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2010年上海市松江二模数学(文)


上海市松江区 2010 年高考模拟数学(文科)试卷
(完成时间 120 分钟,满分 150 分) 2010.4

一、填空题 (每小题 4 分,满分 56 分) 1.设集合 A ? y y ? 2 x ? 1, x ? R , B ? y y ? ? x , x ? R ,则 A ? B ?
2

?

?

?

?

▲ .

2.方程 lg x ? lg( x ? 3) =1 的解是 x ?

▲ .

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 3.设函数 f ( x) ? ? ,那么 f ?1 (10) ? ? 2 x ( x ? 0)

▲ .

4.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆的面积为 ? ,则球的表面积为 ▲ . 5.已知直线 l : ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A 、 B 两点, | AB |? 3 ,则

OA · OB = ▲ .
? x ? y ? 4 ? 0, ? 6. 若实数 x, y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z ? x ? y 的最 ? x ? 0, y ? 0, ?
大值为 ▲ . 7.设袋中有黑球、白球共 9 个,从中任取 3 个球,若其

20 ,则袋中白球的个数为 ▲ . 21 1 1 1 1 ? ? ?? ? 8.右图是计算 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2009 ? 2010
中含有白球的概率为 的程序框图,为了得到正确的结果,在判断 框中应该填入的条件是 ▲ . 9.右图是一个几何体的三视图,根据图中数 据,可得该几何体的体积是 10. 已知 (2 ?
x
2

▲ .

21 2 9 ) 展开式的第 7 项为 , 4 2
3 n

则 lim( x ? x ? x ? ? ? x ) ?
n ??

▲ .

11.已知圆 C 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,且圆心 C 在此双曲线上,则 9 16

圆心 C 到双曲线中心的距离是

▲ .

12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数” .介 于 1 到 200 之间的所有“神秘数”之和为 ▲ . 13. 汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限 (年均消耗费用=年均成本费+年均维 修费) .设某种汽车的购车的总费用为 50000 元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合 计为 6000 元;前 x 年的总维修费 y 满足 y ? ax2 ? bx ,已知第一年的维修费用为 1000 元, 前二年总维修费为 3000 元.则这种汽车的最佳使用年限为 ▲ . 14.设函数 F ( x) 和 f ( x ) 都在区间 D 上有定义,若对 D 的任意的子区间 [u , v] ,总有 [u , v] 上的 p 和 q , 使得不等式 f ( p ) ?

F (u ) ? F (v) ? f (q) 成立, 则称 F ( x) 是 f ( x ) 在区间 D 上 u ?v

的甲函数, f ( x ) 是 F ( x) 在区间 D 上的乙函数.已知 F ( x) ? x2 ? 3x, x ? R ,那么 F ( x) 的 乙函数 f ( x) ? ▲ .

二、选择题 (每小题 4 分,共 16 分) 15.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 2 且 ab ? 1 ”是“ a ? 1 且 b ? 1 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3
16. 将函数 f ( x) ? 1

sin x cos x 0

?1 2 的图像向右平移 a (a ? 0) 个单位,所得图像的函数为 1

0

偶函数,则 a 的最小值为 A.

5? 6

B.

2? 3

C.

? 3

D.

? 6

17.三棱锥 P—ABC 的侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,侧面面积分别是 6,4,3,则三棱 锥的体积是 A.4 B.6
x ?x

C.8

D. 10

18 .若 函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既是 奇函 数, 又是 减函 数, 则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是

三.解答题(本大题满分 78 分) 19. (本题满分 14 分) 已 知 z 1 、 z 2 为 复 数 , z1 ?

3 ? (10 ? a 2 )i 、 a?5

z2 ?

2 ? (2a ? 5)i?(a ? R )? , 1? a

若 z1 ? z2 是实数,求 z2 的值.

20. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图所示,在一条海防警戒线上的点 A 、 B 、 C 处各有一个水声监测点, B 、 C 两点 到点 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米.某时刻, B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号, 8 秒后 A 、 C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒. (1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B , C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离(结果精确到 0.01 千米) .

