注意下列性质:

(, 子 1a ? 集 ) ? 的 集 , 个 合 a有n , 所 2 a 的是 数 ; ? ? 1 2 n

(B B ? 2 ?? A; ) A, 若 A ? ? B A? B
(3)德摩根定律:

C U U U ?U U A ? B ?? A A C C B C , C ? ?? ? ?? ?? B? ?? ?? B U ? A C
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

a x ? 5 如的 ? 为 ?数 :不 0 M 已等 解? , 知式 集 且 a 关 2 的 35求 于 x ,M 若 M实 x ? a
的取值范围。

a 35 · ? (3 M ∴ 2 ∵ , ? ? 0 3? a a 55 · ? ∵ M∴ 2 5 , ? ? 0 5? a

? 5 ? ?? , ? ,?) a ? 1 ? ? 2 9 5 ? 3 ?

5 真,” . 判 命 “( 可叫词 ” 以做有 ? 断 题 或) 假逻 ( 且 的辑 ) 语连 “ 句接 ? , 和 “ ”? 非 ( ).

若 , p 为 p 真 当 真 ? q 当、 为 仅 且q 均
若p ? q为真,当且仅当 p、q至少有一个为真

若 , 当 ? p 为 且为 真 仅假 当 p

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6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性, 哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

x? 4? ? x 例 y : ? 函 数 的 是 定 义 域 2 l?? g 3 x?
( 2 ,4 答 ??3 ) :? 3 , 0 , ? ?2 ?? ?
10. 如何求复合函数的定义域?

如 a ?数 :, F ( 函b 0( ) 的 数, )? f 义 ,? ( 域 则) x ) 是函定 的a 定? x x b ? ? f ( x f
义域是_____________。

? ?

( a ? 答,) : a
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

?

?

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f ( x).

?

令 x1则 t? ? ,? t 0

∴?t2 ? x 1
∴ e ? ?2? ft ()? t 1 t 1
2

∴ e1 x 1? f ) x ??x0 ( ?? 2 ? ? x
2

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

1 ?? ? ? x x0 ? ? 如函 ? 2 :数 ? 求 fx () 的数 反 函 ? ?? x x0 ? ? ?
x ?? ? ? ? ? 1 x1 ( f1x? 答?() ? : ) ?? x 0 ? x ? ?? ?
13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

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③设y ? f(x) 的定义域为A,值域为C,a ? A,b ? C,则f(a) = b ? f ?1 ( b) ? a
? 1 1 ? f ), ( b f( ? ?f ) a f? a ( ) b f( f? b ) ?? 1 a ? ?

? ?

14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?

(fu u ? ,? ? ? y () ?() 则f () ? , x y ? x ( )内 外 () 层 层

当 f 函 ) 内? 数 、( , 外) 层 增 。 函 数 单 否 调 则 性 f 函 相 ? 数 同? 时( ? x 为 x ) 为 减 ? ?

如 l 1 x2 单 :o? x 调 求 yg 2 ? ?的间 区
2

?

?
2

( 2 2由 ?2 设? u则 ux x ?0 ? ? ? , 0 x

且 ? ?x? 1 图 l 1 , ??如 ou u? 1 , g : ?
2

u

O

1

2

x

当, u 又 ? y x0 ] , l 1 , ?1 ( 时, u ∴ ? o g ?
2

当 2 ,又 ? y x1 ) u ? 时,1 , [ , ? l u ∴ o g ?
2

∴??) 15. 如何利用导数判断函数的单调性?

在x 增 等 区? 数 间则 上 a总 ( ,( bf f 内 函于 , ' 0 ( x )) 为数 个 别 点 导 ? 若 。 ?有 在

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f ' ( x) ? 0呢?

如x? 函 :?上 已x 是 知 ? a ( a? 增 ? 31 调 0 ,? 则 函 数 单 f x ,a )在 ? 数 , 的 最 大
值是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

? ? ? a? a (() 3 ?? x ?x ? 0 令 ? 2 a 3 ? ?? ? fx x ' ? 3 3 ? ? ? ?

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则 ?? x a a 或? x 3 3

a 由x 1 ? 增 则, 已在 ) 为 ,? 即 知 , f )[ ? ( 上数 函 1 a ? 3 3
∴a 的最大值为 3) 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若? 图 f? f 函 点 ( f 立函 ? 成 x )) ? ( x ( 数 对 总 ?称 x ) 为 于 奇 原 数 象 关 若 ?数 ff 立 函 (( ?成 ?称 x ) 总 数轴 ? x f 函 y ) ( x ) 为 关 偶 于 图 象 对
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇 函数的乘积是奇函数。

( 数 点 2)函 原 )且 , 若定 则 f奇 有 0 ( x 是 中 ? 义 f 。 域( 0 )
axa · 2? ? 2 如? x : 若 f ( x ) 为则 奇实 函数 数a , ? 2 ? 1

( 数0 ∴ ∵ , , f 奇,f? ( 函又0 x ) 为 RR) x ? ? (0
0 a 2?? ·a2 即 0 ?,? 0∴ ) a1 2? 1
x 2 又 义 的x 1 ( x , 如 在 奇 ( ) f? : (1 函, f 定 上当 , ( x ) 为 ) ? 1 , ,时 数 ? 0 x ) 4 ? 1

求, 式 f在 的 ( ? 1解 x?上。 ) 1 ? 析
? x 2 ( 1?则 , ) ? 令 0 ?? 1 ( ? x? , 0?fx x ? , x ? , ? ? 41 ? ? x x 2 2 又奇 ∴? f) 函 f) (为 , ? ? ? x x 数x ( ? x 411 ? ? 4
x ? 2 ?x ? 1 ?4? 又0 ? ,f x ? f ) 0 ∴) ? ( ( x ?2 ? x? 4 1 ?

x (1 0 ? , ? ) x 0 ? x ?, ? 1 0 ?



17. 你熟悉周期函数的定义吗?

(定 则 若义 f 存 域( 在 内) 实总周 数有期 T ( ? (x T ? 0 )? ,f 为 在) f x x ? T , ?

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函数,T 是一个周期。)

如 ? :f 则 若x f a( x ? , ? ?? )
(函 ) 周 答数 一 :, 个 f 周为) ( 期f x ) 是2 T 的 ? a ( x 期
又象 x ? 如有? b : 两a ? 若条 x ? f ( x ) 图 轴? 对 称 ,

即f x b? x f x a,f ) ( ) ( )( x b a? ? ? ?( f ) ?
则函为 f 周a 一 ( 期b 周 x ) 是2 数 个 , ? 期
如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗?

f)fx 象 对 (与图y 称 x () ? 的 轴 关 于 f) ? 的 x 称 ( x f)图 轴 与 象 对 ( x 关 于 f与 图 点 ( ? 的 原 x fx 象 对 ) () ? 关 称 于
f 与 象 y对 ( fx 关 ?称 x? ) ) 1的 直 ( 图 线 于x

f与 图线 ( f ? 象x 称 x2 的直 )( x 关 a a ) 于对 ? f与的 (0 ( ? x象 ) xf ? ) ( ) 关 对 2 图a 称 a 于 点 ,
x) 左 0单 ? ? 移个 y ( a a ) 位f ( a ? 将 )象 ? ? y (图 ? ? ? f x ? ?? ? ? ? x) 右 0单 ? ? 移个 y ( a a ) 位f ( a ? ( ) 上 b ) 单 y fxa b 移0 位 ? ? ? b?个 ( ??? ??? ?? ? ? ( ) 下 b ) 单 y fxa b 移0 位 ? ? ? b?个 (
注意如下“翻折”变换:

f (x) ?? f (x) ? f (x) ?? f (| x|) ?

