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2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.5简单复合函数的求导法则 课件(17张)_图文

北师大版选修2-2

创设问题,导入新课
前面我们已经学习了基本初等函数的导数公式以及 导数的四则运算法则,对于简单函数求导,关键是将函 数关系式转化为能够直接利用基本初等函数的导数公式. 那么,对于非简单函数,例如 y ? ?2x ?1?3 ,如何求其导数 呢?本节课我们一起来研究简单复合函数的求导法则.

学习目标
? 理解复合函数的概念,分清复合 函数的复合关系,会将一个复合函数 分解为两个(或多个)基本函数; ? 掌握复合函数的求导法则,会求 简单复合函数的导数,并能解决一些 简单的相关问题.

解决问题,构建新知
1.复合函数的概念 问题1:你能给出复合函数的定义吗?
对于函数 y ? sin 2x ,若y ? f (u) ? sinu ,u ??(x) ? 2x
则这三个函数之间具有怎样的关系呢? 给定 x 的一个值,通过对应法则 ? ,就得到了一个
u 的值,再通过对应法则 f ,就唯一确定了y 的值,这 样 y是 x 的函数.函数 y ? sin 2x 是由函数 y ? f (u) ? sin u和 u ? ?(x) ? 2x 复合而成的.我们把函数 y ? sin 2x 称为函数 y ? f (u) ? sinu 和u ? ?(x) ? 2x 的复合函数.

抽象概括,形成概念
一般地,对于两个函数 y ? f (u)和u ??(x) ? ax?b ,给定x 的一个值, 就数得,那到么了称u 这的个值函,数进为而函确指体数定数,了位引y置y入?的看中f作值间(u一变),和个量这整uu样? ?y(可x)以的表复示合成函x 数的,函记
作y ? f (?(x)) . 其中u 为中间变量.
注:对复合函数进行分解时,由外向内,层层分解.
例如: y ? e x?1
函数 y ? ex?1 是由y ? eu 和 u ? x ?1复合而成的.

2.复合函数的求导法则
问题2:如何求简单复合函数的导数呢?
如何求复合函数 y ? sin 2x 的导数呢? y? ? (sin 2x)? ? cos2x 成立吗?
由于函数 y ? sin 2x 不是基本初等函数,所以 不能直接利用基本初等函数的导数公式进行求 导,因此得出y? ? (sin 2x)? ? cos2x不成立.

函数 y ? sin 2x是由y ? f (u) ? sin u和u ??(x) ? 2x

复合而成的,请同学们求出y?x ,y?u 和 u?x , 并分析三者 之间具有怎样的关系呢?

讨论结果:y?u ? cosu, u?x ? ?2x?? ? 2
y?x ? ?sin2x?? ? ?2sinx cosx??
? 2?sinx cosx??

?

2????sinx??

cos

x

?

sin

x?c

os

x??

? ??

? ? ? 2 cos2 x ? sin 2 x

? 2cos2x
易知, y?u ? u?x ? 2cosu ? 2cos2x



y?x ? y?u ? u?x

已知函数 y ? ?3x ?1?2,显然函数 y ? ?3x ?1?2 是由函数y ? u2和u ? 3x ?1复合而成的.请求出 y?x, y?u 和u?x, 并分析各导数之间的关系. 讨论结果: y?u ? 2u, u?x ? 3
y ? ?3x ?1?2 ? 9x2 ? 6x ?1
y?x ? 18 x ? 6
易知, yu? ? u?x ? 2u ?3 ? 6?3x ?1? ? 18x ? 6
因此, y?x ? y?u ? u?x

抽象概括,揭示法则

如果复合函数y ? f ???x??是由函数y ? f (u) 和u ? ?(x)

复合而成的,那么复合函数y ? f ???x??的导数 y?x 和函数 y ? f (u)、u ? ?(x) 的导数 y?u、u?x 之间具有如下关系:
y?x ? ? f ???x???? ? yu? ?u?x



y?x ? ? f ???x???? ? f ??u?????x?

这就是复合函数的求导法则,即 y对 x 的导数等于

y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

对于复合函数的求导法则可以推广到复合关系 为两层以上的情形.

