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全国初中数学联赛_试题及答案__1991~2010

全国初中数学竞赛
1991 年全国初中数学联赛 第一试
一、选择题 本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A) 、 (B) (C) 、 (D)四个答案结论,其中只有一 个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1. 设等式 a ( x ? a ) ? a( y ? a ) ? x ? a ? a ? y 在实数范围内成立,其中 a,x,y 是两

3 x 2 ? xy ? y 2 两不同的实数,则 2 的值是︰ x ? xy ? y 2 (A)3 ; 2.
1 (B) ; 3

(C)2;

5 (D) . 3

如图,AB‖EF‖CD,已知 AB=20,CD=80,BC=100,那么 EF 的值是︰ (A)10; (B)12; (C) 16; (D)18.

3.

方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解是︰
1? 5 ; 2

(A)

(B)

?1 ? 5 ; 2

(C)

1? 5 ?1 ? 5 或 ; 2 2
1

(D) ?
1

?1 ? 5 . 2

4.

? 1 已知: x ? (1991 n ? 1991 n ) (n 是自然数) .那么 ( x ? 1 ? x 2 ) n ,的值是︰ 2

(A) 1991?1 ; 5.

(B) ? 1991?1 ;

(C) (?1) n 1991 ;

(D) (?1) n 1991?1 .

若 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? 12 n M , 其中M为自然数, n 为使得等式成立的最大的自然数,

则M︰ (A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.

1

6.

若 a, c, d 是整数, b 是正整数, 且满足 a ? b ? c , b?c ? d, c?d ?a, 那么 a ? b ? c ? d

的最大值是︰(A) ? 1 ; (B) ? 5 ; (C) 0 ; (D)1. 7. 如图, 正方形 OPQR 内接于ΔABC. 已知ΔAOR、 ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是 S1 ? 1 ,

S 2 ? 3 和 S 3 ? 1 ,那么,正方形 OPQR 的边长是
S1 ? 1

(A) 2 ; (B) 3 ; (C)2 ; (D)3.
S2 ? 3
S 3 =1

8.

在锐角ΔABC 中, AC ? 1 , AB ? c , ?A ? 60 ? ,ΔABC 的外接圆半径 R ≤1,则
1 1 < c < 2 ; (B)0< c ≤ ; 2 2

(A)

(C)c > 2;

(D)c = 2.

二、填空题 1.

E是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点, AE 交对角线 BD 于 G, 如果ΔBEG 的面积是1,
则平行四边形 ABCD 的面积是 .

2.

已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求 得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,
2b ? 3c ? a



3.

设 m , n , p,q 为非负数,且对一切 x >0, ( m 2 ? 2n ? p) 2 q ? .
? ?

( x ? 1) m ( x ? 1) p ? 1 ? 恒成立,则 ︰ xn xq

4.

四边形 ABCD 中,∠ ABC ? 135 ,∠BCD ? 120 ,AB ? 6 ,BC ? 5 ? 3 ,CD = 6,则 AD

=



120 ? 135
?

2

第二试
x y 四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的

(一) x + y,

x - y , x y,

数对(x , y) . (二) ΔABC 中,AB<AC<BC,D 点在 BC 上,E 点在 BA 的延长线上,且

BD=BE=AC,ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于 F 点(如图) .
求证:BF=AF+CF

(三) 将正方形 ABCD 分割为 n 2 个相等的小方格(n 是自然数) ,把相对的顶点 A,C 染成红 色,把 B,D 染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶 点同色的小方格的数目必是偶数.

3

1992 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一.选择题
本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正 确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1. 满足 a ? b ? ab ? 1 的非负整数 ( a, b) 的个数是︰(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2. 若 x 0 是 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 根 , 则 判 别 式 ? ? b 2 ? 4ac 与 平 方 式
M ? ( 2ax 0 ? b) 2 的关系是︰

(A) ? > M (B) ? = M

(C) ? > M ; (B)3; (C)5;

(D)不确定. (D)7.

2 4 ?4 3. 若 x ? 13 x ? 1 ? 0 ,则 x ? x 的个位数字是︰ (A)1;

4. 在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于 2 ,则这个多边形的边 数必为︰(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.

5. 如 图 , 正 比 例 函 数 y ? x和y ? ax(a ? 0) 的 图 像 与 反 比 例 函 数
y? k ( k ? 0) 的图像分别相交于 A 点和 C 点.若 Rt?AOB 和 ?COD 的 x

面积分别为 S1 和 S2,则 S1 与 S2 的关系是︰(A) S1 ? S 2 (C) S1 ? S 2 (D)不确定

(B) S1 ? S 2

6. 在一个由 8 ? 8 个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把圆周经 过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S1 ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分 的面积之和记为 S 2 ,则

S1 的整数部分是︰ (A)0; S2

(B)1;

(C)2;

(D)3.

7. 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB//CD, AB=2CD, ?A ? 60? ,又 E 是底边

AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB;则 AE:EB 等于
(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10

4

8. 设 x1 , x 2 , x3 ,? ? ?, x9 均 为 正 整 数 , 且 x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x 9 , x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x9 ? 220 , 则 当 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x5 的值最大时, x9 ? x1 的最小值是︰(A)8; 二.填空题 1. 若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形 的面积等于________________. 2. 3. (B)9; (C)10; (D)11.

1? x2 ? x4 ? 1? x4 x ? 0 若 ,则 的最大值是__________. x
在 ?ABC 中 , ?C ? 90 ? , ?A和?B 的 平 分 线 相 交 于 P 点 , 又 PE ?AB 于 E 点 , 若
BC ? 2, AC ? 3 ,则 AE ? EB ?

. .

4.

若 a, b 都是正实数,且

1 1 1 b a ? ? ? 0 ,则 ( ) 3 ? ( ) 3 ? a b a?b a b

第二试
(一) 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的两根,当这样的三角形只有 一个时,求 a 的取值范围. (二) 如 图 , 在 ?ABC 中 , AB ? AC , D 是 底 边 BC 上 一 点 , E 是 线 段 AD 上 一 点 , 且

?BED ? 2?CED ? ?A .求证: BD ? 2CD .
(三) 某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0,1,2,3,5,6 这六个不同数字组成,现有 四个编码如下:A:320651 B:105263 C:612305 D:316250

已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个数字的位置与 M 和 N 相同.试求:M 和 N.

5

1993 全国初中数学联合竞赛试卷 第一试
一.选择题 本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把 正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.
12 6 2 多项式 x ? x ? 1 除以 x ? 1 的余式是(

) (D) x ? 1 ;

(A)1; 2. 对于命题

(B)-1;

(C) x ? 1 ;

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是( (A)Ⅰ,Ⅱ都对 3. (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. )

设 x 是实数, y ? x ? 1 ? x ? 1 .下列四个结论: Ⅰ. y 没有最小值; Ⅱ.只有一个 x 使 y 取到最小值; Ⅲ.有有限多个 x (不止一个)使 y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个 x 使 y 取到最小值.

其中正确的是( (A)Ⅰ 4.

) (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

实数 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 满足方程组

? x1 ? x 2 ? x3 ? a1 ; ?x ? x ? x ? a ; 2 3 4 2 ? ? ? x3 ? x 4 ? x5 ? a3 ; ?x ? x ? x ? a ; 5 1 4 ? 4 ? ? x5 ? x1 ? x 2 ? a 5 .

6

其中 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a 5 是实常数,且 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a 5 ,则 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 的大小顺序是︰ (A) x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? x5 ; (C) x3 ? x1 ? x 4 ? x 2 ? x5 ; 5. (B) x 4 ? x 2 ? x1 ? x3 ? x5 ; (D) x5 ? x3 ? x1 ? x 4 ? x 2 . ) (D)等于 5
?OBC ? ?OCB )

2 不等式 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 3 x ? 7 的整数解的个解(

(A)等于 4 6.

(B)小于 4

(C)大于 5

在 ?ABC 中, ?A是钝角, O是垂心, AO ? BC ,则cos( 的值是( (A) ?
2 2

) (B)
2 2

(C)

3 2

(D) ?

1 . 2

7.

锐角三角 ABC 的三边是 a, b, c,它的外心到三边的距离分别为

m, n, p,那么 m:n:p 等于(
1 1 1 (A) : : ; a b c

) (B) a : b : c (D) sin A : sin B : sin C .

(C) cos A : cos B : cos C
3

8.

3 (3

4 3 2 3 1 ?1 ? ? ) 9 9 9 可以化简成(
(B) 3 3 (3 2 ? 1)

) (C) 3 2 ? 1 (D) 3 2 ? 1

(A) 3 3 (3 2 ? 1) ;

二.填空题
3 x 2 ?6 x ? 5 1. 当 x 变化时,分式 1 2 的最小值是___________. 2 x ? x ?1

2. 放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四个相 邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3. 若方程 ( x 2 ? 1)( x 2 ? 4) ? k 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则

7

k =____________.
4. 锐角三角形 ABC 中, ?A ? 30? .以 BC 边为直径作圆,与 AB, AC 分别交于 D, E,连接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC,设它们的面积分别为 S1, S2,则

S1:S2=___________.
第二试 (一) 设 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点

A 至底边 BC 的距离变小,这时乘积 S ?ABC ? S ?HBC 的值变小,变大,还是
不变?证明你的结论. (二) ?ABC 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边 AB ,AC 上分别取点 D, E, 使线段 DE 将 ?ABC

分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE 的最小长度.
2 2 ? , x? (三) 已知方程 x ?bx ? c ? 0及x ? cx ? b ? 0 分别各有两个整数根 x1 , x2 及 x1 2 ,且 x1 x 2 ? 0,

? x? x1 2 ? 0. ? ? 0, x? (1)求证: x1 ? 0, x 2 ? 0, x1 2 ? 0;
(2)求证: b ? 1 ≤ c ≤ b ? 1 ; (3)求 b, c 所有可能的值.

8

1993 年全国初中数学联合竞赛试卷答案 第 一 试 一.选择题 1. (A) ∵ x 12 ? x 6 ? 1 ? x 6 ( x 6 ? 1) ? 1 ,

∴ 余式为 1. 2. (B) 命题 I 正确,证明如下: ︵ ︵ ︵ ︵ 如图,ABCDE 为圆内接五边形,各内角相等.由 ?A ? ?B ,知BCE=CEA,于是BC=EA. ∴ 同理可证

BC ? EA . BC ? DE ? AB ? CD ? EA .故 ABCDE 是正五边形.

命题 II 不正确,反例如下:如图,ABCD 为圆内接矩形,∠A=∠B=∠C=∠D =90°, AB ? CD , BC ? DA ,但 AB ? BC ,显然,ABCD 满足命题 II 条件,但不是正四边形. 3. (D) 因为 x ? 1 、 x ? 1 分别表示数轴上点 x 到点 1 和点-1 的距离. 因此,当-1≤x≤1 时, y ? x ? 1 ? x ? 1 ? 2 ; 当 x ? ?1 时, y ? x ? 1 ? x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2 ; 当 x ? 1 时, y ? x ? 1 ? x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2 . 而在-1 与 1 之间无穷多个实数 x,故有无穷多个 x 使 y 取到最小值. 4. (C) 给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得

x1 ? x4 ? a1 ? a 2 , x 2 ? x 5 ? a 2 ? a 3 ,

9

x3 ? x1 ? a 3 ? a 4 , x 4 ? x 2 ? a 4 ? a5 , ∵ ∴ 于是有 5. (A) 注意到 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 3x ? 7 ?
( x ? 2)( x ? 1) ? 0, ( x ? 1)( x ? 6) ? 0.

a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a 5 ,

x1 ? x4 , x 2 ? x5 , x3 ? x1 , x4 ? x2 .
x3 ? x1 ? x 4 ? x 2 ? x5 .

( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? x ? 1或x ? 2 .
( x ? 1)( x ? 6) ? 0 ? ?1 ? x ? 6 .

于是原不等式的整数解是介于-1 与 6 之间且不等于 1,2 的整数.即 0,3,4,5 四个整数. 6. (A) 设 ?ABC 的三条高线 AD、 BE、 CF 相交于点 O.因 ?ABC 为钝角三角形, 故其垂心 O 在 ?ABC 的外部(如图). ∵ B、D、F、O 四点共圆, 故 又由题设 知 ∴ 于是 而
?1 ? ?2 .

OA ? BC ,

Rt?OAF ≌ Rt?BCF , OF ? BF , ?BOF ? 45? . ?OBC ? ?OCB ? 180? ? ?BOF ? 135? ,



cos(?OBC ? ?OCB ) ? cos135? ? ?

2 . 2

10

7. (C) 如图,设 O 是 ?ABC 的外心,

OA ? OB ? OC ? R ,
m 1 ? cos ?BOC ? cos A , R 2

∴ 同理 ∴

m ? R cos A . n ? R cos B , p ? R cos C .
m : n : p ? cos A : cos B : cos C .

8. (D)
1 ? 原式 ? 3 3 ( ) 3 (2 3 ? 2 3 ? 1) ?1 9
1 1 2 1

? 1 ? ( 2 3 ) 3 ? 1? ? ? 3? ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 1 ? ?
二、填空题 1.4

?1

? 2 ?1 ? 3 2 ?1.

1 3

3 x 2 ? 6 x ? 5 6 x 2 ? 12 x ? 10 2 2 , ? ? 6? 2 ? 6? 2 1 2 x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 2 ( x ? 1) 2 ? 1 x ? x ?1 2 ∴ 当 2.7 设从左到右小盒里的球数为 7,a2,a3,…,a1993, ∵ ∴ 同理 7 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 30 , a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? 30 , a5 ? 7 . a9 ? a13 ? a17 ? ? ? a 4 k ?1 ? a1993 ? 7 .

x=-1 时,公式取最小值 4.

11

3.

4 7

设 x 2 ? y ,原方程变为 y 2 ? 5 y ? 4 ? k ? 0 .设此方程有根 ? , ? (0 ? ? ? ? ) ,则原方程的四个 根为 ? ? , ? ? .由于它们在数轴上对应的四个点等距排列, ∴ ? ? ? ? ? ? ( ? ? ) ,故 ? ? 9? . 由韦达定理

? ? ? ? 5 ,得

??
于是 ∴ 4.3 如图,BC 为圆的直径,

1 9 ,? ? , 2 2 9 4 ? k ? ?? ? , 4 7 k? . 4

?AEB ? 180? ? ?BEC ? 90? ,

AE 3 ? cos A ? cos 30? ? . AB 2

又 ?ADE ∽ ?ABC , ∴
AD AE 3 ? ? . AC AB 2

由此可知 S ?AED S ?ABC 1 AD ? AE sin A AE 2 3 2 ? ?( ) ? . 1 4 AB AB ? AC sin A 2

因而四边形 DBCE 面积
S2 ? 1 S ?ABC . 4



S1 : S 2 ? 3 .

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第 二 试 一、解法 1 不妨设角 A 是锐角,连接 AH 并延长交 BC 于 D 点.延长 BH、CH 分别交 AC

于 E,交 AB 于 F,如图. ∵ ∴ 因此 ∴ 又
?BHD ? ?AHE , ?HBD ? ?HAE .

Rt?BDH ∽ Rt?ADC
AD DC ? . BD HD BD ? DC ?

1 BC , 2 1 ∴ AD ? HD ? BD ? DC ? BC 2 . 4 1 1 于是 S ?ABC ? S ?HBC ? ( AD ? BC )( HD ? BC ) 2 2 1 ? BC 4 . 16

当∠A≥90°时,同理可证上式也成立,由于 BC 是不变的,所以当 A 点至 BC 的距离变小 时,乘积 S ?ABC ? S ?HBC 保持不变. 解法 2 作图如解法 1,再延长 AD 至 G,使 DG=DH,并分别连接 BG,GC.

由△HBD≌△GBD 知,

?CBG ? ?CBH ? ?CAG .
因而,A,B,G,C 四点共圆.由相交弦定理,得

AD ? HD ? AD ? DG ? BD ? DC 1 ? BC 2 . 4
因此, S ?ABC ? S ?HBC
1 1 ? ( AD ? BC )( HD ? BC ) 2 2 1 ? BC 4 . 16

由于 BC 是不变的.所以当点 A 至 BC 的距离变小时,乘积 S ?ABC ? S ?HBC 保持不变.

13

二、 设 由于

由于 5 2 ? 12 2 ? 13 2 ,知△ABC 是直角三角形.如图. S ?ABC ?

1 ? 5 ? 12 ? 30 , 2

AD ? x , AE ? y ,
S ?ADE ? 1 xy sin A 2

? 15 ,
sin A ? 5 , 13



xy = 78.

由余弦定理知: DE 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos A ? ( x ? y ) 2 ? 2 xy (1 ? cos A)
? ( x ? y ) 2 ? 2 ? 78 ? (1 ? 12 ) 13

? ( x ? y ) 2 ? 12 ≥12, 当 x=y 时,上式的等号成立,此时 DE ? 12 ? 2 3 达到最小值. 三、 (1)假如 x1 ? 0 ,同由 x1 x2 ? 0 ,知 x2 ? 0 ,对于已知两个方程用韦达定理得

x1 ? x2 ? ?b ? ? x'1 x' 2 ,这与已知 x1 x2 ? 0 , x'1 x' 2 ? 0 矛盾.因此 x1 ? 0 , x2 ? 0 .
同理 (2)由韦达定理及

x'1 ? 0 , x' 2 ? 0 . x1 ? 0 , x2 ? 0 ,有

c ? (b ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ≥0,

c≥b-1.
对于方程
x 2 ? cx ? b ? 0 进得同样讨论,得 b≥c-1.

综合以上结果,有 b-1≤c≤b+1. (3)根据(2)的结果可分下列情况讨论:

14

(I)当 c=b+1 时,由韦达定理有 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? 1 从而 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 2 .由于 x1,x2 都是 负整数,故

? x1 ? 1 ? ?1, ? ? x 2 ? 1 ? ?2.
由此算出 b ? 5 , c ? 6 . 经检验

? x ? 1 ? ?2, 或? 1 ? x 2 ? 1 ? ?1.

b ? 5 , c ? 6 符合题意.

(II)当 c=b 时,有 x1 x2 ? ?( x1 ? x2 ) ,从而 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 1 .因此

x1 ? x 2 ? ?2 .故

b ? c ? 4.
经检验

b ? c ? 4 符合题意.
x 2 ? cx ? b ? 0 作(I)类似讨论,得 b ? 6 , c ? 5 .

(III)当 c ? b ? ?1 时, b ? c ? 1 对方程 综上所述得三组值: ?b ? 5 ? ?c ? 6, ?b ? 6 ? ?c ? 5, ?b ? 4 ? ?c ? 4.

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1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8:30—9:30)
本试共两大题,满分80分. 一、选择题(本题满分48分,每小题6分) 本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请 把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、 选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内) ,一律得0分. 1. 若 0 < a< 1 , 則 ? ?
1 ? a 2 D. a 2 ? 1

a2 ?

1 1 1 1? a ? 2 ? (1 ? ) ? 可化簡為 ︰ A. 2 a a 1? a 1? a

B.

a ?1 a ?1

C.

2.

设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A.都不小于0 B.都不大于0 〔答〕( )

C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0 3.

如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA 相切,若BC=2,DA=3,则AB的长 A.等于4 C.等于6 B.等于5 D.不能确定

4.

當x?

1 ? 1994 時,多項式 (4 x 3 ? 1997 x ? 1994) 2001 的值為︰ 2

A.1 5.

B.-1

C.22001

D.-22001

若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的 图形,则共得同旁内角 A.4对 B.8对 C.12对 D.16对

16

6.

若方程式 x ? p ? x 有二個不相同的實根,則實根p的範圍是︰

7.

设 锐 角 三 角 形 ABC 的 三 条 高 AD , BE , CF 相 交 于 H 。 若 BC=a,AC=b,AB=c, 则 AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是

8.

若 a x ? b y ? 19942 (其中a、b是自然數),且有 是︰ A.1001 B.1001,3989

1 1 1 ? ? ,則2a+b的一切可能的取值 x y z
D.1001,1996,3989

C.1001,1996

二、填空题(本题满分32分,每小题8分) 各小题只要求在所给横在线直接填写结果.

3. 在△ABC中, 设AD是高, BE是角平分线, 若BC=6, CA=7, AB=8, 则DE=______. 4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要 有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于 ______.

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第二试

(4月3日上午10:00—11:30)

考生注意:本试共三大题,满分60分. 一、 (本题满分20分) 如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.求 证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

二、 (本题满分20分) 周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在, 请证明共有几个? 三、 (本题满分20分) 某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计. n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15 7 8 10 21 …… 15 6 3 1

做对n个题的人数

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10个题和10个 题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人?

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1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案 一、选择题; 小题号 1 答案 A 2 3 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C

D B

二、填空题:

第二试提示及答案. 一、连结OA,OC,OP,OQ.证明△OCP≌△OAQ,于是 ∠CPO=∠AQO,所以O,A,P,Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

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1995年全国初中数学联赛试题
第一试 一、选择题 1.已知a=355,b=444,c=533,则有[ A.a<b<c B.c<b<a ] D.a<c<b

C.c<a<b

A.1 B.2

C.3

D.4

3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么 实数m的取值范围是

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 [ ] B.63π C.64π D.65π

A.62π

5.设AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|S△CAB-S△
DAB|,N=2S△OAB,则

[

] C.M<N D.M、N的大小关系不确定 ]

A.M>N

B.M=N

6.设实数a、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则[ A.a>0且b>0 C.a>0且b<0 二、填空题 1.在12,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有____个。 B.a<0且b>0 D.a<0且b<0

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4.以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC, 则∠CAB=______.

第二试 一、已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的

圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

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1995年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1.讲解:这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同 指数然后比较底数,本题是化为同指数,有 c=(53)11=12511 <24311=(35)11=a <25611=(44)11=b。选C。 利用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算lga、lgb、lgc也可以,但没有优越性。 2.讲解:这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z=1,进而可求出两个解:(2, 21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组

直接判断:因为x≠y(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支, 选B。 3.讲解:显然,方程的一个根为1,另两根之和为x1+x2=2>1。三根能作为一 个三角形的三边,须且只须|x1-x2|<1又

有0≤4-4m<1.

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4.讲解:四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在且唯一.又由 AB2+AD2 =252+602 =52×(52+122) =52×132 =(32+42)×132 =392+522 =BC2+CD2 故可取BD=65为直径,得周长为65π,选D. 5.讲解:此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,因为有些考生的理由是错 误的. 比如有的考生取AB为直径, 则M=N=0, 于是就选B. 其实, 这只能排除A、 C,

不能排除D. 不失一般性,设CE≥ED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S△ACE-S△ADE=S△AEF

=2S△AOE.同理, S△BCE-S△BDE=2S△BOE.相加,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=N.选 B.

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若过C、D、O分别作AB的垂线(图3) ,CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分别 为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂径分弦定理,知L是EF的中点.根据 课本上做过的一道作业:梯形对角线中点的联机平行底边,并且等于两底差的一半, 有 |CE-DF|=2OL.

即M=N.选B. 6.讲解:取a=-1、b=2可否定A、C、D,选B.一般地,对已知不等式平方, 有 |a|(a+b)>a|a+b|. 显然|a||(a+b)|>0(若等于0,则与上式矛盾) ,有

两边都只能取1或-1,故只有1>-1,即

有a<0且a+b>0,从而b>-a>0.选B. 二、填空题 1. 讲解: 本题虽然以计算为载体, 但首先要有试验观察的能力. 经计算12, 22, …, 102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后,对两位数10a+b,有 (10a+b)2=20a(5a+b)+b2. 其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数,故两位数的平方中,也中有b=4或6 时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,…,95中个位数出现了几次4或6,

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有2×9+1=19. 2.讲解:这类问题一般都先化简后代值,直接把a

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将a2+a作为整体代 入.这里关键是整体代入,抓住这一点,计算可以灵活.比如,由①有

由②-①,得

由③-②并将④代入,得

还可由①得

⑥÷⑤即得所求. 3.讲解:这个题目是将二次函数y=x2-x与反比例函数

25

因而x=1时,y有最小值1. 4.讲解:此题由笔者提供,原题是求sin ∠CAB, 让初中生用代数、 几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、 sin15°. 解

法如下:

与AB2=AB2+AC2 ② 联立,可推出

而式①、③表明,AB、AC是二次方程

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改为求∠CAB之后,思路更宽一些.如,由

第二试 一、讲解:首先指出,本题有IMO29-5(1989年)的背景,该题是:在直角△ABC 中,斜边BC上的高,过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L, △ABC和△AKL的面积分别记为S和T.求证S≥2T.

