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第一讲 函数


第一讲 函数 六、复习资料
一、判断题 1.实数域上的周期函数的周期有无穷多个。 ( 2.单调函数必定无界。 ( ) 3. y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) )是非奇非偶函数。 (
) ) )

4. y ? f ( x) 在 ( a, b) 内处处有定义,则 f ( x ) 在 ( a, b) 内一定有界。 ( 5. y ? x x ( x ? 0) 是初等函数。 ( 6.函数 f ( x ) =


x2 ?1 ?

1 4 ? x2

的定义域是 (?2, ?1] ? [1, 2) 。 (



7.复合函数 f [ g ( x)] 的定义域即 g ( x) 的定义域。 (

) )

8.任意两个平面的一般式方程联立都表示空间的一条直线。 ( 9.点(1,2,0)在 xOy 坐标面上。 ( )

10.由 yoz 面上的抛物线 y ? z 2 绕 z 轴旋转一周所得曲面的方程为 ? x2 ? y 2 ? z 2 。 二、填空题 1.设 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,则 f (2x ? 3) 的定义域为____。
1 2.设 f ( x) = (e x ? e ? x ) ,则 f (ln 3) ? _______。 2

3.若 f ( x ) ?

1 ,则 f [ f ( x)] = _______, f { f [ f ( x)]} = _______。 1? x

1 4.设 f ( ) ? x ? 1 ? x 2 ,则 f ( x) = _______。 x
x ?x 5.函数 y ? a ? a 的图形关于_______对称。 y轴 2

6.设 f ( x ) 是以 3 为周期的奇函数,且 f (?1) ? ?1, 则 f (7) = _______。 7.设 f ( x ? y, x ? y) ? x 2 ? y 2 ,则 f ( x, y) ? 8.若 f ( y ) ? x 。

x2 ? y2 ( x ? 0) ,则 f ( x) ? x
2 2 2



9.函数 z ? ln(x ? y ) ? arcsin(x ? y ) 的定义域是



10.由空间直角坐标系中三个坐标轴可构成 个平面,它们分别是__________________, 统称为 。空间被分成 个卦限,分别记作 _______,每个 卦限坐标的正负分配为 ______________________。 11.在空间直角坐标系中, (0,0,0)是 点, (1,2,0)在 上, (1,0,0)在 上,

(0,-5,0)在

上。 ____________。 。 ,关于 xoy 坐标面的对称点坐标 。 。

12.自点 p0 ( x0 , y0 , z 0 ) 作各坐标面垂线,垂足为 13.点(1,-2,4)与(0,3,-1)的距离是 14 .空间点 A(3,0,-2 )关于 y 轴的对称点为

为 ,到 x 轴的距离是 。 y 15. 轴上与 A(1,-3,7) ,B(5,7,-5)等距离的点为 16. yoz 坐标面上,与 A(3,1,2) ,B(4,2,-2) ,C(0,5,1)等距离的点为

17.以 A(4,1,9) ,B(10,-1,6) ,C(2,4,3)为顶点的三角形为_________________。 18.球心坐标为(6,0,-2) ,半径为 5 的球面方程是 。 19.曲线 x 2 ? 3 y 2 ? 1绕y 轴旋转的曲面方程是 20.方程 3x 2 ? 2 y 2 ? 5 在空间中表示 21.球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 6x ? 8 y ? 0 ,其球心坐标为 22.在空间直角坐标系中,方程 x ? 0 表示 平面。 面。 ,半径为 。 。

23 . 方 程 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 在 平 面 上 表 示 一 条 曲 线 ______ , 而 在 空 间 表 示 一 张 曲 面 ________。 24.以 xoy 面上曲线 y ? x 2 为准线,母线垂直于 xoy 面的柱面方程为____________。 25. 方程 4 ? 2x 2 ? 3 y 2 ? 3z 2 ? 0 在空间代表的曲面叫________, 这曲面的旋转轴是_______。 三、选择题 1. f ( x) ? sin(x 2 ? x) 是( A.有界函数 ) 。 C.奇函数 D.偶函数

B.周期函数

1 1 2.函数 y ? sin x ? sin 2x ? sin 3x 的周期是( ) 。 2 3
A. 2? B. ? C. 6? )内有界。 C. (1,2) ) 。 D.以上三个都不是 ) 。 D. (2,3)

2 D. ? 3

3.函数 y ? lg( x ? 1) 在区间( A. (1,??) B. (2,??)

4.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是( A. sin x
3

B. x ? 1
3

C. x ? x
3

?y ? x 5. ? 绕 y 轴旋转一周而成的曲面方程为( ?z ? 0

A. y 2 ? x 2 ? z 2

B. x 2 ? y 2 ? z 2

C. y ? x 2 ? z 2

D. x ?

y2 ? z2

6.在球 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2z ? 0 内部的点有( A. (0,0,2) B.(0,0,-2) )上。

) 。

C. ( ,1, )

1 2

1 2

1 1 D. (? ,0, ) 2 2
D. z ? ln(x 2 ? y 2 )

7.点(1,-1,1)在曲面( A. x 2 ? y 2 ? 2 z ? 0 8.函数 y ? A. x ? 1 9.若 f ( x) ?

B. x 2 ? y 2 ? z

C. x 2 ? y 2 ? 1 ) 。 C. 0 ? x ? 1 ) 。

1 ? 1 ? x 2 的定义域是( x
B. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

1 ,则 f [ f (?1)] 等于( 1? x

A.1 B.2 C .0 10.若 f ( x ? 1) ? x( x ? 1) ,则 f ( x) =( ) 。 A. x( x ? 1) B. ( x ? 1)( x ? 2) C. x ( x ? 1)

D. ? D.不存在 ) 。

11.设 f ( x) ? 4 x 2 ? bx ? 5 ,若 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 8 x ? 3 ,则 b 应为( A.1 B.-1 C .2 D.-2 ) 。 D. (0,1)

12.设 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,则 f (ln x) 的定义域为( A. [0,1] B. (0,2) C. [1, e] x 1 13.设 f ( x, y ) ? xy ? ln ,则 f ( ,2) ? ( ) y 2 A. 1 ? ln 4 14. f ( x, y ) ?
2

B. 1 ? ln 4

C. 1 ? ln

1 4
) 。

D.1

xy ,则下式中正确的是( x ? y2

y A. f ( x, ) ? f ( x, y) x C. f (? y,? x) ? f ( x, y)

B. f ( x ? y, x ? y) ? f ( x, y) D . f ( x, ? y ) ? f ( x , y )

15.函数 z ? f ( x, y ) 的定义域为 D ? {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} ,则函数 z ? f ( x 2 , y 3 ) 的定义 域为( ) 。 B. {( x, y) ? 1 ? x ? 1,0 ? y ? 1} D. {( x, y) ? 1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1}

A. {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} C. {( x, y) 0 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} 四、简答题 1.分析下列函数的复合结构 (1) y ? e
2? x 2

; (2) y ? ln arcsin

1 ; (3) y ? tan 3 (e 3x ) ; 1? x

(4) z ? arctan

y ; (5) z ? ( x ? y) 2 sin(x ? y) 。 x

?x 2 , x ? 0 ?2 ? x, x ? 0 2.设 g ( x) ? ? , f ( x) ? ? ,确定 g[ f ( x)] 的表达式. ?2 ? x, x ? 0 ?? x, x ? 0
3.某运输公司规定 1 吨货物的运价为:在 a 千米以内每千米 k 元;超过 a 千米,超过部分 每千米运价为

4 k ,试求运价和路程之间的函数关系. 5

七、自我测验题
一、填空题(每空 3 分,共 18 分) 1.已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 1 , 则 f ( x) = 。

y 2.若 f ( ) ? x

x2 ? y 2 ( x ? 0) ,则 f ( x) = x
1 , g ( x) ? 1 ? x ,则 f [ g ( x)] ? x 1 3

。 。

3.设函数 f ( x) ?

4.已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,则函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域是 。 5.函数 z ? ln( x ? y 2 ) ? arcsin( x 2 ? y 2) 的定义域为
2

1 3

。 复合而成的。

6.函数 z ? log 3 (5 x ? y 2 ) 3 是由 二、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.下列函数中, (
x A. x

)是偶函数。
ax ?1 C. x a ?1
10 x ? 10 ? x D. 2

B.x 2 sin x

2.下列函数中,有界的是(
A.y ? arctgx B.y ? tgx

) 。

C.y ?

1 x
) 。

D.y ? 2x

3.若 f ? x ? 1? ? x? x ? 1? ,则 f ? x ? ? (
A.x ? x ? 1?
B. ( x ? 1)( x ? 2)

C.x ? x ? 1?

不存在 D.

4.函数 y ? sin x 的周期是( A. 4? B. 2? C. ?

) 。 D.

?
2

5.下列函数不是复合函数的有(
?1? A.y ? ? ? ?2?
x

) 。
2

B.y ? ? ?1 ? x ?

C.y ? lgsin x

D.y ? e

1?sin x

6.下列函数相同的是( A. lg x 2 与 2 lg x C. 3 x 4 ? x 3 与 x3 x ? 1 7.下列函数中, ( A. y ? ( )

) 。 B. x 与 x 2 D.1 与 sec 2 x ? tan 2x

)不是基本初等函数。 B. y ? ln x 2 C. y ?

1 e

x

sin x cos x

D. y ? 3 x 5 )。 D. (e ,e)
-1

8.若函数 f(x)的定义域为(0,1)则函数 f(lnx+1)的定义域是( A.(0,1) B. (-1,0) C.(e ,1) ) 。
-1

9.方程 2 x ? 3 y ? 1 在空间表示的图形是( A.平行于 xoy 面的平面 C.过 oz 轴的平面 10.设 f ( x, y ) ? x ? y ? x y tan
3 3 2

B.平行于 oz 轴的平面 D.直线

x ,则 f (tx, ty ) ? ( ) 。 y
C. t f ( x, y)
3

A. tf ( x, y)

B. t f ( x, y)

2

D.

1 f ( x, y ) t2

三、将曲线 y 2 ? 4 z 2 ? 1 分别绕 y 轴, z 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程,并说明 其表示的曲面。(10 分) 四、用不等式组表示下列区域(10 分)

五、在股票交易中,每交易一次需要交纳交易费和印花税,设交易费和印花税占总交易额的 0.5%, 某人买进一种股票, 每股 x 元, 请问当股票长到每股多少元时, 他卖出就不会亏本. (7 分) 六、收音机每台售价 90 元,成本 60 元,厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过 100 台以上的,每多订购一台,售价就降低 1 分,但最低价为每台 75 元。(15 分)

(1)将每台的实际售价 P 表示为订购量 x 的函数; (2)将厂方所获利润 P 表示成订购量 x 的函数; (3)某一销售商订购了 1000 台,厂方可获利多少。 七、求华氏温度(用 F 表示)和摄氏温度(用 C 表示)的转换公式,并求: (1) 90 ? F 的等价摄氏温度和 ? 5? C 的等价华氏温度 (2)是否存在一个温度值,使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的?如果存在,该温 度值是多少。(10 分) (提示: F ? 32? 相当于 C ? 0 ? , F ? 212? 相当于 C ? 100? ,且 F 与 C 满足线性关系)

第二讲

六、复习资料
一、判断题 1.若 ? 为无穷小量( ? ? 0 ) ,则为
sin x ~ x 。 (
x ? x0

1

?

无穷大量。 (




x ? x0 x ? x0

3.设 lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B, 则 lim 4.设函数 f ( x) ? x2 ,则 lim

f ( x) A ( ? 。 g ( x) B



f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ) ? 2 x0 ( ?x 5.无限变小的变量称为无穷小量。 ( ) 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n 1 2 3 n 6. lim ( ? lim 2 ? lim 2 ? lim 2 ? ??? ? lim 2 =0。 2 n ?? n ?? n n ?? n n ?? n n ?? n n
?x ??



7. lim(1 ? ) =e。 ()
x x ??

1 x

8.若 lim f ( x) ? A, 则f ( x0 ) ? A 。 (
x ? x0

) )

9.已知 f ( x0 ) 不存在,但 lim f ( x ) 有可能存在。 (
x ? x0

10.如果函数 f ( x ) 在 x= x0 处无定义,则 f ( x ) 在该点无极限。 ( 11.无穷大必定无界,无界未必无穷大。 (

x ? x0



12.若左极限 f ( x0 ? 0) 与右极限 f ( x0 ? 0) 都存在,则 lim f ( x ) 必存在。 ( 13.在数列 ?an ? 中任意去掉或者增加有限项,不影响 ?an ? 的极限。 (
x?0 y ? kx x?0 y?0





14.设 z ? f ( x, y ), 若沿着 y ? kx 极限 lim f ( x, y) 依赖于 k ,则极限 lim f ( x, y) 不存在。 ( ) 15.设 z ? f ( x, y ), 若沿着任意直线 y ? kx 趋向于(0,0)时, f ( x, y ) 极限都存在且等于 A, 则可断断言 lim f ( x, y) ? A 。 ( )
x?0 y ?0

二、填空题 1.要使 lim

3n3 ? 4n ? 5 ? 2, 则 a =_______。 n ?? an 3 ? 5n 2 ? 6
x ? x0 x ? x0

2.若 f ( x) ? A ? ? ( x) ,其中 A 为常数。 lim ? ( x ) =0 则 lim f ( x ) =________。

3. lim
n ??

sin n

n 2 ? ________。

sin 7 x ? _________。 x ?0 x 5.设 ? ( x) 是无穷小量, E ( x) 是有界变量,则 ? ( x) ? E ( x) 为=______。
4. lim

6. lim

(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? _________。 n ?? (5n)3

7.设 f ( x) ?

x 2 ? 5x ? 6 ,则当 x ? ___时, f ( x) 为无穷大,当 x ? ___时, f ( x) 为无穷小。 x2 ? 4
1 1 xg ( x) 是等价无穷小,g ( x) 与 2 是等价无穷小, 则 lim =___。 x ?? x x f ( x)

8. 若当 x ?? 时函数 f ( x) 与

9. ?an ? 为收敛数列, lim an ? a , (a ? 0) ,且 a2n?1 ? an ? 6 ,则 a =________。
n ??