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如 ?2 ? :l ? 1 f ) ox? ( x g

作 ??? 出1 l x 象 y2 及 的 ? l?? o1 o g y x g 图 2
y y = lo g 2 x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(k < 0 )

y

(k > 0 )

y= b O ’ ( a ,b ) O x=a x

(数 b0 1 函? ? ) y 一? ? 次k k : ? x

k k ( 数0 y 2 例 ? ? 为? ? 心 ) y ? 反? 比 k广 k中 函 :推 ? b ? ? O 0 ', 是) ( a b x x ? a
的双曲线。
2 c ? b ? b4 ?a (数x ? ? ? 3 函 b?0 x ? 图 )? ? ? ? 二a 次2 y ? a? x c a 象 为 抛 物 线 ?2 4 ? a a 2

? b 4? ? a 2 cb b 顶标 点为 , 坐? ? ,轴 称 ? ? 对x ? a 4 ? a 2 a ?2
4 b a 2 c ? 开:向数 口 a0 上 y? 方? 向,函 ,m i n 4 a 4 ?2 a b c a 0 向 y x? ?, , 下m a 4 a
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
2 2 ac 01 二 的 x0 两? 图 ? ?x 函 象 b ? 、? 与 x ?时 数 ?, y ?轴 , 根 acx x 为 次 x b x 2

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的次 ? 的 两不0 端 个等? 点 交式 ) 点a c 解 ,2? 集 也 b 0 值 是x 二 x ?( 。
②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?0 ?? ?b ? 如 次 a2?x c 0 两 大 ? ? : 方 x b? ?的 都 k ? 二 程 根 于 ? k 2 a ? fk 0 ?( )? ?
y

(a > 0 )

O

k

x1

x2

x

一, kf)0 根一 ? 大根 (? 于小 k k 于
x (数 0 1 4 函? , )ya a 指 ??? 数a : ?

(数 ?? 5 函x , ) ? ?0 1 对l a a 数a y o g ?
由图象记性质! (注意底数的限定!)

y (0 < a < 1 ) 1 O 1 x y = a x (a > 1 ) y = lo g a x (a > 1 )

(0 < a < 1 )

k ( 对 ” ?? ? 6“ 数 ) 函yx k0 勾 ? ? x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?

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y

? k
O

k

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

1 0 指 :(? a? (? 数 a 1 0 ? pa0 运 ? 算 a) p , ) a
a ?a ( ? , ? a0 a )
m n n m m ? n

1 a

n m

(? a0 )

对·aM 数Nl ? , 运? o ? ? 算l ? :a g 0 l o g o N? M g M N 0 a
log a M 1 ? log a M ? log a N, log a n M ? log a M N n

lg 对 等 a ax? 数 式o 恒: x

l b o g n 对公 a ?c ? n l a 数式b 换: 底l o g l ab o o ?g g b m lc o g a m
21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。
( (0 ? ) 先 0令 令) x ? ?? ? yf 再 ? ? 0 y? x ,
( f f( 明 2f ( (yx 。 )yf x) x ? )? f 函 R ,), ( x ? 证 满) ( 数 足 x ) 是 偶
( tf)? t 先 ?(? 令 (? · x?? ft ?? y ? tt )()

∴ f t?) f) f t? () () f ? ? ? ( ( t t ∴ ?t? f t f) ? () ( ? )
(性x ? ? 3 单? x ? ) f f ?2? 证( ? ? 明2 调 21 : x ) x
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法 等。) 如求下列函数的最值:

?

?

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( ? ?? 34 1y 2 3 1 x )x ?

() ? 2 y

2 x ?4 x ?3

22 x ( x? ,? 3 ) 3 y x 3 ?
(4? x s ? 4x 9设? ? ) y ? 2 ?, ? ? x 3 c o ? ? ?0 ,

?

?

9 (y 4? ,(, 5 ?x ) x 01 ? ] x
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l ? ? ·R,S 扇 ?

1 1 l·R ? ? ·R 2 ) 2 2

R 1 弧 度 O R

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

s ? c ?, T i M n P s O nA ? , M? o ? t? a
y B P α O M A x S T

? 如 ?s c t 的 :0 nsa 小 若则 n 顺 ? ,? 大 ? ? i o ? 序 ?, , 是 8
?? ? 又如:求函数y ? 1 ? 2 cos? ? x? 的定义域和值域。 ?2 ?
? ? ? ( 2 s ? ) 2n? ∵ c? x ? 1 ? o ? i ? 1 s x0 ? 2 ?

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∴n s x? i 2 ,图 如: 2

5 ? ? ∴ ?2 ? Z? 1 2 k ? xk k?0? 2 ? ?? ? y ? ? , 4 4
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?

sx1cx1 i ? o ? n , s
y

y ? tg x

? ? 2

O

? 2

?

x

? ? ? 对点? ,, Z 称为 k 0 k ? ? ? 2 ?

? ? ? ? ysx 区2 ? 2 ? ?? ? 的 为 , ? i 增 ?? n 间 k k ? kZ ? 2 2 ? ?

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? 3 ? ? ? 减 为 ? , ? ?k Z 区 ?k 间 ? 2 2 k ? ?? ? 2 2 ? ?
? 图 点0 称 k ? Z 象 为, x? k ? 的 ?, 轴 ? ? 对 k ?对 ? 称 ? 为 2
ys 区 ? 增? ?? c o x 间 ?k 的22?Z 为 kk? ? ?, ? 减 k ,? ? 区 ? k? Z 间 ?? ? ? 为 22 2 ?k ??