在这个题目的证明中,要用到AK =AL=AD. 今年的初中联赛题相当于反过来,先给出AK=AL=AD(斜边上的高),再求证KL

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通过△ABD、△ADC的内心(图7) . 其次指出,本题的证法很多,但思路主要有两个:其一,连FC、FD、FE,然后证 其中两个为相应的角平分线;其二是过F作三边的垂线,然后证明其中两条垂线段相 等.下面是几个有代表性的证法.

证法1:如图6,连DF,则由已知,有

连BD、CF,由CD=CB,知 ∠FBD=∠CBD-45° =∠CDB-45°=∠FDB, 得FB=FD,即F到B、D和距离相等,F在线段BD的垂直平分在线,从而也在等腰 三角形CBD的顶角平分在线,CF是∠ECD的平分线. 由于F是△CDE上两条角平分线的交点,因而就是△CDE的内心. 证法2: 同证法1, 得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后, 由于∠ABC=∠FDE, 故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得 ∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分线. 本来,点E的信息很少,证EF为角平分线应该是比较难的,但四点共圆把许多已知 信息集中并转移到E上来了,因而证法2并不比证法1复杂. 由这个证明可知,F是△DCB的外心.

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证法4: 如图8, 只证CF为∠DCE的平分线. 由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2, ∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1 =45°+∠1 得∠1=∠2. 从而∠DCF=∠GCF, 得CF为∠DCE的平分线. 证法5:首先DF是∠CDE的平分线,故 △CDE的外心I在直线DF上.

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系,并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次函 数 y=-x+d ① 的图像(图9) .若记内心I的坐标为(x1,y1) ,则 x1+y1=CH+IH

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=CH+HB=CB=d 满足①,即I在直线AB上,但I在DF上,故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性知I就是 F,从而证得F为Rt△CDE的内心. 还可延长ED交⊙O于P1,而CP为直径来证. 二、讲解:此题的原型由笔者提供.题目是:

于第一象限内,纵坐标小于横坐标的格点. 这个题目的实质是解不等式

求正整数解.直接解,数字较繁.但有巧法,由

及1≤y<x, 知1+2+…+(x-1)<1995<1+2+…+x. 但1953=1+2+…+62<1995<1+2+…+62+63=2016,得x=63,从而y=21, 所求的格点为(21,63). 经过命题组的修改之后,数据更整齐且便于直接计算.

有x2-x+18≤10|x|. 当x≥0时,有x2-11x+18≤0, 得2≤x≤9,代入二次函数,得合乎条件的4个整点:(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 当x<0时,有 x2+9x+18≤0,

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得-6≤x≤-3,代入二次函数,得合乎条件的2个整点: (-6,6),(-3,3).

对x≥0,取x=2,4,7,9,12,14,…顺次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),且 当x>9时,由

对x<0,取x=-1,-3,-6,-8,…顺次代入,得(-3,3)、(-6,6),且当x<-6时,由

知y>-x,再无满足y≤|x|的解. 故一共有6个整点,图示略. 解法3:先找满足条件y=|x|的整点,即分别解方程 x2-11x+18=0 x2+9x+18=0 ② 可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3). 再找满足y<|x|的整点,这时 2<x<9或-6<x<-3, 依次检验得(4,3)、(7,6).故共有6个整点. 三、讲解:直观上可以这样看,当n>6时,在2,3,…,n-2中,必有一个数A与n互 质(2≤A≤n-2),记 B=n-A≥2, ①

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有n=A+B. 此时,A与B必互质,否则A与B有公约数d>1,则d也是n的约数,从而A与n有大 于1的公约数,与A、n互质矛盾. 但是, 对于初中生来说, 这个A的存在性有点抽象, 下面分情况, 把它具体找出来. (1)当n为奇数时,有 n=2+(n-2),

(2)当n为偶数,但不是4的倍数时,有

(3)当n为偶数,且又是4的倍数时,有

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1996年全国初中数学联赛试题
第一试 一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

A.M>N

B.M=N

C.M<N

D.不确定

A.有一组

B.有二组

C.多于二组

D.不存在

3.如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦 BC∥OA,链接AC,则阴影部分的面积等于 [ ]

4 . 设 x1 、 x2 是 二 次 方 程 x2+x?3=0 的 两 个 根 , 那 么 x13?4x22+19 的 值 等 于 [ ] A.?4 B.8 C.6 D.0

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角 形的 [ ] B.外心 C.重心 D.垂心

A.内心

6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的 个数有 [ ]

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A.4个 B.8个

C.12个 D.24个

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,则点N到边

BC的距离等于______. 3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且

4.如图,将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D' 的位置,则这两个正方形重迭部分的面积是______.

第二试 一、 (本题满分20分) 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙 班的9个男人和n个女生的捐款总数相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的 捐款数相同,且都是整数元,求每人的捐款数.

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二、 (本题满分25分) 设凸四边形ABCD的对角线AC、 BD的交点为M, 过点M作AD的并行线分别交AB、 CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图 所示) ,求证:∠OPF=∠OEP.

三、 (本题满分25分) 已知a、b、c都是正整数,且拋物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B, 若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.

1996年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1.B 2.A 3.B 6.C

4.D 5.A 二、填空题

第二试

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一、 解 据 题 意 m+11=n+9 , 且 整 除 mn+9m+11n+145 , 而

mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得

综上可知,每人捐款数为25元或47元. 二、 证 作AD、BO的延长线相交于G,∵OE

三、 解 据题意,方程ax2+bx+c=0有两个相异根,都在(?1,0)中,故

经检验,符合题意,∴a+b+c=11最小.

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1997年全国初中数学联赛试题
第一试
一.选择题 本题共有 6 小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个 答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是 1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3) a 2 的平方根是 ? a ; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1 个 (B)2 个; (C)3 个; (D)4 个. 答( 2.已知 )

4 3? 2

?x?

4 5? 3

,那么满足上述不等式的整数 x 的个数是 答( )

(A)4;

(B)5;

(C)6;

(D)7. 答( )

3.若实数 a, b, c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 9 ,代数式 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( 4.给定平面上 n 个点,已知 1,2,4,8,16,32 都是其中两点之间的距离,那么点数 n 的最小可能值是 )

(A)4;

(B)5;

(C)6;

(D)7.

答(

)

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5.在梯形 ABCD 中, AD ? DC , ?B ? 30 0 , ?C ? 60 0 ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知

BC=7,MN=3,则 EF 之值为

(A)4

(B) 4

1 2

(C)5;

(D)6.

答(

)

6.如图,已知 ?A ? ?B , AA1 , PP1 , BB1 均垂直于 A1 B1 , AA1 ? 17 , PP 1 ? 16 , BB 1 ? 20 , A 1 B1 ? 12 ,则

AP+PB 等于
(A)12; (B)13; (C)14; (D)15.

二、填空题
1. 从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为 1,3,5,则这个等边三 角形的面积是 2. 3. 4. . .

当 a 取遍 0 到 5 的所有实数值时,满足 3b ? a (3a ? 8) 的整数 b 的个数是 若 a , b 满足 3 a ? 5 b ? 7 ,则 S ? 2 2 ? 3 b 的取值范围是 若正整数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1997 ,则 x ? y 等于___________. .

第二试
(一) 设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点, PE 垂直 AC 于点 F, PF 垂直 BC 于点 F, PG 垂直 EF 于点 G, 延长 GP 并在其延长线上取一点 D, 使得 PD=PC,试证: BC?BD ,且

BC=BD.

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(二) 已知 a, b 为整数,且 a ? b ,方程 3 x 2 ? 3(a ? b) x ? 4ab ? 0 的两个根 ? , ? 满足关系式

? (? ? 1) ? ? ( ? ? 1) ? (? ? 1)( ? ? 1)
试求所有的整数点对( a, b ).

(三) 已知定理:“若三个大于 3 的质数, a, b, c 满足关系式 2a ? 5b ? c ,则 a ? b ? c 是整数 n 的倍

数”.试问:上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.

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一九九八年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、 填空题
1.设 m ? 5 ? 1 ,那么 m ?
1 的整数部分是 m

.

2.在直角三角形 ABC 中,两条直角边 AB,AC 的长分别为 1 厘米,2 厘米,那么直角的角平分 线的长度等于 厘米. .

3.已知 x 3 ? x ? 1 ? 0 ,那么代数式 x 3 ? 2 x ? 1 的值是

4. 已 知 m , n 是 有 理 数 , 并 且 方 程 x 2 ? mx ? n ? 0 有 一 个 根 是 5 ? 2 , 那 么 m ? n 的 值 是 . 5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F,G 在同一条直线上,并且 AE=5 厘米,EF=3 厘米,那么 FG= 厘米.

6.满足 19982+ m 2 =19972+ n 2 (0 ? m ? n ? 1998) 的整数对 ( m, n) ,共有 7.设平方数 y 2 是 11 个相继整数的平方和,则 y 的最小值是 .

个.

8.直角三角形 ABC 中,直角边 AB 上有一点 M,斜边 BC 上有一点 P, 已知 MP?BC , ?BMP 的 面积等于四边形 MPCA 的面积的一半, BP=2 厘米, PC=3 厘米,那么直角三角形 ABC 的面积是 __________平方厘米.

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9.已知正方形 ABCD 的面积 35 平方厘米, E, F 分别为边 AB, BC 上的点, AF, CE 相交于点

G,并且 ?ABF 的面积为 5 平方厘米, ?BCE 的面积为 14 平方厘米,那么四边
形 BEGF 的面积是____________平方厘米.

10.把 100 个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有 __________人. 11.设 ( a, b) 为实数,那么 a 2 ? ab ? b 2 ? a ? 2b 的最小值是__________. 12. 1, 2, 3,98 共 98 个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______. 13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么 A 与 B 乘积的 最大值是____________. 14.直线 AB 和 AC 与圆 O 分别为相切于 B,C 两点,P 为圆上一点,P 到 AB,AC 的距离分别为 4 厘米,6 厘米,那么 P 到 BC 的距离为 厘米.

15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中 A B C D E F G H I 由九个数字 排列而成,J 是检查号码.令 S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,

r 是 S 除以 11 所得的余数,若 r 不等于 0 或 1,则规定 J=11-r.(若 r=0,则规定 J=0;若 r=1,
规定 J 用 x 表示) 现有一本书的书号是 962 y 707015,那么 y = .

第二试
1. 求所有正实数 a ,使得方程 x 3 ? ax ? 4a ? 0 仅有整数根. 2. 已知 P 为?ABCD 内一点,O 为 AC 与 BD 的交点,M、N 分别为 PB,PC 的中点,Q 为 AN

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与 DM 的交点,求证: (1) P,Q,O 三点在一条直线上; (2) PQ=2OQ.

3.试写出 5 个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

一 九 九 八 年
第 一 试
1. 3 m ? 5 ?1, 1 1 5 ?1 ? ? , m 4 5 ?1



m?

1 5 3 ? 1? ? 5 ? , ?m ? ? ? 3 . m 4 4 ? m?

2.

2 2 3

如图, AD 为直角 A 的平分线, 过 B 作 BE // DA 交 CA 的延长线于点 E. ?EBA ? ?BAD ? 45? ,
AE ? AB ? 1 , EB ? 2 ,又 ?CDA ∽ ?CBE ,

AD AC 2 2 2 2 ? ? ,∴ AD ? EB ? . EB CE 3 3 3

3.2 x 3 ? 2 x ? 1 ? ( x 3 ? x 2 ? x ) ? ( x 2 ? x ? 1) ? 2 ? x( x 2 ? x ? 1) ? ( x 2 ? x ? 1) ? 2 ? 2 . 4.3 因为 m、n 为有理数,方程一根为 5 ? 2 ,那么另一个根为 ? 5 ? 2 ,由韦达定理.

42



m ? 4 , n ? ?1 ,∴ m ? n ? 3 .
5.
16 3 AE BE EG EF ? FG ? ? ? , EF ED AE AE

由原图 ∴

FG ?

AE 2 ? EF EF

52 16 ? ? 3 ? (厘米). 3 3
6.16
n 2 ? m 2 ? 3995 ? 5 ? 17 ? 47 , ( n ? m)( n ? m) ? 5 ? 17 ? 47 .

显 然 , 对 3995 的 任 意 整 数 分 拆 均 可 得 到 (m,n) , 故 满 足 条 件 的 整 数 对 (m,n) 共

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 16 (个).
7.11 11 个相继整数的平方和为 ( x ? 5) 2 ? ( x ? 4) 2 ? ? ? x 2 ? ? ? ( x ? 4) 2 ? ( x ? 5) 2 ? 11( x 2 ? 10) ? y 2 , 则 y 最小时,从而 x 2 ? 1 ,∴ y ? 11 . 8. 39 ∵
?MBP ∽ ?CBA ,

S ?MBP : S ?CBA ? 1 : 3 , BP : BA ? 1 : 3 , ∴ BA ? 2 3 , AC ? 13 .
S ?ABC ? 1 ? 2 3 ? 13 ? 39 . 2

43

9. 4 ∵

20 27

BF S ?ABF 2 BE 4 ? ? ,同理 ? , BC S ?ABC 7 BA 5

由原图,连 BG. 记 S ?AGE ? a , S ?EGB ? b , S ?BGF ? c , S ?EGc ? d . 又由已知 解之得 ∴
S BEGF

a ? b ? c ? 5 , b ? c ? d ? 14 ,
28 100 , c? . 27 27 128 20 ?b?c? ? 4 (平方厘米) . 27 27 b?

10.13 由题意,设有 n 人,分苹果数分别为 1,2,…,n
1? 2 ? 3 ??? n ? n( n ? 1) ≤100, 2

∴ n≤13,所以至多有 13 人. 11.-1
a 2 ? ab ? b 2 ? a ? 2b

? a 2 ? (b ? 1)a ? b 2 ? 2b
b ?1 2 3 2 3 1 ) ? b ? b? 2 4 2 4 b ?1 2 3 ? (a ? ) ? (b ? 1) 2 ? 1 ≥-1. 2 4 b ?1 a? ? 0 , b ?1 ? 0 , 2 ? (a ?

当 即

a ? 0 , b ? 1 时,上式不等式中等号成立,故所求最小值为-1.

12.73 对 (1≤m<n≤98 x ? n 2 ? m 2 ? (n ? m)(n ? m)

m,n 为整数)

因为 n+m 与 n-m 同奇同偶,所以 x 是奇数或是 4 的倍数,所以 1 至 98 共 98 个自然数

44

中,满足条件的数有 49+24=73 个. 13.15 设算式 a c f B 显然:g=1,d=9,h=0. a+c+f=10+B b+e=9+A

+
g

d h

b e A



A≤6.
2( A ? B ) ? 19 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 35 .



A ? B ? 8.

欲令 A·B 最大,取 A=5,B=3,此时 b,e 为 6,8;a,c,f 为 2,4,7,故 A·B 最大值为 15. 14. 2 6 如图, PM ?AB , PN?AC , PQ?BC .P,Q,C,N 四点共圆,P,Q,B,N 四点共圆,
?MPQ ? 180? ? ?MBQ ? ?180? ? ?NCQ ? ?NPQ , ?MQP ? ?MBP ? ?BCP ? ?QNP ,



?MPQ ∽ ?QPN ,

MP PQ ? , PQ NP
PQ ? MP ? NP ? 2 6 (厘米).

15.7
S ? 9 ? 10 ? 6 ? 9 ? 2 ? 8 ? y ? 7 ? 7 ? 6 ? 0 ? 5 ? 7 ? 4 ? 0 ? 3 ? 1 ? 2

∴ S 被 11 除所得的余数等于 7 y ? 1 被 11 除所得的余数.由检查号码可知,S 被 11 除所

45

得的余数是 11-5=6,因此 7y 被 11 除所得余数为 6-1=5, ∴y=7

第 二 试
一、设两整数根为 x,y(x≤y), ? x ? y ? a ? 0, 则? ? xy ? 4a ? 0
a ≤y≤a,4≤x≤8.可推出 x ? 4 , 2



a?

x2 ,由于 x 为整数, x?4



x ? 5 时, a ? 25 , y ? 20 ;

x ? 6 时, a ? 18 , y ? 12 ;

x ? 7 时,a 不是整数; x ? 8 时, a ? 16 , y ? 8 .
于是 a ? 25 或 18 或 16 均为所求. 说明 没有说明理由,仅指出 a 的每一个正确值给 4 分. 如原图,连 PO,设 PO 与 AN,DM 分别交于点 Q ' , Q ' ' .

二、证明

在 ?PAC 中,∵ AO ? OC , PN ? NC , ∴ Q ' 为重心, PQ ' ? 2OQ ' 在 ?PDB 中,∵ DO ? BO , BM ? MP , ∴ Q ' ' 为重心, PQ ' ' ? 2OQ' ' 这样 Q' ? Q ' ' , 并且 Q ' , Q ' ' 就是 AN, DM 的交点 Q.故 P,Q,O 在一条直线上, 且 PQ ? 2OQ . 三、1680,1692,1694,1695,1696 为满足条件的 5 个数(注:答案不唯一) 以上 5 个数可用以下步骤找出: 第一步:2,3,4 为满足要求的三个数. 第二步:设 a,a+2,a+3,a+4 为满足条件的四个数,则 a 可被 2,3,4 整除.取 a=12,得满足

46

条件的四个数 12,14,15,16. 第三步:设 b,b+12,b+14,b+15,b+16.取 12,14,15,16 的最小公倍数为 b.即 b=1680,得 满足条件的五个数 1680,1692,1694,1695,1696.

47

1998 年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题: (每小题 6 分,共 30 分) 1、已知 a、b、c 都是实数,并且 a ? b ? c ,那么下列式子中正确的是( (A) ab ? bc (B) a ? b ? b ? c (C) a ? b ? b ? c (D) )

c b ? a c


2、如果方程 x 2 ? px ? 1 ? 0? p ? 0 ? 的两根之差是 1,那么 p 的值为( (A)2(B)4(C) 3 (D) 5

3、在△ABC 中,已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线,并且 BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC 的面积等 于( )

(A)12(B)14(C)16(D)18 4、已知 abc ? 0 ,并且

a?b b?c c?a ? ? ? p ,那么直线 y ? px ? p 一定通过第( c a b

)象限

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四

5、如果不等式组 ? b)共有( )

?9 x ? a ? 0 的整数解仅为 1,2,3,那么适合这个不等式组的整数 a、b 的有序数对(a、 ?8 x ? b ? 0

(A)17 个(B)64 个(C)72 个(D)81 个 二、填空题: (每小题 6 分,共 30 分) 6、在矩形 ABCD 中,已知两邻边 AD=12,AB=5,P 是 AD 边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F 分 别是垂足,那么 PE+PF=___________。 7、已知直线 y ? ?2 x ? 3 与拋物线 y ? x 2 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积等于 ___________。 8、已知圆环内直径为 acm,外直径为 bcm,将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这 条锁链拉直后的长度为___________cm。

48

9、已知方程 a 2 x 2 ? 3a 2 ? 8a x ? 2a 2 ? 13a ? 15 ? 0 (其中 a 是非负整数) ,至少有一个整数根,那么 a=___________。 10、B 船在 A 船的西偏北 450 处,两船相距10 2 km,若 A 船向西航行,B 船同时向南航行,且 B 船的速 度为 A 船速度的 2 倍,那么 A、B 两船的最近距离是___________km。 三、解答题: (每小题 20 分,共 60 分) 11、如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=1,∠A=90 ,点 E 为腰 AC 中点,点 F 在
B F C A E

?

?

0

底边 BC 上,且 FE⊥BE,求△CEF 的面积。

12、设拋物线 y ? x ? ?2a ? 1?x ? 2a ?
2

5 18 ?6 的图像与 x 轴只有一个交点, (1)求 a 的值; (2)求 a ? 323a 4

的值。 13、A 市、B 市和 C 市有某种机器 10 台、10 台、8 台,现在决定把这些机器支持给 D 市 18 台,E 市 10 台。已知:从 A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 200 元和 800 元;从 B 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 300 元和 700 元;从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元。 (1)设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市,当 28 台机器调运完毕后,求总运费 W(元)关于 x(台)的函数 关系式,并求 W 的最大值和最小值。 (2) 设从 A 市调 x 台到 D 市, B 市调 y 台到 D 市, 当 28 台机器调运完毕后, 用 x、 y 表示总运费 W (元) , 并求 W 的最大值和最小值。

1998 年全国初中数学赛参考答案

一、选择题 1.B

49

根据不等式性质. 2.D 由△=p2-4>0及p>2,设x1,x2为方程的两根,那么有x1+x2=-p,x1x2=l.又由 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, 得l2=(-p)2-4.∴p2=5, p= 5 (p>2).故选D. 3.C 如图连ED,

又∵DE是△ABC两边中点联机.

故选C. 4.B

得 2(a+b+c)=p(a+b+c). ∴有p=2或a+b+c=0. 当p=2时,y=2x+2.则直线通过第一、二、三象限. 当a+b+c=0时,不妨取a+b=-c,于是

∴y=-x-1,则直线通过第二、三、四象限. 综合上述两种情况,直线一定通过第二、三象限,故选B.

50

5.C

在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间,如下图

∴a=1,2,3…9,共9个.

∴b=3×8+1,3×8+2,3×8+3,…,3×8+8.共8个. ∵9×8=72(个) ,故选C.

二、填空题 6.解 如图,过A作AG⊥BD于G,

∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高” . ∴PE+PF=AG. ∵AD=12,AB=5, ∴BD=13.

7.解

如图,直线y=-2x+3与拋物线y=x2的交点坐标为A(1,1),B(-3,9),作AA1,BB1

51

分别垂直于x轴,垂足为A1,B1,

∴S△OAB=S梯形AA B B-S△AA O-S△BB O 1 1 1 1

8. 解 如图, 当圆环为3个时, 链长为3a+

故a可取1,3或5. 10.解 如图,设经过t小时后,A船、B船分别航行到A1,B1,设AA1=x,于是BB1=2x.

∴A1C=|10-x|,B1C=|10-2x|.

三、解答题 11.解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D,

∵∠ABE+∠AEB=90°, ∠CED+∠AEB=90°, ∴∠ABE=∠CED. 于是Rt△ABE∽△CED,

52

又∠ECF=∠DCF=45°,所以,CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等.

解法2 作FH⊥CE于H,设FH=h. ∵∠ABE+∠AEB=90°, ∠FEH+∠AEB=90°, ∴∠ABE=∠FEH. ∴Rt△EHF∽Rt△BAE.

即EH=2h, 又∵HC=FH,

12.解(1)因为拋物线与x轴只有一个交点,所以一元二次方程

(2)由(1)知,a2=a+1,反复利用此式可得

53

a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2, a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13, a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610. a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597.

∵a2-a-1=0,∴64a2-64a-65=-1, 即 (8a+5)(8a-13)=-1.

∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796. 13.解(1)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分x,x,18-2x,发往E市的机器台 数分别为10-x,10-x,2x-10.于是 W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200.

∴5≤x≤9. ∴W=-800x+17200(5≤x≤9,x是整数) 由上式可知,W是随着x的增加而减少的,所以当x=9时,W取到最小值10000元;当x=5时, W取到最大值13200元. (2)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数 分别是10-x,10-y,x+y-10,于是 W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200

54

∴W=-500x-300y+17200,

W=-200x-300(x+y)+17200 ≥-200×10-300×18+17200=9800. 当x=10,y=8时,W=9800.所以,W的最小值为9800. 又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200. 当x=0,y=10时,W=14200,所以,W的最大值为14200.

55

1999 年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.每小题均给出了代号为 A,B, C,D 的四个结论, 其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里) 1.一个凸 n 边形的内角和小于 1999°,那么 n 的最大值是( A.11 B.12 C.13 D.14 2.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过 60 立方米,按每立方米 0.8 元收费;如果 超过 60 立方米,超过部分按每立方米 1.2 元收费.已知某用户 4 月份的煤气费平均每立方米 0.88 元,那 么 4 月份该用户应交煤气费( ) . A.60 元 B.66 元 C.75 元 D.78 元 ) .

3.已知

,那么代数式

的值为( ) .

A.

5 5 B.- C.- 5 D. 5 2 2

4.在三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的一点,已知 AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形 ABC 的面积是( ) .

