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宁夏银川一中2014届高三第五次月考数学(理科)试题


2014 届高三年级第五次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:张金荣、周天佐

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 U ? {1,2,3,4,5,6}, A ? {1,2,3}, B ? {2,5}, 则A ? (CU B) =( A.{1,3} B.{2} C.{2,3} ) D.2 D.{3} )

2. 设复数 Z 满足 ( 3 ? i) ? Z ? 2i ,则| Z |=( A. 2 B. 3 C.1

3.设 ? , ? 为两个不同平面,m、 n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? , 有两个命题: P:若 m∥ n,则 ? ∥ β;q:若 m⊥ 则 α⊥ 那么( β, β. A.“p 或 q”是假命题 C.“非 p 或 q”是假命题 )

B.“p 且 q”是真命题 D.“非 p 且 q”是真命题

4. 在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (1,2), a ? A.-2 B.-4 C.-3

1 b ? (3,1), c ? ( x,3), 若 (2a ? b) // c ,则 x=( 2
D.-1

)

5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-18,S13=-52,{bn}为等比数列,且 b5 =a5,b7=a7,则 b15 的值为( A.64 ) B.128 C.-64 ) D.{x|x<-2 或 x>2} D.-128

6.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x>0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6}

π π π 7. 若将函数 y=tan?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后, 与函数 y=tan?ωx+6?的图象重合, ? ? ? ? 6 则 ω 的最小值为( A. 1 6 ) B. 1 4 1 C. 3 1 D. 2
1 1 1 1

8.如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图 均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如
·1·

2

正视图

侧视图

图,则该几何体的全面积为( A.2+3 ? ? 4 2 C.8+5 ? ? 2 3



B.2+2 ? ? 4 2 D.6+3 ? ? 2 3

9.已知命题 p:函数 f ( x) ? 2ax2 ? x ?1(a ? 0) 在(0,1) 内恰有一个零点;命题 q:函数 y ? x2?a 在 (0, ??) 上是 减函数,若 p 且 ? q 为真命题,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B.a≤2 C. 1<a≤2 ) D.a≤l 或 a>2

10.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ 平面 ABC,AC⊥ BC,AC=BC=1,PA= 3 ,则该三棱锥外接球的表面 积为( A.5 ? ) B. 2? C.20 ? D.4 ? )

11.设方程 lnx=-x 与方程 ex=-x(其中 e 是自然对数的底数)的所有根之和为 m,则( A.m<0 B. m=0 C.0<m<1 D.m>1

12. 函数 f ? x ? 对任意 x ? R都有f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 2 f ?3? , y ? f ? x ?1? 的图象关于点 ?1,0 ? 对称, 则 f ? 2013? ? ( A. ?16 ) B. ?8 C. ?4 D.0

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? 2 y ? 4 ? 13.已知关于 x, y 的二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ,则 3x-y 的最大值为__________ ?x ? 2 ? 0 A ?
14. 曲线 y ? x 2 和曲线 y 2 ? x 围成的图形面积是____________. 15. 如图, 在 ?ABC 中, ?B ? 45 , D 是 BC 边上一点,
?

B

AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ,则 AB 的长为
16.数列{an}的通项为 an=(-1)n ?n ? sin

.

D (第 15 题)

C

n? ? 1, 前 n 项和为 Sn, 则 S100=_________. 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 2 3 sin x cos x ? 3sin x ? cos x ? 2 .
2 2

·2·

(1)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x ) 的值域; b ? 3, a

(2)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足

sin(2 A ? C ) ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f ( B ) 的值. sin A
18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an 是 Sn 和 1 的等差中项, 且 等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , 4 ? S3 . b (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围. bn bn ?1
P

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形,
AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120 ,
?