? ?? 图 称 ? ,称?? Z 象 点? 0对 x ? ? 的为 对? k ,为 k 轴 k ? ? ? 2?
? ? ? ? ytn 增 ? ?, ? ? ? x 区k a的 为 间 ? k ? kZ ? ? 2 ? 2

2数 性? 6 y ?要 ? . 函 和o 正 ? 质x 弦 图?? 型 象 c =的 y? A s i n ? x + 熟? 记 。 或 A ? ? ? s
2 ? ( 振A 周 ? 1 幅, T ) | | 期 | | ?
若 则 轴 f? , 称 xAx 为 。 ?? x 对 0? ? 0

若 0为 对 f? , 之 x则 , x对 。 反 也 ? 0 0点 ? ? ?称 0,

?? 3 ( 令 0? 2 x 点 2作依 , 与 )?为 , , 五? , ? y 点? 图次 : x ,求 , 出 依 22
(x,y)作图象。

(求 A ) 3图 ( ) 析? 根 式、 据 。? 象 求 解、 值

? ? (x1) ?? ? 0 ? 如 列 ? 图 出 ? ? ? (x2 ) ?? ? 2 ?

解组 ? 条求 值 件? 、

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? ? 型 yA ?? T 正 数 tnx ? ? 切 函? a ?, ? || ?
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

2 ? ? ? ? ? 3 ? 如 x ?? , :? ? c o s x ? ?求 ? , , 值 。 ? ? 2 x ? 6 2 ? ? ?

3 7 ? ?? 5 ? ? 5 ? 1 3 (, ? x ∵∴ ? ? x ? ? x ? , , ∴ ∴ ? ? x) ? ? 2 6 6 3 6 4 1 2
28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?

如i? 值 : s的 函 i| 域 数n yxx 是 ? | s n

(?? 时2 x 2 2, ?s ,∴ 0i?0 时 , ?? ,x 0 , y 2 ? n x ?, ? y ? ?2 y ? )
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换) 平移公式:

? x h 'x ? ? ? a, ?) (k h ( x ? ?y 则 1P y ? P,? ) ) ? ' , 点 ( ?' x ) , ? ' ( y k 'y ? 平 移 至 ? ?

( ? ak的 y 2 () 向 移? ) ) 沿 平(, 曲 量后 线 fy x ,? 0 () h , 为? 方? 程 fh 0 x k
?? ? 如 2x? 象 变 yx :i ? 的 样 得 的 函? ? 图 的 到 数 yn ?2 1 经 换 ? s 过 才s 怎能 i n ?4 ?
图象?

?

1 ? ?? ? ? 横 原 ? ? ? 标 的 伸 2 长 ( x ? 坐? ? 2 ?1 yi2 ?? 到 ? ? ? ?1 ? ? 2 x ? 2 s n ? 来 ? ?s ?倍 i ? yn ? ? ?? ? ? 4 ? ? 4 2 ? ??
? 左单 平位 移 个 ?? ? 移 1 个 4 ? ? ? ? ? s ? 平?i 2x ? ? ? x 上 ?s s ? 1 ?yi 1 ? y n i n ? ? n ?单 2 ?? 2 ?位 x ? ? ? ? ?4 ?
1 2 ? ? ? ??n ? ? ? ?s x ? ? ?y i )
纵缩原 倍 坐短来 标到的

? 2 2 2 如 c e t? c c s t : ss a t · e a 1? ? o c na o s c n s ???? t o ? i n 2 ? ? n ? ?? ?? · 4 ? ? ? 0 ?的 s i n c ? 称代 o ?1 换 s 为 。 2 ? “ 为—不限 k ”函,看 · 的“,, ? ? 数偶象 ? 三奇符 化 角变号 —变” 2
“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

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9 ? ?7 ? ? 如 ?? ?s 2 ? : t ? ??? c o s a n i 1 n ? ? 4 ?6

s? i t? na ? n 又y 如 : 函 数 ? , 则 y为 的 值 c? o o sc ? t ?
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

s? i n s? i ? n 2 n c? ? c ? s ? s ? ?, ?) o ?i ?o 1 0 ∵ 0 s ( y ? ? c ? c 2 ?i ?1 o s o ?n ? s s ? c? o ? s s? i n
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗? 理解公式之间的联系:

? ? ? s?ic ci? 2s o i ?? o? ? ic n? n ? n ? 2 s ? s s ?? ?s ?n s i n ?? ? ?o s 令 ? ?
令 ?? ? 2 2 cos???? ? cos cos ?sin sin ? ? ? 2? ? cos ??sin ? ? ? ? ? ? ? cos ?

tan???? ? ?

tan ? tan ? ? 1? tan ·tan ? ?

? 2cos2 ??1? 1? 2sin2 ? ?

2tan? tan2? ? 1? tan2 ?

1?cos2? 2 1?cos2? sin2 ? ? 2 cos2 ? ?

b a ? o a bn ?a ? s ?s i b? 2 2i?, n c ? ? ? ?t ? s ? n a
? ? ? sn ?o? 2i ? ? ? i ? cs ? sn ? ? 4 ? ? ? ? sn ? 3o ? sn ? ? i ? cs 2i ? ? ? ? 3 ?
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能 求值,尽可能求值。) 具体方法:

? ? ?? ? ? ? ? ? ( 换? ?,? ? ? ? 1 的 ? ?? ? ): ? 角如 ? 变? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 2? 2 2
(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

so ic n ? s ? 2 如 : ?? ? ,? 。 已 1? 知 , ? t ?值 t ? a? 求 n ? a2 n 的 ? ?? 1? ? c o s 2 3 sc c i o o ns ? ?s ? 1 ( : ? ? t? 由 已 知 2 得 1 a? , ∴ n i n ? 2 2? s s i n 2

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又 n??? ? ta ? ? 2 3

21 tn ? a a ?? ? 32 1 ? ? ? tn ? ? ? ∴?? tn??? tn 2? ? ? ? a ?? a? ? ? ) ? ? 1a ?· 1 · ? ? ?tn ? 18 tn ? a ? ? 2 32
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?
2 b2 2 ? ca ? 余 ab ? o c ? 弦 ? c2 s o 定 理 ? b ? : cA A c s 2 b c 2 2 2

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)

a 2s i n ??R A a b c ? 正理 弦: ? 定 ? ?R ??R B 2 ? 2s b i n s As B s C i n i n i n ??R C c i n ? 2s

1 S ? a b C ·sin ? 2

∵C ∴ ? A ? A ? ? B ? ? ? , ?C B

A ? B C ∴ ?? Ci s A? s , i n Bi n s n ?s c o ? 2 2 A?B 如?ABC中, 2 sin 2 ? cos 2C ? 1 2
( 求C 1 角 ) ;
2 c ( 2 b ,A 2 值 2 a 2 ) 若 ?? 求? B。 c o c 的 s 2 o s 2

( 得 ?o ? (: 2 1 1知 ? s 1 ) ?B ? 由c ? 已s 式 1 o A2 c C ?
2 又 Co c 1 A ? 2C ? B ,?? ? ∴o ? ? c s s 0 C

1 ∴ ?或 ? ( cC o s c C 1舍 o ? ) s 2 ? 又 C ? ∴? 0 ? ,C ? 3 1 (正 及 2 c : 2 ) 定2 b 2 由理 弦a ?? 得 2 ?3 2 2 ?i2 ? 2 ? 2 ? s As Bi Ci i n 2 n s n s n 34 3 1 cs A1 cs B ?o2 ??o2 ? 4 3 ∴ 2 ?o B ? ) csAcs ? o 2 4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

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?? ? ? 反 a ix? ,x ? 1 正r n ? 弦s ? : c ,1 ?, ? ? ? ?2 2 ?

