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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 2.6 对数与对数函数限时集训 理


限时集训(八)

对数与对数函数

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 2 x 1.已知 2 =9,y=log2 ,则 x+2y=( 3 A.3 C.2 2.已知函数 f(x)=lg A. 1 ) B.4 D.log42 1-x ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( 1+x 1 B.- )

b

b

C.-b

D.b )

3.若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是(

?1 ? A.? ,b? ?a ?
C.?

B.(10a,1-b) D.(a 2b) )
2,

?10,b+1? ? ?a ?

4.函数 y=lg|x-1|的图象是(

5.已知函数 f(x)=log 1 |x-1|,则下列结论正确的是(
2

)

? 1? A.f?- ?<f(0)<f(3) ? 2? ? 1? B.f(0)<f?- ?<f(3) ? 2? ? 1? C.f(3)<f?- ?<f(0) ? 2? ? 1? D.f(3)<f(0)<f?- ? ? 2?
6.设 a>1,且 m=loga(a +1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则 m,n,p 的大小关系 为 ( A.n>m>p B.m>p>n
1
2

)

C.m>n>p
2

D.p>m>n )

7.(2013·丹东模拟)函数 y=log2(x +1)-log2x 的值域是( A.[0,+∞) C.[1,+∞) B.(-∞,+∞)

D.(-∞,-1]∪[1,+∞) )

8. 设函数 f(x)定义在实数集上, (2-x)=f(x), f 且当 x≥1 时, (x)=ln x, f 则有(

?1? ?1? A.f? ?<f(2)<f? ? ?3? ?2? ?1? ?1? B.f? ?<f(2)<f? ? ?2? ?3? ?1? ?1? C.f? ?<f? ?<f(2) ?2? ?3? ?1? ?1? D.f(2)<f? ?<f? ? ?2? ?3?
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 2 4 9.若 a>0,a = ,则 log 3 a=________. 3 9 10. (2012·北京高考)已知函数 f(x)=lg x. f(ab)=1, f(a )+f(b )=________. 若 则 11.函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是 1,则 a 的值为 ________. 12.已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间[-2,2]上的值域不大于 2,则函数 g(a)= log2a 的值域是________. 13.(2013·台州模拟)已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围 是________. 14. 0<a<1, 设 函数 f(x)=loga(a -2a -2), 则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)
2x 2 2

2

x

x

?1 ? 15.已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈? ,2?都有|f(x)|≤1 成立, ?3 ?
试求 a 的取值范围.

16.设函数 y=f(x)且 lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x). (1)求 f(x)的解析式及定义域; (2)求 f(x)的值域; (3)讨论 f(x)的单调性.
2

17.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对 称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围.





[限时集训(八)] 1.C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 4 9.解析:∵a 3 = , 9 4 ∴log 2 a =log 2 =2. 3 3 9 2 ∴ log 2 a=2,即 log 2 a=3. 3 3 3 答案:3 10.解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1. ∴lg(ab)=1. ∴f(a )+f(b )=lg a +lg b =2lg a+2lg b =2lg(ab)=2. 答案:2 11.解析:(1)当 a>1 时,函数 y=logax 在[2,4]上是增函数,所以 loga4-loga2=1, 4 即 loga =1,所以 a=2. 2 2 (2)当 0<a<1 时,函数 y=logax 在[2,4]上是减函数,所以 loga2-loga4=1,即 loga = 4 1, 1 所以 a= . 2
2 2 2 2

2

2 3

3

1 由(1)(2)知 a=2 或 a= . 2 1 答案:2 或 2 12.解析:当 a>1 时,a ≤2,故 1<a≤ 2; 当 0<a<1 时,a ≤2,故 则当 2 ≤a≤ 2时, 2
-2 2

2 ≤a<1. 2

1 1 - ≤g(a)≤ , 2 2 又 a≠1,∴g(a)≠0. ∴g(a)=log2a 的值域为

?-1,0?∪?0,1?. ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1? 答案:?- ,0?∪?0, ? ? 2 ? ? 2?
13. 解析: f(x)=2-ax, a>0 且 a≠1, 令 ∵ ∴函数 f(x)=2-ax 在[0,1]上是减函数. 又 ∵y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,∴a>1.又∵f(x)=2-ax>0 在[0,1]上恒成立,∴

f(1)>0,即 2-a>0,即 a<2.∴1<a<2.
答案:(1,2) 14.解析:∵f(x)<0 且 0<a<1, ∴a -2a -2>1,a -2a -3>0. 即(a -3)(a +1)>0.∴a >3, 即 x<loga3. 答案:(-∞,loga3) 15.解:∵f(x)=logax, 当 0<a<1 时,
x x x
2x

x

2x

x

?f?1??-|f(2)| ? ?3?? ? ? ??
1 2 =loga +loga2=loga >0, 3 3

? ?1?? 当 a>1 时,?f? ??-|f(2)|= ? ?3??
1 2 -loga -loga2=-loga >0, 3 3

4

? ?1?? ∴?f? ??>|f(2)|总成立. ? ?3??
则 y=|f(x)|的图象如图.

?1 ? 要使 x∈? ,2?时恒有|f(x)|≤1, ?3 ? ? ?1?? 只需?f? ??≤1, ? ?3??
1 即-1≤loga ≤1, 3 1 -1 即 logaa ≤loga ≤logaa, 3 1 -1 当 a>1 时,得 a ≤ ≤a, 3 即 a≥3; 1 -1 当 0<a<1 时,得 a ≥ ≥a, 3 1 得 0<a≤ . 3

? 1? 综上所述,a 的取值范围是?0, ?∪[3,+∞). ? 3?
16.解:(1)lg(lg y)=lg[3x·(3-x)], ∴lg y=3x·(3-x). ∴y=10
3x(3-x)

? ?3x>0, 且? ?3-x>0, ?

? 0<x<3. (2)∵y=10
3x(3-x)


2

设 u=3x(3-x)=-3x +9x 3 27 ? 3?2 27 u =-3?x- ? + ,则 y=10 ,当 x= ∈(0,3)时,umax= , 2 4 ? 2? 4 27 ? 27? ∴u∈?0, ?.∴y∈(1,10 ]. 4? 4 ? 3 ? 3?2 27 (3)当 0<x≤ 时,u=-3?x- ? + 是增函数, 2 ? 2? 4

? 3? ?3 ? u 而 y=10 为增函数,∴在?0, ?上,f(x)是增函数,在? ,3?上,f(x)是减函数. 2? ? ?2 ?
17. 解: (1)设 P(x, )为 g(x)图象上任意一点, Q(-x, y), Q(-x, y)在 f(x) y 则 - ∵ - 的图象上, ∴-y=loga(-x+1),
5

即 y=g(x)=-loga(1-x). (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga 设 F(x)=loga

x+1 ≥ m. 1-x

1+x ,x∈[0,1),由题意知,只要 1-x 2 ?? 1+x ? ? =loga?-?1+ ??在[0,1)上是增函数, 1-x ? ? x-1??

F(x)min≥m 即可.∵F(x)=loga

∴F(x)min=F(0)=0,故 m≤0 即为所求.

6


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