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河北省永年县第一中学2016届高三数学10月月考试题 理


高三年级数学(理科)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。 每小题所给选项 只有一项符合题意,请将正确答案的选项填涂在答 题卡上) 1.设集合 A={1,2,3,5,7},B={x∈Z|1<x≤6},全集 U=A∪B,则 A∩(?UB)等于( A.{1,4,6,7} 2.已知 f(x)= A 0 B 1 B.{2,3,7} ,则 f(f(1))等于( C 2 D 3 ) C.{1,7} ) D.{1} )

5π ? ? 5π 3.已知角 α 的终边上一点的坐标为?sin ,cos ?,则角 α 的最小正值为( 6 6 ? ? A. 5π 6 2π B. 3 5π C. 3 D. 11π 6 )

4. 已知向量 a=(sin x,cos x),向量 b=(1, 3),则|a+b|的最大值( A.1 B. 3 C.3 D.9

π 5.将函数 y=sin(2x+φ )的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像, 8 则 φ 的一个可能取值为( A. 3π 4 π B. 4 ) C.0 π D.- 4

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,

n 等于
A.6 B.7 C.8 D.9 )

(

)

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.16+8π C.16+16π

B.8+8π D.8+16π

8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)
n

)

B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) )
1

9.若数列{an}的通项公式是 an=(-1) ·(3n-2),则 a1+a2+…+a10 等于(

A.15
2

B.12

C.-12

D.-15 ( D.(-1,0)
x x

10.若 f(x)=x -2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为 A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞)

)

11.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+ f′(x)>1,则不等式 e ·f(x)>e +1 的解集为( A {x|x>0} B {x|x<0} C {x|x<-1 或 x>1} D {x|x<-1 或 0<x<1}

)

12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),

?1?x 且当 x∈[-2,0]时,f(x)=? ? -1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 ?2?
f(x)-loga(x+2)=0 (a>1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是
A.(1,2) 3 C.(1, 4) B.(2,+∞) 3 D.( 4,2) ( )

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) → → 13. 在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则AB·AD=________.

x+2y-3≤0 ? ? 14.已知变量 x,y 满足约束条件?x+3y-3≥0 ? ?y-1≤0
得最大值,则 a 的取值范围为__________。

, 若目标函数 z=ax+y (其中 a>0)仅在点 (3,0)处取

15.若数列{an}是正项数列,且 a1+ a2+…+ an=n +3n (n∈N ),则 + +…+ =__________. 2 3 n+1 16.如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断: ①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 三、解答题: (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知 p:?1-

2

*

a1 a2

an

? ?

x-1?

≤2,q:x -2x+1-m ≤0 (m>0), 3 ? ?
2 2

且非 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n), π 2π 函数 f(x)=a·b,且 y=f(x)的图象过点( , 3)和点( ,-2). 12 3
2

(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ (0<φ <π )个单位后得到函数 y=g(x)的图象, 若 y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 求 y=g(x)的单调递增区间.

19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中, 内角 A , B, C 的对边分别为 a , b, c . 已知 (1)求

cos A ? 2 cos C 2c ? a = . cos B b

sin C 的值; sin A

(2)若 cos B =

1 ,b =2,求△ABC 的面积 S . 4

20.(本小题满分 12 分) 某国际化妆品生产企业 为了占有更多的市场份额,拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销 活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例, 如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件,已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费 用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本 的 150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数. (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

21. (本小题满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 tan? ? 列{ an }的首项 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) . (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求证数列

2 ? 1 ,函数 f ( x) ? 2 x tan 2? ? sin( 2? ?

?
4

) ,数

?a

n

? 1? 是等比数列;

(3)求数列 的前 n 项和 S n . {nan}

3

22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=aln x-bx (x>0), (1)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, ①求实数 a,b 的值; ②求函数 f(x)在 上的最大值.

2

(2)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈

,x∈(1,e ]都成立,求实数 m 的取值范围.

2

4

高三理科数学答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。 C D C C B A A D A C A D 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分 15 ?1 ? 13. 14. ? ,+∞? 2 ?2 ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17. 解 方法一 由 q:x -2x +1-m ≤0, 得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}, ? x-1?≤2,解得-2≤x≤10, 由?1- 3 ? ? ? ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件. [2 分] [3 分] [5 分] [6 分]
2 2

15. 2n +6n

2

16. ②③

m>0, ? ? ∴A?B,∴?1-m<-2, ? ?1+m≥10,

m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10,

即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.[12 分] 方法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, ∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 q:x -2x+1-m ≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤ x≤1+m}, ? x-1?≤2,解得-2≤x≤10, 由?1- ? 3 ? ? ∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p 是 q 的充分而不必要条件, [4 分]
2 2

[2 分]

[6 分]

m>0, ? ? ∴P?Q,∴?1-m<-2, ? ?1+m≥10,
即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.

m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10,

18.解(1)由题意知 f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x. π 2π 因为 y=f(x)的图象过点( , 3)和( ,-2), 12 3 π π 3=msin +ncos , ? ? 6 6 所以? 4π 4π ? ?-2=msin 3 +ncos 3 , 1 3 ? 3= m+ n, ? 2 2 即? 3 1 ? ?-2=- 2 m-2n,

解得?