反 s0 x 1 余 ? ? 弦 ??? ? :, ax ? ? r c c o , 1 ,
?? ? ? 反: n? , ? ? 正 at x? 切c ra ? , ? ? xR ?2 2 ?
34. 不等式的性质有哪些?

c 0 a?c ?? b c (a b 1 ?, ) c 0 a?c ?? b c

(b? ?b 2 ?c ? ? ) da ?d a, c ( ? ?0 cd 3?0 d? ), ab a b c? ?
11 11 ( ? 4 ? 0 ? ab ? ) ?, 0 ? ab ? ? ab ab
( ? a bn ? 5 ? 0 n n an ) ? ,b ab ?

( ? |a a 6a a x? ) ?| ? |a x? x |?? x? ? ? ? 0 a , a ? 或 ? x

1 1 如 ? 下正 : 0 列确 ) 若 ,论是 ? 则不( 结的 a b
A 2 .2 ab ? Bb . ? a 2 b

C ? | . ? ab ||||| ? ab
答案:C 35. 利用均值不等式:

ab D ? . ? 2 ba

a ? ?b ? 2 a 22 b ;b? ?最 否 ? a ?? ; 求 是 b b R bab ?, a ?a 2 a ? 值注 时 , 你 ? ? ? 2

?

?

2

? 意 号 b) 为 到 成或 “ 立和 a 且, 一 ,”( 中 b 等( a ? R ”件 之 “积 时? 定 的b 条 a 其 )

值?(一正、二定、三相等) 注意如下结论:
2 2 a? ab b ? 2 a b ? ?b a? abR ,? ? 2 2 ab ?

?

?

当 ?等 且b 号 仅 当 a时 。 成 立
2 a 2c b ?, ? 2a c ? b b ?b a? ? ?c a R ?

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当 ?c 等 且b 取 仅 当时 a? 号 。 a ?mn, ?0 ? ?则 b, 0 0 ,

b bm ? a n a ? ? ?? 1 ? a a m ? bn b ? 4 如 0? 的 : 2 ?最 若 3 x, ? x 大 值 为 x
? 4 ? ( 2? ? ?? 1?? 3 设 3 ? 22 2 24 y ??x ? x ?
4 2 3 当x , ∴时 2 3 且 仅 又 x 当 x 3 ? ? 0 ? ,?) , y ? 4 m a x x 3

又?2 的 如, 最 :则 小 x 1x y ? 2 y ? 4 值 为
x ? y 1 (y 2? ,为 ∵ 22 ? 222 2 ∴2 ?x 2 最2 小 值 )

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

1 1 1 如明2? ? ?2? :1 证 ? ? 2 2 2 3 n
(1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 ? ? ? ?? ? 2 1? 2 2 ? 3 2 3 n ?n ? 1?n

1 1 1 1 1 ?1?1? ? ? ?? ? ? ? 2 2 3 n? n 1 1 ?2? ?2 ) n

f) ( x 3分 7 式 . 解 式a? 一 什 不 ? 0 般 么 等 a 的 是 骤 ? ? 步 ? g ( x )
(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。) 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始

如 1 ??? ? : ? 1x ? 0 x? ??x ? 2
2 3

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

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如 的 ?论 : 底a 对 分? 数 a 01 或 ? 指1 数 或 讨
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

例 等| x ? 如 式 ?1 : |? 1 解 x? 不 3
1 ? ? ( 集 ?| ? ? 解为 xx ) 2 ? ?

4等|证 题 1 式b 单 .不| | 较 会? 明 用b |b a 简 a |? |? | ? || ? | a 的 不 等 问
如 x ? 数a : 2x 实 ? 设 f ? 1 a | |1 ( x ?, x ) 3 满 足 ?

求 xf) 2 1 证? ? ? : ( f) a ( ) ( || a
证明: | x( (? 3 ?3 f ?? x) a ? ( f|| ) ax ? ( a ) ) 1 ? 1 |
2 2

? x?a (x?a? ) ? ?a?1 |( ) 1|( |x | ) ?x?a x?a? |?x?a? | | || 1| 1 ?x?a? | |||1

又 x| 1 ||||1 ||||| ? , ? x ?a ∴ ? a ? x ? a
∴ )2 ? 1 f ??2|? ( f x a |?? ? )( a 2 | a |
(按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如 成x小 :立 最 a) ? f ( x ? 值 恒f a) ? ( 的

ax 立 ) 大 ? 成( 最 f恒? ( ) ? ax 值 f的
ax 立 ) 小 ? 成( 最 f能? ( ) ? ax 值 f的
例, 成是 如若 立 : x2 , 对? a 则 于? 一x 切? 实 ? a围 数 恒 x 3 的 取 值 范
( 它 ? 和 设 表 2 u x 示和 ? 2数 3 x , 点 ? 3 ? ? 轴 离 上 之 到 两 定 距

u3?, ? ? aa , ?? 5 即 m? 5 ? i?2 ∴ 5 n

或 232∴ 者 ? ?? a : ?? x? ? 5 5 ? 3 ? ? ?? xxx , ? )
43. 等差数列的定义与性质

定? 数n 义 ( :d ) ?? an 为 1 1 ? d 常 ?? , d a? a na ? 1 n

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等 ,差 ? 差A 数 x 中, 列 ? 项y : 等2 y x 成? A
aa n n? ? ?? n?n ? ? 1 前S 1 n ?1 n n 项 和 ? a d 2 2
性n 等 质是列 : 差 a ? ? 数

(n qa na q 1m? m ?a )p 则 p ; 若 , ? ? ? ? a
( 2 k为 2 2 ?a 等 ) ,数 数? 列 n仍 aa , ; ? n ?差 ? ?b 列 ? n ? 1

S?n2 仍 ,? S S? 列 S S ?; 等 差 数 n2 , 为 nn 3 n

( 等为 ; 3个, , )差a a 若数 d ? 三列 a 数可 成设 d ? ,
aS ? 1 ( b 差 n前 m 2 ; 4a n等 T 项 ? ) 若 , 列 n, m 数 S ,和 n 是 n 为则 b2 T m m ? 1

(?b 于 5数 常 ) 2a 是 a ?, 为 等 差 为 a n ? n (数 关 n 的 常 项 ?列 数 ? S, 为 n n b
0 的二次函数)

2 S 次或 的 ?者 最b 求 值的 、 可最 负 二; 界 函 数 出 S ? a n a 中 的 正 ? ? n 求值 分 n n n

项,即:

a ? ?0 n 当? 不 a, 等 ? d 解? 可最 值 , 式 组 得大 。 S 达 的 到 n 值 时 10 0 a ? n n ? 1 ? 0 a ? ?0 n 当d, 可 最 n a0 ?由 得 小值 ? 0 S 达 时 到 的 值。 1 , ? a 0 n n ? 1 ??