21. (本题 16 分,其中第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分) 已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,长轴是短轴的 2 倍,且椭圆 E 过点 a 2 b2

( 2,

? 2 );斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 过点 A(0, 2) , n 为直线 l 的一个法向量,坐标平面上 2

的点 B 满足条件 n ? AB ? n . (1)写出椭圆 E 方程,并求点 B 到直线 l 的距离; (2)若椭圆 E 上恰好存在 3 个这样的点 B ,求 k 的值.

? ??? ?

?

22. (本题满分 16 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且数列 ?an ? 的奇数项依次组成公差为 1 的等差数 列,偶数项依次组成公比为 2 的等比数列,数列 ?bn ? 满足 bn ? 和为 Sn , (1)写出数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 Sn ; (3)证明:当 n ? 6 时, 2 ? S n ?

a2 n?1 ,记数列 ?bn ? 的前 n 项 a2 n

1 . n

23. (本题满分 18 分,第(1)题 5 分,第(2)题 8 分,第(3)题 5 分) 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,如果存在函数 x ? g (t ) ,使得函数 y ? f ( g (t )) 的 值域仍然是 B ,那么,称函数 x ? g (t ) 是函数 f ( x ) 的一个等值域变换. (1)判断下列 x ? g (t ) 是不是 f ( x ) 的一个等值域变换?说明你的理由:

( A) f ( x) ? 2 x ? b, x ? R , x ? t 2 ? 2t ? 3, t ? R ; ( B ) f ( x) ? x2 ? x ? 1, x ? R , x ? g (t ) ? 2t , t ? R ;
? 2 (2)设 f (x) ?log 2 x ( x ? R ) , g (t ) ? at ? 2t ? 1 ,若 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变

换,求实数 a 的取值范围,并指出 x ? g (t ) 的一个定义域; (3)设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,函数 g (t ) 的定义域为 D1 ,值域为 B1 ,写出

x ? g (t ) 是 f ( x) 的一个等值域变换的充分非必要条件 (不必证明) 并举例说明条件的不必 ,
要性.

松江区 2010 年高考模拟数学(文科)试卷 参考答案
(完成时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题 1. B 或 (??,0] .2. 2 5. ? .3. 3 .4. 8π . 2010.4

1 2

.6. 4 .7. 5 .8. i ? 2008

. (答案不唯一)

9.

13 ? 3

1 .10. - 4

. 11. .

16 3

.12.

2500 .

13. 10 .14. 二、选择题 15.B 16.D

2x ? 3

17.A 18. A

三.解答题(本大题满分 78 分) 19. (本题满分 14 分) 已知 z 1 、 z 2 为复数, z1 ?

3 2 ? (10 ? a 2 )i 、 z2 ? ? (2a ? 5)i?(a ? R )? , a?5 1? a

若 z1 ? z2 是实数,求 z2 的值. 解:由 z1 ?

3 ? (10 ? a 2 )i, a?5 3 2 ? z1 ? z2 ? ? ? [(a 2 ? 10) ? (2a ? 5)]i a ? 5 1? a

????2 分 ????5 分 ????10 分 ????12 分 ????14 分

? a 2 ? 2a ? 15 ? 0, 解得a ? ?5, 或a ? 3, 又分母不为零,? a ? 3

? z2 ? ?1 ? i

z2 ? 2

20. (本题满分 14 分,其中第(1)小 题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图所示,在一条海防警戒线上的点 A 、 B 、 C 处各有一个水声监测点, B 、 C 两点 到点 A 的距离 分别为 20 千米和 50 千米. 某时刻,B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号, 8 秒后 A 、 C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒. (1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B , C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离(结果精确到 0.01 千米) .[来源:学科网 ZXXK] 解: (1) 依题意,有 PA ? PC ? x , PB ? x ? 1.5 ? 8 ? x ? 12 . ????2 分

[来源:学|科|网] 在△PAB 中,AB=20

cos?PAB ?

PA2 ? AB2 ? PB2 x 2 ? 202 ? ( x ? 12) 2 3x ? 32 ? ? ????4 分 2 PA? AB 2 x ? 20 5x

同理,在△PAB 中,AC=50

PA2 ? AC2 ? PC 2 x 2 ? 502 ? x 2 25 ? ? ????6 分 2 PA ? AC 2 x ? 50 x 3x ? 32 25 ? ∵ cos?PAB ? cos?PAC, ∴ 解之,得 x ? 31 ????8 分 5x x (2)作 PD ? AC于D,在△ADP 中,[来源:Z&xx&k.Com] cos?PAC ?
由 cos ?PAD ?