A.30 B.36 C.72 D.125 5.如果拋物线 y=x2-(k-1)x-k-1 与 x 轴的交点为 A,B,项点为 C,那么三角形 ABC 的面积的最小值 是( ) . A.1 B.2 C.3 D.4 6.在正五边形 ABCDE 所在的平面内能找到点 P,使得△PCD 与△BCD 的面积相等,并且△ABP 为等腰 三角形,这样的不同的点 P 的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 ) .

56

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)

7.已知

,那么 x2 + y2 的值为



8. 如图 1, 正方形 ABCD 的边长为 10cm, 点 E 在边 CB 的延长线上, 且 EB=10cm,点 P 在边 DC 上运动,EP 与 AB 的交点为 F.设 DP=xcm, △EFB 与四边形 AFPD 的面积和为 ycm2,那么,y 与 x 之间的函数关系式 是 (0<x<10) .

9.已知 ab≠0,a2 + ab-2b2 = 0,那么

的值为



10.如图 2,已知边长为 1 的正方形 OABC 在直角坐标系中,A,B 两点在第Ⅰ象限 内,OA 与 x 轴的夹角为 30°,那么点 B 的坐标是 .

11.设有一个边长为 1 的正三角形,记作 A1(如图 3) ,将 A1 的每条边三等分,在中间的线段上向形 外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作 A2(如图 4) ;将 A2 的每条边三等分,并重复上述过 程,所得到的图形记作 A3(如图 5) ;再将 A3 的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作 A4, 那么 A4 的周长是 .

57

12.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等.如果用两台抽水机抽 水,40 分钟可抽完;如果用 4 台抽水机抽水,16 分钟可抽完.如果要在 10 分钟内抽完水,那么至少需要 抽水机 台.

三、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分)

13.设实数 s,t 分别满足 19s2 + 99s + 1 = 0,t2 + 99t + 19 = 0,并且 st≠1,求

的值.

14.如图 6,已知四边形 ABCD 内接于直径为 3 的圆 O,对角线 AC 是直径,对角线 AC 和 BD 的交 点是 P,AB=BD,且 PC=0.6,求四边形 ABCD 的周长.

58

15.有人编了一个程序:从 1 开始,交错地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是 乘法) 每次加法, 将上次的运算结果加 2 或加 3; 每次乘法, 将上次的运算结果乘 2 或乘 3. 例 如,30 可以这样得到:

. (1) (10 分)证明:可以得到 22; (2) (10 分)证明:可以得到 2100 + 297-2.

1999 年全国初中数学竞赛答案

一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D 选择题 1.解 因为凸n边形的内角和为(n?2)·180°,所以(n?2)·180°<1999°,n?2<12,n<14. 又凸13边形的内角和为 (13?2)×180°=1980°<1999°, 故n的最大值是13.答(C) . 2.解 因为0.88>0.8,所以这用户4月份用的煤气超过60立方米.设用了x立方米,那么 60×0.8+1.2(x?60)=0.88x, ∴x=75,75×0.88=66(元) .答(B) .

59

4. 解 如图, 过点C作CH⊥AD于H, 因为△ACD是等腰三角形, 所以, 在直角三角形ACH中, AC=5,AH=3.于是CH=4.

答: (B) .

5.解

首先,△=(k?1)2+4(k+1)=k2+2k+5=(k+1)2+4>0,所以对于任意的k值,拋物线

与x轴总有两个交点,设拋物线与x轴的交点的横坐标为x1,x2,那么

6.解

如图,点P只能在直线l1(即直线BE)与直线l2上,其中l2与直线CD的距离等于l1与

直线CD的距离,所以,等腰三角形PAB中,AB为底边时,AB的垂直平分线与l1交于P1,与l2交于 P2. 等腰三角形PAB中,PA为底边时,以B为圆心,BA为半径在直线l1上可截得点P3、P4.等腰 三角形PAB中,PB为底边时,点E符合条件. 所以,共有 P1,P2,P3,P4,E 五个点符合条件.答: (D) .

60

二、7.10 8.y = 5x + 50 9. 填空题

10.

11.

12.6

8.解 由DP=x得

9.解 由a2+ab?2b2=0得a=b或a=?2b,

10.解

作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,AF⊥BE于F.易知 △AFB≌△ADO,

∴FB=OD,FA=ED=DA. 因为OA=1,∠DOA=30°,

11.解

从A1开始,每进行一次操作,所得

61

12.解 设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米,管涌每分钟涌出的水量为b立方米, 又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米(c≠0),由条件可得

如果要在10分钟内抽完水,至水需要抽水机的台数为

三、13.解:∵s≠0,∴第一个等式可以变形为:

. 又∵st≠1,



,t 是一元二次方程 x2 + 99x + 19 = 0 的两个不同的实根,于是,有

. 即 st + 1 =-99s,t = 19s.





14.解:设圆心为 O,连接 BO 并延长交 AD 于 H. ∵AB=BD,O 是圆心,

62

∴BH⊥AD. 又∵∠ADC=90°, ∴BH∥CD. 从而△OPB∽△CPD.

, ∴CD=1. 于是 AD= .

又 OH= AB= BC=

CD=

,于是 , . .

所以,四边形 ABCD 的周长为

15.证明: (1) . 也可以倒过来考虑: . (或者 . )

(2)

63

. 或倒过来考虑:

. 注意:加法与乘法必须是交错的,否则不能得分.

64

1999 年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试 (4 月 4 日上午 8:30--9:30)

考生注意:本试两大题共 10 道小题,每题 7 分。全卷满分 70 分。

一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分)

本题共有 6 个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个 是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 7 分;不选、 选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得 0 分。

1、计算

的值是( )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

2、△ABC 的周长是 24,M 是 AB 的中点,MC=MA=5,则△ABC 的面积是( )。

(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

3、设 则有一组

,将一次函数



的图像画在同一平面直角坐标系内,

的取值,使得下列 4 个图中的一个为正确的是( )。

65

4、 若函数 100 这 100 个自然数时,函数值的和是( )。

, 则当自变量

取 1、 2、 3、 …、

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。

5、如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点 P 在线段 AD 上,则满足条件∠BPC=90°的点 P 的个数为( )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于 3 的整数。

6、有下列三个命题:(甲)若

是不相等的无理数,则

是无理数;(乙)



是不相等的无理数,则

是无理数;(丙)若

是不相等的无理数,则

是无理数。其中正确命题的个数是( )。

66

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分)

本题共有 4 道小题,要求直接把答案写在横在线。

1、已知



,则

=________。

2、如图,在△ABC 中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB 的平分线交 BC 于 M,△ABC 的外接 圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N,则△ANM 的最小角等于________。

3、已知 ________。

为整数,且满足

,则



4、在正方形 ABCD 中,N 是 DC 的中点,M 是 AD 上异于 D 的点,且∠NMB=∠MBC,则 tg∠ABM=________。

67

=============== =============== ===============

第二试 (4 月 4 日上午 10:00--11:30)

考生注意:本试三大题,第一题 20 分,第二、三题各 25 分,全卷满分 70 分。

一、(本题满分 20 分)

某班参加一次智力竞赛,共 分,题 、题

三题,每题或者得满分或者得 0 分。其中题

满分 20

满分分别为 25 分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有 的人数与答对题 的人数之和为 29, 答对题 的人数之和为 20,问这个

1 人, 答对其中两道题的有 15 人, 答对题 的人数与答对题

的人数之和为 25,答对题

的人数与答对题

班的平均成绩是多少分?

二、(本题满分 25 分)

如图,设△ABC 是直角三角形,点 D 在斜边 BC 上,BD=4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相 交于 F,与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证:AD⊥BF。

68

三、(本题满分 25 分)

已知

为整数, 方程

的两根都大于-1 且小于 0, 求



的值。

=============== =============== ===============

第一试参考答案

一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分)

本题共有 6 个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个 是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 7 分;不选、 选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得 0 分。

1、计算

的值是( D )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

解:原式=



2、△ABC 的周长是 24,M 是 AB 的中点,MC=MA=5,则△ABC 的面积是( C )。

69

(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

解: ∵MA=MB=MC=5, ∴∠ACB=90°, 已知周长是 24, 则 AC+BC=14, AC2+BC2=102。

2 ∴2AC×BC= (AC+BC) - (AC2+BC2) =142-102=4×24。 ∴



3、设 则有一组

,将一次函数



的图像画在同一平面直角坐标系内,

的取值,使得下列 4 个图中的一个为正确的是( B )。

解: 由方程组

的解知两直线的交点为

, 而图 A 中交点横坐标是负数, ,小于

故图 A 不对;图 C 中交点横坐标是 2≠1,故图 C 不对;图 D 中交点纵坐标是大于 的数,不等于 ,故图 D 不对;故选 B。

4、 若函数 100 这 100 个自然数时,函数值的和是( B )。

, 则当自变量

取 1、 2、 3、 …、

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。

70

解:

当 。∴当自变量

时, 取 2、3、…、98 时,函数值都 ,故所求的和为:

为 0。而当

取 1、99、100 时,



5、如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点 P 在线段 AD 上,则满足条件∠BPC=90°的点 P 的个数为( C )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于 3 的整数。

解:AD 的中点 M 对 BC 张成 90°角,又在 AD 上取点 N 使 AN=998,则 ND=1001。由△ ABN 和△DCN 都为等腰三角形推知∠BNC=90°,注意到以 BC 为直径的圆与 AD 至多有两个 交点,可知所求点的个数为 2。

6、有下列三个命题:(甲)若

是不相等的无理数,则

是无理数;(乙)



是不相等的无理数,则

是无理数;(丙)若

是不相等的无理数,则

是无理数。其中正确命题的个数是( A )。 (A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

71

解: ,则 为有理数,故(甲)不对;又若令

,只要令 ,

, ,



为有理数,故(乙)不对;又若令

,则

为有

理数,故(丙)不对;故正确命题个数是 0,应选(A)。

二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分)

本题共有 4 道小题,要求直接把答案写在横在线。

1、已知



,则

= 2 。

解:

,即 , ,









2、如图,在△ABC 中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB 的平分线交 BC 于 M,△ABC 的外接 圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N,则△ANM 的最小角等于 44° 。

72

解:∵∠B=36°,∠ACB=128°,AM 为∠CAB 的平分线,∴∠CAM=∠MAB=

,∵∠AMC=44°。又 AN 为切线,∴∠NAC=∠B=36°,∠ NAM=44°,∴∠N=180°-44°-44°=92°,∴△ANM 的最小角为 44°。

3、已知

为整数,且满足

,则

= 3 。

解:左边=

,即



,而

为整数,且不相

等,

只可能取值



。 不妨设

, 则





,∵(2)无整数解,由(1)得





4、在正方形 ABCD 中,N 是 DC 的中点,M 是 AD 上异于 D 的点,且∠NMB=∠MBC,则

tg∠ABM=



解:延长 MN 交 BC 的延长线于 T,设 MB 的中点为 O,连 TO,则△BAM∽△TOB,∴

73

, 即 BM= ,BT=

。 令 DN=1, CT=MD= ,代入(1)式得

, 则 AM= ,



注意到

,解得



=============== =============== ===============

第二试参考答案

一、(本题满分 20 分)

某班参加一次智力竞赛,共 分,题 、题

三题,每题或者得满分或者得 0 分。其中题

满分 20

满分分别为 25 分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有 的人数与答对题 的人数之和为 29, 答对题 的人数之和为 20,问这个

1 人, 答对其中两道题的有 15 人, 答对题 的人数与答对题

的人数之和为 25,答对题

的人数与答对题

班的平均成绩是多少分?

解:设

分别表示答对题

、题

、题

的人数,则有





,∴答对一题的人数为 37-1×3-2×15=4,全班人

数为 1+4+15=20,∴平均成绩为



74

答:班平均成绩为 42 分。

二、(本题满分 25 分)

如图,设△ABC 是直角三角形,点 D 在斜边 BC 上,BD=4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相 交于 F,与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证:AD⊥BF。

证:作 DE⊥AC 于 E,则 AC=

AE,AG=

ED。由切割线定理有:AG2=AF·AC,



ED2=AF·

AE, ∴5ED2=AF·AE, ∴AB·ED=AF·AE, ∴

, ∴△BAF∽△AED,

∴∠ABF=∠EAD,而∠EAD+∠DAB=90°,∴∠ABF+∠DAB=90°,∴AD⊥BF。

三、(本题满分 25 分)

已知

为整数, 方程

的两根都大于-1 且小于 0, 求



的值。

解:根据函数 , ∴

的图像和题设条件知:当 … ①; 当 时,

时, , ∴ …

②。拋物线顶点的横坐标

满足

,∴

… ③。

75

∵ 若

, 即 ,则由②、④得

, ∴ 且

… ④, 由①、 ③、 ④得 ,得 ;





,则



,无整数解;



,则



,无整数解;



,则



,无整数解;故所求

的值为

76

2000 年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题(只有一个结论正确)

1、设

的平均数为 M,

的平均数为 N,N, 的平均数为 P,若

,则

M 与 P 的大小关系是( )。

(A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。

答: (B) 。 ∵M=

, N=

, P=

, M-P=





,∴



,即 M-P>0,即 M>P。

2、 某人骑车沿直线旅行, 先前进了 再前进

千米, 休息了一段时间, 又原路返回

千米 (

) ,

千米,则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是( )。

答:(C)。因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后 S 的变化,但 没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C)正确地表述了 题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙 10 岁;乙是甲现在的年龄时,甲 25 岁,那么( )。

77

(A)甲比乙大 5 岁;(B)甲比乙大 10 岁;(C)乙比甲大 10 岁;(D)乙比甲大 5 岁。

答:(A)。由题意知 3×(甲-乙)=25-10,∴甲-乙=5。

4、一个一次函数图像与直线

平行,与

轴、

轴的交点分别为 A、B,并且

过点(-1,-25),则在线段 AB 上(包括端点 A、B),横、纵坐标都是整数的点有( )。

(A)4 个;(B)5 个;(C)6 个;(D)7 个。

答: (B) 。 在直线 AB 上, 横、 纵坐标都是整数的点的坐标是

=-1+4N,

=-25+5N,

(N 是整数).在线段 AB 上这样的点应满足-1+4N>0,且-25+5N≤0,∴ N=1,2,3,4,5。

≤N≤5,即

5、设 ( )。

分别是△ABC 的三边的长,且

,则它的内角∠A、∠B 的关系是

(A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。

78

答: (B) 。 由



, 延长 CB 至 D, 使 BD=AB, 于是 CD=



在△ABC 与△DAC 中,∠C 为公共角,且 BC:AC=AC:DC,∴△ABC∽△DAC,∠BAC=∠D,∵∠ BAD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC。

6、已知△ABC 的三边长分别为 为 S1,且

,面积为 S,△A1B1C1 的三边长分别为 ,则 S 与 S1 的大小关系一定是( )。

,面积

(A)S>S1;(B)S<S1;(C)S=S1;(D)不确定。

答:(D)。分别构造△ABC 与△A1B1C1 如下:①作△ABC∽△A1B1C1,显然



即 S>S1; ②设 ×100>10,即 S<S1;③设 , 则 二、填空题

, 则

, S=10, ,则 ,S=10,

, 则 S 1=

, S1=10, 即 S=S1; 因此, S 与 S1 的大小关系不确定。

7、已知:

,那么

=________。

答:1。∵

,即

。∴



79

8、如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=8,BC=6 则梯形 ABCD 的面积等于________。

,∠BCD=45°,∠BAD=120°,

答:66+6

(平方单位)。作 AE、BF 垂直于 DC,垂足分别为 E、F,由 BC=6

,∠ ,

BCD=45°, 得 AE=BF=FC=6。 由∠BAD=120°, 得∠DAE=30°, 因为 AE=6 得 DE=2 AB=EF=8,DC=2 +8+6=14+2 ,∴



9、已知关于 ________个。

的方程

的根都是整数,那么符合条件的整数有

答:5。①当

时,

;②当

时,易知

是方程的一个整数根,再由

且 的整数 有 5 个。

是整数,知

,∴

;由①、②得符合条件

10、 如图, 工地上竖立着两根电线杆 AB、 CD, 它们相距 15 米, 分别自两杆上高出地面 4 米、 6 米的 A、C 处,向两侧地面上的 E、D;B、F 点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢 丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为________米。

80

答:2.4 米。作 PQ⊥BD 于 Q,设 BQ=

米,QD=

米,PQ=

米,由 AB∥PQ∥CD,得



,两式相加得

,由此得

米。即点 P 离地面的高

度为 2.4 米。(注:由上述解法知,AB、CD 之间相距多远,与题目结论无关。)

11、如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(15,6),直线 好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,那么 =________。



答:

。直线

通过点 D(15,5),故 BD=1。当

时,直线







两点,则它恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了 6.4%,使得利润率增加了 8 个百 分点,那么经销这种商品原来的利润率是________。

(注:

×100%)

答:17%。设原进价为

元,销售价为

元,那么按原进价销售的利润率为

×100%,

原进价降低 6.4%后,在销售时的利润率为

×100%,依题意得:

81

×100%+8%=

×100%,解得

=1.17

,故这种商品原来的利润

率为 三、解答题

×100%=17%。

13、设

是不小于

的实数,使得关于 。

的方程



两个不相等的实数根

(1)若

,求

的值。

(2)求

的最大值。

解:因为方程有两个不相等的实数根,所以

, ∴

。 根据题设, 有



(1)因为

,即



由于

,故



(2)

82





上是递

减的,所以当

时,

取最大值 10。故

的最大值为 10。

14、如上图:已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2,对角线 AC 与 BD 的交点为 E,AE= EC,AB= AE,且 BD=2 ,求四边形 ABCD 的面积。

解:由题设得 AB2=2AE2=AE·AC,∴AB:AC=AE:AB,又∠EAB=∠BAC,∴△ABE∽△ACB,∴ ∠ABE=∠ACB,从而 AB=AD。连结 AD,交 BD 于 H,则 BH=HD= 。

∴OH=

=1,AH=OA-OH=2-1=1。



,∵E 是 AC 的中点,∴



,∴

,∴



83

15、一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳 32 人,而且只能在第 2 层 至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到 1 分不满意,往上走 一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层,并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每 一层, 问: 电梯停在哪一层, 可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小?最小值是多少? (有 些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

解:易知,这 32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人。

对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实 上,设住第 层的人乘电梯,而住第 层的人直接走楼梯上楼, 。交换两人上楼方式,

其余的人不变,则不满意总分不增,现分别考虑如下:

设电梯停在第

层。

①当 意总分为

时,若住第

层的人乘电梯,而住第 层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满 ; 交换两人上楼方式, 则这两者不满意总分也为 。

②当 意总分为

时,若住第

层的人乘电梯,而住第 层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满 。

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为

③当 意总分为 者比后者多

时,若住第

层的人乘电梯,而住第 层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满 ,前

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为 。

84

④当 总分为

时,若住第层的人乘电梯,而住第 层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意 ;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为 。 ,前者比后者多

⑤当 意总分为 比后者多

时,若住第

层的人乘电梯,而住第 层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满 ,前者

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为 。

今设电梯停在第

层,在第一层有

人直接走楼梯上楼,那么不满意总分为:



=27,

=6 时,

=316。

所以,当电梯停在第 27 层时,这 32 个人不满意的总分达到最小,最小值为 316 分。

85

2001 年全国初中数学联赛
一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1、a,b,c 为有理数,且等式 a ? b 2 ? c 3 ? 5 ? 2 6 成立,则 2a+999b+1001c 的值是 ( ) (A) 1999(B)2000(C)2001(D)不能确定 2、若 ab ? 1 ,且有 5a2+2001a+9=0 及 9b 2 ? 2001b ? 5 ? 0 ,则 a 的值是(
b



(A) 9 (B) 5 (C) ? 2001 (D) ? 2001
5 9 5 9

3、已知在△ABC 中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则 AC 的长为( (A) 2 ? 3 (B) 2 ? 3 (C) 0 ? 3 (D) 3 ? 2



4、如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB 不一定成 立的情况是( ) (B) AB 2 ? AD ? AC (D) AB ? BC ? AC ? BD
2a

(A) AD ? BC ? AB ? BD (C)∠ABD=∠ACB

2 5、 ①在实数范围内, 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根为 x ? ? b ? b ? 4ac ; ②在△ABC 中,

若 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,则△ABC 是锐角三角形;③在△ABC 和 ?A1 B1C1 中,a,b,c 分别为△ABC 的三边, a1 , b1 , c1 分别为 ?A1 B1C1 的三边,若 a ? a1 , b ? b1 , c ? c1 ,则△ABC 的面积 S 大于 ?A1 B1C1 的 面积 S1 。以上三个命题中,假命题的个数是( (A)0(B)1(C)2(D)3 6、某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过 200 元,则不予折扣;②如一次 购物超过 200 元但不超过 500 元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过 500 元的,其 中 500 元按第②条给予优惠,超过 500 元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物,分别付 款 168 元和 423 元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( ) )

86

(A)522.8 元(B)510.4 元(C)560.4 元(D)472.8

二、填空题(每小题 7 分,共 28 分) 1、已知点 P 在直角坐标系中的坐标为(0,1) ,O 为坐标原点,∠QPO=1500,且 P 到

Q 的距离为 2,则 Q 的坐标为



2、已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P ,则点 P 到两圆外公切线的距离 为 。 3、已知 x, y 是正整数,并且 xy ? x ? y ? 23, x 2 y ? xy 2 ? 120 ,则 x 2 ? y 2 = 。

4、一个正整数,若分别加上 100 和 168,则可得到两个完全平方数,这个正整数 为 。

三、解答题(共 70 分) 1、在直角坐标系中有三点 A(0,1) ,B(1,3) ,C(2,6) ;已知直线 y ? ax ? b 上横坐 标为 0、1、2 的点分别为 D、E、F。试求 a, b 的值使得 AD2+BE2+CF2 达到最大值。 (20 分) (1) 证明:若 x 取任意整数时,二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 总取整数值,那么 2a, a ? b, c 都是 整数; (2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论。 (25 分) 3、如图,D,E 是△ABC 边 BC 上的两点,F 是 BC 延长线上的一点,∠DAE=∠CAF。 (1) 判断△ABD 的外接圆与△AEC 的外接圆的位置关系,并证明你的结论; (2)若△ABD 的外接圆 的半径的 2 倍,BC=6,AB=4,求 BE 的长。

F A B D E C
87

A E θ O

H

D

G C

B

F

解答题: 1、 如图,EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形,两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐

角为θ,且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。已知 EG=k,FH= l ,四边形 EFGH 的面积为 S。 (1)求证:sinθ= 2S ;
kl

(2)试用 k , l , S 来表示正方形的面积。 2、 求所有的正整数 a,b,c,使得关于 x 的方程 x 2 ? 3ax ? 2b ? 0 , x 2 ? 3bx ? 2c ? 0 ,

x 2 ? 3cx ? 2a ? 0 的所有的根都是正整数。

3、在锐角△ABC 中,AD⊥BC,D 为垂足,DE⊥AC,E 为垂足,DF⊥AB,F 为垂足。O 为△ABC 的外心。 求证: (1)△AEF∽△ABC; (2)AO⊥EF 4、如图,在四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,直线 l 平行于 BD,且与 AB、DC、

BC、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M、N、R、S 和 P。
求证:PM ? PN=PR ? PS
A B O D C

l
88

M

N

P

R S

89

2002 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、设 a<b<0,a2+b2=4ab,则

a?b 的值为( a ?b
D、3



A、 3

B、 6

C、2

2、已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-

ca 的值为( A、0



B、1

C、2

D、3

3、如图,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,

连 AF、CE 交于点 G,则

S四边形AGCD S 矩形ABCD
4 5

等于(



3 2 D、 4 3 ? ? ? 4、设 a、b、c 为实数,x=a2-2b+ ,y=b2-2c+ ,z=c2-2a+ ,则 x、y、z 中至少有一 3 3 3
A、 B、 C、
个值( )

5 6

A、大于 0

B、等于 0

C、不大于 0

D、小于 0

5、设关于 x 的方程 ax2+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根 x1、x2,且 x1<1<x2,那么 a 的取值 范围是( )

A、 ?

2 2 <a< 7 5

B、a>

2 5

C、a< ?

2 7

D、 ?

2 <a<0 11


6、1A2A3…A9 是一个正九边形,A1A2=a,A1A3=b,则 A1A5 等于(

A、 a 2 ? b 2

B、 a 2 ? ab ? b 2

C、

1 ?a ? b ? 2

D、a+b

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a=2 的两个实数根,则(x1-2x2)(x?2-2x1)的最大值 为 .