如 ?n ? 3则 : 1? ? n 等, ? 差 a aS? 数n ? 列a 3 a , n, S? 1 , ? 812 ? n n
( a3n , 由n ? a1 a? ? ? 2 a ? ? ? ∴ 33n a ? ? ? nn 1 1 1

aa ?? 3a , 1 ? ? ?∴ 又 1 3·2 1 a S ? 3 ? 3 2 2 3
1 ? ? 1 ? ?n ? a?nn ?2?n1·? ? a a a? n 3 ?1 ? ? ? ∴ S ? ? 1 8 n? 2 2 2

? ?2 ) n 7
44. 等比数列的定义与性质

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a ? 1 定n ? q 数 ) a ? 义 q 为 q ,q : ( , a 1 1 常? 0 n ?n a n

等 G比 ? G 比、 ? 中 y 数x ? 项 等 2y ? : x 成 G或 、 列, x y
n1 q 1 ?a ( ?) ? 前 和 n? a 1 q n : ?1 ? n 项 S ( 意 要 ! 注) ( ?) q 1 ? ? ? 1q

?

?

性n 等 质是列 : 比 a ? ? 数

( n? aaaa 1 m q mn p q )? , ? 若 ?p 则 · ·
( n3 2 仍 2S S ? ) nn 为 SSS 等 , ?? ? 比 数 列 nn, 2

4 S n 应么 5 n a 注? . 求 意 由时什

(S时? n a, S ? 11 ? n nn 1? 2 ? 1 时 , ,) n a? S
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如:(1)求差(商)法

11 1 如足 a ? 2 : a 2 ? ?n n a 满 ? a ? 1 ? ? ? 1 2? ?5 ? n n 22 2 1 ? 时a 21 , ? ? a 1 解: n1,?? 5∴ 4 1 1 2 11 1 n ,a ?12? ? ? a 2 ? ?a n 5 2 2 1 时 2? n ? ?1 ? ? n ? ? 1 22 2 1 ?? ? ? :a ? 1?2 得 n n 2 2
n1 ∴ ?2? a n

1 ) ? 4 (n?1 ∴n ?? n?1 a 2 (n?2 ) ?
[练习]

5 数满S a a 4 a 列足? a ? ? ? S n ?n, 求 ? n 1 ? 1 , n 1 n 3
(注意到a n ?1 ? S n ?1 ? S n 代入得: S n ?1 ?4 Sn

又S 比 4 S ∴ 数n ??等 ? 4 n 是S , ? 列 1 , n
n n ,n ? 1 ? an ? ? 2 nS 1 时S ? ? ?? ? 3 · 4

(2)叠乘法

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a n 1 例 列, n ? , 如 ?中 3 ? :n 数 a ? 求 a ? a , 1 n a n ? 1 n
解:

a a a 12 n ? a 1 1 n 2 3 n · ?? ? , ? · ?∴ ? a a a 23 n a n 1 2 n ? 1 1

3 又 ?3 ∴ ? a ,a 1 n n
(3)等差型递推公式

由) ? n 迭 a 1(a,法 ? n aa 加 a ,, ? 10 求 用 nn f ?
n?2 ,2 ?a1 ?f(2 ? 时 a ) ? a3 ?a2 ?f(3 ? ) 两 相 , : ? 边 加 得 ? ? ? ? ? an ?an?1 ?f(n ? )?

aaf)f ? ? ? 2 ( ?) ? 3 ? ) f ( n n 1 (? ∴ ( f ? aaf ? ) 3? ??? ? ) f ( n ) n 0 2(
[练习]

数 , ??a 列 a 1n ? n a ? ?? , , ? a ? n求 ?1 nna 2 ?13 1 n

1 n ( ? 3? ) a 1 n 2
(4)等比型递推公式

?

?

a nd 常 ? ? c ? 为 cd 、 0, d, ? 数10 c ? , na c ? 1

?

?

可数xn ? 转列 c 化,? 为设 ? 等a?? 比? 1 ax n

?a? 1 a c1 ? ? ?n c x ? n ?

d 令 1 ?, ? (?x d ∴ c ) x c1 ?
d ? d ? ∴ ? 项 ,的 a ? 是1 首 为 c 比 列 a ? 为 比 公 数 等 ? n ? 1 c ? 1 ? c?
d ? d? n ? ∴ a? ?a? ? c 1 · ?1 n ? c1 ? c1 ? ? d? ? d ? ∴ ? a ? ? n1? a ?1 c n ? c1 ?? c1 ?
[练习]

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数1 , , 列 9 1n 求 a a 3a 满 ? a 4 ?足 ? a ? ?n ? n n

? 4 ? (n ?8 ? ? a ? ? 3 ?
(5)倒数法

n1 ?

?) 1

2 a 例 a? a1? n , 如 1 n : , 求 a 1 ? n a? n 2
2 1 a? 1 1 由 得 ?n ?? 已: 知 a1 2 a 2a n ? n n



1 a n ?1

?

1 1 ? an 2

?? 1 1 1 ? ?等 列 ? 公 差, 1 差 ,为 ? 为数 a a 2 n 1 ??
1 1 1 ? ?? ? · ? ? 1? 1 n ? ? n1 ? a 2 2 n

∴n? a

2 n ?1

47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
n 1 如是 d 差 求 : 公的 列 a 差等 , 为 数 ? ?? n ka ? ? kk 1 a 1

解: 由

? ? 1 1 11 1 ? ?? ? ?d0 ?? ? a k? a a1 aa d d k a1 · k k ? ? ?? ? k k ?

n n ? 1 1 1 1? ∴ ? ? ??a ? ? a? ? ? k 1aa? ? k k1 k 1d k ? k1

? ?1 1? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? d? a a ? ?a a ? ? 1 ?a a ? ?? 2 2 3 n n1 1? 1 1 ? ? ? ? ? d?a a ? ? 1 n1
[练习]

1 1 1 求 和 ? : 1 ? ? ? ? ? 1 1? ? ?3 2 2 1?? ?3 ? 2? ? n

1 ( ? ,? ) a ? ? 2 ? ? ?n S ? n n ? 1

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(2)错位相减法:

若为 n 数 a 列数 前 为数 比 等列 列 差, b 等( 比差 a b 项 ?数 求 ) ? ,列 n ? ? ? ? n n n 和 S为 , n中 可 其 。 由 S , 比 ? q S 求? q 公 b 的 ? nn n
n ? 1 如? x ? ? :3 3 ? 1 S x? ? x ?n 1 2 2 4 ? x ? n?
? x ? ? ?1n 2 · 4 ? nx ? S234? ? 3? ? xx? x x n n ? 1 x ? ? ? n 2 ? 1 ? ?? ? ? 1 :? ? n ? ?S x x ? 1 1 ?n x ?? x ? 2 x ?2 ? n n