25 31



sin ?PAD ? 1 ? cos2 ?PAD ?

4 21 ????12 分 31

4 21 ? 4 21 ? 18.33 千米 31 答: 静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 18 .33 千米。????14 分
∴ PD ? PAsin ?APD ? 31? [来源:Zxxk.Com]

21. (本题 16 分,其中第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分)[来源:学。科。网 Z。X。X。 K]

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,长轴是短轴的 2 a 2 b2 ? 2 倍,且椭圆 E 过点 ( 2, ) ,斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 过点 A(0, 2) , n 为直线 l 的一个法 2 ? ??? ? ? 向量,点 B 满足条件 n ? AB ? n .
在平面直角坐标系中,已知椭圆 E 的方程为 (1)写出椭圆 E 方程,并求点 B 到直线 l 的距离; (2)若椭圆 E 上恰好存在 3 个这样的点 B ,求 k 的值.

? a ? 2b 1 ? 解: (1)由题意得 ? 2 ? 2 ? 22 ? 1 b ?a
Z+X+X+K] ∴椭圆 E 方程为:

解得

a2 ? 4, b2 ? 1 ????3 分[来源:学+科+网

x2 ? y2 ? 1 4

????4 分

直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,其一个法向量 n ? (k ,?1) ,设点 B 的坐标为 B( x0 , y0 ) ,由

? ??? ? ? AB ? ( x0 , y0 ? 2) 及 n ? AB ? n



kx 0 ? y0 ? 2 ? 1 ? k 2 ????6 分

∴ B( x0 , y0 ) 到直线 y ? kx ? 2 的距离为 d ?

kx0 ? y0 ? 2 1? k2

?1

????8 分

(2)由(1)知,点 B 是椭圆 E 上到直线 l 的距离为 1 的点,即 B 是与直线 l 的距离为 1 的 二条平行线与椭圆 E 恰好有三个交点。 设与直线 l 平行的直线方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 由 ? x2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 2 ? 4 ? y ?1 ?

? ? 64k 2t 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4t 2 ? 4) ? 16(1 ? 4k 2 ? t 2 ) ???①????10 分
2 当 ? ? 0 时, k ?

t2 ?1 ???② 4

又由两平行线间的距离为 1,可得 把②代入③得 (t ? 2) ? 1 ?
2

t ?2 1? k2

? 1 ???③

t2 ?1 2 ,即 3t ? 16t ? 13 ? 0 , (3t ? 13)(t ? 1) ? 0 4
????13 分

解得 t ? 1 ,或 t ?

13 3

当 t ? 1 时,代入②得 k ? 0 ,与已知 k ? 0 不符,不合题意;????14 分 当t ?

13 13 2 10 1 时,代入②得 k ? ,代回③得 t ? 或t ? 3 3 3 3

当k ?

2 10 1 , t ? 时,由①知 ? ? 0 3 3
2 10 13 2 10 1 x? 和y ? x ? ,与椭圆 E 有三个交点, 3 3 3 3
????16 分

此时两平行线 y ? ∴k ?

2 10 3

22. (本题满分 16 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知在数列 ?an ? 中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,数列 ?an ? 的奇数项依次组成公差为 1 的等差数列, 偶数项依次组成公比为 2 的等比数列, 数列 ?bn ? 满足 bn ? (1)写出数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 Sn ; (3)证明:当 n ? 6 时, 2 ? S n ?

a2 n?1 , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , a2 n

1 . n

? n ?1 ? n ?1 ? ? 2 , n为奇数 ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ) 解: (1) an ? ? ;即 an ? ? ;???4 分 ? n ? n 2 2 n ? 2k ( k ? N ? ) ? 2 , n为偶数 ? 2 , a n (2) bn ? 2 n ?1 ? n ,???????????????????????? 5 分 a2 n 2 1 2 3 n Sn ? ? ? ? ? ? n , 2 4 8 2 1 1 2 3 n ?1 n Sn ?? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ,??????????????7 分 2 4 8 16 2 2 1 1 1 1 1 1 n 1 n Sn ? ?? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? [1 ? ( ) n ] ? n ?1 , 两式相减,得 2 2 4 8 16 2 2 2 2 1 n 所以, S n ? 2 ? ( n ? 2)( ) ;????????????????????10 分 2 1 n 1 2 n (3) 2 ? Sn ? (n ? 2)( ) ? ? n ? 2n ? 2 ,????????????? 12 分 2 n n 0 1 2 n n n 当 n ? 6 时, 2 ? (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ?2 ? Cn ?1 ? Cn n(n ? 1)( n ? 2) ? 2 ? 2n ? n(n ? 1) ? ? 2 ? 2n ? n 2 ? n ? n ? n 2 ? 2n , [ 来 6
源:Zxxk.Com] ???????15 分 所以,当 n ? 6 时, 2 ? S n ?