90

8、 已知 a、 b 为拋物线 y=(x-c)(x-c-d)-2 与 x 轴交点的横坐标, a<b,



a ? c ? c ? b 的值为



9、如图,在△ABC 中,∠ABC=600,点 P 是△ABC 内的一点, 使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且 PA=8,PC=6,则 PB= .

10、如图,大圆 O 的直径 AB=acm,分别以 OA、OA 为直径作⊙ 并在⊙O 与⊙O1 和⊙O2 的空隙间作两个等圆⊙O3 和⊙O4,这些圆互相 切,则四边形 O1O2O3O4 的面积为

O1、⊙O2,
内切或外

cm2.

11、满足(n2-n-1)n+2=1 的整数 n 有

个.

12、某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降价的百分数) 不得超过 d%,则 d 可以用 p 表示为 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13、某项工程,如果由甲、乙两队承包, 2 成,需付 150000 元;由甲、丙两队承包, 2 .

2 3 天完成,需付 180000 元;由乙、丙两队承包, 3 天完 5 4

6 天完成,需付 160000 元.现在工程由一个队单独承包,在 7

保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

91

14、如图,圆内接六边形 ABCDEF 满足 AB=CD=EF,且对角线 AD、BE、CF 交于一点 Q,设 AD 与

CE 的交点为 P.
A

(1) 求证:

CP AC QD AC ? ; (2)求证: ? . ED EC PE CE 2

2

B F Q P E D C

15、如果对一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax2+bx+c 的值都是平方数(即整数的平方) . 证明: (1)2a、2b、c 都是整数; (2)a、b、c 都是整数,并且 c 是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的 x 的整数值,x 的二次三项式 ax2+bx+c 的值都是平方数?

92

93

2003 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1、2 3-2 2+ 17-12 2 =__。A 5-4 2 B4 2 -1 C5 D1 B1 C3 D5

2、在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是__个。A0

3、若函数 y=kx(k>0)与函数 y=x-1 的图像相交于 A、C 两点,AB 垂直 x 轴于 B,则△ABC 的面积为__。A1 B2 Ck Dk2
C D

4、满足等式 x y+ x y- 2003x- 2003y+ 2003xy =2003 的正整数对的个数是__。 E A1 B2 C3 D4
A B

5、设△ABC 的面积为 1,D 是边 AB 上一点,且 AD∶AB=1∶3。若在边 AC 上取一点 E,使四 边形 DECB 的面积为 ,则
3 4 EC 1 的值为__。A EA 2

B

1 3

C

1 4

D

1 5

6、如图,在平行四边形 ABCD 中,过 A、B、C 三点的圆交 AD 于 E,且与 CD 相切,若 AB =4,BE=5,则 ED 的长为__。A3 二、填空题(每小题 7 分,共 28 分) 1、 拋物线 y=ax+bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C。若△ABC 是直角三角形, 则 ac=____。 2、 设 m 是整数,且方程 3x2 +mx-2=0 的两根都大于- m=_______。
9 5

B4

C

15 4

D

16 5

而小于

3 7

,则
A C B D

B1

E

3、 如图,AA1、BB1 分别是∠EAB、∠DBC 的平分线,若 AA1=BB1=AB,
A1





BAC 的度数为__。 4、 已知正整数 a、b 之差为 120,它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍,那么 a、b 中较大的数是__。 三、 (本题满分 20 分)

94

在△ABC 中, D 为 AB 的中点, 分别延长 CA、CB 到点 E、 F, 使 DE=DF;过 E,F 分别作 CA、 CB 的垂线,相交于 P,设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。求证:①△DEM≌
A D C B

△DFN;②∠PAE=∠PBF。
E M N P F

四、 (本题满分 20 分)已知实数 a、b、c、d 互不相等,且 a+ =b+ =c+ =d+ =x, 试求 x 的值。

1 a

1 b

1 c

1 d

五、已知:四边形 ABCD 的面积为 32,AB、CD、AC 的长都是整数,且它们的和为 16。① 这样的四边形有几个?②求这样的四边形边长的平方和的最小值。

试题说明:这是 2004 年全国初中数学联赛试题(决赛)试题,今天把它录入进计算机,希望能

95

够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。 还将陆续上传我自己录入计算机的前几年的联赛 试题,请关注。 2003 年全国初中数学联赛答案: 第一试 一、1、(D); 2、(C);由于任何凸多边形的外角之和都是 360?,故外角中钝角的个数不超过 3 个,即 内角中锐角最多不超过 3 个。 3、(A);设 A( x, y ),则 xy ? 1 ,故 S ?ABO ? 此, S ?ABC ? 2 ? S ?ABO ? 1 4、(B);由已知等式可得 ( xy ? 2003)( x ? y ? 2003) ? 0 而 x ? y ? 2003 ? 0 ,所以, xy ? 2003 ? 0 。故 xy ? 2003 ?x ? 1 ? x ? 2003 又因为 2003 为质数,必有 ? 或? ? y ? 2003 ? y ? 1 5、(B);如图 3,连结 BE, S ?ADE ? 1 ? 设
CE ? x ,则 S ?ABE ? 1 ? x 。 AC 1? x 1 1 CE 1 S ?ADE ? ? , x ? 。故 ? 3 4 4 EA 3 3 1 ? 4 4
D E B C A

1 1 xy ? 。又因为△ABO 与△CBO 同底等高,因 2 2

6、(D);如图 4,连结 AC、CE。 由 AE∥BC,知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 AC=BE=5。 又因为 Dc∥AB,DC 与圆相切,所以,∠BAC=∠ACD=∠ABC。

D E

C

则 AC=BC=AD=5,DC=AB=4

A

B

DC 2 16 因为 DC ? AD ? DE ,故 DE ? ? AD 5
2

二、1、-1;设 A ( x1 ,0), B( x2 , 0) 。由△ABC 是直角三角形可知 x1 , x2 必异号。则 x1 x2 ?

c ?0 a

96

由射影定理知 OC ? AO ? BO ,即 c 2 ? x1 ? x2 ?
? ? 9 ?2 ? 9? ?3 ? ? ? ? ? m ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? 5? ? 5? 2、4;由题设可知, ? 2 ?3? ? ? 3? ? ? m?? ? ? 2 ? 0 ?3 ? ? ?7? ? ?7?

2

c ;故 ac ? 1, ac ? ?1 a

解得 3

8 13 ? m ? 4 。故 m ? 4 21 45

3、12?;设∠BAC 的度数为 x 因 AB ? BB ' ,故∠ B ' BD ? 2 x, ?CBD ? 4 x 又 AB ? AA ' ,则
1 ∠ AA ' B ? ?ABA ' =∠CBD= 4 x 。因为∠ A ' AB ? (180? ? x) 2 1 故 (180? ? x) ? 4 x ? 4 x ? 180? ,解得 x ? 12 ? 2

4、225;设( a, b )= d ,且 a ? md , b ? nd ,其中 m ? n , m 与 n 互质。于是 a, b 的最小 公倍数为 mnd 。依题意有
?md ? nd ? 120 ( m ? n ) d ? 23 ? 3 ? 5 ? ,即 ? mnd ? 105 mn ? 3 ? 5 ? 7 ? ? d

(1) (2)

?m ? 105 ?m ? 35 ?m ? 21 ?m ? 15 又 m ? n ,据式(2)可得 ? ? ? ? ?n ? 1 ?n ? 3 ?n ? 5 ?n ? 7 ?m ? 15 根据式(1),只能取 ? ,可求得 d ? 15 ?n ? 7 故两个数中较大的数是 md ? 225 。 第二试 A卷 一、解:设前后两个二位数分别为 x, y , 10 ? x, y ? 99 有 ( x ? y ) 2 ? 100 x ? y ;即 x 2 ? 2( y ? 50) x ? ( y 2 ? y ) ? 0 当△= 4( y ? 50)2 ? 4( y 2 ? y ) ? 4(2500 ? 99 y ) ? 0

97

即 2500 ? 99 y ? 0 ,则 y ? 25 时,方程有实数解 x ? 50 ? y ? 2500 ? 99 y 由于 2500-y 必为完全平方数,而完全平方数的未位数字仅可能为 0,1,4,5,6,9, 故 y 仅可取 25;此时, x ? 30 或 ? 20 故所求四位数为 2025 或 3025 二、(1)如图,据题设可知,DM∥BN,DM=BN,DN∥AM,DN=AM 故∠AMD=∠BND 因为 M、N 分别是 Rt△AEP 和 Rt△BFP 斜边的中点,
A D N C B F

所以,EM=AM=DN,FN=BN=DM
E M P

又已知 DE=DF,故△DEM≌△FDN (2)由上述三角形全等可知∠EMD=∠FND,则∠AME=∠BNF 而△AME、△BNF 均为等腰三角形,所以,∠PAE=∠PBF 三、解:由已知有
a? 1 ?x b

①; b ?

1 ?x c

②; c ?

1 ?x d

③; d ?

1 ?x a



由式①解出 b ?

1 x?a
2



x?a ⑥ x ? ax ? 1 x?a 1 将式⑥代入③得 2 ? ?x x ? ax ? 1 d

式⑤代入式②得 c ?

即 dx3 ? (ad ? 1) x 2 ? (2d ? a) x ? ad ? 1 ? 0



由式④得 ad ? 1 ? ax ,代入式⑦得 (d ? a )( x 3 ? 2 x) ? 0 由已知 d ? a ? 0 ,故 x3 ? 2 x ? 0 若 x ? 0 ,则由式⑥可得 a ? c ,矛盾。故有 x 2 ? 2, x ? ? 2 B卷 一、同(A 卷)第一题的解答。

98

二、如图,分别取 AP、BP 的中点 M、N。连结 EM、DM、FN、 DN。由 D 是 AB 的中点,则 DM∥BN,DM=BN,DN∥AM,DN=AM。故∠AMD=∠BND。
E A D M

C B F N P

又因为 M、N 分别是 Rt△AEP、Rt△BFP 斜边的中点,所以, EM=AM=DN,FN=BN=DM。 因为 DE=DF,则△DEM≌△FDN 故∠EMD=∠FND,从而,∠AME=∠BNF 而△AME、△BNF 均为等腰三角形,故∠PAE=∠PBF
A

a
l

B

三、(1)如图,记 AB=a,CD=b,AC= l ,并设△ABC 的边 AB

h1
C

h2
上的高为 h1 ,△ADC 的边 DC 上的高为 h2 。则
1 1 S四边形ABCD ? S ?ABC ? S?ADC = ( h1a ? h2b) ? l (a ? b) 2 2
D b

仅当 h1 ? h2 ? l 时等号成立。即在四边形 ABCD 中,当 AC⊥AB,AC⊥CD 时等号成立。 由已知可得 64 ? l ( a ? b) 又由题设 a ? b ? 16 ? l ,可得 64 ? l (16 ? l ) ? 64 ? (l ? 8)2 ? 64 于是, l ? 8, a ? b ? 8 ,且这时 AC⊥AB,AC⊥CD 因此,这样的四边形有如下 4 下:
a ? 1, b ? 7 , l ? 8; a ? 2, b ? 6, l ? 8 a ? 3, b ? 5, l ? 8; a ? b ? 4, l ? 8

它们都是以 AC 为高的梯形或平行四边形。 (2)又由 AB= a ,CD= 8 ? a ,则 BC 2 ? 82 ? a 2 , AD 2 ? 82 ? (8 ? a )2 因此,这样的四边形的边长的平方和为 2a 2 ? 2(8 ? a )2 ? 128 ? 4(a ? 4) 2 ? 192

P F M A N C D

E B

99

故当 a ? b ? 4 时,平方和最小,且为 192 (C)卷 一、同(A 卷)第三题的解答。 二、除图的形式不同(如图)外,解答同(B 卷)第二题 三、同(B 卷)第三题解答。

100

2004 年全国初中数学联合数学竞赛试题
第一试 一.选择题

1.已知 abc≠0,且 a+b+c=0, 则代数式

a 2 b2 c 2 ? ? 的值是( bc ca ab
(D) 0



(A) 3

(B) 2

(C) 1

2.已知 p,q 均为质数,且满足 5p2+3q=59,则以 p+3,1-p+q,2p+q-4 为边长的三角形是( (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形



3. 一个三角形的边长分别为 a,a,b,另一个三角形的边长分别为 b,b,a,其中 a>b,若两个三角形的最小 内角相等,则

a 的值等于( b
(B)



(A)

3 ?1 2

5 ?1 2

(C)

3?2 2

(D)

5?2 2


4.过点 P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5,这样的直线可以作( (A) 4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条

5.已知 b2-4ac 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则 ab 的取值范围为( (A) ab ?



1 8

(B) ab ?

1 8

(C) ab ?

1 4

(D) ab ?

1 4

6.如图,在 2×3 矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个 数为( (A) 24 ) (B) 38 (C) 46 (D) 50

二.填空题

101

1.计算

1 1 1 1 ? ? ??? = 1? 2 2? 3 3? 4 2003 ? 2004

.

2. 如图 ABCD 是边长为 a 的正方形, 以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆交于另一点 P, 延长 AP 交 BC 于点 N,则
D C

BN = NC

.

N P A B

3.实数 a,b 满足 a3+b3+3ab=1,,则 a+b=

. .

4.设 m 是不能表示为三个合数之和的最大整数,则 m=

第二试(A) 一. 已知方程 x2-6x-4n2-32n=0 的根都是整数,求整数 n 的值。

二. 已知如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC, 以两腰 AB,CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF,设 线段 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M,EP⊥l 于 P,FQ⊥l 于 Q。 求证:EP=FQ
l E M Q A G H B C D P F

102

三. 已知点 A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为拋物线 y=x2 上位于三角形 ABC 内(包括边界)的一动点, BP 所在的直线交 AC 于 E, CP 所在的直线交 AB 于 F。将

BF 表示为自变量 t 的函数。 CE

第二试(B) 一. 已知方程 x2-6x-4n2-32n=0 的根都是整数,求整数 n 的值。

二. 已知如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC, 以两腰 AB,CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF,设 线段 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M。 求证:M 为 EF 的中点。
l E M F A G H B C D

三. 已知点 A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为拋物线 y=x2 上位于三角形 ABC 内(包括边界)的一动点, BP 所在的直线交 AC 于 E, CP 所在的直线交 AB 于 F。将

BF 表示为自变量 t 的函数。 CE

第二试(C) 一. 已知方程 x2-6x-4n2-32n=0 的根都是整数,求整数 n 的值。

二. 已知如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC, 以两腰 AB,CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF, 连 接 EF,设线段 EF 的中点为 M。

103

求证:MA=MD。
E M F

G

A

D H

B

C

三. 已知点 A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为拋物线 y=x2 上位于三角形 ABC 内(包括边界)的一动点, BP 所在的直线交 AC 于 E, CP 所在的直线交 AB 于 F。将

BF 表示为自变量 t 的函数。 CE

参考答案: 一试 一.ABBCBD 二.1. 2 501 ? 1 二试 一. -18,-8,0,10 二. (略) 2.

1 2

3.1 或-2

4.17

三.

t 2 ? 2t ? 5 (?1 ? t ? 1) t 2 ? 2t ? 5

104

105

2005 年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题:(每题 7 分,共 42 分) 1、化简:
1 4+ 59+30 2 + 1 3- 66-40 2

的结果是__。

A、无理数

B、真分数

C、奇数

D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为 5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102

3、设 r≥4,a= 1 - 1 ,b= 1 - 1 , r r+1 r r+1 c=

1 ,则下列各式一定成立的是__。 r( r + r+1)
B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a

A、a>b>c

4、图中的三块阴影部分由两个半径为 1 的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面 积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。 A、 5 2 B、 6 2
2 C、 1 25-π 2 2 D、 1 16-π 2

5、已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像如图所示,

y

记 p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。 A、p>q B、p=q C、p<q D、p、q 大小关系不能确定 0 1 x

6、若 x1,x2,x3,x4,x5 为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005
2 2 2 2 2 -x4)(2005-x5)=242,则 x1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 的未位数字是__。

A、1

B、3

C、5

D、7

二、填空题(共 28 分) 1、不超过 100 的自然数中,将凡是 3 或 5 的倍数的数相加,其和为__。

106

2、 7x 2 +9x+13+ 7x 2-5x+13=7x,则 x=___。 3、若实数 x、y 满足
x + y =1, x + y =1, 则 x+y=__。 3 +43 33 +63 53 +43 53 +63
3

4、已知锐角三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 满足:A>B>C,用 a 表示 A-B,B-C 以及 90°-A 中的最小者,则 a 的最大值为___。 三、解答题(第 1 题 20 分,第 2、3 题各 25 分) 1、a、b、c 为实数,ac<0,且 2a+ 3b+ 5c=0 ,证明:一元二次方程 ax2+bx+c=0 有大 于 3 而小于 1 的根。 4

2、锐角 ΔABC 中,AB>AC,CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高,过 D 作 BC 的垂线交 BE 于 F,交 CA 的延长线于 P,过 E 作 BC 的垂线,交 CD 于 G,交 BA 的延长线于 Q,证明: BC、DE、FG、PQ 四条直线相交于一点。

3、a、b、c 为正整数,且 a2+b3=c4,求 c 的最小值。

107

2005 年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题:(每题 7 分,共 42 分) 1、化简:

1 4+ 59+30 2



1 3- 66-40 2

的结果是__。

A、无理数 解:

B、真分数

C、奇数 D、偶数

1 4+ 59+30 2



1 3- 66-40 2 1 ?

?

1 4+ 50+2 450 ? 9



1 3- 50-2 800 ? 16

?

1 4+5 2 ? 3



3-5 2 ? 4

1 + 1 ? 7-5 2 ? 7+5 2 ? ?14 49 ? 50 7+5 2 7-5 2

所以选 D 2、圆内接四条边长顺次为 5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102

?

14

解:由题意得: 52+142-2×5×14×cosα=102+112-2×10×11×cos(180°-α) ∴221-140cosα=221+220 cosα ∴cosα=0 ∴α=90° ∴四边形的面积为:5×7+5×11=90 ∴选 C 3、设 r≥4,a= -

5 11 10
180 ? - ?

1 r

1 ,b= 1 - 1 ,c= 1 ,则下列各式一定成立的是__。 r+1 r r+1 r( r + r+1)

A、a>b>c

B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a

解法 1:用特值法,取 r=4,则有

a= - ?

1 4

1 5

1 ,b= 1 - 5 ? 5 ? 2 5 ? 2 5 ? 2 5 ? 1.036 , 20 2 5 10 20 20

?

?

108

c=

5 5 ? 2 1.18 1 ? 5?2 ? ? 4 20 20 4(2+ 5)

?

?

∴c>b>a,选 D 解法 2:a= -

1 r

1 ? 1 , r ? 1 r ? r ? 1?

b=

1 - 1 ? r ?1 ? r ? 1 r r ?1 r ? r ? 1? r ? r ? 1? r ? 1 ? r

?

?

c=

1 r( r + r+1)
? r ? 4,? r ? r ? 1? ? r ? r ? 1?

?

r ?1 ? r

?

? r ? r ? 1? ? r ? r ? 1? ? r ? 1 ? r ? ? ? ?0 ?? r ? 1 ?1? ? 1? ? ? r ? r ? 1? ? r ? r ? 1? ? r ? 1 ? r ? , 故a ? b 又 r ? r ? 1? ? r ? 1 ? r ? ? r ? r ? 1 ? r ?    ? ? r ? 1 ? r ? ? r ? r ? 1? ? r ? ? 0 ? r ? r ? 1? ? r ? 1 ? r ? ? r ? r ? 1 ? r ? ? r ? r ? 1? ? ? r ?1 故b ? c, 综上所述 : a ? b ? c, 选 D 1 ? 1 <1 解法 3:∵r≥4 ∴ r r ?1
∴a ? ?

?

? 1 ?? ? ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? b r ?1 ?? r r ?1 ? r r ?1 ? r

c=

r ?1 ? r ? r ?1 ? r ? 1 ? 1 ? b r r r ?1 r r ?1
∴a<b<c,选 D

4、图中的三块阴影部分由两个半径为 1 的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上 下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。 A、

5 2

B、

6 2

C、

1 25-π 2 2

D、

1 16-π 2 2

解:由图形割补知圆面积等于矩形 ABCD 的面积

109

∴ ? ?1 ? 2 AB,? AB ?

2

? 2
16 ? ? 2 16 ? ? 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 4 2 ?4?
2

由垂径定理得公共弦为 2 12 ? ? ∴选 D

5、已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像如图所示, 记 p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。 A、p>q B、p=q C、p<q D、p、q 大小关系不能确定 y

解:由题意得:a<0,b>0,c=0 ∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b| 又?

01

x

b ? 1,? ?b ? 2a,? 2a ? b ? 0, 从而a ? b ? ? a ? 0 2a

∴p=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a, q=|a+b|+|2a-b|= a+b+b-2a=2b-a ∴p<q,选 C 6、若 x1,x2,x3,x4,x5 为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005 -x5)=242,则 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 的未位数字是__。
2 2 2 2 2

A、1

B、3

C、5

D、7

解:因为 x1,x2,x3,x4,x5 为互不相等的正奇数,所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005 -x4)、(2005-x5)为互不相等的偶数 而将 242 分解为 5 个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式:242=2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)分别等于 2、(-2)、4、6、(-6) 所以(2005-x1)2+(2005-x2)2+(2005-x3) 2+(2005-x4) 2+(2005-x5) 2=22+(-2) 2+42+62+(-6)
2

=96

110

展开得: 5 ? 2005 -4010 x1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 + x1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 ? 96
2 2 2 2 2 ? x1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =96-5 ? 20052 +4010 ? x1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 ?          ? 1? mod10 ?,选 A

2

?

? ?

2

2

2

2

2

?

二、填空题(共 28 分) 1、不超过 100 的自然数中,将凡是 3 或 5 的倍数的数相加,其和为__。 解:(3×1+3×2+……3×33)+(5×1+5×2+……5×20)-(15×1+15×2+……15×6)=1683+1050-315 =2418 2、 7x 2 +9x+13+ 7x 2-5x+13=7x,则 x=___。 解:分子有理化得:

14 x =7x, 7x +9x+13 ? 7x 2-5x+13
2

∵x≠0, ∴ 7x +9x+13- 7x -5x+13=2,即 7x +9x+13 ?
2 2 2

7x 2-5x+13 ? 2

两边平方化简得: 7 x ? 2 ? 2 7x -5x+13
2

12 或x ? ? 4 (舍去) 7 3 y y x x 3、若实数 x、y 满足 3 3 + 3 3 =1, 3 3 + 3 3 =1, 则 x+y=__。 3 +4 3 +6 5 +4 5 +6
再平方化简得: 21x ? 8x ? 48=0,解之得x ?
2

解法 1:假设 x+y=a,则 y=a-x

? ? 33 ? 63 ? x+? 33 ? 43 ? ? a-x ? ? ? 33 ? 63 ?? 33 ? 43 ? , 即? 63 ? 43 ? x ? ? 33 ? 43 ? a ? ? 33 ? ? 33 ? 43 ? 33 ? 63 ? 43 ? 63    ?1? ? ? 53 ? 63 ? x+? 53 ? 43 ? ? a-x ? ? ? 53 ? 63 ?? 53 ? 43 ? , 即? 63 ? 43 ? x ? ? 53 ? 43 ? a ? ? 53 ? ? 53 ? 43 ? 53 ? 63 ? 43 ? 63    ? 2?
2 2

? 2 ?-?1? 得:
? 33 ? a ? ? 53 ? ? ? 33 ? ? ? 53 ? 33 ? ? 43 ? ? 53 ? 33 ? ? 63   ? a ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 =432
3

?5

2

2

解法 2:易知 33、 53 是关于t的方程

x y ? ? 1的两根 3 t ? 4 t ? 63

化简得: t 2 ? x ? y ? 43 ? 63 t ? 63 x ? 43 y ? 43 ? 63 ? 0

?

? ?

?

111

由韦达定理得: 33 ? 53 ? x ? y ? 43 ? 63      ? x ? y ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? 432
4、已知锐角三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 满足:A>B>C,用 a 表示 A-B,B-C 以及 90°-A 中的最小者,则 a 的最大值为___。 解:?  ? ? min ? A ? B, B ? C ,90? ? A?