1x ? ? ??n x x 1 ,? ?时 S
n n 2 1x ? ??

n

1x ?

n1 n ? ? ? x时1 ?? ?, 2 ? ? 1 S ?3 ? ? n ? n 2
(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S?1?2? ? n1?n ? ? a? ? n a a ? a 相 ?加 ? S?n?n1? ?2?1 a a ? a a ? n ? ?
2 1 n? a ?? S?a? ? ? ? ? 1 ? ?a a? ? ?a ? ? ?n na ?2 n 1
[练习]
2 x 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 已 2则 f ? f ? f ? 知 , )? f? f? f? ( x ) f? ( f? ( ? ( ? 1 )( 2 ?3 ?4 ? ) ) ? ? ? ? ? ? 2 3 4 1 ? x

2 2 1 x x 1 ?? (f x f ?? 由 )? ? ( ? ? ? ? 1 2 2 2 ?? 1x x ? ? ?2 1 ?? 1x 1x 1?? ? ?? x

1 ?? ?? ?? x

2

1? 1? 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ∴f ? )f ? ?)f ? ? )f ? 原)? ? ? f ? ? f ? ? 式 f ? ( ( ? ? 1 2 ( ? ? 3 ( ? 4 ?? ? ?? ? ?? ? 2? 3? 4 ?
? 1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

48. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:

n? n? ? ? ?1 S ? 1??n? ?r ??rp p? 1 pr 2 p? n 1 ? ? r? ? 差 问 题 ? ?等 n ??? ? ?? ? 2 ?
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款 种类)

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若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还 款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利),那么每期应还 x 元,满足

p nx ? () ?? x ? x ? 1? ? 1 r ? ?? ? x r 1 ? ? r ? 1 ? r ??
n ? 1 n ? 2
n ? ?1 r n? ? ? ? ? 1 ? ?? 1 r 1 ?? x x ?? ?1 r ? r ?1 ? ? ?? ?

∴ ? x

pr?1? r?

n

?1? r?n ?1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

( 原1 2 ? 1 计 ?m m )理 分 : ?? 类N 数 m? ? n

(m i 为各类办法中的方法数)
分 理 1m n 步 : 2? 计 N 数 ? 原 m? · m

(步方 m 骤法 为中数 i 各的)
(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

列素 个 数 ,中 排 记 叫取 列 为 做出 , A 从m n 个元 排 不素 列 同的 的 元一 个 个 有. 所m n

n ! m A ? 1? ? ? ?? n? ? ? m n ? n 1 ? ? ? m n ?? ? n n ? 2 n? m ??!

规: ? 定0 1 !
(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不

同元 所 C 元素 有m 素 的 组. 中一 合 取个 个 出组 数 m 个 , 为 合 记 n
m n? ? m n 1 ?? ???? n ? ! m A n 1? C n? ?m n m ! mm ! ?! n A ? ? m

0 规: ? 定C 1 n

( 合质 4组性 )数:
m n ? m m ? 1 C CC 1? ? m ? 0 ? nn CC C ? ,1 ? ? m CC , n ? ? 2 n n n n n nn ?

50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相 同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩

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x0 9 2满 ? 9i , x 9 2?4 ?4 , 1) 1 3 9 , 且, , 9 ,足 1 ( 3 ,x , x ? i8, 3 x ? 2
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 解析:可分成两类: C. 12 D. 10 )

?

?

( 两不 1 间数, )个相 中分等

4 有?( C 5种 ) 5

(2)中间两个分数相等

x x x x ??? 1 2 3 4
相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种,∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 51. 二项式定理
? n ? 2 rr ? r ( n0Ca? n a C1 2 2 ? ? n ?an C b n a n ?n ? )n 1 ? ?n ? b bC ? a bC b n n

二 项 r? r 1 项公 n (, 展 式 r ?? 开 :r 0 n 式T b 的? n 通? ? ) r C 1 a
r C 式于) 为(的 二区系 系该 数项 n 项别数

性质:
r ? (C r 1 ? 1性 ?2 , )? 0 , 对n 称r : , n C , ? n n

?

?

0 1 n n ( :? 2数C? 2 )C ?C 系? 和 ? n n n

1 3 5 ? 1 CCCC2 ? ?0 2 4 ? C? n ? ? n ?n ? C? ? n n n n

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

n ?? 2 ? 项 数 数为 两 ,为 式 为 ? ,二 系 ;, () n 中项 间式 ?1 二 C奇 1数 的 ? 项 nn 时偶 项 ?? 2
n

n ? 1 n ? 1 系 数 最 项? 其 为 大 及1 二 C n 即 第, 数 2 第 项 系? 项 n C 式2 2 2

n ? 1

n ? 1

如 的小 ( : 展的 用 在 开项 数 二 式系 字 项 中数 式 ,为 x ? 1 系 数 最 ? ?
1 1

表示)

( n 1 ∵=1
1 2 ∴ 中的, 6 项 共 间 绝 且或 有 两 对 为第 1 2 项系最 ,数大 ? 7 项值第 2

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r? 1 r 1 r 由 r第最 C ∴ 为 x 1 5 数 )取 负 , 即为 6 值 项: 小 1( 1? ? 系
6 5 ?1 ?C?4 C ?1 ? 6 2 1 1

2 0 又? ? ? R 如 0x ? ? :? 2 ? ?? 1 ? 2 x ax a4 , ? 20 x 则 ?? a a 12 0 0 4 x 2 0 0 4

a 0 ?? a ?? 3 ? a 2 ??4 a a a a ? ?用 数 字 作 答 ) ?? 0 ? ( ?a 0 ?? ? 1? ? 0? 2 0 0
( 0得 ? 令,a 1 x ? : 0 令: ? x 得? ?? ? a 2? 1 1 0a , ? a 2 0 0 4
∴ 0?02 ? 原 a?02 式 1?? ? a? 14 2 ? a0 0 0 0 3 a ? ?1 ? ) 0 2 0 4 3 0
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

?

?

( ? 1 能) 1 事?可( 0 ) P ,? ? 必? 然) 不P 件 , ? 事 件 , ?

( ?生称 2 系 ) B 必B 包, 发 含“ 生 关AB 包 : A 发” 导 含 致 A 。

A

B

(:B 生 3和 ?少A )A A 发 事? 件或 一 的A 有 B (B 并 与 叫 ) B 至做 “ ” 个 与
的和(并)。

( A与 B 4 ( A叫 ) B B做 事 或 ” 件 A 发 的? 生 积B 交 ) 同 积 : 时 。 · “ A 与 的

(5)互斥事件(互不相容事件):“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。

A B? ? ·

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(6)对立事件(互逆事件):

“ 叫 对 件 A” 的 事 不 A 立 , 发 发 逆A 生 生 ) 做 (
A ? ,A? ? ? ?? A A

(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

A AB 相 与 ,也 B与 与 。 独A B 立 立 ,独 , A B 与 互
53. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

A 的能 包等结 含可果 m P) ( ? A ? 一验可果数 次的能的 n 试等结总
( 斥?( P 2 、?B ? ), P B 若则 A A B P? 互 A )( ? )
( 互· ? 3、 则A ) 立?P 若 ,P B A B 相A ? ? 独B P · ?

