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山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


山东省实验中学 2015 届高三第一次模拟考试

数学(理)试题
说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。试题答案请用 2B 铅笔 或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题《本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项符合题意) 1.i 为虚数单位,若 ( 3 ? i) z ? 3 ? i, 则 | z |? A.1 B. 2 C. 3 D.2

2. A.-2 B.-3 C.9 的 D.

1 9

3.已知条件 p :| x ? 1|? 2, 条件q : 5x ? 6 ? x2 ,则

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是

5.由函数 f(x)=ex -e 的图象,直线 x-2 及 x 轴所围成的阴影部 分面积等于 A.e2—2e—1 B.e2—2e C. 6.函数 D.e2—2e+1 的图像如图所示,A 为图像与 x 轴的交点,过点 A 的直线 l 与函数

的图像交于 B、C 两点,则 A.-8 C.4 B.-4 D.8

7.已知 x,y 满足条件

的最小值

-1-

A. ?

2 3

B.

1 3

C.

D.4

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别是

9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的 两个动点,且满足 为 N,则 的最大值是 ,设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影

10.定义在

上的函数

是它的导函数,且恒有

成立,则

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本题包括 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知等差数列 12.一只昆虫在边长分别为 5,12,13 的三角形区域内爬行,则其到三角形顶点距离小于 2 的地方的概率为 。 13.双曲线 14.若多项式 的一条渐近线方程为 y=2x,则 m= = 。 。

15. 已知函数 f (x ) 是定义在足上的奇函数, 它的图象关于直线 x=l 对称, 且 f(x)=x (0<x≤1) . 若 函数 以在区间[-10,10]上有 10 个零点(互不相同) ,则实数口的取值范围

是 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 16. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角么,B,c 所对的边分别为 a,b,c 且 acosC-

1 c=b. 2

(I)求角么的大小; (II)若 a=3,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)

-2-

口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的 2 个红球,4 个黑球,现从中同时取出 3 个球. (I)求恰有两个黑球的概率; (II)记取出红球的个数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X) .

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD.中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB⊥CD, AB= 2AD =2CD =2.E 是 PB 的中点. (I)求证;平面 EAC⊥平面 PBC; (II)若二面角 P-AC-E 的余弦值为

3 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

19. (本小题满分 12 分)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn=2an+n2—3n—1,n=l,2,3? (1)求证:数列{an—2n}为等比数列: (2)设 bn=an·cosnπ ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

20. (本小题满分 13 分)

已知椭圆

的离心率为 , 过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点,

当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 1. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由, 成立?若存在,求

21. (本小题满分 14 分)

-3-

山东省实验中学 2015 届高三第一次模拟考试

数学(理)参考答案与评分标准
一、选择题:ACADB 二、填空题 11.33; DBCCD 12.

(2015.4)

? 15

;13.

2 ;14. -10 ;15. 3

[?

1 1 , ]. 10 10

三、解答题 16.解(I)由 a cos C ?

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

????2 分

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? ? cos A sin C , sin C ? 0,? cos A ? ? ????4 分 2 2 2? 又 0? A?? ?A? ????6 分 3 a sin B ? 2 3 sin B, c ? 2 3 sin C , (II)由正弦定理得: b ? sin A

l ? a ? b ? c ? 3 ? 2 3(sin B ? sin C) ? 3 ? 2 3(sin B ? sin(A ? B))
1 3 ? ? 3 ? 2 3 ( sin B ? cos B) ? 3 ? 2 3 sin(B ? ) ???9 分 2 2 3
A? 2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) ,????10 分 3 3 3 3 3

? 3 ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2
故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 (6,3 ? 2 3] . ????12 分 17.解: (I)记“恰有两个黑球”为事件 A,则

P( A) ?

1 2 C2 C4 12 3 ? ? ??????????????????????4 分 3 C6 20 5

(II) X 的可能取值为 0,1, 2 ,则

P( X ? 0) ?

3 C4 4 1 ? ? 3 C6 20 5

----------

2分

-4-

P( X ? 1) ?

1 2 C2 ? C4 12 3 ? ? 3 C6 20 5

---------- 2 分

P( X ? 2) ? P( A) ?
∴ X 的分布列为

1 5

---------- 2 分

X

P

0 1 5

1 3 5
1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5

2 1 5
2分

∴ X 的数学期望 EX ? 0 ?

18 解: (I)∵PC⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC=, 2 2 2 ∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. ----------------------4 分 (II)如图,以 C 为原点,→ DA 、→ CD 、→ CP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0), A (1,1,0),B (1,-1,0). 1 1 a 设 P (0,0,a)(a>0) ,则 E ,- , , 2 2 2 y -----------6 分

z P

E

(

)

x A D C B

→ CA =(1,1,0),→ CP =(0,0,a),
2 2 2 取 m=(1,-1,0),则 m·→ CA =m·→ CP =0,m 为面 PAC 的法向量. 1 1 a → CE =( ,- , ),

设 n=(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 n·→ CA =n·→ CE =0, ?x+y=0, 即? 取 x=a,y=-a,z=-2,则 n=(a,-a,-2), ?x-y+az=0, 依题意,|cos m,n |=

3 |m·n| a = 2 = ,则 a=1. |m||n| a +2 3

-----------10 分

于是 n=(1,-1,-2),→ PA =(1,1,-2). 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ, 则 sin θ=|cos