N

点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (1)求证: BD ? PC ; (2)求证: MN / / 平面 PDC ; (3)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分)
B A D M C

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上 了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨) 之间的函数关系可以近似的表示为:

?1 3 2 [ ? 3 x ? 80x ? 5 040x, x ? 120,144) ? y?? , 且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴 ? 1 x 2 ? 200x ? 80 000, x ? 144,500) [ ?2 ?
油价值为 200 元,若该项目不获利,政府将补贴. (1)当 x∈ [200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每 月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损. (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 ,h(x)=2alnx, f ( x) ? g ?( x) ? h( x) 。 6 2

(1)当 a∈ 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. R (2)是否存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有
·3·

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a x1 ? x2

恒成立,若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙O 交直线 OB 于 E , D ,连接

EC, CD .
(1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;

E O D A C B

1 (2)若 tan ?CED ? , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

1 ? x? t ? 2 ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? y ? 3 t ?1 ? ? 2

? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数) 。 ? ? y ? sin ?
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4,

?
3

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最小值与最大值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)解关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? 3 ; (2)若关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? a 有解,求实数 a 的取值范围.

2014 届高三第四次月考数学(理)参考答案
1—5.ACDDC, 6—10.BDACA 13.5 三.解答题: 17. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) 14. 11.B 15. 12.D

1 3

5 6 , 2

16. 150

·4·

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ? ? ? 7? ? 1 ? x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ] , sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] , 2 6 6 6 6 2 ……………6 分 ? f ( x) ? [?1,2] (2)由条件得 sin(2 A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) sin A cos( A ? C ) ? cos Asin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C )
? ? ? 化简得 sin C ? 2sin A ?c ? 2a, b ? 3a, 由余弦定理得 A ? 30 , B ? 60 , C ? 90

?

? f ( B) ? f (60? ) ? 2sin150? ? 1 ……………12 分 18、 (本小题满分 12 分) (1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴Sn ? 2an ? 1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,∴a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , an ∴an ? 2an?1 ,即 ?2 an ?1 ∴ 数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,
∴an ? 2n?1 , Sn ? 2n ? 1 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴d ? 2 ∴bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 (2) cn ? ……………6 分

3分

5分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n . ? ) ? (1 ? ) ? ∴Tn ? ( 1 ? ? ? ? . . ? 2 3 3 5 n2? 1 n 2 ? 1 2 n? 2 1 n ?2 1 1? 1 ? 1 * ∵n ? N ,∴Tn ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n n ?1 1 Tn ? Tn?1 ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 1 ∴ 数列 {Tn } 是一个递增数列 ∴Tn ? T1 ? . 3 1 1 综上所述, ? Tn ? ……………12 分 3 2 19. (本小题满分 12 分)证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点,
所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ……………1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC

……………4 分

(Ⅱ )在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

·5·

2 3 ?CDA ? 120 ,所以 3 ,所以 BM : MD ? 3 : 1 ……………6 分 在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4 , PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 :1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD 分 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN / / 平面 PDC ……………8 分 ? (Ⅲ )因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90 , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系,
?

DM ?

所以 B(4,0,0), C (2,2 3,0), D(0, 由(Ⅱ )可知,

4 3 ,0), P(0,0,4) 3
N

z P

??? ? 4 3 ………………9 分 DB ? (4, ? ,0) 为平面 PAC 的法向量 3 D ??? ? ??? ? A PC ? (2,2 3, ?4) , PB ? (4,0, ?4) M ? C 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , B ? ? ??? x ?n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ? ? 则 ? ? ??? ,即 ? , ? ?4 x ? 4 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ? ? z ? 3, 则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3) 令 ……………11 分 ? ? ??? n? DB 7 s ? ? 的大小为 ? , 则 c o ? ? ? ??? ? 设二面角 A ? P C B n ? DB 7 7 所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为 7

y

……………12 分 20.(本小题满分 12 分) (1)当 x∈ [200,300]时,设该项目获利为 S,则 1 1 1 S=200x-( x2-200x+80 000)=- x2+400x-80 000=- (x-400)2, 2 2 2 所以当 x∈ [200,300]时,S<0.因此,该项目不会获利.当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, ∴ 政府每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损. ……………6 分