?   ? ? A ? B,? ? B ? C , ? ? 90? ? A ?    6? ? 2 ? A ? B ? ? ? B ? C ? ? 3 ? 90? ? A ?      ? 270? ? ? A ? B ? C ? ? 90? ?   ? ? 15? 另一方面,当A ? B ? B ? C ? 90? ? A ? 15?时, 有A ? 75?, B ? 60?, C ? 45?满足题设条件,故

? 可取得最大值15?
三、解答题(第 1 题 20 分,第 2、3 题各 25 分) 1、a、b、c 为实数,ac<0,且 2a+ 3b+ 5c=0 ,证明:一元二次方程 ax2+bx+c=0 有大于 小于 1 的根。 解:设 f ? x ? ? ax ? bx ? c
2

3而 4

3 ?3? ?9 ? 则f ? ? ? f ?1? ? ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 4 ?4? ? 16 ? 1         ? ? 9a ? 12b ? 16c ?? a ? b ? c ? 16
? 2a+ 3b+ 5c=0, ? b= ? 6a ? 15c 3

? ? 6 15 ? ? 9a ? 12b ? 16c ?? a ? b ? c ? ?   9a ? 4 6a ? 4 15c ? 16c ? a ? a ? c ? c ? ? ? 3 3 ? ? ?3? 6 3 ? 15 ?    ? ? 81 ? 96 a ? 256 ? 240 c ? ? a? c? ? ? 3 ? 3 ? a ? ? ? 3 ? 6 a 3 ? 15 ?    ? c 2 ? 81 ? 96 ? 256 ? 240 ? ? ? ??0 c 3 ? ? ?? 3 c

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

∴f?

?3? ? ? f ?1? <0 ?4?

112

∴一元二次方程 ax2+bx+c=0 有大于

3 而小于 1 的根. 4

2、锐角 ΔABC 中,AB>AC,CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高,DE 与 BC 的延长线于交于 T,过 D 作 BC 的垂线交 BE 于 F,过 E 作 BC 的垂线交 CD 于 G,证明:F、G、T 三点共线。 证法 1:设过 D、E 的垂线分别交 BC 于 M、N,在 Rt△BEC 与
A

Rt△BDC 中,由射影定理得: CE2=CN·CB,BD2=BM·BC

D E F G B M N C T

CN CE 2 ∴ ? BM BD 2
又 Rt△CNG ∽Rt△DCB,Rt△BMF ∽Rt△BEC, ∴ GN ?

BD CE ? CN , FM ? ? BM CD BE

GN BD ? BE CN BD ? BE CE 2 BE ? CE ∴ ? ? ? ? ? ?1? FM CD ? CE BM CD ? CE BD 2 BD ? CD
在 Rt△BEC 与 Rt△BDC 中,由面积关系得:BE·CE=EN·BC,BD·CD=DM·BC ∴ 由

BE ? CE EN TN ? ? ? 2? BD ? CD DM TM
(1)(2) 得 :
A D E F H G B M R N C T

GN TN ? , 又GN FM , ? F、G、T 三点共线. FM TM
证法 2:设 CD、BE 相交于点 H,则 H 为△ABC 的垂心,记 DF、EG、AH 与 BC 的交点分别为 M、N、R ∵DM∥AR∥EN ∴

DF AH EG ? ? FM HR GN

A














D E

113

F

H G

B

M

N C

T

DM EN GN EN TN ? ,? ? ? , 故F、G、T 三点共线. FM GN FM DM TM
证法 3:在△ABC 中,直线 DET 分别交 BC、CA、AB 于 T、E、D,由梅涅劳斯定理得:

BT CE AD ? ? ? 1     (1) TC EA DB
设 CD、BE 相交于点 H,则 H 为△ABC 的垂心,AH⊥BC ∵DF⊥BC、EG⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴

CE CG AD HF BT CG HF ? , ? , 代入 ?1? 得 ? ? ?1 EA GH DB FB TC GH FB

由梅涅劳斯定理的逆定理得:F、G、T 三点共线.
A D

DF EG ' 证法 4:连结 FT 交 EN 于 G’ ,易知 ? FM G ' N DF EG 为了证明 F、G、T 三点共线,只需证明 ? 即可 FM GN

1 DF S?BDF BD ? BF sin ?ABE BD sin ?ABE ? ? 12 ? ? FM S ?BMF 2 BM ? BF sin ?CBE BM sin ?CBE

E F G G' B M N C T

EG S?CEG 1 CE sin ?ACD 2 CE ? CG sin ?ACD ? ?1 ? ? GN S?CMG 2 CN ? CG sin ?BCD CN sin ?BCD
BD BC CE BC ? , ? BM BD CN CE DF BC sin ?ABE EG BC sin ?ACD ∴ ? , ?    ?1? FM BD sin ?CBE GN CE sin ?BCD
又 ∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C 四点共圆 ∴∠ABE=∠ACD 又 (2) (3)

BD CE ? BC ? ,? BD sin ?CBE ? CE sin ?BCD sin ?BCD sin ?CBE DF EG 将(2) (3)代入(1)得: ? ,故 F、G、T 三点共线. FM GN
3、设 a、b、c 为正整数,且 a2+b3=c4,求 c 的最小值。

114

解:显然 c>1.由题设得:(c2-a)(c2+a)=b3

若取 ?

? c2 ? a ? b ?c ? a ? b
2 2

, 则c 2 ?

b ? b ? 1? 2

由大到小考察 b,使

b ? b ? 1? 为完全平方数,易知当 b=8 时,c2=36,则 c=6,从而 a=28。下面 2

说明 c 没有比 6 更小的正整数解,清单如下: c 2 3 4 5 c4 16 81 256 625 12 x3(x3<c4) 1,8 1,8,27,64 1,8,27,64,125,216 1,8,27,64,125,216,343,5 c4-x3 17,8 80,73,54,17 255,248,229,192,131,40 624,617,598,561,500,409,28 2,113

显然,表中 c4-x3 的值均不是完全平方数。故 c 的最小值为 6

1 参考答案:一、1、D 原式= 4 ? (5 2 ? 3) 2 ?

?

1 3 ? (5 2 ? 4)2

1 1 ? ? ?14 7?5 2 7 ?5 2

2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C 都是直角 3、D 4、D 5、C 6、A 2、 12 7 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15°

二、1、2418 三、1、略

2、略

3、c 的最小值为 6。

115

2005 年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题
(2005 年 4 月 10 日 答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项, 其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分) 1.如图,有一块矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=6. 将纸片折迭,使得 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE, 再将△AED 沿 DE 向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,则△CEF 的面积为( A.2 B.4 C.6 D.8 ) 上午 9:30-11:30)

A

B

A

D

B

D B

A

F D C E C E C

2.若 M ? 3x 2 ? 8 xy ? 9 y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13 ( x , y 是实数) ,则 M 的值一定是( A.正数 B.负数 C.零 D.整数



3.已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心,A1,B1,C1 分别是点 I 关于边 BC,CA,AB 的对称点. 若点 B 在△ A1 B1 C1 的外接圆上,则∠ABC 等于( A.30° B.45° C.60° D.90° )

4.设 A ? 48 ? ? A.18

1 1 ? 1 ? ? 2 ??? ? ,则与 A 最接近的正整数是( 2 2 100 ? 4 ? ?3 ?4 4 ?4
B.20 C.24 D.25



5.设 a , b 是正整数,且满足 56 ? a ? b ? 59 , 0.9 ?

a ? 0.91 ,则 b 2 ? a 2 等于( b



116

A.171

B.177

C.180

D.182

二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心). 若现在时间恰好是 12 点整,则经过____秒钟后,△OAB 的面积第一次达到最大. 7.在直角坐标系中,拋物线 y ? x 2 ? mx ?

3 2 m (m>0)与 x 轴交于 A,B 两点. 若 A,B 两点到原点的 4 1 1 2 距离分别为 OA,OB,且满足 ? ? ,则 m 的值等于____. OB OA 3

8.有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四 种花色排列,每种花色的牌又按 A,2,3,…,J,Q,K 的顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌 上下迭在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最 底层,……如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是_____.

9.已知 D,E 分别是△ABC 的边 BC,CA 上的点,且 BD=4,DC=1,AE=5,EC=2. 连结 AD 和 BE, 它们相交于点 P. 过点 P 分别作 PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边 AB 交于点 Q,R,则△PQR 的面积与 △ABC 的的面积之比为____. 10.已知 x1 , x2 ,…, x40 都是正整数,且 x1 ? x2 ? ? ? x40 ? 58 . 若 x12 ? x2 2 ? ? ? x40 2 的最大值为 A, 最小值为 B,则 A+B 的值等于____. 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 11.8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘 4 人(不包括司机). 其中一辆小汽车在距 离火车站 10km 的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有 28 分钟. 这时惟一可利用的交通工具是 另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘 5 人,且这辆车的平均速度是 60km/h,人步行的平均速 度是 5km/h.. 试设计一种方案,通过计算说明这 8 个人能够在停止检票前赶到火车站.

117

12.如图,半径不等的两圆相交于 A,B 两点,线段 CD 经过点 A,且分别交两圆于 C,D 两点. 连结 BC, BD,设 P,Q,K 分别是 BC,BD,CD 的中点,M,N 分别是弧 BC 和弧 BD 的中点. 求证:

(1)

BP NQ ? ; PM QB

C K A P Q D

(2)△KPM∽△NQK
B M N

13.已知 p,q 都是质数,且使得关于 x 的二次方程 x 2 ? ? 8 p ? 10q ? x ? 5 pq ? 0 至少有一个正整数根,求所 有的质数对(p,q).

14.从 1,2,…,205 共 205 个正整数中,最多能取出多少个数,使得对于取出来的数中的任意三个数 a ,

b , c ( a < b < c =,都有 ab ? c .

参考答案:1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. 15

15 7. 2 8. 方块 6 9. 59

400 10. 494 1089

118

119

120

121

2006 年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2006 年 4 月 2 日上午 9∶30-11∶30 满分 120 分 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分。以下每道小题均给出了代号为 A,B,C, D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不 填、多填或错填均得 0 分) 1.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌;并且从 10 千米处开 始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪.刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施,那么第 二次同时经过这两种设施的千米数是( (A)36 (B)37
2

) (C)55
2

(D)90 )

2.已知 m ? 1 ? 2 , n ? 1 ? 2 ,且 (7m ? 14m ? a )(3n ? 6n ? 7) =8,则 a 的值等于( (A)-5 (B)5 (C)-9
2

(D)9

3.Rt△ABC 的三个顶点 A,B,C 均在拋物线 y ? x 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴.若斜边上 的高为 h,则( (A)h<1 ) (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分, 再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一 条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了 34 个六十二边形和一些多 边形纸片,则至少要剪的刀数是( (A) 2004 (B) 2005 ) (C) 2006 (D)
D C

2007 DP,交 AC

5.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 QC 于点 Q.若 QP=QO,则 QA 的值为( ) (A)2 3 ? 1 ; (B)2 3 ; (C) 3 ? 2 ; (D) 3 ? 2 (第 5 题) 二、填空题 (共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.已知 a,b,c 为整数,且 a+b=2006,c-a=2005.若 b+c 的最大值为 .

O Q A P B

A G

D

a<b,则 a+
C

B E F 7.如图,面积为 a b ? c 的正方形 DEFG 内接于面积为 1 的正 a?c 其中 a,b,c 为整数,且 b 不能被任何质数的平方整除,则 b 的值等于

三角形 ABC, .

8.正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米.甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发,沿 A →B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为 50 米/分,乙的速度为 46 米/分.那么

122

出发后经过

分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.
1 ? ? 2 ? 29 ? ? ? a? ? a? ? ? ? ?a ? ? 18 ? 30 ? 30 ? 30 ? ? ? ? ? ? ? ?

9. 已知 0<a<1, 且满足

, 则 ?10a ? 的值等于

. ( ? x?

表示不超过 x 的最大整数) 10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8,成 为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字 2,成为一个八位数的电话号 码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的 81 倍, 则小明家原来的电话号码是 . 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) b x? a , a , b 为互质的正整数(即 a , b 是正整数,且它们的最大公约数为 1) 11.已知 ,且

a ≤8, 2 ? 1 ? x ? 3 ? 1 .
(1)试写出一个满足条件的 x;(2)求所有满足条件的 x.
P

12.设 a , b , c 为互不相等的实数,且满足关系式
b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 bc ? a 2 ? 4a ? 5
K

① ②
A

E B O

求 a 的取值范围. 13.如图,点 P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A, B. 过点 A 作 PB 的并行线, 交⊙O 于点 C. 连结 PC, 交⊙O 于点 E; 连结 AE,并延长 AE 交 PB 于点 K.求证:PE·AC=CE·KB.

C

14. 10 个学生参加 n 个课外小组, 每一个小组至多 5 个人, 每两个学生至少参加某一个小组, 任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求 n 的最小值.

2006 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分。以下每道小题均给出了代号为 A,B,C, D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不 填、多填或错填均得 0 分) 1.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌;并且从 10 千米处开 始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪.刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施,那么第 二次同时经过这两种设施的千米数是( )

123

(A)36 答:C.

(B)37

(C)55

(D)90

解:因为 4 和 9 的最小公倍数为 36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数 是在 55 千米处. 故选 C.
2 2 2.已知 m ? 1 ? 2 , n ? 1 ? 2 ,且 (7m ? 14m ? a )(3n ? 6n ? 7) =8,则 a 的值等于(



(A)-5 答:C.

(B)5

(C)-9

(D)9

2 2 解:由已知可得 m ? 2m ? 1 , n ? 2n ? 1 .又

(7m 2 ? 14m ? a )(3n 2 ? 6n ? 7) =8,所以 故选 C.

(7 ? a )(3 ? 7) ? 8

解得 a=-9

2 3.Rt△ABC 的三个顶点 A,B,C 均在拋物线 y ? x 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴.若斜边上

的高为 h,则( (A)h<1 答:B.

) (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

解:设点 A 的坐标为(a,a2) ,点 C 的坐标为(c,c2) (|c|<|a|) ,则点 B 的坐标为(-a,
2 2 2 2 2 a2) ,由勾股定理,得 AC ? (c ? a ) ? (c ? a ) ,

BC 2 ? (c ? a) 2 ? (c 2 ? a 2 ) 2 , 所以 (a 2 ? c 2 ) 2 ? a 2 ? c 2 .

AC 2 ? BC 2 ? AB 2

2 2 由于 a ? c ,所以 a2-c2=1,故斜边 AB 上高 h= a2-c2=1

故选 B. 4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分, 再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一 条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了 34 个六十二边形和一些多 边形纸片,则至少要剪的刀数是( (A)2004 答:B. 解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增 加 360°.于是,剪过 k 次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°. 因为这(k+1)个多边形中有 34 个六十二边形,它们的内角和为 34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1)-34= k-33(个), 而这些多边形的内角和不少于(k-33) ×180°. (B)2005 ) (C)2006 (D)2007

124

所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得 k≥2005. 当我们按如下方式剪 2005 刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下 1 个三角形, 得到 1 个三角形和 1 个五边形;再在五边形上剪下 1 个三角形,得到 2 个三角形和 1 个六边 形……如此下去,剪了 58 刀后,得到 58 个三角形和 1 个六十二边形.再取 33 个三角形,在 每个三角形上剪一刀,又可得到 33 个三角形和 33 个四边形,对这 33 个四边形,按上述正方 形的剪法,再各剪 58 刀,便 34 个六十二边形和 33×58 个三角形.于是共剪了 58+33+33 ×58=2005(刀) . 故选 B. 5. 如图, 正方形 ABCD 内接于⊙O, 点 P 在劣弧 AB 上, 连结 DP, 交 AC 于点 Q. 若 QP=QO, QC 则 QA 的值为( ) C D (A) 2 3 ? 1 ;(B) 2 3 (C) 3 ? 2 ;(D) 3 ? 2 答:D. 解:如图,设⊙O 的半径为 r,QO=m, 则 QP=m,QC=r+m,QA=r-m. 在⊙O 中,根据相交弦定理,得 QA·QC=QP·QD. 即 (r-m)(r+m)=m·QD ,所以
2

O Q A P B

r 2 ? m2 m . QD=

D

C

连结 DO,由勾股定理,得 QD2=DO2+QO2,
? r 2 ? m2 ? ? m ? ? 2 2 ? ? ?r ?m ? ,
3 m? r 3 解得
Q A P

O B



QC r ? m 3 ?1 ? ? ? 3?2 3 ?1 所以, QA r ? m 故选 D. 二、填空题 (共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6. 已知 a, b, c 为整数, 且 a+b=2006, c-a=2005. 若 a<b, 则 a+b+c 的最大值为 答:5013. 解:由 a ? b ? 2006 , c ? a ? 2005,得 a ? b ? c ? a ? 4011 . 因为 a ? b ? 2006 ,a<b,a 为整数,所以,a 的最大值为 1002. 于是,a+b+c 的最大值为 5013. 7.如图,面积为 a b ? c 的正方形 DEFG 内接于 角形 ABC,其中 a,b,c 为整数,且 b 不能被任
D
125



A G

面积为 1 的正三 何质数的平方整

B

E

F

C

a?c 除,则 b 的值等于



答:

?

20 3 .

m2 ?
解: 设正方形 DEFG 的边长为 x, 正三角形 ABC 的边长为 m, 则

4 3, 由△ADG∽△ABC,

3 m?x x ? 2 m 3 m 2 2 2 2 可得 ,解得 x ? ( 2 3 ? 3) m 于是 x ? ( 2 3 ? 3) m ? 28 3 ? 48 , a?c 20 ?? 3 . 由题意, a ? 28 , b ? 3 , c ? 48 ,所以 b 8.正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米.甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发,沿 A →B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为 50 米/分,乙的速度为 46 米/分.那么 出发后经过 答:104. 解:设甲走完 x 条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了 400x 米,乙
400 x

分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

走了 46× 50 =368x 米.于是 368(x-1)+800-400(x-1)>400, 所以,12.5≤x<13.5. 故 x=13,此时
t? 400 ? 13 50 ? 104



1? ? 2? ? ? 29 ? a ? ? a ? ? ? ? a ? ? ? 18 ? ? ? ? ? 30 30 30 ? ? ? ? ? ? 9.已知 0<a<1,且满足 ,则 ?10a ? 的值等 于 .( ?x? 表示不超过 x 的最大整数)

答:6. 解:因为 0<
a? 1 30 ?a? 2 30 ??? a ? 29 30 ?2



1? ? a? ? ? 所以 ? 30 ? ,

2? ? a? ? ? ? 30 ? ,…,

? 29 ? a? ? ? 30 ? ? 等于 0 或 1.

由题设知,其中有 18 个等于 1,所以
1? ? 2? ? ? 11 ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? ? ?a ? ? ? ? 30 ? ? 30 ? ? 30 ? =0,

? 12 ? ? 13 ? ? 29 ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? ? ?a ? ? ? ? 30 ? ? 30 ? ? 30 ? =1,

所以

0? a?

11 30

?1

,1≤

a?

12 30 <2.

126

19

故 18≤30a<19,于是 6≤10 a< 3 ,所以 ?10a ? =6. 10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8,成 为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字 2,成为一个八位数的电话号 码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的 81 倍, 则小明家原来的电话号码是 答:282500. 解:设原来电话号码的六位数为 abcdef ,则经过两次升位后电话号码的八位数为
2 a8bcdef .根据题意,有 81× abcdef = 2 a8bcdef .
4 3 2 记 x ? b ? 10 ? c ? 10 ? d ? 10 ? e ? 10 ? f ,于是



81 ? a ? 10 ? 81x ? 208 ? 10 ? a ? 10 ? x ,

5

5

6

解得 x=1250×(208-71a) .
128

因为 0≤x< 10 ,所以 0≤1250×(208-71a)< 10 ,故 71 所以,小明家原来的电话号码为 282500.

5

5

?a

208

≤ 71 .

因为 a 为整数,所以 a=2.于是 x=1250×(208-71×2)=82500. 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) b x? a , a , b 为互质的正整数(即 a , b 是正整数,且它们的最大公约数为 1) 11.已知 ,且

a ≤8, 2 ? 1 ? x ? 3 ? 1 .
(1)试写出一个满足条件的 x; (2)求所有满足条件的 x. 解: (1)
x? 1 2 满足条件.

……………5 分

(2)因为
2 ?1 ? b a

x?

b a , a ,为互质的正整数,且 a ≤8,所以

? 3 ?1





( 2 ? 1)a ? b ? ( 3 ? 1) a .

当 a=1 时, ( 2 ? 1) ? 1 ? b ? ( 3 ? 1) ? 1 ,这样的正整数 b 不存在. 当 a=2 时, ( 2 ? 1) ? 2 ? b ? ( 3 ? 1) ? 2 ,故 b =1,此时 当 a=3 时, ( 2 ? 1) ? 3 ? b ? ( 3 ? 1) ? 3 ,故 b =2,此时
x? x? 1 2. 2 3.

当 a=4 时, ( 2 ? 1) ? 4 ? b ? ( 3 ? 1) ? 4 ,与 a 互质的正整数 b 不存在.

127

当 a=5 时, ( 2 ? 1) ? 5 ? b ? ( 3 ? 1) ? 5 ,故 b =3,此时

x?

3 5.

当 a=6 时, ( 2 ? 1) ? 6 ? b ? ( 3 ? 1) ? 6 ,与 a 互质的正整数 b 不存在. 当 a=7 时, ( 2 ? 1) ? 7 ? b ? ( 3 ? 1) ? 7 ,故 b =3,4,5 此时 当 a=8 时, ( 2 ? 1) ? 8 ? b ? ( 3 ? 1) ? 8 ,故 b =5,此时
1 2 3 3 4 5 x? 5 8 x? 3 4 5 7, 7, 7.

5

所以,满足条件的所有分数为 2 , 3 , 5 , 7 , 7 , 7 , 8 .………………15 分 12.设 a , b , c 为互不相等的实数,且满足关系式
b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14
bc ? a ? 4a ? 5
2

① ②

求 a 的取值范围.
2 解法一:由①-2×②得 (b ? c ) ? 24( a ? 1) ? 0 ,所以 a>-1.

2 2 2 当 a>-1 时, b ? c ? 2a ? 16a ? 14 = 2( a ? 1)( a ? 7) ? 0 .……………10 分 c 2 ? a 2 ? 16a ? 14 , 又当 a ? b 时,由①,②得 ③

ac ? a ? 4a ? 5
2 2

2


2

2 2 将④两边平方,结合③得 a ( a ? 16a ? 14) ? ( a ? 4a ? 5)

化简得 故 解得

24 a ? 8a ? 40 a ? 25 ? 0 ,

3

(6a ? 5)(4a 2 ? 2a ? 5) ? 0 ,
a?? 5 6 ,或
a? 1 ? 21 4


a?? 5 6,

所以,a 的取值范围为 a>-1 且
2 2 2

a?

1 ? 21 4
2

.………………………15 分

解法二:因为 b ? c ? 2 a ? 16a ? 14 , bc ? a ? 4 a ? 5 ,
2 2 2 2 2 所以 (b ? c ) ? 2a ? 16a ? 14 ? 2(a ? 4a ? 5) ? 4a ? 8a ? 4 ? 4( a ? 1) ,

所以

b ? c ? ?2( a ? 1) . 又 bc ? a 2 ? 4 a ? 5 ,

2 2 所以 b , c 为一元二次方程 x ? 2(a ? 1) x ? a ? 4a ? 5 ? 0



的两个不相等实数根,
2 2 故 ? ? 4( a ? 1) ? 4( a ? 4a ? 5) ? 0 ,所以 a>-1.

2 2 2 当 a>-1 时, b ? c ? 2a ? 16a ? 14 = 2( a ? 1)( a ? 7) ? 0 .……………10 分

另外,当 a ? b 时,由⑤式有

a 2 ? 2( a ? 1) a ? a 2 ? 4a ? 5 ? 0 ,

128



4a ? 2a ? 5 ? 0 或 ?6 a ? 5 ? 0 ,解得,

2

a?

1 ? 21 4



a??

5 6.

当 a ? c 时,同理可得

a??

5 6或

a?

1 ? 21 4


a? 1 ? 21 4

所以,a 的取值范围为 a>-1 且

a??

5 6,

.………………………15 分

13.如图,点 P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B.过点 A 作 PB 的并行线,交⊙O 于点 C.连结 PC,交⊙O 于点 E;连结 AE,并延长 AE 交 PB 于点 K.求 证:PE·AC=CE·KB. 证明:因为 AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又 PA 是⊙O 的切线, 所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是 △KPE∽△KAP, 所以 所以
KP KE ? KA KP ,
P



KP 2 ? KE ? KA .

K E B A O

由切割线定理得
KP ? KB .