10.函数 f ( x) =

x , lim f ( x) =_______; lim f ( x) =________; lim f ( x ) =________。 x?0 x ? 0? x x ? 0?

? 2 11. 设 f ( x ) = ? 2 x ? a, x ? 0 , 满足 x=0 处左右极限相等, 即 f (0 ? 0) ? f (0 ? 0) , 则 a =______。 2, x ? 0 ?
12. lim

arctan( xy) ? xy x?0 1 ? e y ?0



三、选择题 1.以下命题正确的是( ) 。 A.无界变量一定是无穷大 B.无穷大一定是无界变量 C.趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增 D.不趋于无穷大的变量必有界 2.当 x ? 1 时,下列变量中是无穷小的是( ) 。 A. x ? 1
3

B. sin x

C. e

x

D. ln(x ? 1)

3.当 x ? x0 时, ? 和 ? (? 0) 都是无穷小。当 x ? x0 时,下列变量中可能不是无穷小的是 ( ) 。 B. ? ? ? C. ? ? ? D.

A. ? ? ?

? ?

? 1 n为奇数 ? , 4. x n ? ? n ,则必有( ? 7 n为偶数 ? 10 , ?
A. lim xn ? 0
n ??



B. lim x n ? 10 ?7
n? ?

? 0, n为奇数 C. lim x n ? ? -7 n?? ?10 ,n为偶数

D. lim xn 不存在
n ??

5.从 lim f ( x) ? 1 不能推出(
x ? x0


1 C. f ( x0 )=

A. lim- f ( x) ? 1
x ? x0

1 B. f ( x0 ? 0)=

1] ? 0 D. lim[ f ( x)-
x ? x0

? x ? 1, x ? 0 6.设 f ( x) ? ? ,则 lim f ( x) 的值为( x ?0 ? 2, x ? 0



A.0 B.1 C.2 D.不存在 7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是( A.
x2 x ?1
1



3

( x ? ??)

B.ln x( x ? ??)

C.ln x( x ? 0)

1 nx D. cos ( x ? ?) x 2

8. lim e x (
x?0

) B.等于 ?? C.等于 1 D.不存在 ) ;

A.等于 0

?cos x ? 1, x ? 0 9.设 f ( x) ? ? ,则 k ? 0 是 lim f ( x) 存在的( x ?0 x?0 ? k,

A.充分但非必要条件 C.充分必要条件

B.必要但非充分条件 D.无关条件 1 1 10.当 n ? ? 时,若 sin2 与 k 是等价无穷小,则 k ? ( n n 1 A.2 B. C.1 D.3 2 11.设 lim

) ;

( x ? 1) 95 (ax ? 1) 5 ? 8 ,则 a 的值为( x ?? ( x 2 ? 1) 50
B.2
lim x2 y2 x2 ? y4 ?(

) ;

A.1 12.

C. 5 8 )

D.A、B、C 均不对

( x , y ) ? ( 0, 0 ) 1 ?

A.

1 2

B.

1 3

C .0

D.不存在

四、解答题

? ln(1 ? ax) , x ? 0; ? x 1.设 f ( x) ? ? 在 x=0 处连续,求 a 的值。 ? x 2 ? 2, x?0 ?
2. 设当 x ? 0 时,(1 ? cos x) ln(1 ? x 2 ) 是比 x sin x n 较高阶的无穷小, 而 x sin x n 又是比 e x 较高阶的无穷小,求正整数 n 的取值。 x f (2 x) ? 1 ,求 lim 3.已知 lim 。 x ? 0 f (4 x) x?0 x
2

?1

七、自我测验题
一、填空题(每空 3 分,共 45 分) 1. lim x sin
x ??

1 ? x



3

2. lim
n? ?

n2 ? 1 sin(n 2 ? n ? 1) ? 3n ? 1



3. lim

3n?1 ? 2 n ? n?? 2 n ?1 ? 3 n



4. lim( n ? 1 ? n ) n ? 1 ? ________。
n ??

1 1 1? ? ? 2 4 5. lim n ?? 1 1 1? ? ? 3 9

1 2n ? ________。 1 ? n 3 ?

a 2 ? bn ? 5 ? 2 ,则 a ? ________, b ? ________。 6.已知 lim n ?? 3n ? 2
7.设 lim(1 ?
x ??

2 kx ) ? e ?3 ,则 k ? _____________。 x

8. lim 9. lim
x ??

(2 x ? 3)20 (3x ? 2)30 ? ________。 x ??? (5 x ? 1)50
x ? sin x ? x
1



10. lim(ax ? b) x (a ? 0, b ? 0, x ? 0) ? ________。
x ?0

11.如果 x ? 0 时,要无穷小量 (1 ? cos x) 与 a sin 12.若 lim(1 ?
x ??

2

x 等价, a 应等于________。 2

5 ? kx ) ? e ?10 ,则 k ? x
时, y ? ln 1 ? x



13.当 x ?

?

2

? 为无穷大


arctan( x 2 ? y 2 ) ? 14. lim x ?0 1 ? e xy
y ?1

15. lim
x ?1 y ?1

x2 y2 ? 1 2 ? xy ? 1

?



二、选择题(每题 3 分,共 15 分) 1. x ? 0 时, x sin A. 无穷大量 2. lim
x ?0

1 ? 1 是( x
B. 无穷小量

) 。 C. 有界变量 D. 无界变量

1 x3

?

x

0

3 tan t 2 dt ? (
B. 1

) 。 C. ) 。

A. 0 3. lim xy sin
x?0 y ?0

1 3

D. ?

xy ?( x ? y2
2

A. 0
x ? x0

B. 1

C. sin 1 )。

D. ?

4.若 lim f ( x) ? A ,则 f ( x) 在点 x0 处( A.有定义
?

B.没有定义 )

C.极限存在

D.有定义,且极限存在

5. 0. 9 与 1 的关系是( A. 0. 9 >1
?

B. 0. 9 <1

?

C. 0. 9 =1

?

D. 0. 9 ? 1

?

x 2 ? 2x ? K 存在,求这个极限。 (8 分) x?3 x?3 四、计算下列各题 x x x 1. lim cos cos ? cos n 。 (8 分) n?? 2 4 2
三、已知极限 lim 2.求 2 ? 4 2 ? 8 2 ? ? 2 2 ? ?的值。 (8 分) 五、假设一小球从 6 米高度自由落到地上,随之弹起高度为前高度的三分之二,问球自由弹 跳直至停下,总共运动路程是多少? (8 分) 1 1 六、一根长度为 a 的木棍,第一次截去总长的 2 ,第二次截去剩余部分的 2 ,第三次截 3 2 1 去剩余部分的 2 ,……,如此继续下去,最后木棍剩余多长?(8 分) 4
n

第三讲

六、复习资料
一、判断题 1. 一切初等函数在其定义区间(区域)内均是连续的。 ( 2. 设 f ( x ) 在 ( a, b) 内连续,则 f ( x ) 在 ( a, b) 内有界。 ( 3. 若 lim f ( x ) ? 3 ,则 f ( x ) 在 x=2 处连续。 (
x?2

) )



4. 若 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上不连续,则 f ( x ) 在 [ a, b] 上必无最大值和最小值。 (

) )

f ( x) ? f (b) 。 f ( x) ? f (a) , lim 5. 如果函数 f ( x ) 在上 [ a, b] 连续,那么有 lim ( ? ?
x ?a x ?b

?x ? ,x ? 0 6. 设函数 f ( x ) ? ? x ,则 x ? 0 为连续点。 ( ?1, x ? 0 ?



7. 若函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续, 且 f (a) ? f (b) , 则至少存在一点 ? ? (a, b) 使 f ?(? ) ? 0 。
( ) )

8. y ? x 在 x ? 0 处不连续。 (

9.函数 z ? f ( x, y ) 在( x0 , y 0 )处极限存在,则 z ? f ( x, y ) 在( x0 , y 0 )处连续。 ( 二、填空题 1.设函数 f ( x ) 在点 x ? x0 连续,且 lim f ( x) ?
x ? x0



1 ,则 f ( x0 ) ? ________。 2

2.函数 f ( x) ? 3.函数 f ( x) ?

1 的连续区间是_________。 ln( x ? 1)
x ?1 的间断点是________。 x ? x?2
2
?x ? 0

4.若函数 y ? f ( x) 为连续函数,则 lim ?y ? ________。

1 ? ? x sin , x ? 0 5. f ( x) ? ? 上连续,则 a =_______。 , 在(-?,+?) x ?a ? x 2 , x ? 0 ? ? arctan x ,x ? 0 ? 6.设 f ( x) ? ? , 则k ? _________时, f ( x) 在 x=0 处连续。 x ? ?k ? 1, x ? 0
7 . 设 函 数 f ( x) ? ?

?b, x ? 0
2 ?(a ? b) x ? x, x ? 0

(a ? b ? 0), 则

f ( x) 处 处 连 续 的 充 要 条 件 是

b ? ____。
三、选择题 1.方程 x 3 ? 3x ? 1 ? 0 在区间 (0,1) 内( ) D.有三个实根

A.无实根 B.有唯一实根 C.有两个实根 2.下列函数在其定义域内连续的是( ) A. y ? ln x ? sin x B. y ? ?

? sin x, x ? 0 ?cos x, x ? 0

? 1 ? x sin x, x ? 0, ? C. y ? ? k, x ? 0, 1 ? x ? 0. ? x sin x ? 1, ?

? 1 ,x ? 0 ? D. y ? ? x ? 0, x ? 0 ?


3.设 x ? x0 为函数 f ( x) 定义域内一点,下列说法正确的是( A. f ( x) 在 x ? x0 处连续 C. f ( x) 在 x ? x0 极限存在 B. f ( x) 在 x0 近旁有意义 D. f ( x0 ) 存在,且为常数 )

4. f ( x) 在点 x ? x0 处有定义是在 x ? x0 处连续的( A. 充分
x ? x0

B.必要

C.充要

D.无关条件 )条件. D.既非充分又非必要 ) ;

5. lim f ( x ) 存在是函数 f ( x ) 在点 x0 连续的( A.充分 B.必要 C.充要

0, ? ? x?0 6. f ( x) ? ? 1 在点 x ? 0 不连续是因为( , x?0 ? ?x

A. f (0 ? 0) 不存在 C. f (0 ? 0) ? f (0) 四、简答题

B. f (0 ? 0) 不存在 D. f (0 ? 0) ? f (0)

? sin x ? x , ?1? x ? 0 ? ? 1.找出函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 1, 0 ? x ? 2 的不连续点,并写出其连续区间。 ? 1 ? ,x? 2 ? ?x ? 2
2.证明方程 x 5 ? 3x ? 1 ? 0 在区间(1,2)内至少有一个实根。

? x, x ? 1 ?b, x ? 0 3.设 f ( x) ? ? , g ( x) ? ? ,如果 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 (??,??) 内连 ?a, x ? 1 ? x ? 2, x ? 0
续,求 a,b 的值。

七、自我测验题
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.函数 f ? x ? 在点 x0 处有定义,是 f ? x ? 在该点处连续的( A. 充要条件 B. 充分条件 C. 必要条件 ) 。

D. 非充分非必要条件 ) 。

2. f ? x, y ? 在点 ( x0 , y 0 ) 有极限,则函数在该点( A. 一定连续 C. 极限值一定为常数 B. 一定有定义

D. 极限值一定等于函数值 ) 。

?x2 ? 1 x ? 0 3. f ( x) ? ? ,则下列结论正确的是( ?2 x ? 1 x ? 0
A. f ? x ? 在 x ? 0 处连续 C. f ? x ? 在 x ? 0 处无极限

B. f ? x ? 在 x ? 0 处不连续,但有极限 D. f ? x ? 在 x ? 0 处连续,但无极限

x ?1 x?0 ? sin 4.设 f ( x) ? ? x ,要使 f ? x ? 在 (??, ??) 处连续,则 a ? ( 3 ? x?0 ?a
A. 0 B.1 C.1/3 D.3

) 。

? 2 xy ? 2 2 5.若函数 f ( x, y ) ? ? x ? y ?0 ?
A. f (0,0) ? 0 C. f ( x, y ) 在 (0,0) 点连续

x2 ? y2 ? 0 x ?y ?0
2 2

,则(

) 。

B. f ( x, y ) 在 (0,0) 点无极限 D. f ( x, y ) 在 (0,0) 点有极限 ) 。 D. (1, 2)

6.方程 x 4 ? x ? 1 ? 0 至少有一个根的区间是(

? 1? A. ? 0, ? ? 2?