?m= 3, ?n=1.

5

π (2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x + ). 6 π 由题意知 g(x)=f(x+φ )=2sin(2x+2φ + ). 6 设 y=g(x )的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x0+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π 将其代入 y=g(x)得 sin(2φ + )=1, 6 π 因为 0<φ <π ,所以 φ = , 6 π 因此 g(x)=2sin(2x+ )=2cos 2x. 2 由 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z 得 π kπ - ≤x≤kπ ,k∈Z, 2 π 所以函数 y=g(x)的单调 递增区间为[kπ - ,kπ ],k∈Z. 2 19. (Ⅰ)由正弦定理,设 sin A = sin B = sin C = k ,
2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A = = , b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A 所以 = , cos B sin B a b c
2



即 (cos A -2cos C ) sin B =(2sin C -sin A ) cos B , 化简可得 sin (A +B ) =2sin (B +C ) . 又 A +B +C =π , 所以 sin C =2sin A . 因此 sin A = 2 . (Ⅱ)由 sin A = 2 得 c =2 a . 由余弦定理 b = a +ca c cos B 及 cos B = ,b =2,
2 2 得 4=a2+ac2× = a ? 4a ? a ? .

sin C

sin C

2

2

1 4

1 4

1 4

解得 a =1,从而 c =2 . 又因为 cos B = ,且 0 < B < π ,所以 sin B =
1 因此 S = 2 1 15 15 2 4 4 a c sin B = ×1 ×2 × = . 1 4

15 , 4

20. 解 (1)由题意可设 3-x=

k

t+1

, 2 . t+1

将 t=0,x=1 代入,得 k=2.∴x=3- 当年生产 x 万件时,

∵年生产成本=年生产费用+固定费用, 2 ? ? ∴年生产成本为 32x+3=32?3- ?+3. ? t+1? 当销售 x(万件)时,年销售收入为
6

150%?32?3-

? ? ? ?

2 ? ? 1 +3?+ t. t+1? ? ? 2

由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润 y= 2 -t +98t+35 (t≥0). 2?t+1? 2 -t +98t+35 ?t+1+ 32 ? (2)y= =50-? t+1? 2?t+1? ? 2 ? 32 × =50-2 16=42(万元), 2 t+1 t+1 32 当且仅当 = ,即 t=7 时,ymax=42, 2 t+1 ≤50-2 ∴当促销费投入 7 万元时,企业的年利润最大.

t+1

21`. 解:⑴ tan 2? ? ∴ 2? ?

?
4

(2) ∵ an?1 ∵ a1 ? 1

2 tan? 2( 2 ? 1) 又∵ ? 为锐角 ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2 ? f ( x) ? 2 x ? 1 ∴ sin( 2? ? ) ? 1 …………5 分 4 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ? 2an ? 1, ∴数列 ?an ? 1? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。
…………9 分
n

可得 an ? 1 ? 2 n ,∴ an ? 2 n ? 1 , 所以, nan ? n ? 2 ? n 下面先求 {n ? 2 n } 的前 n 项和 Tn

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ... ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? n ? 2 n 2Tn ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? .......... ..........? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1
2 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? n ? 2 n ?1 1? 2

两式相减,得

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ... ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ? ? Tn ? 2 ? (n ? 1)2 n ?1 ? S n ? 2 ? (n ? 1)2 n ?1 ?
…………12 分

(1 ? n)n 2

22.解:(1)①f'(x)= -2bx, ∵函数 f (x)在 x=1 处与直线 y=- 相切,



解得 ②f(x)=ln x- x ,
7
2

f'(x)= -x= 当 ≤x≤e 时,

,

令 f'(x)>0 得 ≤x<1; 令 f'(x)<0,得 1<x≤e, ∴f(x)在 上单调递增,在[1,e]上单调递减,

∴f(x)max=f(1)=- . (2)当 b=0 时,f(x)=aln x,不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈ 即 aln x≥m+x 对所有的 a∈ 即 m≤aln x-x 对所有的 a∈ 令 h(a)=aln x-x, 则 h(a)为一次函数,m≤h(a)min. ∵x∈(1,e ], ∴ln x>0, ∴h(a)在 a∈ 上单调递增,
2

,x∈(1,e ]都成立,

2

,x∈(1,e ]都成立, ,x∈(1,e ]都成立,
2

2

∴h(a)min=h(0)=-x, ∴m≤-x 对所有的 x∈(1,e ]都成立. ∵1<x≤e , ∴-e ≤-x<-1, ∴m≤(-x)min=-e .
2 2 2 2

8


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