KB ? KE ? KA
………………10 分

2

因为 AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是 PE KP PE KB ? ? CE AC CE AC , 故 即 PE·AC=CE·KB. ………………15 分

14. 10 个学生参加 n 个课外小组, 每一个小组至多 5 个人, 每两个学生至少参加某一个小组, 任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求 n 的最小值. 解:设 10 个学生为 S 1 , S 2 ,…, S 10 ,n 个课外小组 G1 , G2 ,…, Gn . 首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学 生为 S 1 ,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它 9 个学生都与他在同一组出 现,于是这一组就有 10 个人了,矛盾. ………………5 分 若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 S 1 恰好参加 G1 , G2 ,由题设,对于这两组,至少 有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与 S 1 没有同过组,矛盾. 所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是 n 个课外小组 G1 , G2 ,…, Gn 的人数之和 不小于 3×10=30. 另一方面,每一课外小组的人数不超过 5,所以 n 个课外小组 G1 , G2 ,…, Gn 的人数不超 过 5n, 故 5n≥30, 所以 n≥6. ………………………10 分 下面构造一个例子说明 n=6 是可以的.

129

G1 ? ?S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 ? , G 2 ? ?S 1 , S 2 , S 6 , S 7 , S 8 ? , G 3 ? ?S 1 , S 3 , S 6 , S 9 , S 10 ? , G4 ? ?S 2 , S 4 , S 7 , S 9 , S 10 ? , G5 ? ?S 3 , S 5 , S 7 , S 8 , S 9 ? , G6 ? ?S 4 , S 5 , S 6 , S 8 , S 10 ? . 容易验证,这样的 6 个课外小组满足题设条件. 所以,n 的最小值为 6. ……………………………15 分

130

2006 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分。以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四 个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均 得 0 分) 1.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌;并且从 10 千米处开始,每 隔 9 千米经过一个速度监控仪.刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种 设施的千米数是( (A)36 答:C. 解:因为 4 和 9 的最小公倍数为 36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在 55 千米处. 故选 C. 2.已知 m ? 1 ? (A)-5 答:C. 解:由已知可得 m 2 ? 2m ? 1 , n 2 ? 2n ? 1 .又 ) (B)37 (C)55 (D)90

2 , n ? 1 ? 2 ,且 (7m 2 ? 14m ? a)(3n 2 ? 6n ? 7) =8,则 a 的值等于(
(B)5 (C)-9 (D)9



(7m 2 ? 14m ? a )(3n 2 ? 6n ? 7) =8,所以
故选 C.

(7 ? a )(3 ? 7) ? 8

解得 a=-9

3.Rt△ABC 的三个顶点 A,B,C 均在拋物线 y ? x 2 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴.若斜边上的高为

h,则(

) (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

(A)h<1 答:B.

131

解:设点 A 的坐标为(a,a2) ,点 C 的坐标为(c,c2) (|c|<|a|) ,则点 B 的坐标为 (-a,a2) ,由勾股定理,得 AC 2 ? (c ? a ) 2 ? (c 2 ? a 2 ) 2 ,

BC 2 ? (c ? a) 2 ? (c 2 ? a 2 ) 2 ,
所以

AC 2 ? BC 2 ? AB 2

(a 2 ? c 2 ) 2 ? a 2 ? c 2 .

由于 a 2 ? c 2 ,所以 a2-c2=1,故斜边 AB 上高 h= a2-c2=1 故选 B. 4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一 条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的 直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了 34 个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是 ( ) (A)2004 答:B. 解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加 360°.于是,剪过 k 次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°. 因为这(k+1)个多边形中有 34 个六十二边形,它们的内角和为 34×(62-2)×180°=34×60×180°, 其余多边形有(k+1)-34= k-33(个), 而这些多边形的内角和不少于(k-33) ×180°. 所以(k+1)×360°≥34 ×60×180°+(k-33)×180°,解得 k≥2005. 当我们按如下方式剪 2005 刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下 1 个三角形,得到 1 个三角形和 1 个五边形;再在五边形上剪下 1 个三角形,得到 2 个三角形和 1 个六边形……如此下去,剪了 58 刀后,得到 58 个三角形和 1 个六十二边形.再取 33 个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到 33 个三角形和 33 个四边形,对这 33 个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪 58 刀,便 34 个六十二边形和 33×58 个三角形.于是共剪了 (B)2005 (C)2006 (D)2007

132

58+33+33×58=2005(刀) . 故选 B. 5.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 DP,交 AC 于点 Q.若 QP=QO,则

QC 的值为( QA



D

C

(A) 2 3 ? 1 (B) 2 3 A (C) 3 ? (D) 3 ? 2 答:D. 解:如图,设⊙O 的半径为 r,QO=m,则 QP=m,QC=r+m, D Q

O

B P (第 5 题图)

2

C

QA=r-m.
在⊙O 中,根据相交弦定理,得 QA·QC=QP·QD. Q 即 (r-m)(r+m)=m·QD ,所以 QD= O

r ?m . m

2

2

A P (第 5 题图)

B

连结 DO,由勾股定理,得 QD2=DO2+QO2,



? r 2 ? m2 ? ? m ?

? 2 2 ? ? ?r ?m , ?

2

解得 m ?

3 r 3

所以,

QC r ? m 3 ?1 ? ? ? 3?2 QA r ? m 3 ?1

故选 D. 二、填空题 (共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6 .已 知 a , b, c 为 整数, 且 a + b=2006 , c- a=2005. 若 a<b , 则 a + b+ c 的 最大 值 为 .

133

答:5013. 解:由 a ? b ? 2006 , c ? a ? 2005,得 a ? b ? c ? a ? 4011 . 因为 a ? b ? 2006 ,a<b,a 为整数,所以,a 的最大值为 1002. 于是,a+b+c 的最大值为 5013. 7.如图,面积为 a b ? c 的正方形 DEFG 内接于

A

D
面积为 1 的正三角形 ABC,其中 a,b,c 为整数, 且 b 不能被任何质数的平方整除,则 等于 答: ? .

G

a?c 的值 b

B

E

F

C

(第 7 题图)

20 . 3

解:设正方形 DEFG 的边长为 x,正三角形 ABC 的边长为 m,则 m 2 ?

4 3



3 m?x x 2 由△ADG∽△ABC,可得 ? , 解得 x ? ( 2 3 ? 3) m m 3 m 2
于是

x 2 ? (2 3 ? 3) 2 m 2 ? 28 3 ? 48 ,

由题意, a ? 28 , b ? 3 , c ? 48 ,所以

a?c 20 ?? . b 3

8.正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米.甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发,沿 A→B→C →D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为 50 米/分,乙的速度为 46 米/分.那么出发后经过 钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上. 答:104. 解:设甲走完 x 条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了 400x 米,乙走了 46 分

400 x =368x 米.于是 368(x-1)+800-400(x-1)>400, 50 400 ? 13 所以,12.5≤x<13.5. 故 x=13,此时 t ? ? 104 . 50
×

134

9 . 已 知 0<a<1 , 且 满 足 ? a ? ? ?a ? ? ? ? ? ?a ? ? ? 18 , 则 ?10a ? 的 值 等 30 ? 30 ? 30 ? ? ? ? ? 于 答:6. .( ?x? 表示不超过 x 的最大整数)

?

1?

?

2?

?

29 ?

解:因为 0< a ?

1 2 29 ?a? ??? a? ? 2 ,所以 30 30 30

1? ? 2? 29 ? ? ? ?a ? 30 ? , ? a ? 30 ? ,…, ?a ? 30 ? 等于 ? ? ? ? ? ?

0 或 1.由题设知,其中有 18 个等于 1,所以

1? ? 2? ? ? a ? 30 ? ? ? a ? 30 ? ? ? ? ? ? ? ?
所以

11 ? 12 ? ? ? ?a ? 30 ? =0, ? a ? 30 ? ? ? ? ? ?

13 ? 29 ? ? ? ?a ? 30 ? ? ? ? ? a ? 30 ? =1, ? ? ? ?

11 12 <2. ? 1 ,1≤ a ? 30 30 19 故 18≤30a<19,于是 6≤10 a< ,所以 ?10a ?=6. 3 0?a?
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8,成为一个 七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字 2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家 两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的 81 倍,则小明家原来的电话号码 是 . 答:282500. 解:设原来电话号码的六位数为 abcdef ,则经过两次升位后电话号码的八位数为

2a 8bcdef .根据题意,有 81× abcdef = 2a 8bcdef .
记 x ? b ? 10 4 ? c ? 10 3 ? d ? 10 2 ? e ? 10 ? f ,于是

81 ? a ? 10 5 ? 81 x ? 208 ? 10 5 ? a ? 10 6 ? x ,
解得 x=1250×(208-71a) . 因为 0≤x< 10 ,所以 0≤1250×(208-71a)< 10 ,故
5 5

128 208 . ? a≤ 71 71

因为 a 为整数,所以 a=2.于是 x=1250×(208-71×2)=82500. 所以,小明家原来的电话号码为 282500.

135

三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 11. 已知 x ?

b , a , b 为互质的正整数 (即 a , b 是正整数, 且它们的最大公约数为 1) , 且 a ≤8, a

2 ?1 ? x ? 3 ?1.
(1)试写出一个满足条件的 x; (2)求所有满足条件的 x.

1 满足条件. 2 b (2)因为 x ? , a ,为互质的正整数,且 a ≤8,所以 a b 2 ?1 ? ? 3 ?1, 即 ( 2 ? 1) a ? b ? ( 3 ? 1) a . a
解: (1) x ?

……………5 分

当 a=1 时, ( 2 ? 1) ? 1 ? b ? ( 3 ? 1) ? 1 ,这样的正整数 b 不存在.

1 . 2 2 当 a=3 时, ( 2 ? 1) ? 3 ? b ? ( 3 ? 1) ? 3 ,故 b =2,此时 x ? . 3
当 a=2 时, ( 2 ? 1) ? 2 ? b ? ( 3 ? 1) ? 2 ,故 b =1,此时 x ? 当 a=4 时, ( 2 ? 1) ? 4 ? b ? ( 3 ? 1) ? 4 ,与 a 互质的正整数 b 不存在. 当 a=5 时, ( 2 ? 1) ? 5 ? b ? ( 3 ? 1) ? 5 ,故 b =3,此时 x ?

3 . 5

当 a=6 时, ( 2 ? 1) ? 6 ? b ? ( 3 ? 1) ? 6 ,与 a 互质的正整数 b 不存在. 当 a=7 时, ( 2 ? 1) ? 7 ? b ? ( 3 ? 1) ? 7 ,故 b =3,4,5 此时 x ? 当 a=8 时, ( 2 ? 1) ? 8 ? b ? ( 3 ? 1) ? 8 ,故 b =5,此时 x ? 所以,满足条件的所有分数为

3 4 5 , , . 7 7 7

5 8

1 2 3 3 4 5 5 , , , , , , .………………15 分 2 3 5 7 7 7 8

12.设 a , b , c 为互不相等的实数,且满足关系式

b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 bc ? a 2 ? 4a ? 5
求 a 的取值范围.

① ②

解法一:由①-2×②得 (b ? c) 2 ? 24( a ? 1) ? 0 ,所以 a>-1.

136

当 a>-1 时, b 2 ? c 2 ? 2 a 2 ? 16a ? 14 = 2( a ? 1)(a ? 7) ? 0 .………………10 分 又当 a ? b 时,由①,②得

c 2 ? a 2 ? 16a ? 14 , ac ? a 2 ? 4a ? 5

③ ④

将④两边平方,结合③得 a 2 ( a 2 ? 16a ? 14) ? ( a 2 ? 4a ? 5) 2 化简得

24a 3 ? 8 a 2 ? 40 a ? 25 ? 0 ,



(6a ? 5)(4a 2 ? 2a ? 5) ? 0 ,

解得 a ? ?

5 1 ? 21 ,或 a ? . 6 4 5 1 ? 21 ,a? .………………………15 分 6 4

所以,a 的取值范围为 a>-1 且 a ? ?

解法二:因为 b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 , bc ? a 2 ? 4a ? 5 ,所以

(b ? c) 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 ? 2(a 2 ? 4a ? 5) ? 4a 2 ? 8a ? 4 ? 4(a ? 1) 2 ,
所以

b ? c ? ?2( a ? 1) . 又 bc ? a 2 ? 4 a ? 5 ,所以 b , c 为一元二次方程

x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 4a ? 5 ? 0



的两个不相等实数根,故 ? ? 4( a ? 1) 2 ? 4( a 2 ? 4a ? 5) ? 0 ,所以 a>-1. 当 a>-1 时, b 2 ? c 2 ? 2 a 2 ? 16a ? 14 = 2( a ? 1)(a ? 7) ? 0 .………………10 分 另外,当 a ? b 时,由⑤式有

a 2 ? 2(a ? 1)a ? a 2 ? 4a ? 5 ? 0 ,
1 ? 21 5 或a?? . 4 6



4a 2 ? 2a ? 5 ? 0 或 ? 6a ? 5 ? 0 ,解得, a ?

当 a ? c 时,同理可得 a ? ?

5 1 ? 21 或a? . 6 4 5 1 ? 21 ,a? .………………………15 分 6 4

所以,a 的取值范围为 a>-1 且 a ? ?

13.如图,点 P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B.过点 A 作 PB 的并行 线,交⊙O 于点 C.连结 PC,交⊙O 于点 E;连结 AE,并延长 AE 交 PB 于点 K.求证:PE·AC=CE·KB. 证明:因为 AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又 PA 是⊙O 的切线, P

137

K E

所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是 △KPE∽△KAP, 所以

KP KE , 即 ? KA KP
由切割线定理得

KP 2 ? KE ? KA .

KB 2 ? KE ? KA
…………………………10 分

所以

KP ? KB .

因为 AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是

PE KP ? CE AC




PE KB , ? CE AC

PE·AC=CE·KB. ………………………………15 分
14.10 个学生参加 n 个课外小组,每一个小组至多 5 个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意

两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求 n 的最小值.

解:设 10 个学生为 S 1 , S 2 ,…, S 10 ,n 个课外小组 G1 , G2 ,…, Gn .
首先, 每个学生至少参加两个课外小组. 否则, 若有一个学生只参加一个课外小组, 设这个学生为 S 1 ,

由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它 9 个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有 10
个人了,矛盾. ………………………………5 分

若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 S 1 恰好参加 G1 , G2 ,由题设,对于这两组, 至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与 S 1 没有同过组,矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是 n 个课外小组 G1 , G2 ,…, Gn 的人数之和不小

于 3×10=30. 另一方面,每一课外小组的人数不超过 5,所以 n 个课外小组 G1 , G2 ,…, Gn 的人数不超过
5n, 故 5n≥30, 所以 n≥6. ……………………………10 分

下面构造一个例子说明 n=6 是可以的. G1 ? ?S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 ? , G 2 ? ?S 1 , S 2 , S 6 , S 7 , S 8 ? , G 3 ? ?S 1 , S 3 , S 6 , S 9 , S 10 ? ,

138

G4 ? ?S 2 , S 4 , S 7 , S 9 , S 10 ? , G5 ? ?S 3 , S 5 , S 7 , S 8 , S 9 ? , G6 ? ?S 4 , S 5 , S 6 , S 8 , S 10 ? . 容易验证,这样的 6 个课外小组满足题设条件. 所以,n 的最小值为 6.
……………………………15 分

139

2007 年全国初中数学竞赛(海南赛区)



赛 试



(本试卷共 6 页,满分 120 分,考试时间:3 月 18 日 8:30——10:30) 一、选择题(本大题满分 50 分,每小题 5 分) 在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 若 m 为实数,则代数式 m +m 的值一定是 A. 正数 B.0 C.负数 D.非负数

2.如图 1 所示,是两架处在平衡状态的天平,那么,对于 a、b、c 三种物体的重量,下 列判断正确的是 A.c>a B.a<b C.a<c D. b<c

3. 如图 2,点 C 是∠PAQ 的平分在线一点,点 B、B′分别在边 AP、AQ 上,如果再添加 一个条件,即可推出 AB=AB′,那么该条件不可以是 A. BB′⊥AC D. ∠ABC=AB′C B. CB=CB′ C. ∠ACB= ∠ ACB ′

图2 图1

4.图 3 是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼

成的一个大

140

正方形,如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的两条直角边长分别 为 a、b,则(a+b)2 的值是

A.13

B.19

C.25

D.169

图3
2006 + 3 的值等于 m2 +1

5.已知 m 是方程 x 2 - 2006 x + 1 = 0 的一个根,则代数式 m 2 - 2005m + A.2005 B.2006 C.2007

D.2008

6.将一段 72cm 长的绳子,从一端开始每 3cm 作一记号,每 4cm 也作一记号,然后从 有记号的地方剪断,则这段绳子共被剪成的段数为 A.37 B.36 C.35 D.34

7. 某旅游团 92 人在快餐店就餐,该店备有 9 种菜,每份功能窗体价分别为 1、2、3、 4、5、6、7、8、9(元) ,旅游团领队交代:每人可选不同的菜,但金额都须正好 10 元,且每 一种菜最多只能买一份,这样,该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中,至少有一个方案 的人数不少于 A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人

8.如图 4 是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图,则这立体图形中小正方体 共有( )块

A.9

B.10

C.11

D.12

9.如图 5,将△ABC 沿着它的中位线 DE 折迭后,点 A 落到点 A′,若∠C=120 ? ,∠A=26

? ,则∠A′DB 的度数是

141

A.120 ? 10. 方程 2x - x 2 = A.0 个

B.112 ?

C.110 ?

D.108 ?

2 的正根的个数是 x

B.1 个

C.2 个

D.3 个

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分)

[- 3.7] = -4, [0.7] = 0 等,则 11.若 [x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [3.2] = 3,
_________

[ 5 ]+ 3[- π] =

12 . 在 直 径 为 4cm 的 ⊙ O 中 , 长 度 为 2 3 cm 的 弦 BC 所 对 的 圆 周 角 的 度 数 为 . 13.如图 6,电路图上有四个开关 A、B、C、D 和一个小灯泡,闭合开关 D 或同时闭合 开关 A、B、C 都可以使小灯泡放光,那么随机闭合其中两个开关,能使小灯泡发光的概率为 ____________°. 14. 如图 7, 在△ABC 中, AB=5,AC=3,D 为 BC 的中点, AD=2, 则 tan∠BAD= __________.

15.若干个 装卸一批货物,每个工人的装卸速度相同,如果这些工人同时工作,则需 10 小时装卸完毕;现改变装卸方式,开始一个人干,以后每隔 t(整数)小时增加一个人干,每 个参加装卸的人都一直干到装卸完毕,且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的 改变的方式装卸,自始至终共需时间 小时. 路程 y 图 8 中的 次 比 赛
1 ,则按 4

16.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手所走的 (千米)随时间 x(分钟)变化的图像(全程)分别用 实线(O→A→B→C)与虚线(OD)表示,那么,在本

142

过程中,乙领先甲时的 x 的取值范围是

.

17.已知 a<3,b>3,且 a + b = k - 1 ,ab=3,则 k 的最小整数值是_____________. 18.若 x + y + z = 30, 3x + y - z = 50 ,且 x、y、z 均为非负数,则 M = 5x + 4 y + 2z 的最大值 为_________________. 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 15 分,满分 30 分) 19. 已知在△ABC 中, ∠ACB=90 ? , AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点 置于 AB 的中点 O,两直角边分别经过点 B、C,然后将三角板绕点 O 按顺时针方向旋转 一个角度 α(0 ? <

α <90 ? ) ,旋转后,直角三角板的直角边分别与 AC、BC 相交于点 K、

H,四边形 CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重迭部分(如图所示) 。那么,在上述 旋转过程中: (1) 线段BH与CK具有怎样的数量关系?四边形CHOK的面积是否发生变化?证明你发 现的结论; (2)连接HK,设BH=x. ①当△CKH的面积为
2 时,求出x的值。 3

②试问△OKH的面积是否存在最小值, 若存在, 求出此时x的值, 若不存在, 请说明理由。

20. 某农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台、乙型 30 台,现将这 50 台联 合收割机派往 A、B 两地区收割水稻,其中 30 台派往 A 地区,20 台派往 B 地区,两地区与 该农机公司商定的每天租赁价格如下表:

143

每台甲型收割机的租金 (1)设 派 台乙型联合 赁公司这

每台乙型收割机的租金 1600 元 1200 元 往 A 地区 x 收割机,租 50 台 联 合

A 地区 B 地区

1800 元 1600 元

收割机一天获得的租金为 y 元,求 y 关于 x 的函数关系式; (2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元, 试写出满足条件 的所有分派方案; (3)请你为农机租赁公司拟出一个分派方案,使该公司50台收割机每天获得租金最高,并 说明理由。

2007 年全国初中数学竞赛(海南赛区) 初赛试卷参考答案
一、选择题:1. D;2. A;3. B ;4. C;5. D;6. B;7. C; 8. A; 9. B; 10. A。 1.提示:若 m≥0,则|m|+ m= m=2 m≥0;若 m<0,则|m|+ m=-m+ m =0,故选 D; 2.提示:由左天平知 a>b,由右天平知 b>c,∴a>c 故选 A; 3.提示:由已知条件和选项 B 不能保证△ACB≌△ACB′,从而无法推出 AB=AB′,故选 B; 4.提示:依题意知(a-b)2=1,∴a2-2ab+ b2=1,又∵a2+ b2=13,∴2ab=12, ∴(a+b)2=a+2ab+ b2=13+12=25,故选 C; 5.由已知条件得 m2-2006m+1=0,∴m2-2005m= m-1,m2+1= 2006m, 于是原式=m-1+ 故选 D;

2006 1 m2-m+1 2006m-m +3=-1+ +3= +3= +3=3005+3=2008, 2006m m m m

144

6.提示:每隔 3cm 剪一刀共剪 72÷3-1=24-1=23(刀) , 每隔 4cm 剪一刀,共剪 72÷4-1=17(刀) , 所以应共剪 23+17=40(刀) ,但其中重复位置的刀数为:72÷12-1=5(刀) , 因此互不重复的刀数为 40-5=35(刀) , 所以 72cm 长的绳子按要求被剪的段数为 35+1=36(段) ,故选 B, 7.提示:因为每份菜单价为别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9(元) ,共 9 种菜, 所有符合要求的购菜方案为: 1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5, 1+2+3+4, 又共有 92 人就餐,∴92÷9=10…余 2,故选 C; 8.提示:从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体, 各位置上小正方体的个数如图所示,故选 A; 9.提示:分别延长 BD,CE 相交,则交点即为点 A, 由三角形中位线的性质知 DE∥BC, ∴∠ADE=∠B=180°-∠C-∠A=180°-120°-26°=34°, 又由轴对称的性质知∠A′DE=∠ADE=34°, ∴∠A′DB=180°-2×34°, ∴∠A′DB=180°-2×34°=112°, 故选 B; 10.提示,分别画出函数 y=2x-x2 和 y= 因为函数 y=2x-x2 和 y= 因此,方知 2x-x2= 共 9 种,

2 在 x>0 的图像(如 图所 x

示) ,

2 的图像在第一象限内无交点, x

2 无正数根,故选 A。 x 2 正数解 x 的值的范围应是 0<x<2,而 x

另解:令 2x-x2=0,解得 x1=0,x2=2,易知方程 2x-x2= 此时 2x-x2=-(x-1)2+1≤1,

2 >1,因此,原方程无正数解。 x

145

二、填空题:11.10;12.60°或 120°;13.

1 3 ;14. ;15.16;16.24<x<38;17. -2 2 ;18.130。 2 4

11. -10,提示: 〔 5 〕+3〔- ? 〕=2+3(-4)=2-12=10; 12. 60°或 120°,提示:作⊙0 的直径 AB,连结 AC, 则在△ABC 中,AB=4,BC=2 3 ,∠C=90°,∴∠A=60°, 设 BC 所对的圆周角为∠P.当∠P 的顶点 P 在 BAC 上时,∠P=∠A=60°, 当∠P 的顶点 P 在劣弧 BC 上时,∠P+∠A=180°,∴∠P=120°;

1 1 ,提示:画出树形图求解,答案为 ; 2 2 3 14. ,提示:延长 AD 到 E,使 DE=AD=2,连结 BE,则△BDE≌△CDA∴BE=AC=3, 4 BE 3 又 AE=4,AB=5,显然△AEB 为 Rt△,∠E=90°,∴tan∠BAD= = ; AD 4
13. 15.16, 提示: 设自始至终需 x 小时, 由于每个工人的装卸速度相同, 且工作时间是等差递减的, 因此, 这些工人的装卸时间的平均数为

1 1 1 1 (x+ x) ;于是得方程 (x+ x)=10; 2 4 2 4

16.24<x<38,提示:分别求线段 AB、BC 与线段 OD 的交点的横坐标。 17.6.提示:∵a<3,b>3,∴a-3<0,b-3>0, ∴(a-3)(b-3)<0, ∴ab-3(a+b)+9<0, 又∵a+b=k-1,ab=3,代入上述不等式,得 3-3(k-1)+9<0,解得 k>5。
x ? y ? z ? 30 18.130,提示:由 ? 用 x 来表示 y、z,得 y=40-2x,z=x-10, ? ?3x ? y ? z ? 50 40 ? 2 x ? ? 又由 y≥0,z≥0,得 ? 解得 10≤x≤20, ? ? x ??? ? ?