?1 ? B. ? ,1? ?2 ?

C.

(2, 3)

7.函数 f ?x? ? (25 ? x 2 ) ? A.(0,5) B.(0,1)

x ? 10 的连续区间是( ln x
C.(1,5) )

)。

D.(0,1) ∪(1,5)

8. f ( x) ? e x ? 1 在 (??,??) 内( A.没有零点

B.有一个零点 C.有两个零点 D.不确定

? 1 ?e x , x ? 0 ? 9.7. f ( x) ? ?0, 0 ? x ? 1 ,则( ? 1 ?( x ? 1) sin ,x ?1 x ?1 ?
A. f ( x) 在 (??,??) 内连续 C. f ( x) 在 x=1 处连续,x=0 处不连续 10.



B. f ( x) 在 x=0 处连续,x=1 处不连续 D. f ( x) 在 x=0 处不连续,x=1 处不连续

?ax 2 ? b 0 ? x ?1 ? 二、已知 f ? x ? ? ?2 ,问当 a, b 为何值时, f ?x ? 在 x ? 1 处连续。 (10 分) x ?1 ?ln(bx ? 1) 1 ? x ? 3 ?
三、 求函数 f ? x ? ?

x 3 ? 3x 2 ? x ? 3 lim f ( x), lim f ( x) 。 的连续区间, 并求 lim f ( x), (20 分) x ?0 x ?2 x ?3 x2 ? x ? 6

? sin x , x ? 0, ? 四、设 f ( x) ? ? 2 x 1 ,试求 a ,使得 lim f ( x ) 存在。 (10 分) x?0 ? x ?(1 ? ax) , x ? 0
五、试证方程 x ? a sin x ? b (其中 a>0,b>0)至少有一个正根,且不超过 a ? b 。 (10 分) 六 、 设 f ( x) 在 ?0,1? 上 连 续 , 且 f (0) ? f (1) , 求 证 : 在 ?0,1? 上 至 少 存 在 一 点 ? ,

1 。 (10 分) f (? ? ) ? f (? ) ( n ? 2 正整数) n
七、 (10 分)

第四讲

六、复习资料
一、判断题 1.一阶导数在物体运动中表示某一时刻的瞬时速度,二阶导数在物体运动中表示某一时刻 的加速度。 ( ) 2.函数 y ? f ( x) 在点 x0 处连续则函数在该点也可导。( ) ) )

3.两个可导函数的乘积的导数等于这两个函数导数的乘积。 (

4 .函数在点 x0 处的导数 f ? ( x0 ) 等于曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率。 ( 5.可导函数都是连续的,反之亦成立。( 6.函数 y ? x 在 x ? 0 处的导数为 0。 ( 7.连续函数在连续点都有切线。( ) ) ) )

8. 设 f ( x) ? ln x, 因为 f (e) ? 1, 则f ? ( x) ? 0. ( 9.设函数 y ? f ( x) 则 [ f ( x0 )]? ? f ? ( x0 ) 。( 10.设函数 y ? x x,则 y? ? xx x?1 。( ) )

11.函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数 f ? ( x0 ) 的实质是函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的平均变化率。 ( ) ( ) )

12. 若 f ? ( x) ? g ? ( x), 则 f ( x) ? g ( x).

13.曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 )) 处有切线,则 f ? ( x0 )一定存在。 (

14. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) ? ? , 说明曲线 y ? f ( x) 在相应点处的切线与 x 轴垂直。( ) 15.周期函数导数仍是周期函数。( ) 16.可导的偶函数其导数为奇函数。( ) 17.函数 f ? x ? 在点 x0 处可导,则该函数在 x0 点的微分一定存在。( 18. f x? ( x0 , y 0 ) ? f x? ( x, y ) )

x ? x0 y ? y0

? f x? ( x, y 0 )

x ? x0

成立。 (



19.若 z ? f ( x, y) 在( x0 , y0 )处偏导存在,则 z ? f ( x, y) 在( x0 , y0 )处连续。 ( 20.若 z ? f ( x, y) 在( x0 , y0 )处可微,则 z ? f ( x, y) 在( x0 , y0 )处连续。 ( 二.填空题 1.设 y ? ( x ? 1)( x ? 2) 2 ( x ? 3) 3 , 则 y?(1) ? _____________________ 。 )



2.若 f ? ( x0 ) 存在,则利用导数定义确定 lim
h?0

f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 ) ? kf ?( x0 ) 此时 k =______。 h

3.若 lim
x ?a

f ( x) ? f (a) 存在,则 lim f ( x) ? ____________ 。 x?a x?a

4.若 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f ? ( x) ? 0 ,则曲线 y ? f ( x) 在 ( x0 , f ( x0 )) 处有_______的切 线,若 f ? ( x) ? ? ,则曲线 y ? f ( x) 在 ( x0 , f ( x0 )) 处有 _______ 的切线。 5 .物体作直线运动,运动方程为 S ? 3t 2 ? 5t ,则物体在 2 s 到 (2 ? ?t ) s 的平均速度为 _______________,物体在 2 s 时的速度为___________。 f (3 ? x) ? f (3) 6.已知 f ? (3) ? 1 ,则 lim ? ____________________。 x ?0 3 7. 曲线 y ? x 在点 (4, 2) 处的切线方程是____________, 法线方程__________, 曲线 y ? 上与直线 x ? 4 y ? 5 平行的切线方程是_______________ 。 8.函数 y ?
2 x3

1 3 x 3

在点 x ? 0 处的导数为__________________。

, 则 y?? ? _______________________。 8 10. 曲线 y ? f ( x) 由方程 y ? x ? ln y 所确定,则在任意点 (x, y)的切线斜率为___________, 在点 (e ? 1 , e) 处的切线方程为________________。
9.若 y ? e 2 x ? ln x ? sin 11. 设f ( x) ? ( x ? e
? x 2 2 ) 3 ,则

?

y?

x ? 0 ? _________________



1 12. y ? ln(arccos ) , 则 y ? ? _________________ 。 x
13.设 f ( x) ? ln(x ? x 2 ? 1) , 则f ???( 3) ? ________________。
2 x? y 14.设函数 y ? f ( x) 由方程 e ? cos(xy) ? e ? 1 所确定,则曲线 y ? f ( x) 在点 ?0 ,1? 处的

法线方程为_________________。 15. y ? arctan 6x ? 1 , 则 y? ? ______________。 16. y ? 2x 2 ? ln x , y??
x?1 ? __________________



17. (cos 2 x 2 )? ? _____________________。 18.在点(1、1)处, ?x ? 0.01 , ?y ? ?0.01 ,则函数 z ? x 2 ? y 的全增量

?z ? _________________,全微分 d z =__________。
19.理想状态下气体方程为 PV=RT(R 为常数) ,则

?V ?T ?P ? ? ? __________。 ?T ?P ?V

20.设 f ( x, y) ? e ? x sin(x ? 2 y), 则 f x (0, ) ? 4 21.设 z ? e x y ,则 22.设 z ? e y ( x
2 2

?

。 。 。

?z ? ?x

? y2 )

,则 dz ?

23.设方程 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? yz ? 0 确定函数 z ? z ( x, y) ,则

?z ? ?y




24.设 z ? f ( x, y ) , x ? ? cos? , y ? ? sin? ,则 25.设 z ? (1 ? x) xy ,则
?z ? ?y

?z ? ??
。 。

y 26.设 z ? f ( ) ,则 dz ? x
27. z ? x 2 ? sin y , x ? cost , y ? t 3 。则

?z ? ?t



28.设函数 f ? x ? 在点 x 的自变量的改变量为 ?x ,函数的改变量为 ?y ,则 f ? x ? 在点 x 的微 分 dy ? f ??x ??x 是 ?x 的线性函数,且 dy ? ?y 与 ?x 相比是_________无穷小量。 29. d ? ? ln 1 ? e x ? ? ? __________________。 ? ? 30. d e sin x ? _____________________ d sin x 2 ? __________ __________ __ dx 2 。 31.设方程 x ? y y 确定 y 是 x 的函数,则 dy ? _____________。
___) ? 32. d (_________ 1 x dx 。

?

2

?

?

?

33. y ? a x ? arc cot x , 则 dy ? __________ _________dx 。 34. y ? ln 1 ? 3? x , 则 dy ? ___________________。 35.利用微分计算得 cos149? ? __________________。 三、选择题 1. 设函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导, 且 f ? ( x0 ) ? ?2 , 而 h lim0 A. ? 1 B. 2 C. 1 ) 。 D. 不存在 ) 。

?

?

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) 等于 ( h 1 D. ? 2

)。

2.函数 f ( x) ? x ? 2 在 x ? 2 处的导数为( A. 1 B. 0 C.2

3.曲线 y ? e x ? x 在点(0,1)处的切线方程是(

A. y ?

1 x ?1 2

B.

y?

1 x ?1 2

C. y ? 2 x ? 1 ) 。

D. y ? 2 x ? 1

4.函数 f ( x) 在 x0 处导数 f ? ( x0 ) 存在,其值等于(

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) 1 A. lim n[ f ( x0 ? ) ? f ( x0 )] B. lim n?? h?0 n h f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ? ?x) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) C. ?x lim0 D. lim ?x?0 ?x ?x ?y ?y 5.在平均变化率 取极限 lim 过程中( ) 。 ?x?0 ?x ?x A. x 与 ?x 都是常数 B. x 与 ?x 都是变量 C. x 是变量, ?x 是常数 D. x 是常数, ?x 是变量
6. 设函数 f ( x) 在点 x0 处可导, 且 f ? ( x0 ) ? 0 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与 x 轴正向( ) 。 A.平行 B.垂直 C.成钝角 D. 成锐角 7.双曲线 xy ? 1 在点(1,1)处的切线与法线方程分别为( ) 。 A. x ? y ? 2 ? 0 x ? y ? 0 B. y ? x ? 0 x ? y ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 x ? y ? 0 8.下列导函数正确的是( 1 A. (sin x)? ? sec x
? 1 ? sin x ? C. ? ? ?? cos x cos 2 x ? ?

) 。 B. (cos x)? ? ?

1 csc x

? 1 ? cos x ? D. ? ? ?? sin x sin 2 x ? ?

9.若函数 f ( x) 在点 x0 处可导,则 f ( x) 在点 x0 处(

) 。 D.不连续

A.可导 B.不可导 C.连续但未必可导 10.若偶函数 f ( x) 在 x ? 0 处的导数存在,则 f ? (0) 的值( ) 。 A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.不能确定

11.已知曲线 y ? x 2 ? x ? 2 上一点的切线平行于第一象限角平分线,则该线的切点坐标为 ( ) 。 A. (0,2)

B. (2,0) )。

C. (2,2)

D. (-2,-2)

12.设 y ? e10 2 x ,则 y ? 等于( A. e
10

B. 2 ln 2

x

C. xe 2 ) 。

10

x ?1

D. e 2 ln 2

10

x

13.若 f ( x) ? ln( 1 ? x 2 ) ,则 f ?? (?1) 等于( A.-1 B.0 C.1 ) 。

D. ln 2

14. 设 y ? 1 ? ln2 x , 则 y? ? (

A.

ln x 2 1 ? ln x
2

B.

? ln x 2 x 1 ? ln x
2

C.

ln x x 1 ? ln x
2

D.

x ln x 2 1 ? ln 2 x

15.已知 y ? xe x , 则 y (n) ? ( A. xe
nx

) 。 C. ne x ) 。 D. D. e x ( x ? n)

B. x(e x ? n)

16.设方程 y ? xe y ? 1 确定函数 y ? f ( x) 则 y ? (0) 等于( A. 1 B.0 )。 C.e

1 e

17.已知 y ? x ln x , 则 y ?10? ? ( A. ?

1 x9

B.

1 x
9

C.

8! x
9

D. ?

8! x9

18.已知 y ? e f ? x ? , 则 y ?? ? ( A. e f ( x ) C. e f ( x) [ f ?( x) ? f ??( x)]

) 。 B. e f ( x) f ??( x) D. e f ( x) {[ f ?( x)]2 ? f ??( x)} ) 。 C. n!?(?1) n?1 ) 。 C. x 2 cos ax 2 D. a 2 cos a 2 ) 。 D. n!?1

19.设 y ? x n ? e ? x , 则 y ?n ? ?0? ? ( A. n!?(?1) n B. n!