??

(P ) 1 P ) 4 ( ??( ) A A
(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生

k 概 kC ? 次 P? k p 的 n) k ? ? 率 : n 1 ( p

n ? k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

? C2 2? 4 ? P1 ? 2 ? ? C10 15? ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C2C3 10? ?P ? 45 6 ? ? 2 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”

∴C 4 ? m 2 21 4 ?3 · 3 6
2 2 C 4·4 4 · 6 3 ? 4 ∴ 3 P ? ? 3 3 1 2 5 1 0

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(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)

∴ 1 m2 5 3 nA ? A ?5 ,426 CA 0
2 2 3 CAA 1 0 5 ∴4 ? 4 5 6 ? P 2 1 A0 1

分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从 总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个; 分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到 的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体 的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:

(极 m 1 据?; ) ?x i 算 xx 数a n 差 ? m
(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

频 率 其 率 方 积 × 中 ?长 面 距 , 小 的? 频 形 组 组 距

1 样 值 xx ?n 本: 1 2 ? 平x 均 ? ?? ? x n 1 2 2 样2 ? xx ??x 本 方 x ?x ? 差 1 ?? ?? ? :? 2 S ? ? x ? ? 2 n n

?

?

?

?

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的 概率为____________。



4 2 C10 C 5 ) 6 C15

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。

(的 向 度 2 量 有 长 ) — 段 || 向 — 的a 模 线 ,
a ( 单 向 |a |? ,0 ? ? 3 ) 位 量0 1 a |a |
? ? ?

?

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( 零 0 |0 0 4 向, ) 量 | ?
长等 相 ? 度 ?? (相 向 ? 5 等量 )的 ? a b ? 方同 相 ?向
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
? ? ? ? ? ?

b ( 0 存 数? ∥) 在 ? ba a? b ? 实 唯, 一使 ?

? ?

(7)向量的加、减法如图:

?? ? O? B O AO? C ?? ? O? B B AO? A
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
? ? ?

e 平 向 一 ,个 该 存 e 内 , 量 是 线 任 一 的 a面 唯 两 为 则 不 平 在 共 , 12 面 量 向
?? ? ? ?

实 ? 2、 内 数?,一 对 e e做向 ? a? e 这 、 2 1叫 有 ? 1 e 2 示 , 得 ? 表量 平 面 所 1 1 使 2
的一组基底。 (9)向量的坐标表示

? ?

ij 对 向 一 得 ,直 有 x 是 单 只y 一位有使 互量对 相,实 垂则数 的 且, ,
? ?

? ? ?

ay , , , ? 称坐, 标 x (为 作 为 i,的? 即 ?x 量 a ? 向 j ya 记 ) 向 : 量 标y ? x 的 坐 设x y b?2 y a ?1 1,x 2 ?, ? , ? ?
? ?

表示。

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则 1yy2 x1x 2 a? 1 ? y 1y2y ? x ? 1 ??? ? b, , ? ? ? , ? ?? x y? x ?? a ?1 1 ? 1 y ? , ?, ? 1
? ? ?

若 1 B 2 A ? ?, xy , ? ?, xy 1 2
? 则 ?2 x y y A Bx 1 2 1 ? ?, ? ?

?2 2 | | ? x 21 A 距 A?? y 、 公 B ?y , 离 ? x ? ? B ? 两 点 间 式 21
57. 平面向量的数量积
? ? ? ? ? ?

( b做 量 1b | ? a 数 。 )c 向 积 a| ·叫 ?o 量 ( a s || · 与 内 b 的 ) 或 积
? 量 的 ?0 ? 为 与 角? ? 向 b夹 ? a , ,
? b
O B
? ?

?
D

? a
A

数量积的几何意义:
? ? ? ? ?

a 于 方b 乘 ·b 向 o 积 ba在 射 等a 上 ? 。 |与 的 | 的 | s 影 | 的 c
? ? ? ?

(2)数量积的运算法则

①· ?b a a b ·

② b ?·b c ( ?) a c · a c ?
③ ? y x 2 x?2 ab 1 1 2 y 1 · ? x ??,xy , ·? 2 1 ? y
? ?

? ?? ? ? ? ?

注 不 ( b ?b 意 满a) a · : 足 数 结 · c 量 合 c· 积 律 · ( )
( 质? yb 2y 3 要 ax1 ? 2 ) :1 ? 重设 性? ,? , ? x ,
? ?

? ? ? ? ? ?

① a ? x2y2 0 a ? ? 1y ⊥b b · 1x · 0 · ? ?

? ? ? ?

② a ? || a ?· a ?ab · || ∥ b · b ab b · 或? || || ? (?确 a? ? 惟 ) ? bb , 定 0 一
??y 0 x x ? y 21 12
2 2 ③ 2 x y | ·· a || ?? a b ? a 1 1 , ||| || ? b a 2 ?? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ?

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x 2?1 2 x y y a b · 1 ④? ? ? cs ? o ? 2 2 2 2 x y |a |b x?1·2?2 | · | 1 y
[练习]
? ?

? ? ? ? ? ? (B 1a?? 1方 , , )D A b c 已 边 B 知 长C , 正 为 形 A C , , 则 B ? A C
|a b c? ??|
答案: 2 2
???

( 2 )若向量 a ? ? x,1?, b ? ?4 ,x?,当x ?
答案:2
? ?

?

?

时 a 与 b 共线且方向相同
? ?

?

?

( 均它o 么 3 a 为们 那 ) 单的 | 3 已 位夹 a 知 向角 ? 、 ,6 b 量为 b 0 , | ?
答案: 1 3 58. 线段的定比分点

设 ,是 P ? 分直 xx点 线 ,P、 在 y yx P 点 ,两 , P上 点 ?, y2 l , ?, 1 ? ?设 P ? 11 2 1 P 22
? ? l 同 ?P 分 上 一 则 且 实 ?线 不 数 叫 于 ,做 P 、 P P , ? 若 ? 存 PP 在2 使 P , 有 向 段 1 2 1 ? P比1 ? 1 , P(2 ? 2 且 所 线在 成 段P ? ? 0 P, , P内 ) 在 P , P 1 的 P 0外 2

?2 x ? x? x ? x? 2 x 1 x 1 ?? 1? ?? 2 ? ? ? , P 2中时 ? P 1 为P 点, ? ?2 y ? ?y ? y ? ?y ? 2 y 1 y 1 ? ? 1? ? 2 ? ?