3.复合函数的求导步骤
问题3:你能总结出简单复合函数的求导步骤吗?
第一步:由外向内将复合函数分解成两个(或多个)基本函 数,用到中间变量,即“分解”;
第二步:将分解成的基本函数进行求导,即“求导”; 第三步:将第二步所得各导数相乘,即“相乘”; 第四步:将中间变量还原成原来自变量的函数,即“回 代”. 简记为:分解——求导——相乘——回代.

典例透析,发展思维

例1 指出下列函数的复合关系.

?1?y ? 2x ? 3
解 (1)函数

?2?y ? sin(?x ? ? )

?3?y

4

y ? 2x ? 3 是由函数 y ?

? ln(x ?1)
与 1
u ?u2

u

?4?y ? cos2 (3x ? 2) ? 2x ?3复合而成的.

分析:将复合函数进行分解时,从外向内,一层一层地分析,

把(复2合)函函数数分y解? s为in(?两x ?个?4 )(是或由多函个数)y基? s本inu函与数u ?.?x

?

? 4

复合而成的.

(3)函数y ? ln(x ?1)是由函数y ? ln u 与u ? x ?1复合而成的.

(4)函数y ? cos2(3x ? 2) 是由函数y ? u2、u ? cosv 与v ? 3x ? 2 复合 而成的.

正确分解复合关系,关键在于把哪一部分看作 一个整体,合理引入中间变量,由外向内,层层分解,从而 知道复合函数是由哪些基本函数复合而成的.

例2 求下列函数的导数.
?1?y ? ?2x ?1?3 ?2?y ? 3x ?1
解分析(:1)本函例数题y中? ?的2x ?函1?3数是都由是函复数合y函? 数u3和,u求? 2复x ?合1
复函合数而的成导的数.根时据,复关合键函先数要的分求清导复法合则函,数得的复合关系, 再根据复合函数的求导法则进行求导,注意最后一
? ? 定要“y?x回?代yu?”?u.?x ? u3 ? ??2x ?1?? ? 3u2 ? 2 ? 6?2x ?1?2

1
(2)函数y ? 3x ?1是由函数 y ? u ? u 2 与 u ? 3x ?1复合而成的.

根据复合函数的求导法则,得

y?x

?

yu?

? u?x

?

???

u

1 2

?

?
???? ??3x ?1???

1 2

?1
u2

? 3?

3 2u

? 2

3 3x ?1

求复合函数的导数时,关键在于分清复合关

系,引入中间变量,明确复合层次,由外向内,将复合函

数分解为两个(或多个)基本函数,再对分解成的基本函

数进行求导,一定要明确是哪个变量对哪个变量求导,最

后根据复合函数的求导法则求导.在熟练掌握复合函数的求

导法则后,不必再写出复合函数的分解过程,中间步骤可

以省略,直接运用求导法则,由外向内,逐层求导,直到

关于自变量求导.例如本例中(2)的解题过程可以写成

? ? y?x ?

3x

?1

?

?

????3x

?

?1
12

? ? ??

?

1 2

?3x

? ?1

?1 2

? ?3x

?1??

?

2

3 3x ?1

例3 求曲线 y ? xex?1在点(1,1)处的切线方程.

? ? 分解析:解决y本? ?题ex?的1 ?关x e键x?1是? 求曲线的切线的斜率,由导数的

几何意义,先求出?切ex?线1 ?斜xe率x?,1 ??再x ?根1?据? 点斜式方程可写出切线方

程.

? ex?1 ? xex?1

所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为 k ? y? x?1 ? 2

故所求切线方程为

y -1 ? 2?x ?1?



y ? 2x ?1

实践运用,巩固新知

1.求下列函数的导数.
(1)y ? 3 2x ?1 (2)y ? ln?4x ? 6?3 (3)y ? sin?? 2x ? 5?? ln?3x ?1?

2.已知函数 f ?x? ? ax ?1 且 f ??1? ?1 ,求实数a 的值.

3.求曲线 y ?

1 x2 ? 3x

在点

?? ?

4,1 2

?? ?

处的切线方程.

4.一做简谐振动的小球相对于平衡点的距离s 与运

动的时间 t

满足

s?t? ?10sin(2t

?

?)
3

,求小球在 t

?

?
3

时的

瞬时速度.

课堂小结,知识整合
知识要点:
1.复合函数的概念 2.复合函数的求导法则 3.复合函数的求导步骤
数学思想方法:
1.特殊到一般的思想 2.算法的思想 3.转化与化归的思想 4.整体的思想