20.已知 f ( x) ? sin(ax 2 ), 则f ? (a) ? ( A. cos ax 2 B. 2a 2 cos a 3

21.若函数 z ? f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数 A.连续 C.不一定连续

?z ?z , 存在,则它在 P0 处( ?x ?y

B.可微 D.一定不连续 ) 。

22. z ? f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的( A.必要条件 C.充要条件 23.设 z ? e xy ? yx 2 ,则 A. e ? 1 24.设 z ? arctan
?z ?y
(1, 2 )

B.充分条件 D.既非充分条件,又非必要条件
?(

) 。 C. 2e ? 1
2

B. 2e ? 1 ) 。 C.1

D. e ? 1
2

?z ?z y ? y? ?( ,则 x ? ?y ?x x

A.-1

B. 0

D.2

25.设 u ? e xyz ,则 du ? ( A. yzexyzdx C. xye xyzdz

) 。 B. xze xyzdy D. e xyz ( yzdx ? xzdy ? xydz)

26.使

? 2u ? 2 x ? y 成立的函数为( ?x?y

) 。

A. u ? x 2 y ?

1 2 xy 2 1 2 xy 2

B. u ? x 2 y ? xy 2 D. u ?

C. u ? x 2 y ?

1 2 x y ? xy 2 2


27.设 f ? x ? 可导且 f ??x0 ? ? 无穷小。 A.等价

1 ,则当 ?x ? 0 时, f ? x ? 在 x0 处的微分 dy 与 ?x 比较是( 2
C.低阶 D.高阶 ) 。

B.同阶非等价

28.设函数 y ? f ?x ? 可微,则当 ?x ? 0 时, ?y ? dy 与 ?x 相比较是( A.等价无穷小 B.同阶无穷小 C.低阶无穷小

D.高阶无穷小 ) 。

29.设 f ??0? ? 1 ,则在 x ? 0 处,当 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 相比较是( A.较低阶的无穷小量 C.同阶的不等价无穷小量 30. y ? cos x 2 , 则dy ? ( A. ? 2 x cos x 2 dx B.较高阶的无穷小量 D.等价无穷小量

)。
B. 2 x cos x 2 dx C. ? 2 x sin x 2 dx ) 。 D. 1 ) 。 D. 2 x sin x 2 dx

31.用微分近似计算公式求得 e 0.05 的近似值为( A.0.05 B.1.05 C.0.95

32.当 ?x 充分小且 f ?? x ? ? 0 时,函数 y ? f ?x ? 的改变量 ?y 与微分 dy 的关系是( A. ?y ? dy B. ?y ? dy C. ?y ? dy D. ?y ? dy

四、计算题 1.利用四则运算法则,求下列函数的导数。 (1) y ? 3x 3 ? (5) y ?
x2 ? x ? 1 x 2 ? 3x ? x ? 3 1 1 y ? y ? y ? x log x ; ( 2 ) ; ( 3 ) ; ( 4 ) ; ? 2 3 x3 ? 1 x x2 3

1 1 cos x 1 ? ln x ? ; (6) y ? (1 ? x 2 ) arctan x ; (7) y ? ; (8) y ? ; 1 ? ln x 1 ? sin x 1? x 1? x

(9) y ? xe x cos x ; (10) y ? 2.求下列复合函数的导数

x tan x 。 1? x

(1) y ? sin(e x

2

? 3x ? 2

(2) y ? 1 ? sin2 x ; (3) y ? e );

?

?

4

ln x

; (4) y ? tan

x 2



(5) y ?

x ?1 ; (6) y ? ln ln ln x ; (7) y ? ln? (8) y ? sin2 ?cos 3x? ; ? x ? a2 ? x2 ? ?; ? ? x ?1

(9) y ? arcsin 1 ? 4x ; (10) f ?t ? ? ln 1 ? a ?2t 。 3.求下列方程确定的函数 y ? f ( x) 的导数 x (1) ? ln? xy ? ; (2) 2x 2 y ? xy 2 ? y 3 ? 0 ; (3) e y ? e ? x ? xy ? 0 ; (4) e y ? a cos?x ? y ? 。 y 4.求参数方程所确定的函数的导数
t ? ? x ? 2t ? t 2 ? x ? t ?1 ? sin t ? ? x ? 2e ? (1) ? ; (2) ? ; (3) ? ; 3 ?t ? ? ? y ? t cos t ? y ? 3t ? t ?y ? e

?

?

? x ? arctan t ? x ? a (t ? sin t ) (4) ? ; (5) ? 2 ? y ? a (1 ? cos t ) ? y ? ln(1 ? t )
5.用对数求导法求下列函数的导数。



dy dx

t?

?
2



(1) y ? x sin x ; (2) y ? ?1 ? cos x ? x ; (3) y ? x 6.求下列函数的二阶或高阶导数

1

?x ? 2??x ? 3?

x ?1

2

; (4) y ?

3

x ? 2 ? x ? 3?2

x ?1



(1) y ? arcsin x 求 y ?? ; (2) y ? xe ? x 求 y ?n ? ; (3) y ?
2 ? d2y ? x ? 2t ? t (4) 已知 ? ,求 2 。 3 dx ? ? y ? 3t ? t

1 1? x2

求 y ?? ;

?1 ? e x x ? 0 7.设 f ( x) ? ? 求 f ? ?x ? ?2 ? x x ? 0

8.求多元函数偏导数或全微分。 (1)求 z ? x 3 ? 2 xy ? y 2 在(1、1)处的两个偏导数。 (2)求 z ? e x cos y 的所有二阶偏导数。 (3)已知 z ? u 2 ln v
u? x y

v ? x ? y ,求
?2z ?z , 2 。 ?x ?x

?z ?z , 。 ?x ?y

(4)已知 x 2 ? 2 y ? 3z 2 ? 4 ,求 (5) u ? e x ( y ? z) ,x = t

y =sint z =cos t,求

du 。 dt

(6)设 z ? 五、应用题

y ? x 2 y 2 ,求 dz x

1.如果 y ? x 是曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? ax 的切线,求常数 a 。
?x2 x ? 1 2.确定 a 和 b ,使函数 f ( x) ? ? 在 x ? 1 处可导 ?ax ? b x ? 1

3.若 f ? x ? 为可导函数,求极限 lim

f

2

? x ? ?x ? ?

f

2

?x ?

?x 4.注水入深 8 米,上顶直径 8 米的正圆锥容器内其速率为 4 立方米每秒,当水深为 5 米时, 其表面上升的速率为多少?
?x ? 0

8米

2r 8米

七、自我测验题
一、填空题(每空 3 分,共 27 分) 1.若 y ? x( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ,则 y ?(0) = 2.设 f ( x) 是可导函数且 f (0) ? 0 ,则 lim
x?0



f ( x) =________________。 x

3.设 f ( x) 在 x0 可导且 f ?( x0 ) ? A ,则 lim
h ?0

f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 ? 3h) ? h




4.设函数 z ?

?z x ? 2y ,则 ?x 2 xy

x ?1 y ?1

?

?x 5.设 f ( x, y) ? e sin( x ? 2 y) ,则 f x (0,

?
4

)?



6.设 z ? e

y ( x2 ? y 2 )

,则 dz ?

。 。

7.设 z ? (1 ? x) ,则
xy

?z ? ?y
3

8.设 z ? x ? sin y , x ? cos t , y ? t ,则
2

?z ? ?y



4 9.若函数 y ? f ( x) 由方程 xy ? 2 ln x ? y 确定,求曲线 y ? f ( x) 在点(1,1)处的切线

方程是



二、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1.设函数 f ( x, y) 在 P( x0 , y0 ) 的两个偏导数 f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 都存在,则( A. f ( x, y) 在 P 连续 C. lim f ( x, y 0 ) 及 lim f ( x0 , y ) 都存在
x ? x0 y ? y0

) 。

B. f ( x, y) 在 P 可微 D.
( x , y ) ? ( x0 , y 0 )

lim

f ( x, y ) 存在

2.若 z ? y ln x ,则 dz 等于(

) 。

A.

y ln x ln y y ln x ln y ? x y
ln x

B.

y ln x ln y x

C. y

y ln x ln y ln ydx ? dy x

y ln x ln y y ln x ln x D. dx ? dy x y

3. 设 f ( x) ,g ( x) 是恒大于零的可导函数, 且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 则当 a ? x ? b 时,下列结论成立的是( A. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) C. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) 4.设 F ?( x) ? f ( x) ,则下列结论正确的是( A. 若 f ( x) 为奇函数,则 F ( x) 为偶函数。 B. 若 f ( x) 为偶函数,则 F ( x) 为奇函数。 C. 若 f ( x) 为周期函数,则 F ( x) 为周期函数。 D. 若 f ( x) 为单调函数,则 F ( x) 为单调函数。 5.下列说法正确的是( ) 。 ) 。 B. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a) ) 。

A. 若 f ( x) 在 x ? x0 连续,则 f ( x) 在 x ? x0 可导。 B. 若 f ( x) 在 x ? x0 不可导,则 f ( x) 在 x ? x0 不连续。 C. 若 f ( x) 在 x ? x0 不可微,则 f ( x) 在 x ? x0 极限不存在。

D. 若 f ( x) 在 x ? x0 不连续,则 f ( x) 在 x ? x0 不可导。 6.设 f ( x) 在 x ? x0 的左右导数存在且相等是 f ( x) 在 x ? x0 可导的( A. 充要条件 C. 充分不必要条件 7.设 2 f ( x) cos x ? A. cos x B. 必要不充分条件 D. 非充分必要条件 ) 。

d ? f ( x)?2 ,且 f (0) ? 1 ,则 f ( x) ? ( dx
C. 1 ? sin x

) 。

B. 2 ? cos x

D. 1 ? sin x

三、求由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的隐函数 y ? f ( x) 的导数 1、 cos?xy? ? x

dy 。 (10 分) dx

2、 x 3 ? ln y ? x 2e y ? 0

四、求下列函数的一阶导数或一阶偏导数。 (每题 5 分,共 30 分) 1、 y ? x
1 x

2、 y ?

x2 3 ? x 1? x 3 ? x

3、 ?

? x ? tet ? 1 dy ? , 求 2 ?t dx ? ? y ? (2t ? t )e
? xy

t ?0



4、 z ? xe

5、 z ? arctan x y

6、 z ? ln sin( x ? 2 y) 五、1.证明等式: 2 arctan x ? arcsin
e

2x ?? 1? x2

( x ? 1) 。

2.不经过计算比较 ? 与 e 的大小。 (12 分)

?

第五讲

六、复习资料
一、判断题 1. f ?x? ? 1 ? 3 x 2 在 ?? 1, 1? 满足罗尔定理的条件。 ( 2. y ? 2x 2 ? 8x ? 5 的极值点是(2,-3) 。 ( 3. y ? 5 ? x 2 ? 3 的极小值是 5。 ( ) ) ) ) )

4.使 f ??x0 ? ? 0 的点 x0 叫 f ( x) 的驻点。 (

5.函数在其驻点处的一阶导数为零,二阶导数也为零。 (

6 .连续曲线 y ? f ?x ? 上凹的部分与凸的部分的分界点为曲线的拐点,拐点可表示为
( x0 , f ( x0 )) 。 (

) )

7.函数的最大值一定大于最小值,函数的极大值也一定大于极小值。 ( 8.驻点一定是极值点。 ( ) 9.使 f ? x ? 0 的点为驻点,使 f ??? x ? ? 0 的点为拐点。 (

? ?



10.函数在(a,b)内取得的最大(小)值,一定是极大(小)值。 ( ) 11.单调函数的导函数亦为单调函数。 ( ) 2 ? ? 1 12.曲线 y ? x 2 ln x 在点(1,0)邻近是凸的,在点 ? 2 , ? 4 ? 邻近是凹的。( e ? ?e ? 13.若对任意 x ? (a, b) ,都有 f ( x) ? 0 ,则在(a,b)内 f ( x) 恒为常数。(

) )

14.若 z ? f ( x, y ) 在( x0 , y 0 )处取得极值,则 f ( x0 , y) 及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y 0 )处也取得极 值。 ( ) )

15.若( x0 , y 0 )为 z ? f ( x, y ) 的极值点,则( x0 , y 0 )一定为驻点。 (

二、填空题 1. 罗尔定理的条件是结论的_______条件, 结论的几何意义是__________________________。 2 .函数 f ( x) ? x 3 ? x 在 [0,2]上_________ ,在( 0,2)内 ___________,则在( 0,2)内存在

? ? ___________,使得拉格朗日公式______________________成立。
3.设 f ( x) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点 ? ,由微分中值定理, 使得 f (b) ? f (a) ? ______________ 。 4.在[-1,3]上,函数 f ( x) ? 1 ? x 2 满足拉格朗日中值定理中的 ? =_____________。 5.若函数 f ( x) ? ax 2 ? bx 在点 x ? 1 处取极大值 2,则 a =_____,b =________。

1 ? 6. f ( x) ? a sin x ? sin3x, a ? 2 时,f ( )为极 ____ 值。 3 3

2x 的单调增区间是_______,单调减区间是_________________,驻点是 1? x2 _____________,极大值点是________,极小值点是________。
7.函数 f ( x) ? 8. 若函数 f ( x) 在[a, b]内恒有 f ? ( x) ? 0 , 则 f ( x) 在[a, b]上的最大值是_____, 最小值是____。 9.曲线 y ? x 3 拐点是_____________。 10.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,则方程 y ? ? 0 有____个实根,且分别在区间_____内。 11. 根据微分中值定理, 函数 f ( x) ? 3 x 在区间[a,b]上的增量 3b ? 3 a 可用某点 ? 表示为_____。 12. 函数 f ( x) ?