1 .?????????????????16 分 n

(用数学归纳法证明,同样给分)

23. (本题满分 18 分,第(1)题 5 分,第(2)题 8 分,第(3)题 5 分) 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,如果存在函数 x ? g (t ) ,使得函数 y ? f ( g (t )) 的 值域仍然是 B ,那么,称函数 x ? g (t ) 是函数 f ( x ) 的一个等值域变换. (1)判断下列 x ? g (t ) 是不是 f ( x ) 的一个等值域变换?说明你的理由:

( A) f ( x) ? 2 x ? b, x ? R , x ? t 2 ? 2t ? 3, t ? R ; ( B ) f ( x) ? x2 ? x ? 1, x ? R , x ? g (t ) ? 2t , t ? R ;
? 2 (2)设 f (x) ?log 2 x ( x ? R ) , g (t ) ? at ? 2t ? 1 ,若 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变

换,求实数 a 的取值范围,并指出 x ? g (t ) 的一个定义域; (3)设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,函数 g (t ) 的定义域为 D1 ,值域为 B1 ,写出

x ? g (t ) 是 f ( x) 的一个等值域变换的充 分非必要条件(不必证明) ,并举例说明条件的不
必要性.

解: (1) ( A) :函数 f ( x) ? 2 x ? b, x ? R 的值域为 R , x ? t 2 ? 2t ? 3 ? (t ? 1)2 ? 2 ? 2 ,

y ? f ( g (t )) ? 2[(t ?1)2 ? 2] ? b ? 4 ? b , 所以, x ? g (t ) 不是 f ( x ) 的一个等值域变换;??????2 分 1 3 3 3 ( B ) : f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ,即 f ( x) 的值域为 [ , ??) , 2 4 4 4 3 1 2 3 3 t 当 t ? R 时, f ( g (t )) ? (2 ? ) ? ? ,即 y ? f ( g (t )) 的值域仍为 [ , ??) , 2 4 4 4 所以, x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换;??????5 分 (2)显然, f ( x ) 的值域为 R ,因为 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换,
所以, g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 能取到任意一个正数,??????6 分 1)当 a ? 0 时, g (t ) ? 2t ? 1 是一次函数, g (t ) ? 2t ? 1 ? 0 ? t ? ? 2)当 a ? 0 时, g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 是二次函数, ?

1 ;??8 分 2

a?0 ? 0 ? a ?1, ?? ? 4 ? 4a ? 0 ?

at 2 ? 2t ? 1 ? 0 ? t ? (??,

所以, a ? [0,1] ,[来源:Z|xx|k.Com]

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a )?( , ??) ,????11 分 a a

1 , ??) , 2 ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 当 a ? (0,1] 时, g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 的定义域为 (??, )?( , ??) ; a a
当 a ? 0 时, x ? g (t ) ? 2t ? 1 的定义域为 (? [来源:Z.xx.k.Com] (注:定义域不唯一) ??????13 分 (3)设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,函数 g (t ) 的定义域为 D1 ,值域为 B1 ,则

x ? g (t ) 是 f ( x) 的一个等值域变换的充分非必要条件是“ D = B1 ” .
15 分 条件的不必要性的一个例子是.

??????

f ( x) ? x 2 , D ? R , B ? [0,??) [来源:学§科§网 Z§X§X§K] g (t ) ? 2t ? 1 , D1 ? R , B1 ? (?1,??) 此时 D ? B1 ,但 f ( g (t )) ? (2t ? 1) 2 的值域仍为 B ? [0,??) , 即 g (t ) ? 2 t ? 1 ( x ? R) 是 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 的一个等值域变换。 ???? ??18 分
(反例不唯一)


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