如 11 ?yx : y 22 ?y ? ? ?x, A, ? 33 B C , , , ,? AB C x
xxx yyy ? ? ? ?? ? 则 心 是2 3 1 2 3 ?重 标 A B 的? CG 坐1 , ? ? 3 3 ?
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线线 ? ∥ ? 面面 ∥ ? 线面 ? ∥ ? ? 判 定 性 质 ? ? 线线 ? ⊥ ? 面面 ? ? ?? ⊥ ? 线 面 ? ⊥ ? ? ? ? 线线 ? ⊥ ? 面面 ∥ ? 线面 ? ∥ ? ?
线面平行的判定:

a, , a ? ∥面 ?∥ b? a ? b ? ? 面

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a b

??
线面平行的性质:

? , ? b∥ ∥ 面? a 面 ,? ? ?? ? ? ? b
三垂线定理(及逆定理):

P ,内 ? AA ? a , ⊥ O影 则 面在? ?P 射 O 为 , 面

a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
P

??
O a
线面垂直:

a a b ? ?a ⊥ , c? b c c, ⊥ , ? ⊥ , b O? ?
a

α

b

O c

面面垂直:

a 面 ?? ?? ⊥ a面 ⊥ ? , ? 面 ? la , ? ?, ? l a ⊥? 面? ? ? ? ? ,⊥ a ⊥

α

a

l
β

a面 面 ∥ ⊥ b ?ab ?⊥ , ?
面, a ? ? 面 ?? ⊥? a ⊥ ∥

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a b

??
60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90°
o ?0 , 或 = b? ? 时 ∥ ? b

o (二的 ? o 3 角l 平? ) 角面 1 二 ? 面? : ?角8 面 ? ? ? , 0 0

(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所 求。) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。 [练习] (1)如图,OA 为α 的斜线 OB 为其在α 内射影,OC 为α 内过 O 点任一直线。

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证c? c?c? 明s ?s o : o· o s
A

α B β ????????????????????????C ? D O θ

( 角= B ) ? 成C O 为 ∠∠ 线 A 面O ,? , C = ?
(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。

D1 A1 B1

C1

H G D A B C

3 6 (c ;o ③n ) ①n ② as ri 6;c 0 as ri 4 3
(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,求面 PAB 与面 PCD 所成的 锐二面角的大小。
P F

D

C

A

E

B

(∵AB∥DC,P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点,作 PF∥AB,则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线??) 61. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积 转化法)。

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如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
D A B C

D A
1

1

C1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

R, R 和 tO S t O S ? R, R S tO B tB B E E E ? ? ?
它们各包含哪些元素?

1 S侧C C 面' 斜 ·— , ) ' ( 周 底 h 为 正? h — 长 高 棱 锥 2 1 V ? 底积高 面× 锥 3
63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r ? R 2 ? d 2
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ 为纬度角,它是线面成角;α 为经度角,它是面面成角。

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( 4 )S 球 ? 4 ?R 2 ,V球 ?
1。

4 ?R 3 3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3:

如:一正四面体的棱长均为 2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面
积为( )

A. 3?

B. 4?

C. 3 3?

D. 6?

答案:A 64. 熟记下列公式了吗?

(1)l 直线的倾斜角? ??0,??,k ? tan ? ?

y 2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x1 ? x 2 ? ? x 2 ? x1 ? 2
?

P1 ?x1 ,y1 ?,P2 ?x 2 ,y 2 ?是l 上两点,直线l 的方向向量 a ? ?1,k ?
(2)直线方程:

点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在)
斜截式:y ? kx ? b
截距式: x y ? ?1 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A、B不同时为零)

(3)点P?x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ?
(4 )l1 到l2 的到角公式: tan ? ? k 2 ? k1 1 ? k1k 2

Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2

l1 与l2 的夹角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

65. 如何判断两直线平行、垂直?

A 1 B2 ? A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1 C 2 ? A 2 C1 ?
k 1 ? k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立) A1A 2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ⊥l2
k k? ?l ·? l 2 1 1 ⊥ 1 2
66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系?

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圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组 ? 关于x(或y)的一元二次方程 ? “?” ? ? 0 ? 相交;? ? 0 ? 相切;? ? 0 ? 相离
68. 分清圆锥曲线的定义

? 圆 P ? F?a 2?c F2 椭?1 P 2 a 2? 1 F , F 2 ? ? 第 义 曲? 1? F ?a 2 ?c F2 一 ? 线 P P 2 a 2? 1 定双 F , F 2 ? 抛 F ? 物? ? K ? 线P P

第二定义:e ?

PF PK

?

c a

0 ? e ? 1 ? 椭圆;e ? 1 ? 双曲线;e ? 1 ? 抛物线
y b O F1 F2 a x

x?

a2 c

2 2 x y ? 2? ? ? ?? 1a b 0 2 a b

a c ? ?b ? ?
2 2 2

2 2 x y ? 2? ? ?, 0 1a 0 b ? ? 2 a b

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c a b ? ? ??
2 2 2

e>1 P

e=1 0<e<1 F

k

69. 与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1有相同焦点的双曲线系为 2 ? 2 ? ? ?? ? 0? a2 b a b

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0 的限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0 下进行。)
2 弦 1 ???? ? 2 长2 1 x 2 4 公 式 P P k 1x x x ? 1 2
2 ? 1 ? ? ? ? 2?? 1? 2 ? y 2 1 y y? 41 y ? k?

? ? ?

?
?

?

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如:

y P (x 0 ,y 0 ) K

F1

O

F2

x

l
x2 y2 ? ?1 a 2 b2
P F 2
2 ? a? ?, ?? 0? ? e0? e P ex F ?x a 2 P K c ? ?

P1 ?e 0 ? F x a

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y A P2

O P1

F

x

B

2 y?p p 0 2 ? ?? x

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
22 如? y 于 与 : 与 M M 椭 直 、N 圆 线N m x1 ? ? n y 1 ? x 两点 交点 点连 , 原 中

2 m 线 为 则值 的 斜 ,的 率 为 2 n
答案:

m 2 ? n 2

73. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲线 C 上任意一点, 设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。

x ? x y ' ? y ' ( 由, ?x? y a ? b ? x ? ' 2) ' 2, ? a y? b 2 2

只 , C' y 要 2 在x 证 ? 线 ' 明y Ab 曲 ? ' ? ? 2 a 上 , 即 ( ) ?x 也f
A A ⊥ ?' l (A 关 l 称 2 、直 ? )A 线 ? 点 于对 ' A 在 A 中上 l ?' 点
kA k ? ?A'·? 1 l ? ? A'中 标 坐 足 程 ? A 点 满l方

?x ? r cos ? 74. 圆x 2 ? y 2 ? r 2 的参数方程为? (?为参数) ?y ? r sin ? ?x ? a cos ? x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1的参数方程为? (?为参数) a b ?y ? b sin ?
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。 (直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函 数的最值。

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