1 3 最小值为____________。 x ? 4x ? 2 (?2 ? x ? 1) 的最大值为___________, 3

13.要使曲线 y ? x ? x a 在区间 (0, ? ?) 上是凹的,则应满足条件___________,若是凸的, 应满足条件 a=____________。 14.曲线 y ? ax3 ? bx2 有拐点(1,3) ,则 a = _________,b =________________。 15. 若函数 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处可导, 则它在点 x0 处得到极值的必要条件为______________。 16.已知 f ( x) 二阶可导, f ??( x0 ) ? 0 是曲线 y ? f ?x ? 上点 ( x0 , f ( x0 )) 为拐点的____________ 条件。 17. f ( x) ?

x ?1 在区间[0,4]上的最大值为__________ ,最小值为__________ 。 x ?1
。 ,且是极 值。

18.二元函数 f ( x, y) ? x 2 ? y 2 ? 2x 的驻点是 19.二元函数 f ( x, y) ? x 3 ? y 3 ? xy 极值是 三、选择题 1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有( A. y ? x 2 ? 5x ? 6 [2, 3] B. y ?
1
3

) 。
[0, 2]

( x ? 1) 2

C. y ? xe ? x [0, 1]

?x ? 1 x ? 5 [0, 5] D. y ? ? x?5 ?1

2.下列函数在给定区间不满足拉格朗日中值定理的有( )。 2x A. y ? B. y ? x [?1, 2] [?1, 1] 1? x2 C. y ? 4x 3 ? 5x 2 ? x ? 2 [0, 1] D. y ? ln( 1 ? x 2 ) [0, 3] ) 。

3.下列求极限问题不能使用洛必达法则的有(

x 2 sin

A. lim
x ?0

1 x

sin x

B. lim x(
x ??

?
2

? arctan x)

C. lim
x ??

ln( 1 ? x2 ) ln( 1? x )
2 x3
4

k D. lim(1 ? ) x x ?? x
) 。 B.取得极小值 D.因为不可导,所以无极值 ) 。

4.函数 y ?

在点 x ? 0 处, (

A.取得极大值 C.不能判断是否取得极值

5.设 f ( x) ? x 4 ? 2x 2 ? 5, 则 f (0) 为 f ( x) 在区间[-2,2]上的( A.极小值 B.最小值 C.极大值 D.最大值 6.以下结论正确的是( ) 。 A.函数 f ( x) 的导数不存在的点,一定不是 f ( x) 的极值点。 B.若 x0 为 f ( x) 的驻点,则 x0 必为 f ( x) 的极值点 C.若 f ( x) 在点 x0 处有极值,且 f ?( x0 ) 存在,则必有 f ??x0 ? ? 0 D.若 f ( x) 在 x0 处连续,则 f ?( x0 ) 一定存在

7.设 a ? x ? b, f ??x? ? 0, f ???x? ? 0 则曲线 y ? f ?x ? 在区间(a,b)内沿 x 轴正向( A.下降且凹 B.下降且凸 C.上升且凹 ) 。 D. (??, ? ? ) D.上升且凸

) 。

8.曲线 y ? 6x ? 24x 2 ? x 4 的凸区间是( A. (-2,2) B. (??, 0)

C. (0, ? ?) ) 。

9.曲线 y ? ( x ? 1) 3 ? 1 的拐点是( A. (2,0) 10.曲线 y ? A.-1 B. (1,-1)
2

C. (0,-2)

D.不存在 ) 。

x ? 4 ln x 的切线斜率的极小值为( 2

B.4

C.2

D.1 ) 。

11.曲线 y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2) 2 的拐点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3

12.设函数 y ? f ?x ? 在区间[a,b]上有二阶导数,则当( 内是凹的。 A. f ???a ? ? 0 B. f ???b ? ? 0

)成立时,曲线 y ? f ?x ? 在(a,b)

C.在(a,b)内 f ??( x) ? 0

D. f ???a ? ? 0 且 f ??? x ? 在(a,b)内单调增加 13.已知 f (a) ? g (a) 且当 x ? a 时, f ?( x) ? g ?( x) ,则当 x ? a 时必有( ) 。

A. f ( x ) ? g ( x )

B. f ( x) ? g ( x)

C. f ( x ) ? g ( x ) ) 。 C.极小值 1 ? ln 2 ) 。 B. (0,0) (1,1) D. (0,1) (1,1)

D.以上结论皆不正确

14.函数 y ? x ? ln( 1 ? x 2 ) 在定义域内( A.无极值 B.极大值 1 ? ln 2

D. f ( x) 为非单调函数

15. z ? x 3 ? y 3 ? 3xy 的驻点为( A. (0,0) (-1,0) C. (0,0) (2,-2) 16. z ? x 2 ? y 2 ? 1 的极值为( A. (0,0) B. (0,1)

) 。 C. (1,0) ) 。 C.极大值点 D.极小值点 D.不存在

17.函数 z ? x 2 ? y 2 在点(0,0)处( A.不是驻点 B.是驻点但非极值点

18.设( x0 , y0 )是函数 z ? f ( x, y ) 的驻点,且有
f xx ( x0 , y0 ) ? A ? 0, f xy ( x0 , y0 ) ? B, f yy ( x0 , y0 ) ? C ,若 B 2 ? AC ? 0 ,则 f ( x0 , y 0 ) 一定是

( ) 。 A.是极值 B.不是极值 四、计算题 1.求下列各极限
e ?e x?0 sin x
x ?x

C.是极大值

D.是极小值

(1) lim

1? ? ln? 1 ? ? sin( 1 ? x) ln sin x x? ? ; (2) lim ; (3) lim ; (4) lim ; ? (? ? 2 x) 2 x ? 1 x ? ?? acr cot x x ?1 x?
2
1

2 1 ln(cos?x) 3x 2 ? 1 2 ? ); (5) lim ; (6) lim 2 ; (7) lim x 2 e x ; (8) lim( 2 x ?1 x ? 1 x ? 0 ln(cos ? x ) x?? 2 x ? 5 x?0 x ?1
(9) lim (1 ? ) ?
x ?0

1 x

x

; (10) lim x ?2 (1 ?
x ?0

sin x (11) lim x[ln(x ? 1) ? ln x] 。 ); x ?? x

2.已知 lim ?
x?0

sin Ax 1 ? cos x

? ?1, 求 A. 。

3.确定下列函数的单调区间 (1) y ? 2x 3 ? 6x 2 ? 18x ? 7 ; (2) y ? 4.求下列函数的极值 (1) y ? ? x ? 2x ; (2) y ? ?( x
3 x 4 2
2 ? 1) 3

x2 ; (3) y ? x ? ln( 1? x2 ) 。 1? x

; (3) y ? e x cos x 。

5.求函数 y ? x e 在区间[-2,-1]上的最大值和最小值。
1

6.求曲线 y ? 2 ? ( x ? 4) 3 的凹凸区间及拐点。 7.设曲线 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,已知曲线有一拐点(1,-3) ,且函数在 x ? 2 处取得极

值 f (2) ? ?5, 求 a,b,c,d 的值。 8. 设 f ??? x ? 存在,求证: lim
h?0

f ( x ? 2h) ? 2 f ( x ? h) ? f ( x) h2

? f ??( x)

(提示:把 f ( x) 视为 h 的函数,用洛必达法则) 五、应用题 1.证明: e x ? 1 ? x 2.证明:当 x ? 0 时, arctan x ? arctan 3.用拉格朗日中值定理证明 (1)当 0 ? x ? 1 时, x ? ln

1 ? ? x 2

1 。 1? x

1 1 (2)当 0 ? x ? ? ? 时, ln( 。 1? ) ? x 1? x
4.要造一圆柱形油罐,体积为 V,问底半径 r 和高 h 等于多少时,才能使表面积最小?这 时底直径与高的比是多少? 5 .设 f ( x) 在区间 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导,证明:在 (a,b) 内至少存在一点 ? ,使得

bf (b) ? af (a) ? ?f ?(? ) ? f (? ) b?a
6.求 y 2 ? 4x 上的点,使它与直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短。 7.抛物面 z ? x 2 ? y 2 与平面 x ? y ? z ? 4 ? 0 的交线是一个椭圆,求此椭圆上的点到原点距 离的最大值,最小值。 8.造一个容积为 V 的开顶长方体水池,已知侧面的单位面积材料费为底面单位面积材料费 的 2 倍,求水池尺寸如何设计时,使材料费最省。 9.求函数 f ( x, y) ? 3x 2 ? 3 y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 在三角形 P 1 P 2 P 1 (0,0) 3 闭域上的最值,其中 P 。 P2 (1,0) P3 (0,1)

七、自我测验题
一、填空题(每空 3 分,共 30 分) 1.函数 y

? e? x

2

的单调递增区间为___________,最大值为__________。 的拐点是 。 。 。 , 且它是极 值 (填大或小) 。

2.函数 y ? xe

?x

y 3.曲线 e ? xy ? e 在点 x ? 0 处的切线方程为

4.二元函数 f ( x, y) ? x ? y ? 2x 的驻点是
2 2

5. 二元函数 f ( x, y) ? x ? y ? xy 的极值是
3 3

6. 设 f ( x ) 在 (??, ??) 连续, 其导函数的图像如右图所示, 则x ?0 是 个极大值。 二、选择题(每空 3 分,共 18 分) 1 . 设 f ( x) 在 ( a, b) 可 导 , a ? x1 ? x2 ? b , 则 至 少 存 在 一 点 点 , f ( x ) 在其定义域内有 个极小值和

? ? (a, b) ,使(

) 。 B. f (b) ? f (a) ? f ?(? )(x2 ? x1 ) D. f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )(x2 ? x1 )

A. f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a) C. f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )(b ? a) 2.下列结论中正确的有( ) 。

A. 如果点 x0 是函数 f ?x ? 的极值点,则有 f ??x0 ? =0 ; B. 如果 f ??x0 ? =0,则点 x0 必是函数 f ?x ? 的极值点; C. 如果点 x0 是函数 f ? x ? 的极值点,且 f ??x0 ? 存在,则必有 f ??x0 ? =0; D. 函数 f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内的极大值一定大于极小值。 3.若 f ??x0 ? ? 0, 则 x0 是 f ?x ? 的( A. 极大值点 4.曲线 y= A. y ? ? 1 B. 最大值点 ) 。 C. 极小值点 ) 。 D. 驻点

x2 x2 ?1

的铅直渐近线是(

B. y ? 0

C. x ? ? 1

D.

x ?0
) 。

5.设 f ? x ? 的导数在 x =2 连续,又 x?2 A. x ? 2 是 f ?x ? 的极小值点 B. x ? 2 是 f ?x ? 的极大值点

lim

f '( x) ? ?1 x?2 ,则(

C. (2, f (2)) 是曲线 y ? f ?x ? 的拐点 D. x ? 2 不是 f ?x ? 的极值点, (2, f (2)) 也不是曲线 y ? f ?x ? 的拐点 6.关于二元函数 z ? f ( x, y) 的说法,正确的是( )。

A. dz ? f x ( x, y)dx ? f y ( x, y)dy B. f x ( x0 , y) ? 0 且 f y ( x, y0 ) ? 0 ,则 ( x0 , y0 ) 是 z ? f ( x, y) 的驻点 C. z ? f ( x, y) 的驻点一定是 z 的极值点 D. z ? f ( x, y) 的极值点一定是 z 的驻点 三、利用罗必达法则求极限(每题 4 分,共 20 分)

x ? sin x e 2 x ? e ?2 x ? 2 5x ? 4 ? x lim lim 1. lim ;2. ;3. ; x ? 0 tan x 3 x ?0 x?1 1 ? cos x x ?1
x 4. lim ?
x ?0 sin x

;5. lim x(
x ??

x 2 ? 1 ? x)

四、求下列各数的近似值(10 分) 1. tg 31? ;2. 2.982 ? 3.013 五、设矩形的周长为 120 厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体,试求矩 形的边长为多少时,才能使圆柱体的体积最大? 六、求内接于椭球
x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 的最大长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面。 a 2 b2 c 2

七、选择 a , b , c 使曲线 y ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 0 处与曲线 y ? cos x 有相同的切线和曲率。

第六讲

六、复习资料
一、判断题 1.一切初等函数在其定义域内都有原函数。 2.初等函数的原函数都是初等函数。 3. F ( x) ? arctanx 与 ?( x) ? ?arc cot x 都是 f ( x ) ? 4. sin xdx ? ? cos x ? C ? ( C? 为某一个常数)
2x 2x 5. e dx ? 2e ? C

( (

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

1 的原函数。 1? x2

( ( ( ( ( ( ( (

?

?

6.若 7.

? f ( x)dx ? F ( x) ? C ,则 ? f (at ? b)dt ? F (at ? b) ? C
2

?x
?

1 1 x dx ? arctan ? C 2 3 3 ?3

8. 2 xdx ? ( x ? 1)( x ? 1) ? C 9.若 f ?( x) ? g ?( x) ,则 f ( x) ? g ( x) 10. d [ f ( x ) dx ] ? f ( x ) 二、填空题
?x 1.已知 f ( x) 的一个原函数为 e ,则 f ( x) =

?

。 。 。

2.若 f ?( x) 存在且连续,则 [ df ( x)]? ? 3.若

?

? f ( x)dx ? F ( x) ? c ,则 ? e

?x

f (e ? x )d x =


4.若 f ( x) 连续,则 ( f ( x) dx ) ? = 5.设 f ( x) ? cos x ,则 f [

?

?

x

0

f (t )dt ] ? _______________。
个原函数,其关系为 。 。

6.一个函数的原函数如果存在的话,则有 7.设 f ?(ln x) ? 1 ? x ,则 f ( x) = 8.设 f ?( x) ? 1,且 f (0) ? 0 ,则 9. xf ( x) dx ? arcsin x ? C ,则

? f ( x)dx ?
1



?

? f ( x) dx ?