又把 y=40-2x,z=x-10 代入 M=5x+4y+2z 得,M=-x+140, 显然 M 是关于 x 的一次函数,且 M 随 x 增大而减小, 所以当 x=10 时,M 的最大值为 130。 三、解答题:

146

19.(1)在旋转过程中,BH=CK,四边形 CHOK 的面积始终保持不变,其值为△ABC 面积的一半. 理由如下:连结 OC∵△ABC 为等腰直角三角形,O 为斜边 AB 的中点,CO ? AB ∴∠OCK=∠B=45°,CO=OB, 又 ∵∠COK 与∠BOH 均为旋转角, ∴∠COK=∠BOH= ? ∴△COK≌△BOH ∴BH=CK,S 四边形 CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB= (2)①由(1)知 CK=BH=x,∵BC=4,∴CH=4-x,

? S△ABC=4. ?

? ? CH·CK= ,即(4-x)x=3,解这个方程得 x1=1,x2=3, ? ? ? 此两根满足条件:0<x<4 所以当△CKH 的面积为 时,x 的取值是 1 或 3; ?
根据题意,得 ②设△OKH 的面积为 S,由(1)知四边形 CHOK 的面积为 4,于是得关系式: S=4-S△CKH =4- =

? x(4-x) ?

? (x2-4x)+4 ? ? = (x2-2)+2 ?
当 x=2 时,函数 S 有最小值 2, ∵x=2 时,满足条件 0<x<4, ∴△OKH 的面积存在最小值,此时 x 的值是 2. 20.(1)由于派往 A 地的乙型收割机 x 台,则派往 B 地的乙型收割机为(30-x)台,派往 A、B 地区 的甲型收割机分别为(30-x)台和(x-10). ∴y=1600x+1200(30-x)+1800(30-x)+1600(x-10) =200x+74000 (10≤x≤30)

(2)由题意,得 200x+74000≥79600,解得 x≥28,

147

∵10≤x≤30,x 是正整数 ∴x=28、29、30 ∴有 3 种不同分派方案: ①当 x=28 时,派往 A 地区的甲型收割机 2 台,乙型收割机 28 台,余者全部派往 B 地区; ②当 x=29 时,派往 A 地区的甲型收割机 1 台,乙型收割机 29 台,余者全部派往 B 地区; ③当 x=30 时,即 30 台乙型收割机全部派往 A 地区,20 台甲型收割机全部派往 B 地区; (3)∵y=200x+74000 中 y 随 x 的增大而增大 ∴当 x=30 时,y 取得最大值,此时,y=200×30+74000=80000,建议农机租赁公司将 30 台乙 型收割机全部派往 A 地区,20 台甲型收割机全部派往 B 地区,这样公司每天获得租金最高,最高租金 为 80000 元.

148

初三数学竞赛试题(初试)06.10.18
一、 填空题(每题 5 分,共 70 分)

1. 计算 ?

?

x

?1 ? x

?

1? x ? ?÷ x ?

? x 1? x ? ? ? ? =__________________. x ? ?1 ? x

2. 在△ABC 中,AB=3,AC=4,高 AD=2.4,设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为 R,则 R 的最小值是 ____________. 3. 已知,实数 m 満足 2007 ? m ?

m ? 2008 ? m ,则 m-20072=______.

4. 方程 x =mx+2 有一负根而无正根,则实数 m 的取值范围是________________. 5. 方程 x2-(m+2)x+m2+1=0 有实根 α、β,则 α2+β2 的最大值是___________. 6. 某校为方便学生中午在校就餐,与某快餐公司联 学生供应价格不等的 6 种盒饭(每人只限一份), 右 某一天销售情况统计图,条形框上的百分数是销 该种盒饭占总销售量的百分数。若该天销售了 份盒饭,加工各种盒饭的成本如下表所示。每天 公司可盈利_________元。 7. P 为△ABC 内一点,AP、BP、CP 与对边相交, 2 (元) 成本 1.8 (元) 2.4 3 3.8 4.2 4.5 3 4 5 6 7 把△ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的 面积已在图上标明,则 △ABC 的 面 积 等 于 系 为 图 是 售 的 1500 快 餐

单位

A F B

__________。

84 70 40 P D 35

E C

8. 如图,大半圆的弦 AB 与小半圆相切,且 AB∥CD,AB=4。则阴影部分的面 积是__________________。

149

9. 方 程 组

? xy ? 2 x ? y ? ?1 ? 的 解 是 ? xz ? 3 x ? z ? 0 ? yz ? 3 y ? 2 z ? ?3 ?

A

B

_________________.

C
10. 如图,有一条双向公路隧道,其横断面由拋物 的三边 DA、AB、BC 围成,隧道最大高度为 4.9 米, 米,若有一辆高为 4 米、宽为 2 米的集装箱的汽车要通

O1 O

D
线和矩形 ABCD AB=10 米, BC=2.4 过隧道,为了使箱

D A

C B

顶不碰到隧道顶部,又不违反交通规则(汽车应靠道路右侧行驶,不能超过道路中线),汽车的右侧必须 离开隧道右壁___________。 11. 已知, a+d2=2005, b+d2=2006, c+d2=2007,且 abc=4, 则

a b c 1 1 1 ? ? ? ? ? =_____________________。 bc ac ab a b c

12. 三个动点 A、 B、 C 分别在同一圆周上沿同一方向作圆周运动, 并且同时从同一点出发, A 跑在 B 前面, 接着又沿圆周追到 B 的背后,并且在出发 8 秒钟后,第 样在出发 10 秒钟后,B 第一闪追上 C,问 A 第一次追

D

C

一次追上 B, 同 上 C 需 用

E
__________秒。 13. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 2, 又 BE∥AC, 且 AE=AC, BE=__________。 14. 长为 2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴转动一周,则得到的旋转体的体积是 ___________. 二、 解答题(共 50 分) 15. 桌上有一圆柱形玻璃杯高 12 ㎝,底面周长 18 ㎝,在杯内壁离杯口 滴密糖,一条小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至密糖相对方 .A 3 ㎝的 A 处有一 向离桌面 3 ㎜的

A

B



B.
150

O

B 处时(即 A、B 在底面的射影的联机段经过底面的圆心 O),突然发现了密糖,问小虫怎样爬到达密糖 最近?它至少爬多少路才能到达密糖所在位置。(10 分)

16. 某计算装置有一个数据入口 A 和一个运算结果的出口 B,将自然数中的各数依次输入 A 口,从 B 口分 别得到输出的数。结果表明:

①从 A 口输入 n=1 时,从 B 口得到 a1=

1 ; 3

②当 n≥2 时,从 A 口输入 n,从 B 口得到的结果是将前一结果 an-1 先乘以自然数中和第 n-1 个奇数再除以自然数中和第 n+1 个奇数, 试问:(1)从 A 口输入 2 和 3 时,从 B 口分别得到什么数? (2)从 A 口输入 2008 时,从 B 口得到什么数? (3)求:a1+a2+a3……+a2008 的值。

答案 :
1.

1 2x ? 1

2.2.5 3.2008

151

4.m>-1 且 m≠0 5.6 6.1677 7.315 8.2π

?x ? 0 ? x ? ?2 ? ? 9. ? y ? ?1 或 ? y ? ?3 ?z ? 0 ? z ? ?6 ? ?
10.大于 2m 小于 3m

3 4 40 12. 9
11. 13. 6 ?

2

14.

103 5? 480

15.6 13 16.(1)a2=

1 1 , a3= , 15 35 1 1 1 (2) a2008= = ? 4015 4017 16128255 2008 (3) a1+a2+a3……+a2008= 4017

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

2007 年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题
(2007 年 4 月 1 日
一 题 号 1-6 得 分 7-12 13 14 15 16 二

下午 1:00—3:00)
三 总分

评卷人 复查人

答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.以下每小题均给出了代 得 分 号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项 评卷人 的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分) 1.若 x ? x ? x ? 1 ? 0 ,则 x (A)1 (B)0
3 2

?27

? x ?26 + … + x ?1 ? 1 ? x + … + x 26 ? x 27 的值是(
(D)2 B E A



(C)-1

2.定义:定点 A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点 A F 与⊙O 之间的 K 距离.现有一矩形 ABCD 如图,AB=14cm, BC=12cm,⊙K 与矩形的边 AB、 C G BC、CD 分别相切于点 E、F、G,则点 A 与⊙K 的距离为( ) (第 2 题) (A)4cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm D

3.某班选举班干部,全班有 50 名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为 1,2,…,50.老师 规定:同意某同学当选的记“1”,不同意(含弃权)的记“0”. 如果令 ai,j ? ?

?1,第i号同学同意第j号同学当选, ?0,第i号同学不同意第j号同学当选.


其中 i=1,2,…,50;j=1,2,…,50. 则同时同意第 1 号和第 50 号同学当选的人数可表示为( (A) a1, 1 ? a1, 2 + … + a1, 50 ? a 50, 1 ? a 50, 2 ? … + a 50, 50

162

(B) a1, 1 ? a 2, 1 + … + a 50, 1 ? a1, 50 ? a 2, 50 ? … + a 50, 50 (C) a1, 1 a1, 50 + a 2, 1 a 2, 50 + … + a 50, 1 a 50, 50 (D) a1, 1 a 50, 1 + a1, 2 a 50, 2 + … + a1, 50 a 50, 50 4.若

a b c ? ? ? t ,则一次函数 y ? tx ? t 2 的图像必定经过的象限是( b?c c?a a?b
(B)第一、二、三象限 (D)第三、四象限



(A)第一、二象限 (C)第二、三、四象限

5.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( B (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个 A 6.如图,以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形 BCEF,设正方 O 形的中心为 O, 连结 AO, 如果 AB=4, AO= 6 2 , 那么 AC 的长等于( ) F (A) 12 (B) 16 (C) 4 3 (D) 8 2 E (第 6 题) C

)

得 二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分)



评卷人

7.函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 ,当 x = 小值等于 .

时,y 有最小值,最 A

8.以立方体的 8 个顶点中的任意 3 个顶点为顶点的三角形中,正三角形的 个数为 . B C

D

9.如图,△ABC 中,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=6 cm,AC=4 cm,∠ (第 9 题)

A=60°,则 AD 的长为

cm.

10.设 x1,x 2,x 3, … , x 2007 为实数,且满足

x1 x 2 x3 … x 2007 = x1 ? x 2 x3 … x 2007 = x1 x 2 ? x3 … x 2007 =…= x1 x 2 x3 … x 2006 ? x 2007 =1,
则 x 2000 的值是 .

11.正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米,甲、乙两只机器鼠分别从A,C 两点同时出发,均按A→B→C

163

→D→E→F→A→… 方向沿轨道奔跑,甲的速度为9.2厘米/秒,乙的速度为8厘米/秒,那么出发后经 过 秒钟时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.
2015

12.正整数M的个位上的数字与数 2013

的个位上的数字相同,把M的个位上的数字移到它的左边第一

位数字之前就形成一个新的数N.若N是M的4倍,T是M的最小值,则T的各位数字之和等 于 .

164

三、解答题(共 4 小题,满分 54 分) 得 13. (本题满分 12 分) 分

评卷人

已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像 G 和 x 轴有且只有一个交点 A, 与y 轴的交点为 B(0,4) ,且 ac ? b . (1)求该二次函数的解析表达式; (2)将一次函数 y= ?3 x 的图像作适当平移,使它经过点 A,记所得的图像为 L,图像 L 与 G 的另一 个交点为 C,求△ABC 的面积.

14. (本题满分 12 分)





评卷人 如图,AB∥CD、AD∥CE,F、G 分别是 AC 和 FD 的中点,过 G 的直线依 E 次交 AB、AD、CD、CE 于点 M、N、P、Q,求证:MN+PQ=2PN. Q

C G F A

P

D N

M

B

得 15. (本题满分 14 分)



评卷人 2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上,依次记为 P 1,P 2,P 3 ,…, P 2007 .小明用红色按如下规则 去涂这些点:设某次涂第 i 个质点,则下次就涂第 i 个质点后面的第 i 个质点.按此规则,小明能否将

165

所有的质点均涂成红色?若能,请给出一种涂点方案;若不能,请说明理由.

16. (本题满分 16 分)





评卷人

从连续自然数 1,2,3,…,2008 中任意取 n 个不同的数, (1)求证:当 n=1007 时,无论怎样选取这 n 个数,总存在其中的 4 个数的和等于 4017. (2)当 n≤1006(n 是正整数)时,上述结论成立否?请说明理由.

2007 年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题参考答案
一、选择题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.答案:C 解:由 x 3 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 , 所以 x 2.答案:A 解:连结 AK、EK,设 AK 与⊙O 的交点为 H,则 AH 即为所求, 因为 AK= EK 2 ? AE 2 =10,所以 AH = 4. 3.答案:C 解:由题意得 C 正确. 4.答案:A 解:由已知可得 a ? b ? c ? 2( a ? b ? c )t , 当 a ? b ? c ? 0 时, t ? C G (第 2 题) D
?27

? x ?26 + … + x ?1 ? 1 ? x + … + x 26 ? x 27 =-1.

B F

E H K

A

1 1 1 , y ? x ? ,直线过第一、二、三象限; 2 2 4

当 a ? b ? c ? 0 时, t ? ?1 , y ? ? x ? 1 ,直线过第一、二、四象限. 综合上可得,直线必定经过的象限是第一、二象限. 5.答案:C

166

解:设直角三角形的两条直角边长为 a, b ( a ? b ),则

1 a ? b ? a 2 ? b 2 ? k ? ab (a,b,k 均为正整数), 2
化简,得 ( ka ? 4)( kb ? 4) ? 8 ,所以 ?

? ka ? 4 ? 1 ?ka ? 4 ? 2 或? . ?kb ? 4 ? 8 ?kb ? 4 ? 4

? k ? 1 ?k ? 2 ?k ? 1, ? ? ? 解得 ? a ? 5 或 ? a ? 3 或 ?a ? 6, 即有 3 组解. ?b ? 12 ?b ? 4 ?b ? 8. ? ? ?
6.答案:B

B A G O F C

解:在 AC 上取一点 G,使 CG=AB=4,连接 OG,则 △OGC≌△OAB,所以 OG=OA= 6 2 ,

E ∠ AOG=90°,所以△ AOG 是等腰直角三角形, AG= 12 ,所以 (第 6 题)

AC=16.

二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 7.答案:-2,2 解:当 x≤-3 时,y= -3x-6; 当-3<x≤-2 时,y= -x; 当-2<x≤-1 时,y=x+4; 当 x>-1 时,y=3x+6. ; 所以当 x=-2 时,y 的值最小,最小值为 2. 8.答案:8 个 解:正三角形的各边必为立方体各面的对角线,共有 8 个正三角形. 9.答案:

12 3 5

解:由 S△ABC=S△ABD + S△ADC ,得

1 1 1 AB ? AC ? sin 60? = AB ? AD ? sin 30? ? AD ? AC ? sin 30? . 2 2 2 12 3 解得 AD= . 5 3? 5 10.答案:1,或 ? 2 1 1 解:由已知, x1 x 2 x3 … x 2000 ? =1, x1 x 2 x3 … x1999 ? =1, x1 x 2 x3 ? x 2000 x1 x 2 x3 ? x1999

167

1? 5 1? 5 , x1 x2 x3 ? x1999 ? . 2 2 3? 5 所以 x 2000 ? 1 ,或 x2000 ? ? . 2 8 11.答案:104 23
解得 x1 x2 x3 ? x2000 ? 解:设甲跑完 x 条边时,甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上,此时甲走了 120x 厘米,

? 120( x ? 1) 8? ? 240 ? 120( x ? 1) ? 120, ? 120 x ? 9.2 乙走了 8 ? 厘米,于是 ? 9. 2 ?8 ? 120 x ? 240 ? 120 x ? 120. ? 9.2 ? 2 2 120 ? 8 2400 8 解得 7 ? x ? 8 .因x是整数,所以x=8,即经过 = = 104 秒时,甲、乙两只机 3 3 9.2 23 23
器鼠第一次出现在同一条边上. 12.答案:36 解: 2013 2015 的个位数字是 7, 所以可设 M ? 10k ? 7 ,其中 k 是 m 位正整数,则 N ? 7 ? 10 ? k . 由条件 N=4M,得 7 ? 10 m ? k = 4(10k ? 7) ,即 k ?
m

7(10 m ? 4) . 39

当 m=5 时,k 取得最小值 17948.所以 T=179487,它的各位数字之和为 36. 三、解答题(共 4 题,满分 54 分) 13.(12 分) 解: (1)由 B(0,4)得,c=4.

G 与 x 轴的交点 A( ?

b ,0) , 2a

由条件 ac ? b ,得

b b c ? c ,所以 ? = ? ? ?2 ,即 A( ?2 ,0) . a 2a 2

所以 ?

?b ? 4a, ?a ? 1, 解得 ? ?4a ? 2b ? 4 ? 0. ?b ? 4.
2

所求二次函数的解析式为 y ? x ? 4 x ? 4 . (2)设图像 L 的函数解析式为 y= ?3 x+b,因图像 L 过点 A( ?2 ,0) , 所以 b ? ?6 ,即平移后所得一次函数的解析式为

168

y C

y= ?3 x ? 6 .
令 ?3 x ? 6 = x ? 4 x ? 4 , 解得 x1 ? ?2 , x2 ? ?5 . B 将它们分别代入 y= ?3 x ? 6 , 得 y1 ? 0 , y2 ? 9 . x 所以图像 L 与 G 的另一个交点为 C( ?5 ,9) .
2

D

A O (第 13 题)

如图,过 C 作 CD⊥x 轴于 D,则

S△ABC=S 梯形 BCDO-S△ACD -S△ABO
=

1 1 1 (4 ? 9) ? 5 ? ? 3 ? 9 ? ? 2 ? 4 =15. 2 2 2

169

14.(12 分) 证明:延长 BA、EC,设交点为 O,则 四边形 OADC 为平行四边形. ∵ F 是 AC 的中点, ∴ DF 的延长线必过 O 点,且 ∵ AB∥CD, ∴

DG 1 ? . OG 3

MN AN ? . PN DN
E Q ∵ AD∥CE,

C G F O A

P

D N

M

B

PQ CQ ? . PN DN MN PQ AN CQ ∴ ? ? ? PN PN DN DN AN ? CQ = . DN DN DG 1 ? 又 ? , OQ OG 3
∴ ∴ OQ=3DN.

∴ CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD,AN=AD -DN, 于是,AN+CQ=2DN, ∴

MN PQ AN ? CQ ? ? =2,即 MN+PQ=2PN. PN PN DN

15.(14 分) 解:不能. 理由:设继 Pi 点涂成红色后被涂到的点是第j号,则

j= ?

2i, 2i ? 2007, ?2i ? 2007, 2i ? 2007. ?

若 i =2007,则j=2007,即除 P2007 点涂成红色外,其余均没有涂到. 若 i ? 2007,则2 i ? 2007,且2 i ? 4014,即2 i -2007 ? 2007,

170

表明 P2007 点永远涂不到红色. 16.(16 分) 解:(1)设 x1,x2,x3 ,…, x1007 是 1,2,3,…,2008 中任意取出的 1007 个数. 首先,将1,2,3,…,2008分成1004对,每对数的和为2009, 每对数记作(m,2009-m) ,其中m=1,2,3,…,1004. 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数,所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为 1001对, 因此至少有3对数,不妨记为 ( m1, 2009 ? m1 ), (m2, 2009 ? m2 ), (m3, 2009 ? m3 ) ( m1,m2,m3 互不相等)均为 x1,x2,x3 ,…, x1007 中的6个数. 其次,将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对,每对数的和为2008,每对 数记作(k ,2008-k) ,其中k=1,2,…,1003. 2006个数中至少有1005个数被取出,因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数,这 1003对数中, 至少有2对数是 x1,x2,x3 , …, x1007 中的4个数, 不妨记其中的一对为 ( k1, 2008 ? k1 ) . 又在三对数 ( m1, 2009 ? m1 ), (m2, 2009 ? m2 ), (m3, 2009 ? m3 ) ,( m1,m2,m3 互不相等)中至少存在 1对数中的两个数与 ( k1, 2008 ? k1 ) 中的两个数互不相同,不妨设该对数为 (m1, 2009 ? m1 ) , 于是 m1 ? 2009 ? m1 ? k1 ? 2008 ? k1 ? 4017 . (2)不成立. 当 n ? 1006 时,不妨从 1,2,…,2008 中取出后面的 1006 个数: 1003 ,1004,…,2008, 则其中任何四个不同的数之和不小于 1003+1004+1005+1006=4018>4017; 当 n ? 1006 时,同样从 1,2,…,2008 中取出后面的 n 个数,其中任何 4 数之和大于 1003+1004+1005+1006=4018>4017.

171

所以 n ? 1006 时都不成立.

172

2007 年全国初中数学竞赛试题

班级

座号

姓名

成绩

一、选择题(共 5 题,每小题 6 分,共 30 分) 1、方程组 ? A.1

? x ? y ? 12 ? 的实数解的个数为( x ? y ? 6 ? ?
B.2 C.3

) D.4

2、口袋中有 20 个球,其中白球 9 个,红球 5 个,黑球 6 个。现从中任取 10 个球,使得白球不少于 2 个但不多于 8 个,红球不少于 2 个,黑球不多于 3 个,那么上述取法的种数是( A.14 B.16 C.18 D.20 )

3、已知 a、b、c 是三个互不相等的实数,且三个关于 x 的一元二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0, bx 2 ? cx ? a ? 0, cx 2 ? ax ? b ? 0 恰有一个公共实数根,则
( A.0 ) B.1 C.2 D.3

a 2 b2 c 2 ? ? 的值为 bc ca ab

4、已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点 B,C,且 AB、AC 分别相交于点 D、E,若⊙O 的半径与△ ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经过△ABC 的( A.内心
3 2

) )

B.外心
3

C.重心 C.3

D.垂心 D.无穷多

5、方程 x ? 6 x ? 5 x ? y ? y ? 2 的整数解(x,y)的个数是( A.0 B.1 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6、如图,点 A、C 都在函数 y ?

3 3 ( x ? 0) 的图像上,点 B、D 都在 x 轴上,且使得△OAB,△BCD x
.

都是等边三角形,则点 D 的坐标为

7、如图,在直角三角形 ABC 中,∠ACB =90°,CA= 4,点 P 是半圆弧 AC 的中点,连接 BP,线段 BP 把图形 APCB(指半圆和三角形 ABC 组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值 是 .

173

8、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = n·90°,则 n =
2

.

9、已知点 A,B 的坐标分别为(1,0) , (2,0) ,若二次函数 y ? x ? (a ? 3) x ? 3 的图像与线段 AB 只有一个交点,则 a 的取值范围是 10、已知对于任意正整数 n,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ? n , 则
3

.

1 1 1 ? ?? ? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a100 ? 1

.

三、解答题(共 4 题,每题 15 分,满分 60 分) 11、已知抛物线 C1: y ? ? x 2 ? 3 x ? 4 和抛物线 C2: y ? x 2 ? 3x ? 4 相交于 A,B 两点。点 P 在抛物线 C1 上,且位于点 A 和点 B 之间;点 Q 在抛物线 C2 上,也位于点 A 和点 B 之间。 (1)求线段 AB 的长; (2)当 PQ∥y 轴时,求 PQ 长度的最大值。

12、已知 a,b 都是正整数,试问关于 x 的方程 x 2 ? abx ? 请把它们求出来;如果没有,请给出证明。

1 (a ? b) ? 0 是否有两个整数解?如果有, 2

174

13、如图,点 E,F 分别在四边形 ABCD 的边 AD,BC 的延长线上,且满足

DE AD ? . 若 CD,FE CF BC

的延长线相交于点 G, △DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点 P, 连接 PA, PB, PC, PD。求证: (1)

AD PD ? ; (2)△PAB∽△PDC. BC PC

14、 (1)是否存在正整数 m,n,使得 m( m ? 2) ? n( n ? 1) ? (2)设 k(k≥3)是给定的正整数,是否存在正整数 m,n,使得

m( m ? k ) ? n( n ? 1) ?