?1 2 x ? 80x ? 5 040, x ? 120,144) [ y ?3 ? . (2)由题意可知,食品残渣的每吨平均处理成本为: ? ? x ?1 x ? 80 000x ? 200, x ? 144,500) [ ?2 ?
y 1 1 y ① x∈ 当 [120,144)时, = x2-80x+5 040= (x-120)2+240,∴ x=120 时, 取得最小值 240; 当 x 3 3 x y 1 80 000 1 80 000 ② x∈ 当 [144,500)时, = x+ -200≥2 x· -200=200. x 2 x 2 x 1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200.∵ 200<240, 2 x x ∴ 当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低。 ……………12 分 21. (1) f ?( x) ?

( x ? 2)( x ? a) , f(x)的定义域为(0,+ ?) x
·6·

……………2 分

①当 a>0 时,f(x)在(0,2)上是减函数,在在 (2,??) 上是增函数。 ②当-2<a≤0 时,f(x)在(0,-a)上是增函数;在(-a,2)是是减函数;在 (2,??) 上是增 函数。 ③当 a=-2 时,f(x)在(0,+ ?) 上是增函数。 ④当 a<-2 时,f(x)在(0,2)上是增函数;在(2,-a)上是减函数;在 (?a,??) 上是增函 数。 ………… 6 分 (2)假设存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 妨设 0<x1<x2,要使

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成立,不 x1 ? x2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,即 f(x2)+ax2>f(x1)+ax1。 x1 ? x2 1 2 令 g(x)=f(x)+ax= x ? 2a ln x ? 2 x ? 2ax ,只要 g(x)在(0,+ ?) 为增函数。 2 2a x 2 ? (2a ? 2) x ? 2a g ?( x) ? x ? ? 2 ? 2a ? 又 x x 由题意 g ?( x) ? 0 在(0,+ ?) 上恒成立,得 a 不存在。………………12 分 22 证明: (Ⅰ)如图,连接 OC,? OA =OB,CA=CB,? OC ? AB ? OC 是圆的半径,? AB 是圆的切线. (3 分) (Ⅱ) ED 是直径,??ECD ? 90?,??E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90?, ?OCD ? ?OCD,??BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC, BC BD ?? BCD∽? BEC ,? ? ? BC 2 ? BD.BE (5 分) BE BC CD 1 tan ?CED ? ? , BC 2 BD CD 1 ? BCD ∽ ? BEC , ? ? (7 分) BC EC 2 2 2 ( 设 BD =X ,则 BC =2 X ,? BC =BD BE ? 2?)=?(?+6)? BD =2 …(9 分) ? OA ? OB =BD +OD =2+3=5 (10)分
23.选修 4—4:坐标系与参数方程 ? ?? 2 解: (Ⅰ)将点 P ? 4, ? 化为直角坐标,得 P 2, 3 ,…………………………(2 分) ? 3?

?

?

直线 l 的普通方程为 y ? 3x ? 1 ,显然点 P 不满足直线 l 的方程, 所以点 P 不在直线 l 上.…………………………………………………(5 分) 点 Q 到直线 l : y ? 3x ? 1 的距离为 (Ⅱ)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q ? 2 ? cos? ,sin ? ? ,…………………(6 分)

?? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 3 ? 1 | 2 3 ? 3 cos ? ? sin ? ? 1| ?3 ? ,…………………(8 分) d? ? 2 3 ?1
所以当 sin ?

2 3 ?1 ?? ? , ? ? ? ? ?1 时, d min ? 2 ?3 ?
·7·

2 3 ?3 ?? ? . ? ? ? ? 1 时, d max ? 2 ?3 ? 2 3 ?1 2 3 ?3 故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 ,最大值为 .……………(10 分) 2 2
当 sin ? 24.选修 4-5:不等式选讲

·8·


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