10.设 f ( x) 是连续函数, 11. cos 5 xdx ?

? f ( x)dx ? F ( x) ? C ,则 ? F ( x) f ( x)dx ?
d (5x) = d (sin 5x)



12.若 xf ( x)dx ? sin e x ? C, 则 f ( x) ? 13.若 14.若

?

2

。 。 。

? f ( x)dx ? 1 ? x
? f ( x)dx ? sin

1

2

? C ,则 ? f (sin x) cos xdx ?
f (arctan x ? 2) dx ? 1? x2

x ? C ,则 ?

? x2 xe ? ? 15.设 f ( x) ? ? ?? 1 ? ?
三、选择题

?

1 1 ?x? 2 2 2 ,则 ? 1 f ( x ? 1)dx ? 1 2 x? 2



1.若 f ?( x) ? g ( x) ,则( ) A、 g ( x)dx ? f ( x) ? C C、 g ?( x ) dx ? f ( x ) ? C 2. ?

?

B、 D、

? f ( x)dx ? g ( x) ? C ? f ?( x)dx ? g ( x) ? C

?

? f ?( x)dx ?

?

?( )
B、 f ?( x) ? C D、 f ??( x) ? C

A、 f ?( x) C、 f ??( x) 3.若 f ( x) ? x ? A、 x ? C、 1 ?

x ,则 ? f ?( x)dx ? ( )
B、 x ? D、 1 ?

x
1 2 x

x ?C
1 2 x ?C

4.下列等式正确的是( ) A、 C、 5.

d f ( x)dx ? f ( x)dx dx ?

B、 df ( x) ? f ( x) D、 d ( f ( x)dx ) ? f ( x)dx

?

? f ?( x)dx ?
x

f ( x)

?

? f ( x)dx ? xe
x

? C ,则 f ( x) =( )
B、 ( x ? 1)e
x

A、 ( x ? 2)e

C、 xe )

x

D、 ( x ? 1)e

x

6. f ( x) ? sin ax ,则 xf ??( x ) dx ? ( A、

?

x cos ax ? sin ax ? C a

B、 cos ax ? sin ax ? C

C、 7.若

x sin ax ? a cos ax ? C a
3

D、 ax sin ax ? a cos ax ? C

? f ?( x

)dx ? x 3 ? C ,则 f ( x) =( )
B、 x ? C
3
2

A、 x ? C 8.

C、

9 3 x ?C 5

5

D、

6 3 x ?C 5

5

? f ( x)dx ? F ( x) ? C ,则 ? xf (ax
1 F (ax 2 ? b) ? C 2a

? b) dx ? ( )
B、 2aF(ax2 ? b) ? C D、

A、 F (ax2 ? b) ? C C、

1 F (ax 2 ? b) ? C a

四、计算下列不定积分

3 ? ? 1. ? sin x ? ?dx ; 1? x2 ? ?

?
?

2.

? ?

3x 2 ? 1 dx ; x2 1? x2

?

3. e x (2 x ?

?

e?x 1? x2

)dx ;

4. sin?2 x ? 5?dx ;

5.

? ?2t ? 5?
?4? x
2

1

2

dt ;

6.

?e

x

1 dx ; ? e ?x

7.

? ?2 ? x ?

3x 2

3 2

dx ;

8.

2x

4

dx ;

9. sec 5 xdx ;

?

10.

? ?arctan x? ? ?1 ? x ? dx ;11. ? x
2 2

1

1 dx ? 2x ? 2

12. (

?

1 ? ln x ? sin 2x)dx ; x
1 x?2

13.

?x

a

1 x 2

dx ;

14.

?1?

1
3

x

dx ;

15.

? 1?

dx ;

16.

? 1?
?
?

x 1 ? x2


dx ;

17.

?1?
?

1? x dx ; 18. ? 4 ? x 2 dx ; 1? x
2 x 21. x e dx ;

19.

dx 1? x
2

20. x 2 arctan xdx ;

?

22. ln ? x ? 1?dx ; 25.

2 23. ln(x ? 1 ? x )dx ;24. sin

?

?

x dx

dx ? (1 ? e x ) 2 ;

26.

sec2 x ? 2 ? tan2 xdx ;

27.

sin 2 x ? cos2 x ? sin 4 x ? cos4 x dx ;
x dx

28.

?x

2

xdx ; ? 5x ? 6

29.

?x

8

dx ; (1 ? x 2 )

30.

? ( x ? 1)( x

2

? 1)

五、设 f ( x) 在 ? 1 , ? ?? 上可导, f (1) ? 0 , f ?(e x ? 1) ? e 3 x ? 2 ,试求 f ( x) 。 六 、 设 F ( x) 是 f ( x) 的 一 个 原 函 数 , F (1) ?

2 ? , 若 当 x?0 时 , 有 4

f ( x) F ( x) ?

arctan x x (1 ? x)

,试求 f ( x) 。

七、不定积分应用 1.在平面上有一运动着的质点,如果它在 x 轴方向和 y 轴方向的分速度分别为 v x ? 5 sin t ,

v y ? 2 cos t ,且 x |t ? 0 ? 5 , y |t ? 0 ? 0 ,求
(1)时间为 t 时,质点所在的位置; (2)质点运动的轨迹方程。 2 . 设 某 函 数 当 x ? 1 时 有 极 小 值 , 当 x ? ?1 时 有 极 大 值 为 4 , 又 知 函 数 的 导 数

y? ? 3x 2 ? bx ? c 这种形式,求此函数。
3.设某函数二阶导数 y ?? ? 函数。 4.设生产某产品的边际成本为 C ?( x) ? 2 x ? 10(元/单位) ,固定成本为 20 元,求总成本函 数。

3 x?3

,又知此函数的图象上点 M (1,1) 处切线倾角为 45 ? ,求此

七、自我测验题
一、填空题(每空 3 分,共 24 分) 1.某曲线过点 (1,2) ,且在任意点处的切线斜率为 3 x ,该曲线方程为 2.设 3. .

? f ( x)dx ? 2 cos 2x ? C ,则 f ( x) ?
x x dx ?
. . .

1

.

?
?

4. xf ??( x )dx ?

5.已知 f ?(ln x) ? 1 ? x ,则 f ( x) ? 6.函数

1 是函数________的原函数。 x

7.函数 cos 2 x 的原函数是____________ 。

8.设 f ?( x) ? 1,且 f (0) ? 0 ,则

? f ( x)dx ? __________.

二、选择题(每题 3 分,共 24 分) 1.下列等式正确的是( ) A.

? 1 ? x dx ?? 1 ? x d (1 ? x) ? ln | 1 ? x | ?C ?
1 3

1

1

B. sin 2 xdx ? 2 cos 2 x ? C D.

?

C. ( x 2 ? 2) 2 dx ? ( x 2 ? 2) 3 ? C 2.在区间 ( a, b) 内有 f ?( x) ? g ?( x) ,则一定有( A. f ( x) ? g ( x) C. [ f ( x ) dx ]? ? [ g ( x ) dx ]?

? cos x ? sin x dx ? sin x ? cos x ? C


cos 2x

B. f ( x) ? g ( x) ? C

?

?

D.

? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
) D、 ? ) D.

3.设 f ( x) ? k tan 2 x 的一个原函数为 ln cos 2 x ,则 k =( A、

1 3

1 3

B、 ?

1 3

C、

2 3

2 3

4.若

? f ( x)dx ? F ( x) ? C ,则 ? f (ax ? b)dx 等于(
B. aF (ax ? b) ? C
2

A. F (ax ? b) ? C 5.若

C.

1 F (ax ? b) ? C a


1 F (ax) ? C a

? f ( x)dx ? x

? C ,则 ? xf (1 ? x 2 ) dx 等于(
B. ? 2(1 ? x 2 ) 2 ? C D. ?

A. 2(1 ? x 2 ) 2 ? C C.

1 (1 ? x 2 ) 2 ? C 2 1 2 1 cos 2 x 4

1 (1 ? x 2 ) 2 ? C 2
) B. D.

6.下列各组函数中,不是同一函数的原函数的是( A. sin2 x 和 ?

1 2 1 sin x 和 cos 2 x 2 4
1 ? x 2 和 cos(arcsinx)


C. ln x 和 ln(Cx) (C ? 0) 7.如果

? f ( x)dx ? x ln x ? C ,那么 ? xf ( x)dx ? (
1 1 2 4 1 1 D. x 2 ( ? ln x) ? C 2 4
2

1 1 4 2 1 1 C. x 2 ( ? ln x) ? C 4 2

A. x 2 ( ln x ? ) ? C

B. x 2 ( ln x ? ) ? C

8.一物体由静止开始运动,经 t 秒后的速度是 3t m/s, 则 3 秒后物体运动的距离是( A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 三、计算下列不定积分(每题 5 分,共 25 分)

)

1.

?
?

(1 ? x) 2 dx ; x(1 ? x 2 )
3? x 4? x
2

2.

?

1 4 ? x 2 arcsin x 2

dx ;

3.

dx ;

4.

? (1 ? x) (1 ? x
2

2x

2

)

dx ;

5. x 2 e 3 x dx

?

四、已知 f (u ) 有二阶连续的导数,计算 e 2 x f ??(e x )dx 。 (9 分) 五、设一个三次函数的导数为 x 2 ? 2 x ? 8 ,求该函数的极大值与极小值的差。 (9 分) 六、设导线在时刻 t (单位:s)的电流为 i(t ) ? 0.006t t 2 ? 1 ,如果在时间 t ? 0 时,流过导 线横截面的电量 Q(t ) ? 0 (单位:A) ,求电量 Q(t ) 与 t 的关系式,并求经过 10s 流过导线横 截面的电量。 (9 分)

?

第七讲

七、复习资料
一、判断题 1.若
b

?

a

( f ( x)dx ? 0 ,则在 ?a, b? 上 f ( x) ? 0 。

) )

2.若 ?c, d ? ? ?a, b? ,则有 3. 4. 5.

? f (x)dx ? ?
c

d

b

a

( f ( x)dx 。

d dx

?

b

a

( f ( x)dx ? f ( x) 。



? ?

2

1 1

f ( x)dx ?

?

?1

2

f (u)du ?
1 3

?

3

?1

f (t )dt ?

? f (x)dx
1

3

。 (



0

1 ? x 3 dx ?
x2

?

0

( 1 ? x 3 dx 。



sin t sin x 2 dt ?? ? 。 ( ) 1 t x2 1 1 2 1 1 1 7. ( x dx ? x ?1 ? ? ? 0 。 ?1 2 2 2

6. ?

?

?



8.

? ?x
?

?

4

( sin xdx ? 0 。



9.对任意实数 a ,等式 10.

?

a

0

( f ( x)dx ? ? f (a ? x)dx 总成立。
0

?

a



( ?? kd? ? kA 成立。其中 A 为区域 D 的面积。
D



11.若 D 是以原点为中心,以 R 为半径的圆域,则 12.二重积分 体的体积。 (

??
D

R 2 ? x 2 ? y 2 d? ?

2 3 ?R 。 ( 3



?? f ( x, y)d? , f ( x, y) ? 0 的几何意义是以 z ? f ( x, y) 为曲顶,D 为底的曲顶柱
D



13.设 D 为单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 在第一象限部分,则

I?

??
D

f ( x, y)d? ? dx
0

? ?

1

1? y 2

0

( f ( x, y)dy 。



二、填空题 1.由定积分几何意义可直接求得 2.由定积分 3.已知 4.

?

a

0

a 2 ? x 2 dx ?

? (e
0

1

y

? 1)dy 可画出相应的曲边梯形图形为______________。

?

b

a

f ( x)dx ? 1 ,则
b

?

b

a

f ( x)dx ? f ( x)dx ?
b b 2

?

a



?

b

a

f ( x)dx ? p ,

? ? f ( x)? dx ? q ,则 ? ?4 f ( x) ? 3? dx ? ____________ 。
2 a a

5.

?

3

2

f ( x)dx ?

?

2

3

f (t )dt ? dx ?
1

?

2



6.

d ? ? dx ? ?

?

x2

x

? sin5 tdt ? ? ? ____________。 ?

7.已知 ?( x) ? tdt ,则 ?(2) ? _____ 。
0

?

x

8.设 f ( x ) 有连续的导数, f (b) ? 5 , f (a) ? 3 ,则 9.当 b ? 0 时, ln xdx ? 1 ,则 b ? _________ 。
1

?

b a

f ?( x) dx ?

.

?

b

10.在定积分

?

4

1 1? 5 ? x

1

dx 中,作换元 5 ? x ? t ,则新积分上限为

,下限为



11.已知 f ( x) ? x 3 ? 1 ,则

?

2

?2

f ( x)dx ?

。 。

12.设 k 为常数, (2 x ? k )dx ? 3 ,则 k ?
0

?

1

13.设 f ( x) 连续,且

14.有一立体,对应 x 的变化区间为 ?? 1,1? ,过任意点 x ? ?? 1,1? 作垂直于 x 轴的平面,截面 面积为 S ( x) ? x 2 ? 1 ,则该立体体积为__________。 15.

? f (t)dt ? x ,则 f (2) ? ________ 。
0

x3 ? x

?

b

a

f ( x)dx 与

? f ( x)dx 的区别为__________________________。
?

16.求曲线 y ?

?

