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3.1不等式关系


第三章不等式 §3.1 不等式与不等关系 第 1 课时
【授课类型】新授课 【教学目标】 1.理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不 等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 3.能用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学重点】同目标 2 【教学难点】同目标 3 【教学过程】

1、情境导入
在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之 间线段最短, 三角形两边之和大于第三边, 等等。 人们还经常用长与短、 高与矮、 轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在 的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 2、展 示 目 标 下面我们首先来看在 本 课 时 应 掌 握 哪 些 东 西 , 掌 握 到 什 么 程 度 (1)理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; (2)能用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有 不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 (3)能用不等式(组)正确表示出不等关系。

3、 检 查 预 习

(1)用不等式表示不等关系 限速 40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40km/h,写成不等式就是:
v ? 40

4、 合 作 探 究

(2)用不等式表示不等关系 某品牌酸奶的质量检查规定, 酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示
? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%

5、 交 流 展 示 引例:b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0) ,若再加入 m 克糖(m>0) ,则糖水更甜了,试根
据这个事实写出一个不等式 。

6、 精 讲 精 练 例题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则 d ?| AB | 。 例题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查, 若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价 设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢?
x ? 2.5 ? 0.2) x 万元,那么 0.1 不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式

解:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ?

(8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1

例题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生 产的要求,600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不 等关系的不等式呢? 解:假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意,应有如 下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
?500 x ? 600 y ? 4000; ? 3 x ? y; ? ? x ? 0; ? ? y ? 0. ?

7、 反 馈 测 评 (1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 (2)课本 P82 的练习 1、2

8、课时小结
用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系 的问题。

9、评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 4、5 题 【板书设计】

【授后记】

第三章不等式 §3.1 不等式与不等关系学案 第 1 课时
【教学目标】 1.理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不 等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 3.能用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学重点】同目标 2 【教学难点】同目标 3
请同学们阅读课本内容,完成下列题目:

用不等式表示不等关系

1、限速 40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40km/h,写成不等式就是:

2、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的含 量 p 应不少于 2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示

3、b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0) ,若再加入 m 克糖(m>0) ,则糖水更甜了,试根据这 个事实写出一个不等式 。

精讲精练 例题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则————

例题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查, 若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价 设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢?

例题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生 产的要求,600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不 等关系的不等式呢?

反馈测评 (1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 (2)课本 P82 的练习 1、2

课时小结
用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系 的问题。

评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 4、5 题 答案:

精讲精练 例题 1: d ?| AB | 例题 2:
x ? 2.5 ? 0.2) x 万元,那么 0.1 不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式

解:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ?

(8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1

例题 3: 解:假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意,应有如 下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
?500 x ? 600 y ? 4000; ? 3 x ? y; ? ? x ? 0; ? ? y ? 0. ?

第三章不等式 §3.1 不等式与不等关系 第 2 课时
【授课类型】新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、 解决问题的方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】

1.课题导入
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; 即若 a ? b ? a ? c ? b ? c (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变; 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质: 师:同学们能证明不等式的基本性质 a ? c ? b ? c 吗? 证明:
? (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 , ∴a?c ?b?c.

实际上,我们还有 a ? b, b ? c ? a ? c , 证明:∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0. 根据两个正数的和仍是正数,得(a-b)+(b-c)>0,即 a-c>0,∴a>c. 于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1) a ? b, b ? c ? a ? c (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

(4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 2、探索研究 思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:

(1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;

(2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;

(3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b 。 证明: 1)∵a>b, ∵c>d, 由①、②得 ∴a+c>b+c ∴b+c>b+d a+c>b+d. ① ②

2)

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?

3)反证法)假设 n a ? n b , n a ? n b ?a?b 则:若 这都与 a ? b 矛盾, n a ? n b ?a?b ∴n a ? n b .

[范例讲解]: 例 1、已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证
c c ? 。 a b
1 ?0。 ab

证明:以为 a ? b ? 0 ,所以 ab>0,

于是
c c ? a b

a?

1 1 1 1 ? b ? ,即 ? ab ab b a

由 c<0 ,得

3.随堂练习 1
1、课本 P82 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号: (1)( 3 + 2 )2 6+2 6 ;

2 (2) 3 - 2 ) (

2 ( 6 -1) ;

(3)

1 5?2

1 ; 6? 5

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

log 1 b
2

答案:(1)< [补充例题]

(2)<

(3)<

(4)<

例 2、比较(a+3)(a-5)与(a+2) a-4)的大小。 ( 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差, 然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究 竟是多少,在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大 小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解:由题意可知: (a+3) a-5)-(a+2) a-4) ( ( 2 2 =(a -2a-15)-(a -2a-8) =-7<0 ∴(a+3) a-5)<(a+2) a-4) ( (

随堂练习 2
比较大小:(x+5)(x+7)与(x+6)
2

解:(x+5)(x+7)-(x+6)

2

=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0 所以:(x+5)(x+7)<(x+6)2
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质, 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研 究了如何比较两个实数 (代数式) 的大小——作差法, 其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论;

第三步:得出结论

5.评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题;[B 组]第 1 题 【板书设计】

【教学后记】

第三章不等式 §3.1 不等式与不等关系 第 2 课时
【授课类型】新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、 解决问题的方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】

1.课题导入
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1) 不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; 即______________ (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变; 即______________ (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。 即______________

2.讲授新课
1、不等式的基本性质 请同学们证明下列不等式 (1) a ? c ? b ? c

(2) a ? b, b ? c ? a ? c

于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1) a ? b, b ? c ? a ? c

(2) a ? b ? a ? c ? b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

(4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 2、探索研究 思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:

(1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;

(2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;

(3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b 。 证明: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

(2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

(3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b

[范例讲解]: 例 1、已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证
c c ? 。 a b

3.随堂练习 1
1、课本 P82 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号: (1)( 3 + 2 )2 (2) 3 - 2 )2 ( 6+2 6 ; ( 6 -1)2;

(3)

1 5?2

1 ; 6? 5

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

log 1 b
2

[补充例题] 例 2、比较(a+3)(a-5)与(a+2) a-4)的大小。 ( 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差, 然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究 竟是多少,在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大 小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

随堂练习 2
比较大小:(x+5)(x+7)与(x+6)
2

4.课时小结
本节课学习了不等式的性质, 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研 究了如何比较两个实数 (代数式) 的大小——作差法, 其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论

5.评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题;[B 组]第 1 题

答案: 课题导入: 1、 a ? b ? a ? c ? b ? c

2、 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

3、 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

(2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;
a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?

证明:

(3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b 。 反证法:假设 n a ? n b , n a ? n b ?a?b 则:若 这都与 a ? b 矛盾, n a ? n b ?a?b

∴n a ? n b .

[范例讲解]: 例 1、证明:以为 a ? b ? 0 ,所以 ab>0,
1 ?0。 ab

于是
c c ? a b

a?

1 1 1 1 ? b ? ,即 ? ab ab b a

由 c<0 ,得

随堂练习 1
答案:(1)< [补充例题]
例 2、解:由题意可知:

(2)<

(3)<

(4)<

(a+3) a-5)-(a+2) a-4) ( ( 2 2 =(a -2a-15)-(a -2a-8) =-7<0 ∴(a+3) a-5)<(a+2) a-4) ( (

随堂练习 2
解:(x+5)(x+7)-(x+6)
2

=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0 所以:(x+5)(x+7)<(x+6)2


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