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题参考答案

一 题 号 1~5 得 分

二 6~10 11 12

三 总 13 14 分

评卷人 复查人 答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B, C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得 0 分) 1.已知实数 x, y 满足 (A)7 【答】 (A) 解:因为 x 2 ? 0 , y 2 ≥0,由已知条件得
1 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 1 ? 13 ?1 ? 1 ? 4 ? 3 ?1 ? 13 , y2 ? , ? ? ? 2 x 8 4 2 2
4 2 4 ? 2 ? 3,y 4 ? y 2 ? 3 ,则 4 ? y 4 的值为( 4 x x x

) .

(B)

1 ? 13 2

(C)

7 ? 13 2

(D)5

所以

4 2 ? y4 ? 2 ? 3 ? 3 ? y2 4 x x

185

?

2 ? y 2 ? 6 ? 7. 2 x

2.把一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷 2 次,若两个正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y ? x 2 ? mx ? n 的图像与 x 轴 有两个不同交点的概率是( ) . 5 4 (A) (B) 12 9 【答】 (C) 解:基本事件总数有 6×6=36,即可以得到 36 个二次函数. 由题意知
? = m 2 ? 4n >0,即 m 2 >4 n .

(C)

17 36

(D)

1 2

通过枚举知,满足条件的 m,n 有 17 对. 故 P ?

17 . 36

3.有两个同心圆,大圆周上有 4 个不同的点,小圆周上有 2 个不同的点,则这 6 个点可 以确定的不同直线最少有( (A)6 条 【答】 (B) 解: 如图, 大圆周上有 4 个不同的点 A, B, C, 可以确定 6 条不同的直线;小圆周上的两个点 E,F 一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点, ). (C)10 条 (D)12 条

(B) 8 条

D, 两两联机
中,至少有 则它与 A,B,
(第 3 题)

C,D 的联机中,至少有两条不同于 A,B,C,D
机.从而这 6 个点可以确定的直线不少于 8 条. 当这 6 个点如图所示放置时,恰好可以确定 8 条直线. 所以,满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条.

的 两 两 联

186

4. 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦, 且 AB ? a ? 1 . 以 AB 为一边在圆 O 内作正△ ABC , 点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点,且 DB ? AB ? a , DC 的延长线交圆 O 于点 E ,则 AE 的 长为( (A) ) .
5 a 2

(B)1

(C)

3 2

(D)a

【答】 (B) 解:如图,连接 OE,OA,OB. 设 ?D ? ? ,则

?ECA ? 120? ? ? ? ?EAC .
又因为
1 1 ?ABO ? ?ABD ? ? 60? ? 180? ? 2? ? 2 2

? 120? ? ? ,
所以 △ACE ≌ △ABO ,于是 AE ? OA ? 1.
(第 4 题)

5.将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三 个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( (A)2 种 【答】 (D) 解:设 a1,a2,a3,a4,a5 是 1,2,3,4,5 的一个满足要求的排列. 首先,对于 a1,a2,a3,a4 ,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数, 与已知条件矛盾. 又如果 ai (1≤i≤3)是偶数, ai ?1 是奇数,则 ai ? 2 是奇数,这说明一个偶数后面一定要接 两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数. 所以 a1,a2,a3,a4,a5 只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下 5 种情形满足条件: (B)3 种 (C)4 种 (D)5 种 ) .

187

2,1,3,4,5; 4,3,1,2,5;

2,3,5,4,1; 4,5,3,2,1.

2,5,1,4,3;

二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.对于实数 u,v,定义一种运算“*”为: u ? v ? uv ? v .若关于 x 的方程 x ? (a ? x) ? ? 有两个不同的实数根,则满足条件的实数 a 的取值范围是 【答】 a ? 0 ,或 a ? ?1 .
1 解:由 x ? (a ? x) ? ? ,得 4 (a ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0, 4 1 4



依题意有 解得, a ? 0 ,或 a ? ?1 .

?a ? 1 ? 0, ? 2 ?? ? (a ? 1) ? (a ? 1) ? 0,

7.小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎 面驶来一辆 18 路公交车.假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔固 定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 【答】4. 解:设 18 路公交车的速度是 x 米/分,小王行走的速度是 y 米/分,同向行驶的相邻两车 的间距为 s 米. 每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车,则
6x ? 6 y ? s .

分钟.



每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车,则

188

3x ? 3 y ? s .



由①,②可得 s ? 4 x ,所以

s ? 4. x

即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟.

8.如图,在△ ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 中点, AD 是∠ BAC 的平分线, MF ∥ AD ,则 FC 的长 为
. (第 8 题)



【答】9. 解:如图,设点 N 是 AC 的中点,连接 MN,则 MN∥ 又 MF // AD , 所以 ?FMN ? ?BAD ? ?DAC ? ?MFN , 所以 FN ? MN ?
1 AB . 2 1 1 因此 FC ? FN ? NC ? AB ? AC ? 9. 2 2
(第 8 题答案) (第 8 题答案图)

AB .

9.△ABC 中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC 的内切圆圆心 I 作 DE∥BC,分别与 AB,

AC 相交于点 D,E,则 DE 的长为
【答】
16 . 3



解:如图,设△ABC 的三边长为 a,b,c,内切圆 I 的半径为 r,BC 边上的高为 ha ,则
1 1 aha ? S△ABC ? (a ? b ? c )r , 2 2

所以

r a . ? ha a ? b ? c

因为△ADE∽△ABC, 所以它们对应线段成比例,

因此

189

ha ? r DE , ? ha BC

(第 9 题答案)

所以

DE ?

ha ? r r a ? a ? (1 ? )a ? (1 ? )a ha ha a?b?c



a (b ? c) , a?b?c 8? (7 ? 9) 16 DE ? ? . 8?7?9 3 ?

10.关于 x,y 的方程 x 2 ? y 2 ? 208( x ? y ) 的所有正整数解为 ? x ? 48,? x ? 160, 【答】 ? ? ? y ? 32,? y ? 32.



解:因为 208 是 4 的倍数,偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0,奇数的平方数除以 4 所得的余数为 1,所以 x,y 都是偶数. 设 x ? 2a, y ? 2b ,则 a 2 ? b 2 ? 104(a ? b) , 同上可知,a,b 都是偶数.设 a ? 2c, b ? 2d ,则 c 2 ? d 2 ? 52(c ? d ) , 所以,c,d 都是偶数.设 c ? 2 s, d ? 2t ,则 s 2 ? t 2 ? 26( s ? t ) , 于是 (s ? 13)2 ? (t ? 13)2 = 2 ? 132 ,

其中 s,t 都是偶数.所以 (s ? 13)2 ? 2 ? 132 ? (t ? 13)2 ≤ 2 ? 132 ? 15 2 ? 112 . 所以 s ? 13 可能为 1,3,5,7,9,进而 (t ? 13)2 为 337,329,313,289,257,故只 ?s ? 6, ? s ? 20, 能是 (t ? 13)2 =289,从而 s ? 13 =7.于是 ? ? ?t ? 4; ?t ? 4,

190

因此

? x ? 48,? x ? 160, ? ? ? y ? 32,? y ? 32.

三、解答题(共 4 题,每题 15 分,满分 60 分) 11.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx ? b 的图像与 x 轴、 y 轴的正半轴分 (k ? 0) 别交于 A,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于 OA ? OB ? 3 . (1) 用 b 表示 k; (2) 求△OAB 面积的最小值. 解: (1)令 x ? 0 ,得 y ? b ,b ? 0 ;令 y ? 0 ,得 x ? ?
b ? 0,k ? 0 . k

b 所以 A,B 两点的坐标分别为 A (? , 0), B(0, b) ,于是,△OAB 的面积为 k 1 b S ? b ? (? ) . 2 k

由题意,有
1 b b b ? (? ) ? ? ? b ? 3 , 2 k k

解得

k?

2b ? b 2 ,b?2. 2(b ? 3)
……………… 5 分(2)由(1)知

1 b b(b ? 3) (b ? 2) 2 ? 7(b ? 2) ? 10 S ? b ? (? ) ? ? 2 k b?2 b?2
? b?2? 10 10 2 ?7 ? ( b?2 ? ) ? 7 ? 2 10 b?2 b?2

≥ 7 ? 2 10 , 当且仅当 b ? 2 ?
10 时, 有 S ? 7+2 10 , 即当 b ? 2 ? 10 , k ? ?1 时, 不等式中的等号成立. b?2

所以,△OAB 面积的最小值为 7 ? 2 10 .

……………… 15 分

12.是否存在质数 p,q,使得关于 x 的一元二次方程

191

px 2 ? qx ? p ? 0 有有理数根? 解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令 ? ? q 2 ? 4 p 2 ? n2 , 其中 n 是一个非负整数.则 (q ? n)(q ? n) ? 4 p 2 . ……………… 5 分 由于 1≤ q ? n ≤q+n,且 q ? n 与 q ? n 同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:

?q ? n ? 2, ?q ? n ? 4, ?q ? n ? p, ?q ? n ? 2 p, ?q ? n ? p 2, ? ? ? ? ? 2 2 ?q ? n ? 2 p , ?q ? n ? p , ?q ? n ? 4 p, ?q ? n ? 2 p, ?q ? n ? 4.
p2 5p p2 消去 n,解得 q ? p ? 1, q ? 2 ? , q ? , q ? 2 p, q ? 2 ? . 2 2 2
2

……………… 10 分 对于第 1,3 种情形, p ? 2 ,从而 q=5;对于第 2,5 种情形, p ? 2 ,从而 q=4(不 合题意,舍去) ;对于第 4 种情形,q 是合数(不合题意,舍去) .
1 又当 p ? 2 , q=5 时, 方程为 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 , 它的根为 x1 ? ,x2 ? 2 , 它们都是有理数. 2

综上所述,存在满足题设的质数.

……………… 15 分

13 . 如 图 , △ ABC 的 三 边 长

BC ? a,CA ? b,AB ? c , a,b,c 都是整数,
大公约数为 2 .点 G 和点 I 分别为△ ABC 的重
(第 13 题)
192

且 a,b 的 最 心和内心, 且

?GIC ? 90? .求△ ABC 的周长.

解:如图,延长 GI ,与边 BC,CA 分
P,Q .设重心 G 在边 BC,CA 上的投影

别 交 于 点 分别为 E,F , 上的高的长
(第 13 题答案)

△ ABC 的内切圆的半径为 r , BC,CA 边 分别为 ha,hb ,易知 CP=CQ,由
S△PQC ? S△GPC ? S△GQC ,

可得 即 从而可得
2?

2r ? GE ? GF ?

1 ? ha ? hb ? , 3
? ?, ?

2S△ABC 1 ? 2 S△ABC 2S△ABC ? ?? ? a?b?c 3 ? a b

a?b?c ?

6ab . a?b

……………… 10 分 因为△ ABC 的重心 G 和内心 I 不重合,所以,△ ABC 不是正三角形,且 b ? a ,否则,

a ? b ? 2 ,可得 c ? 2 ,矛盾.
不妨假设 a ? b ,由于 ? a,b ? ? 2 ,设 a ? 2a1,b ? 2b1, ? a1,b1 ? ? 1 ,于是有 整数,所以有 (a1 ? b1 ) 12 ,即 (a ? b) 2 4 . 于是只有 a ? 14,b ? 10 时,可得 c ? 11 ,满足条件. 因此有 a ? b ? c ? 35 . 所以,△ ABC 的周长为 35. ……………… 15 分
6ab 12a1b1 为 ? a ? b a1 ? b1

193

14.从 1,2,…,9 中任取 n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是 全部) ,它们的和能被 10 整除,求 n 的最小值. 解:当 n=4 时,数 1,3,5,8 中没有若干个数的和能被 10 整除. ……………… 5 分 当 n=5 时,设 a1,a2, ?,a5 是 1,2,…,9 中的 5 个不同的数.若其中任意若干个数, 它们的和都不能被 10 整除,则 a1,a2, ?,a5 中不可能同时出现 1 和 9;2 和 8;3 和 7;4 和 6.于是 a1,a2, ?,a5 中必定有一个数是 5. 若 a1,a2, ,故含 6;于是不含 3(3 ?,a5 中含 1,则不含 9.于是不含 4(4+1+5=10) +6+1=10) ,故含 7;于是不含 2(2+1+7=10) ,故含 8.但是 5+7+8=20 是 10 的倍 数,矛盾. 若 a1,a2, ,故含 4;于是不含 7(7 ?,a5 中含 9,则不含 1.于是不含 6(6+9+5=20) +4+9=20) ,故含 3;于是不含 8(8+9+3=10) ,故含 2.但是 5+3+2=10 是 10 的倍 数,矛盾. 综上所述,n 的最小值为 5. ……………… 15 分

194

2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档;第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在 评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试
一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 本题共有 6 小题,每题均给出了代号为 A, B, C , D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选 择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得 7 分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否 写在括号内) ,一律得 0 分.

195

1.设 a ? 1 ? 3a , b ? 1 ? 3b ,且 a ? b ,则代数式

2

2

1 1 ? 2 的值为 2 a b
( D) 11.





( A) 5.
【答】 B . 解

( B ) 7.

(C ) 9.

由 题 设 条 件 可 知 a 2 ? 3a ? 1 ? 0 , b 2 ? 3b ? 1 ? 0 , 且 a ? b , 所 以 a, b 是 一 元 二 次 方 程

x ? 3x ? 1 ? 0 的两根,故 a ? b ? 3 , ab ? 1 ,因此
故选 B .

2

1 1 a 2 ? b 2 (a ? b)2 ? 2ab 32 ? 2 ?1 ? ? 2 2 ? ? ? 7. a 2 b2 ab (ab) 2 12

2.如图,设 AD , BE ,CF 为三角形 ABC 的三条高, 若 AB ? 6 , BC ? 5 , EF ? 3 ,则线段 BE 的长为 ( )

( A)

18 . 5

( B ) 4.

(C )

21 . 5

(D)

24 . 5

【答】 D . 解 圆, 因为 AD , BE , CF 为三角形 ABC 的三条高,易知 B, C , E , F 四点共

AF EF 3 3 4 ? ? ,即 cos ?BAC ? ,所以 sin ?BAC ? . AC BC 5 5 5 4 24 在 Rt△ ABE 中, BE ? AB sin ?BAC ? 6 ? ? . 故选 D . 5 5
于是△ AEF ∽△ ABC ,故 3.从分别写有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字元作为十位 数字元,第二张卡片上的数字元作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是 3 的倍数的概率是 ( )

( A)

1 . 5

( B)

3 . 10

(C )

2 . 5

(D)

1 . 2

【答】 C . 解 能够组成的两位数有 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,

51,52,53,54,共 20 个,其中是 3 的倍数的数为 12,15,21,24,42,45,51,54,共 8 个.

196

所以所组成的数是 3 的倍数的概率是

8 2 ? . 故选 C . 20 5
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2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

4.在△ ABC 中, ?ABC ? 12? , ?ACB ? 132? , BM 和 CN 分别是这两个角的外角平分线,且点

M , N 分别在直线 AC 和直线 AB 上,则 ( A) BM ? CN . (C ) BM ? CN .
【答】 B . 解 ∵ ?ABC ? 12? , BM 为 ?ABC 的外角平分线,∴ ?MBC ?





( B ) BM ? CN . ( D) BM 和 CN 的大小关系不确定.

1 (180? ? 12?) ? 84? . 2

又 ?BCM ? 180? ? ?ACB ? 180? ? 132? ? 48? ,∴ ?BMC ? 180? ? 84? ? 48? ? 48? , ∴ BM ? BC . 又 ?ACN ?

1 1 (180? ? ?ACB ) ? (180? ? 132?) ? 24? , 2 2

∴ ?BNC ? 180? ? ?ABC ? ?BCN ? 180? ? 12? ? (?ACB ? ?ACN ) ? 168? ? (132? ? 24?)

? 12? ? ?ABC ,
∴ CN ? CB . 因此, BM ? BC ? CN .故选 B . 5.现有价格相同的 5 种不同商品,从今天开始每天分别降价 10%或 20%,若干天后,这 5 种商品的 价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为 r ,则 r 的最小值为 ( )

9 ( A) ( ) 3 . 8
【答】 B . 解

9 ( B ) ( )4 . 8

9 (C ) ( )5 . 8

( D)

9 . 8

容易知道,4 天之后就可以出现 5 种商品的价格互不相同的情况.

设 5 种商品降价前的价格为 a ,过了 n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为

9 8 a ? (1 ? 10%) k ? (1 ? 20%) n ? k ? a ? ( ) k ? ( ) n ? k ,其中 k 为自然数,且 0 ? k ? n . 10 10 9 8 9 8 要使 r 的值最小,五种商品的价格应该分别为: a ? ( ) i ? ( ) n ?i , a ? ( )i ?1 ? ( ) n ?i ?1 , 10 10 10 10

197

9 i ? 2 8 n ?i ? 2 9 8 9 8 , a ? ( ) i ?3 ? ( ) n ?i ?3 , a ? ( ) i ? 4 ? ( ) n ?i ?4 ,其中 i 为不超过 n 的自然数. ) ?( ) 10 10 10 10 10 10 9 8 a ? ( )i ? 4 ? ( ) n ? i ? 4 9 10 10 所以 r 的最小值为 ? ( ) 4 . 故选 B . 9 8 8 a ? ( )i ? ( ) n ?i 10 10 a ?(
6. 已知实数 x, y 满足 ( x ? 值为 则 3x 2 ? 2 y 2 ? 3x ? 3 y ?2007 的 x 2 ? 2008)( y ? y 2 ? 2008) ? 2008 , ( )

( A) ?2008 .
【答】 D .

( B ) 2008.

( C ) ?1 .

( D ) 1.

2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 解 ∵ (x ?

第 2 页(共 9 页)

x 2 ? 2008)( y ? y 2 ? 2008) ? 2008 ,
2008 y ? y ? 2008
2

∴x?

x 2 ? 2008 ?

? y ? y 2 ? 2008 ,

y ? y 2 ? 2008 ?

2008 x ? x ? 2008
2

? x ? x 2 ? 2008 ,
x 2 ? 2008) 2 ? 2008 ,解得 x 2 ? 2008 ,所以

由以上两式可得 x ? y . 所以 ( x ?

3 x 2 ? 2 y 2 ? 3x ? 3 y ? 2007 ? 3 x 2 ? 2 x 2 ? 3x ? 3x ? 2007 ? x 2 ? 2007 ? 1 .
故选 D .

二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分)

1.设 a ?

5 ?1 a 5 ? a 4 ? 2a 3 ? a 2 ? a ? 2 ,则 ? 2 a3 ? a 5 ?1 2 3 ? 5 ) ? ? 1 ? a ,∴ a 2 ? a ? 1 , 2 2

?2

.



∵ a2 ? (

a 5 ? a 4 ? 2a 3 ? a 2 ? a ? 2 a 3 (a 2 ? a ) ? 2a 3 ? (a 2 ? a) ? 2 ∴ ? a3 ? a a ? a2 ? a

198

?

a3 ? 2a 3 ? 1 ? 2 1 ? a3 1 ? a3 ? ? ? ? ?(1 ? a ? a 2 ) ? ?(1 ? 1) ? ?2 . 2 a ? (1 ? a) ? a ?a 1? a

2.如图,正方形 ABCD 的边长为 1, M , N 为 BD 所在直线上的两点,且

AM ? 5 , ?MAN ? 135? ,则四边形 AMCN 的面积为

5 2
2 , 2



设正方形 ABCD 的中心为 O , 连 AO , 则 AO ? BD , AO ? OB ?

MO ? AM 2 ? AO 2 ? ( 5)2 ? (
又 ?ABM ? ?NDA ? 135? ,

2 2 3 2 , ∴ MB ? MO ? OB ? 2 . ) ? 2 2

?NAD ? ?MAN ? ?DAB ? ?MAB ? 135? ? 90? ? ?MAB ? 45? ? ?MAB ? ?AMB ,

2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

第 3 页(共 9 页)

所以△ ADN ∽△ MBA ,故

AD 1 2 AD DN ,从而 DN ? . ? ? BA ? ?1 ? MB BA MB 2 2

根据对称性可知,四边形 AMCN 的面积

1 1 2 2 5 S ? 2 S△MAN ? 2 ? ? MN ? AO ? 2 ? ? ( ? 2 ? 2) ? ? . 2 2 2 2 2
3.已知二次函数 y ? x 2 ? ax ? b 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m , n ,且 m ? n ? 1 . 设满足上述要求的 b 的最大值和最小值分别为 p , q ,则 p ? q ?

1 2



根据题意, m, n 是一元二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根,所以 m ? n ? ? a , mn ? b .

∵ m ? n ? 1 ,∴ m ? n ? m ? n ? 1 , m ? n ? m ? n ? 1 .

∵方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的判别式 ? ? a 2 ? 4b ? 0 ,∴ b ?

a 2 ( m ? n) 2 1 ? ? . 4 4 4

1 1 4b ? 4mn ? (m ? n)2 ? (m ? n)2 ? (m ? n) 2 ? 1 ? ?1 ,故 b ? ? ,等号当且仅当 m ? ?n ? 时取得; 4 2

199

4b ? 4mn ? (m ? n)2 ? (m ? n)2 ? 1 ? (m ? n)2 ? 1 ,故 b ?
所以 p ?

1 1 ,等号当且仅当 m ? n ? 时取得. 4 2

1 1 1 , q ? ? ,于是 p ? q ? . 4 4 2

4.依次将正整数 1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第 1 个位 置的数字是 1, 排在第 5 个位置的数字是 6, 排在第 10 个位置的数字是 4, 排在第 2008 个位置的数字是 1 . 解

12 到 32 ,结果都只各占 1 个数字,共占 1? 3 ? 3 个数位;

42 到 92 ,结果都只各占 2 个数字,共占 2 ? 6 ? 12 个数位;
102 到 312 ,结果都只各占 3 个数字,共占 3 ? 22 ? 66 个数位; 322 到 992 ,结果都只各占 4 个数字,共占 4 ? 68 ? 272 个数位; 1002 到 3162 ,结果都只各占 5 个数字,共占 5 ? 217 ? 1085 个数位;
此时还差 2008 ? (3 ? 12 ? 66 ? 272 ? 1085) ? 570 个数位.

317 2 到 4112 ,结果都只各占 6 个数字,共占 6 ? 95 ? 570 个数位.

2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

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所以,排在第 2008 个位置的数字恰好应该是 4112 的个位数字,即为 1.

第二试 (A)
一. (本题满分 20 分) 已知 a 2 ? b 2 ? 1 ,对于满足条件 0 ? x ? 1 的一切实数 x ,不等式

a(1 ? x )(1 ? x ? ax ) ? bx (b ? x ? bx ) ? 0
恒成立.当乘积 ab 取最小值时,求 a, b 的值. 解 整理不等式(1)并将 a 2 ? b 2 ? 1 代入,得

(1)

(1 ? a ? b) x 2 ? (2a ? 1) x ? a ? 0
在不等式(2)中,令 x ? 0 ,得 a ? 0 ;令 x ? 1 ,得 b ? 0 . 易知 1 ? a ? b ? 0 , 0 ?

(2)

2a ? 1 ? 1 ,故二次函数 y ? (1 ? a ? b) x 2 ? (2a ? 1) x ? a 的图像(拋物 2(1 ? a ? b)

200

线)的开口向上,且顶点的横坐标在 0 和 1 之间. 由题设知,不等式(2)对于满足条件 0 ? x ?1 的一切实数 x 恒成立,所以它的判别式

? ? (2a ? 1) 2 ? 4(1 ? a ? b) ? a ? 0 ,即 ab ?
由方程组

1 . 4

? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 1 ? ab ? ? 4
消去 b ,得 16a 4 ? 16a 2 ? 1 ? 0 ,所以 a 2 ?

(3)

2? 3 2? 3 或 a2 ? . 4 4

又因为 a ? 0 ,所以 a ?

6? 2 或a? 4

6? 2 , 4

? ? 6? 2 6? 2 , ?a ? , ?a ? ? ? 4 4 于是方

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