? sin t dt 在 x ? 处的切线方程_________________ 。 2 t 2
x

17.若 D 由 0 ? x ? 2 , 1 ? y ? 3 围成,则
2 2

?? d? ? _____________。
D

18.设 D 由圆环 2 ? x ? y ? 4 所确定的闭区域,则 19.将 d x
0 1 x 2 2? x

??
D

dxdy ?



? ? f ( x, y)d ? ? d ? f ( x, y)dy 交换积分次序为_____________。 20.根据二重积分性质,比较积分 ?? ( x ? y )dxdy ?? ln(x ? y)dxdy ,其中 D 是由
0 y 1 x 0
D D

x 轴, y 轴及直线 x ? y ? , x ? y ? 1 围成。
21.若 dx f ( x, y)dy ? dy
0 0 0

1 2

? ?

1

x

? ?

1

x2 ( y )

x1 ( y )

f ( x, y)dx ,那么 [ x1 ( y), x2 ( y)] ?



22.已知 D 为长方形: a ? x ? b , 0 ? y ? 1 ,又 23.设 D 是正方形: 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 ,则

??
D

yf ( x)dxdy ? 1 ,则

?

b

a

f ( x)dx ?




?? xydxdy ?
D

24.

? ?
0

a

dy

a2 ? y2 0

( x 2 ? y 2 )dx 的极坐标形式为______________,积分值为__________。

三、选择题 1.极限 lim(
n??

n n ?1
2 2

?

n n ?2
2 2

? ??

n n ? n2
2

)?(
D.

) 。

A. e 2.

B. e ? 1 ) 。

C.

?
2

?
4

?

2

1 2

ln x dx ? (

A.

?

1 ln xdx ? ln xdx 1 2

1

?

2

B.

?

1 ln xdx ? ln xdx 1 2

1

?

2

C. ?

? ln xdx ? ? ln xdx
1 2 1

1

2

D. ?

? ln xdx ? ? ln xdx
1 2 1

1

2

?x2 3.已知 f ( x) = ? ?x

x?0 x?0

,则

?

1

?1

f ( x)dx ? (

) 。

A. xdx
?1

?

0

B. xdx ?
?1

?

0

? x dx
2 0

1

C. 2 x 2 dx
0

?

1

D.
e

?

0

?1

x 2 dx ?

? x dx
2 0

1

4.

? ln xdx 与 ? ln xdx 分别为(
1 e

1

1

) 。 C.-,+ )
2

A.+, + 5.设函数 ?( x) ? A. xe ? x

B.+,-

D.-,-

?

x

2

0

te?t dt ,则 ? ?( x) ? (
B. ? xe ? x

C. 2x 3 e ? x

D. ? 2 x 3 e ? x

2

? 6. lim
x?0

x2

0

sin t 2 dt x6

?(

) 。 B. 0 C. ? D. ) 。 D. 2?

A.1 7.设 f ( x) = A. ? 8.设

1 3

?

x

?x

(t ?

?

) sin3 tdt ,则 f ?(? ) ? ( 2 2
B. ?? C. 0 ) 。

?

? f (t)dt ? a
0

x

2x

,则 f ( x) ? ( B. a 2 x ln a

A. 2a 2 x

C. 2 xa 2 x ?1

D. 2a 2 x ln a ) 。

9.在区间 ?? 1,1? 上,下列函数可以用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的是(

A. f ( x) ? C. f ( x) ?

1 x ?1
1 (2 x ? 1)
2

B. f ( x ) ? D. f ( x ) ?
1 1

1
3

x

1 1? x2

10.设 f ( x) 为连续函数, f ( x) ? 4 x ? A.1 11.设 M ? B.2

? f ( x)dx ,则 ? f ( x)dx ? (
0 0

) 。

C.3

D.4

? ? 1? x
2 ? 2

?

sin x
2

cos 4 xdx , N ?

?

?
2 3 4 ? (sin x ? cos x)dx , P ? 2

?

? ? (x
2 ? 2

?

2

sin3 x ? cos 4 x)dx

则有( ) 。 A. N ? P ? M C. N ? M ? P 12.若对于任意一个连续函数 f ( x) ,定有 A. a ? 0, b ? 1 C. a ? 1, b ? 10 13.已知 f ( x) 在 ?0,1? 上连续,令 t ? 2 x ,则 A.
1 0

B. M ? P ? N D. P ? M ? N

?e
0

1

x

f (e x )dx ?

?

b

a

f (u)du ,则有(

) 。

B. a ? 0, b ? e D. a ? 1, b ? e

? f (2x)dx ? (
1 2

) 。 D.

? f (t)dt
0 0

2

B. 2 f (t )dt
0

?

2

C.
a

? f (t)dt
0

2

1 2

? f (t)dt
0

1

14.设 f ( x) 在 ?? a, a ? 上连续,则 A. ? C.

?

?a

f ( x)dx ? (

) 。

? ? f (x) ? f (? x)?dx
?a

B. 2 f ( x)dx
0

?

a

? ? f (x) ? f (? x)?dx
0

a

D. 0 ) 。 C.

15.下列积分中不是广义积分的有( A.

?
?

e

1

1 dx x ln x

B.

?

1

?1

( x ? 1) 3 dx
) 。 C.

?

1

?1

x

?

1 3 dx

D.

?

3 3 (x 2

dx ? 5) 2

0

16.下列广义积分中收敛的有( A.
0 ??

e ? x dx

B.

?
?

??

0

dx x ln x
) 。
1 1? x2 dx

?

??

dx x (1 ? x )

1

D. x cos xdx
0

?

??

17.下列广义积分发散的是( A.

?

1

1
2

?1 sin

x

dx

B.
x

1

?1

C.

?

??

a

xe ? x dx

2

D.

?

??

1 x ln 2 x

2

dx

18.设 f ( x) 连续, ( x ? t ) f (t )dt ? 1 ? cos x ,则 f ( x) ? (
0

?

) 。 D. ? cos x ) 。

A. sin x

B. ? sin x

C. cos x

19.由 y ? x , y ? 0 , x ? 1 围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积为(

A. ?ydy
0

?

1

B. ?xdx
0
3

?

1

C.

? ?y dy
2 0

1

D.

? ?x dx
2 0

1

20.设 I ?

??
D

x 2 ? y 2 ? 1d? ,其中 D 是环域 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 ,则必有(

) 。

A.I>0 21.若

B.I<0 ,则 D 是由(

C.I=0

D.I ? 0 但符号不能确定

?? d? ? 1
D

)所围成的闭区域。 B. x ? 1 , y ? 1 D. x ? y ? 1 , x ? y ? 1

A. y ? x ? 1 ,x=0,x=1, x 轴 C.2x+y=2,及 x 轴.y 轴 22.设 D 是由 x ? 2, A. 23.设

y ? 1 所围成,则
B.

?? x
D

3

y 3 d? ? (

) 。

19 12
2

11 12

C.

1 12

D.0 ) 。

?? ( x
D

? 4 y 2 ? 9)d? ,D: x 2 ? y 2 ? 4 ,则积分的估值是(

A. 18? ? I ? 50? 四、计算简答题 1.计算下列积分 (1)

B. 9? ? I ? 100?

C. 36? ? I ? 50? D. 36? ? I ? 100?

?

5

0

(2) 1 ? x dx ;

?

ln 2

0

(3) xe x dx ;

2

?

3

1

1 ? 2x 2 (4) dx ; x 2 (1 ? x 2 )

?

e2

e

ln 2 x dx ; x

(5)

?

4 0

1 4 x π π (6)? (5x ? 1)e 5 x dx ; (7)? eπ x cosπ xdx ; (8)? 0 cos( ? )dx ; 16 ? x 2 dx ; 0 0 4 4
? 1 1 ?? 1 6 tan x dx( p ? 0) ; dx ; (10)? ( x ? 4) 3 dx ; (11)? p dx( p ? 0) ; (12)? 2 0 x 1 0 xp cos x 2

(9)

?

π 4 0

2.求极限 lim
x ??

?

x a

1 (1 ? )t dt t (a ? 0为常数) 。 x

3.设 f (0) ? 1, f (2) ? 3, f ?(2) ? 5, 计算

?

1

0

xf ??(2 x)dx .

4.已知 f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? x 2 ? x 5.计算下列二重积分 (1) (2)

?

2 0

f ( x)dx ? 2

?

1 0

f ( x)dx ,试确定函数 f ( x) 。

?? ( x
D

2

? y 2 ? x)dxdy D: y ? 2 , y ? x , y ? 2 x 围成。

?? x
D

y dxdy
dxdy

D: y ?

x , y ? x 2 围成。
1? y ? 2

(3)

?? y
D

x
3

D: 0 ? x ? 2 ,

(4) (5) (6)

??
D

ln y dxdy x

D: y ? 1 , y ? x , x ? 2 围成。 D: x 2 ? y 2 ? a 2 与坐标轴围成在第一象限部分

?? ydxdy
D

?? x
D

2

? y 2 ? 2 dxdy D: x 2 ? y 2 ? 3

五、应用题 (1)一物体作变速直线运动,速度 v ? 1 ? t 米/秒,求物体运动开始后 15 秒内经过的路 程。 (2)求 y ? 2x 2 , y ? x 2 与 y ? 1 所围平面图形面积。 (3)抛物线 y 2 ? 2 x 把图形 x 2 ? y 2 ? 8 分成两部分。求这两部分面积之比。 (4)求曲线 y ? x 2 ? 2 ,直线 x ? 1 , x ? 2 所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积。 (5)求 C 值,使 y ? Cx 平分由曲线 y ? x ? x 2 与 x 轴所围图形面积。 (6)在区间 ?0,1? 上给定曲线 y ? x 2 ,试在此区间内确定 t ,使图中阴影部分面积 S1 , S 2 之 和最小。 (7)一直径为 6 米的圆形管道,有一道闸门。问盛水半满时,闸门所受的压力是多少? (8)一锥形水池,池口直径 20 米,深 15 米,池中盛满了水,求将全部池水抽到池外所做 的功。 (9)求锥面 z ? x ? y 与椭圆抛物面 z ? 2 ? x ? y 所围成的立体体积。
2 2 2 2 2

(10)设平面薄片所占的闭区域 D 是由直线 x ? y ? 2 、 y ? x 和 x 轴所围成,它的面密度

u( x, y) ? x 2 ? y 2 ,求该薄片的质量。

七、自我测验题

第八讲

六、复习资料
一、判断题 1. x ? ( y?) 2 ? 2 yy? ? x ? 0 是二阶微分方程. ( 2. y ? C ? sin ?x 是方程 y?? ? ? 2 y ? 0 的通解. ( 3.n 阶微分方程的通解必含 n 个独立的任意常数.( 4. y ?? ? p( x) y ? ? g ( x) y ? f ( x) 为线性微分方程. ( ) ) ) )

5.若 y1 , y 2 是二阶齐次线性线性微分方程的解,则 y ? C1 y1 ? C2 y2 是方程的通解( C1 , . ( C 2 是任意常数) ) )

6. y ? C1e ? x ? C2 xe? x 为微分方程 y ?? ? 2 y ? ? y ? 0 的通解. ( 7. 微分方程的通解包含了所有特解.( 8. y ? ? x ? y 是可分离变量的微分方程. ( ) )

9. y ? cos ?x 与 y ? 2 sin ?x 都是方程 y?? ? ? 2 y ? 0 的解. ( 10. y ? C ? sin ?x 是方程 y?? ? ? 2 y ? 0 的通解. ( )



11. 若 y1 y 2 …… y n 是 y ( n) ? p1 y ( n?1) ? ?? ? pn y ? 0 方程的 n 个特解, 则方程的通解 为 y ? C1 y1 ? C2 y2 ? ?? ? Cn yn .( ) )

12.n 阶微分方程需 n 个初值条件才能确定特解.(
x 13. y ? ? y 的通解为 y ? Ce . (
3


2

14. y ??? ? y ?? ? x ? 0 的特征方程为 r ? r ? 1 ? 0 . ( 15. x y ??? ? y ?? cos x ? 4 xy ? ? 3e 是线性微分方程.(
3 2 x

) )

16.含 n 个任意常数的解是微分方程的通解. ( 17.

) )
3

( y (3) ? cos y ? 4x ? 0 是三阶线性微分方程.
2

二、填空题 1.方程 ( y ?) ? 3 y ? 6 ? 9 是______阶微分方程, 方程 xy?? ? y? ? x 是_______阶微分方程。 2.方程 xy ? ? y ln y 的通解是____________________。 3.方程 y ?? ? y ? ? 2 y ? 0 的通解是______________________。 4.方程 y?? ? y?+y ? 3x 的一个特解是___________。
2

5 .曲线过原点,且在 P( x, y) 处的切线斜率为 2 x ? y ,则曲线方程是_________________。

6.方程 y ?? ? 2 y ? ? 5 y ? 0 的通解是______________________。 7.设 y1 ? e x , y2 ? ex ? x 是线性微分方程 y ? ? p( x) y ? q( x) 的两个特解,则该方程的通 解为___________。 8.函数 y1 ? e2 x , y2 ? xe2 x 所满足的二阶常系数齐次线性微分方程为_______________。 .

9.微分方程 ( y???) 3 ? y? ? xy3 ? 3 ? 0 的阶数为

10.若曲线 y ? f ( x) 在点 x 处的斜率为 g ( x) ,可建立微分方程_______________. 11.若函数 y1 ( x ) , y 2 ( x) 线性相关,则有

y2 ? _________. y1

12. y ?? ? py ? ? qy ? 0 的特征方程为___________. 13. 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是它所对应的齐次微分方程的 程的一个 相加的结果. 14.微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 的特征根是 ,它的通解是 与非齐次方



15.设 y1 ? xe x , y2 ? e x 是二阶常系数线性齐次方程 y ?? ? py ? ? qy ? 0 的两个解,则有

p?

,q ?

. 形式. .

16.微分方程 y?? ? y? ? xe x 的特解应具有

17.以 y ? C1e ? x ? C2 e x ( C1 , C 2 为常数)为通解的二阶常数线性微分方程为 18.齐次微分方程的标准形式为 19. y ? ? P( x)Q( y) 是 程. 20.微分方程 xy? ? 2 y ? 0 在 y x?1 ? 1 的特解为 21.微分方程 y?? ? 4 y ? 0 的通解为 22.微分方程 ( x ? xy 2 )dx ? 2 xydy ? 0 是 23.微分方程 (1 ? e )dy ? ye dx ? 0 的通解为
x x

, 可将其转化为 型微分方程,

的微分方程进行计算. 型微分方

dy ? P ( x) y ? Q( x) 是 dx
. . (类型)微分方程. . .

24.若 f ( x) 满足方程 f ( x) ? 2

?

x

0

f ( x)dx ? x 2 ,则 f ( x) ?

25.已知某气体的气压 p 对温度 T 的变化率与气压成正比 ,与温度的平方成反比,该物理问 题可用微分方程表示为 26.微分方程中必含有 三、选择题 1.微分方程 (1 ? x )dy ? y ? 0 是(
2 2

. ,可能含有 )方程。 与自变量.

A .齐次; B .线性; 2 d y 2.微分方程 2 ? y ? 0 的通解是( dx A . y ? C1 sin x ; C . y ? sin x ? C2 cos x ;
3.下列方程中是一阶微分方程的有(

C .可分离变量;
) 。

D .二阶.

B . y ? C2 cos x ; D . y ? C1 sin x ? C2 cos x .
) 。

A . x( y?) ? 2 yy ? ? x ? 0 ;
2

C . ( x2 ? y 2 )dx ? ( x2 ? y 2 )dy ? 0 ;
4.下列方程是一阶微分方程的是( ) 。

B . ( y??)2 ? 5( y?)4 ? y5 ? x7 ? 0 D . xy ?? ? y ? ? y ? 0 .

A . x( y ?) ? 2 yy ?? ? x ;
2

C . x2 ? y ? 1; 5.微分方程 xy ? ? 2 y ? 0 在初值条件 y | x ?1 ? 1 的特解( 1 1 A. y ? ; B.y? 2 ; x x D . y ? x2 . C.y?x;
6.下列方程中, ( )是可分离变量微分方程. A. xdy ? ydx ? sin(xy) xy ? 0 C.

B . y ? ? e x ? sin x ; D . y ?? ? 3 y ? ? 4 y ? 0 .
) 。

B. ( xy 2 ? x)dx ? ( x 2 y ? y)dy ? 0 D. ( y ?) 2 ? xy ? 1 .

dy ? x3 ? y3 dx

7 . 用待定系数法求微分方程 y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? x 2 ? 1 的一个特解时,应设特解形式为 ( )。 A. ax ? b
2

B. x(ax2 ? bx ? c) D. ax ? bx ? c
2

C. x 2 (ax2 ? bx ? c)

8.微分方程 ( y ???) 2 ? ( y ?) 4 ? x ? 0 的阶数为( A.1 B. 2 C. 3 D. 4

) 。

9.已知二阶线性齐次微分方程的特征根是 r1 ? 1 、 r2 ? ?1,它的方程( A. y ?? ? y ? 0 B. y ?? ? y ? 0 10.微分方程 y ?? ? 2 x 通解为( C. y ?? ? y ? ? 0 D. y ?? ? y ? ? 0 )。

)。

x3 A. y ? 3
D. y ? 11. (

x3 ? Cx B. y ? 3 x3 ? C1 x ? C 2 3

C



x3 y? ? Cx ? C 3

)不是可分离变量的微分方程。

A. y ? ?

1? y 1? x

B. y ? ?

y?x y ?1

C. y 2 dx ? x 2 dy ? 0

D.

dx dy ? ?0 y x

12.下列方程中, (

)是一阶线性微分方程。 B. y ? ? y 3 ? 0 D. 3 y ? ? y cos y ? x ) 。

A. dy ? ( x 2 y ? x 3 )dx ? 0 C. y ? ? cos y ? 0

13.微分方程 y?? ? 2 y? ? y ? x 2 ? 1 的通解为 y ? Y ? y ,其中 y 的形式为( A. ax ? bx ? C
2

B. x(ax2 ? bx ? C ) D. e x (ax2 ? bx ? C) )。 D.是解,但不是通解又非特解 )。

C. x 2 (ax2 ? bx ? C)

14.函数 y ? 2e 4 x 是 y ?? ? 6 y ? ? 8 y ? 0 的( A.通解 B.特解
2 x ? C2

C.不是解

15.函数 y ? C1e A.通解

是微分方程 y ?? ? y ? ? 2 y ? 0 的( C.不是解

B.特解

D. 是解,但不是通解又非特解 )。

16.下列方程中,通解为 y ? C1e x ? C2 xe x 的微分方程为( A. y ?? ? 2 y ? ? y ? 0 C. y ? ? y ? 0 B. y ?? ? 2 y ? ? y ? 1 D. y ? ? y

17 . y1 ( x ) 是 y ? ? p( x) y ? 0 的 解 , y * ( x) 是 y ? ? p( x) y ? g ( x) 的 特解 , 则 方程 通解是 ( )。 B. Cy1 ( x) ? y * ( x) D. C ( y1 ( x) ? y * ( x))

A. C ( y1 ( x) ? y * ( x)) C. y1 ( x) ? Cy * ( x) 18. 设函数 y1 y 2

y3 线性无关且都是二阶非齐次线性方程 y ?? ? p( x) y ? ? q( x) y ? f ( x) 的
)。

解, C1 C 2 任意常数,则该方程的通解是( A. C1 y1 ? C2 y2 ? y3 C. C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3 19.方程

B. C1 y1 ? C2 y2 ? (C1 ? C2 ) y3 D. C1 y1 ? C2 y2 ? C3 y3 )。 B. y ? ? cos x ? C

dy ? y 2 cos x 的通解是( dx

A. y ? ? sin x ? C

C. y ?

1 cos x ? C

D. y ? ?

1 或y?0 sin x ? C
x ?e

20.微分方程 y ln xdx ? x ln ydy ? 0 满足初始条件 y A. ln x 2 ? ln y 2 ? 0 C. ln 2 x ? ln 2 y ? 0 21.下列等式中是微分方程的为( A. u ?v ? uv ? ? (uv) ? C. u ? ? v ? ? (u ? v) ? 22.( )是一阶线性微分方程 B. y ? ? y 2 C. y ? ?

? e 的特解是(

)。

B. ln x 2 ? ln y 2 ? 2 D. ln 2 x ? ln 2 y ? 2 )。

dy d(y ? ex ) x ?e ? B. dx dx
D. y ? ? e x ? sin x

A. x 2 y ? ? y

1 ?x y

D. y ? ? e y

23.微分方程 y ?? ? 2 y ? ? 8 y ? 0 的通解为( A. y ? C1e 4 x ? C2 e ?2 x C. y ? C1 (e 4 x ? C2 e ?2 x ) ? C2

)。 B. y ? C1e ?4 x ? C2 e 2 x D. y ? 3e?4 x ? e2 x )。

24. y ?? ? y ? 0 满足初始条件 y x ?0 ? 1 y? x ? 0 ? 2 的特解为( A. y ? cos x ? sin x C. y ? x ? 2 x ? 1
2

B. y ? cos x ? 2 sin x D. y ? C1 cos x ? C2 sin x ) 。 C.一阶线性微分方程 )。 B. y ? D.不是微分方程

25.微分方程 y ? ? A.齐次方程 26.微分方程 y ? ? A. y ?

x2 y 是( x3 ? y3

B.可分离变量微分方程

ex y ? 1 的通解是( ex ?1

1 (e x ? x ? C ) e ?1
x

1 [ x ? ln(e x ? 1) ? C ] e ?1
x

C. y ? (e ? 1)(e ? x ? C)
x x

D. y ? (e ? 1)[x ? ln(e ? 1) ? C]
x x

四、证明题 设 y1 , y 2 是方程 y ? ? p( x) y ? q( x) 的两个不同的解,证明 y ? y1 ? C ( y1 ? y 2 ) 是通解.

五、计算题

y . 1 ? 4x 2 y2 ?1 2.解微分方程 y ? ? ,初始条件为 x ? 1 时 y ? 0 . 2x y 2 3.解一阶线性非齐次微分方程 y ? ? ? x . x
1.解微分方程 y ? ? 4.解微分方程 y ?? ? 6 y ? ? 9 y ? 0 . 5.求微分方程 y ?? ? 3 y ? ? 3x 的通解. 6.求微分方程 y ?? ? y ? ? 3 sin x 的一个特解. 六、应用题 1.已知一曲线通过点 (1,0),且该曲线上任意点 ( x, y )处的切线斜率为 x .求该曲线的 方程 . 2.将一个加热到 50 C 的物体,放在 20 C 的恒温室中冷却,求物体温度变化的规律. 3.一潜艇在下降时,已知所受阻力与下降速度成正比,若潜艇由静止状态开始运动, 求潜艇在时刻 t 下降的距离 s (t ) . (设潜艇重量为 p ,时刻 t 下降速度为 v(t ) ,则阻力为
0 0

2

kv 这里 k 是比例系数) 。 4.设曲线上任一点 P( x, y) 的切线及射线 OP 与 y 轴围成的面积是常数 a ,求其曲线方程。 七、自我测验题
一、填空题(每空 3 分,共 15 分) 1.微分方程

d3y 3 d2y 2 ? ( ) ? e 的阶数为 dx3 x dx2



2.微分方程 xy ? ? 2 y ? 0 在 y x?1 ? 1 的特解为________________。 3.微分方程 y?? ? 4 y ? 0 的通解为________________。 4.过点 (1,3) 且切线斜率为 2 x 的曲线方程是 y = 5.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于其对应的 再加上 的一个特解。 。 的通解

二、选择题(每题 3 分,共 24 分) 1.下列等式中( A. u ?v ? uv ? ? ?uv ? C. ?u ? v? ? u'?v'
'

)是微分方程。

?

B.

dy x d y ? e x ?e ? dx dx
x

?

?

D. y' ? e ? sin x

2. ( A. y ? ?

)不是变量可分离微分方程。

1? y 1? x

B. y ? ?

y?x y ?1

C. y 2 dx ? x 2 dy ? 0 3. ( )是一阶线性微分方程。

D.

dx dy ? ?0 y x

A. x 2 y ? ? y C. y ? ?

B. y ? ? y 2 D. y ? ? e y

1 ?x y
) 。

4.方程 y ? ? 3xy ? 6 x 2 y 是( A.一阶线性非齐次微分方程 C.可分离变量的微分方程 5.函数 y ? c1e A.通解 C.不是解
2 x?c2

B.二阶微分方程 D.三阶微分方程 ) 。

是微分方程 y ?? ? y? ? 2 y ? 0 的( B.特解

D.是解,但不是通解,也不是特解 ) 。

6.微分方程 y ln xdx ? x ln ydy ? 0 满足初始条件 y x?e ? e 的特解是 ( A. ln x ? ln y ? 0
2 2

B. ln x ? ln y ? 2
2 2

C. ln x ? ln y ? 0
2 2

D. ln x ? ln y ? 2
2 2

7.微分方程 y?? ? 2 y? ? 8 y ? 0 的通解为( A. y ? c1e
4x

) 。
?4 x

? c2 e ?2 x ? e ?2 x ? c2

B. y ? c1e D. y ? 3e

? c2 e 2 x ? e2x
) 。

C. y ? c1 e

?

4x

?

?4 x

8.微分方程 y ?? ? y ? 0 的满足初始条件 y x?0 ? 1, y? x?0 ? 2 的特解为( A. y ? cos x ? sin x C. y ? x ? 2x ? 1
2

B. y ? cos x ? 2 sin x D. y ? c1 cos x ? c2 sin x

三、求下列各微分方程的通解或在初始条件下的特解(24 分)

1. y ? ?

2 y ? x 2 sin 3 x x

2.求 dy ? ?

? y ? 1? ? dx 的通解 ? x ?1?

2

3. y?? ? 4 y? ? 29y ? 0,

y x?0 ? 0, y? x?0 ? 15
3 2

4. y ?? ? 2 y ? ? y ? x , y (0) ? 0 , y ?(0) ?

四、设一质量为 m 的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度(比例常数 k ? 0 ) ,求速 度与时间的关系。 (6 分) 五、 设室温为 20 C , 一物体加热到 100 C , 在 10 分钟内冷却到 60 C , 问此物体从 100 C 降到 25 C 需要经过多少时间?(10 分) 六、向正东 1 海里处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以常数 v 0 沿 正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行 多远时,将被鱼雷击中?(20 分)
? ? ? ? ?


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