→ PA ,n

|=

2 , 3 2 . 3
-----------12 分

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 19.解: (I)证明:当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 ? 2an ?1 ? (n ? 1)2 ? 3(n ? 1) ? 2
-5-

整理得 an ? 2an ?1 ? 2n ? 2

?an ?2n ? 2[an ?1 ? 2(n ? 1)]
? an ? 2n ? 2 ------------------------------------------------4 分 an ?1 ? 2(n ? 1)

? S1 ? 2a1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? a1 ? 3

?{an ? 2n} 是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列 ---------------------6 分
(II)解:由(I)得 an ? 2n ? 2n-1

?an ? 2n-1 ? 2n

------------------7 分

当 n 为偶数时, Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ? (b1 ? b3 ? ... ? bn ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ... ? bn )

? ?(1 ? 2 ?1) ? (22 ? 2 ? 3) ? ... ? [2n ? 2 ? 2(n ? 1)] ? (21 ? 2 ? 2) ? (23 ? 2 ? 4) ? ... ? (2n -1 ? 2 ? n)
=

2(1 ? 2n ) 1(1 ? 2n ) 1 ? ? n ? ? (2n ? 1) ? n; 2 2 1? 2 1? 2 3

---------------------------9 分

当 n 为奇数时,可得 Tn ? ?

2n -1 ? 2 ? (n ? 1). ----------------------------11 分 3
( n 为奇数)

?
综上, Tn ?

2n -1 5 ?n? , 3 3

1 n (2 ? 1) ? n, ( n 为偶数) ------------------------12 分 3 20.解:(I)设 F (c,0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为 1


|c| c 2 ? 1 ,解得 c ? 2 .又 e ? ? , a 2 2

所以 a ? 2, b ? c ? 2

椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 .---------------------4 分 4 2
2 2

(II)椭圆 C 的方程为 x ? 2 y ? 4 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 2

-6-

代入椭圆的方程中整理得 (m2 ? 2) y 2 ? 2 2my ? 2 ? 0 ,显然 ? ? 0 。 由韦达定理有:y1 ? y2 ? ? 分 假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立, 则点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 因为点 P 在椭圆上,即 ( x1 ? x2 )2 ? 2( y1 ? y2 )2 ? 4 。 整理得 ( x1 ? 2 y1 ) ? ( x2 ? 2 y2 ) ? 2( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 4 。 又 A、B 在椭圆上,即 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4 . 故 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 2 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② -----------------9 分
2 将 x1x2 ? (my 1 ? 2 )(my 2 ? 2 ) ? m y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 2 及①代入②解得 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2m ,y1 y2 ? ? 2 ………………. ① 2 m ?2 m ?2

--------------------6

m 2 ? 2 -----------------11 分
所以 y1 ? y2 ? ?1, x1 ? x2 ? ? 当m ?

2 2m 2 ? 2 2 ? 2 ,即 P( 2 ? 1) . m2 ? 2

2 时, P( 2 ,?1),l : x ? 2 y ? 2 ;

当 m ? ? 2 时, P( 2 ,1),l : x ? ? 2 y ? 2 .---------------------13 分 21.解: (I) k ? 1 时,令 f′(x)=ex-m=0, 得 x=ln m.当 0<x<ln m 时,f′(x)<0;当 x>ln m 时,f′(x)>0, 所以 x=ln m 是 f(x)的极小值点.又 f(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 ln m>1,即 m>e. -----------------------------------------------------4 分
x 2 (II) 法 1: k ? 2 时 f ( x) ? e ? mx ( x ? 0) ,

(i) m ? 0 时, f ( x) ? e ? mx ? e ? 1,与题意矛盾,故 m ? 0 ;
x 2 x

又 f ?( x) ? e ? 2mx( x ? 0) ,
x

令 g ( x) ? e ? 2mx( x ?[0,??)) ,则 g?( x) ? e ? 2m ( x ? 0) ------------5 分
x x

1 时 , g?( x) ? 0 ( x ? 0) , 所以 g ( x) ? g (0) ? 1 ? 0 , 即有 f ?( x) ? 0 ( x ? 0) , 2 1 x 此时 f ( x)? e ? 1,与题意矛盾,故 m ? ;-----------------6 分 2 (iii) 令 g ?( x) ? 0 , 得 x0 ? ln(2m) ? 0 , 所 以 , x ? (0, x0 ) 时 g ?( x) ? 0 , x ? ( x0 ,??) 时 g ?( x) ? 0 , 故 g ( x) 在 区 间 (0, x0 ) 上 单 调 递 减 , 在 区 间 ( x0 ,??) 上 单 调 递 增 , 所 以
(ii) 0 ? m ?
-7-

g ( x)min ? g ( x0 ) ? 2m(1 ? ln(2m)) ,
1 ? 2m ? e 时 g ( x)min ? 0 , 同 (ii), 此时 f ?( x) ? 0 ( x ? 0) , f ( x)? e x ? 1 , 与题意矛盾 , 故 e m ? ;--------------------------------------------------7 分 2 e (iv) m ? 时, g ( x)min ? g ( x0 ) ? 2m(1 ? ln(2m)) ? 0 ,且 g (0) ? 1 ? 0 , 2 又 记 t ( x) ? ex ? ex( x ? 0) , 则 t?( x) ? e x ? e , 则 x ? (0,1) 时 t?( x) ? 0 , x ? (1,??) 时 t?( x) ? 0 ,易知 t ( x)min ? t (1) ? 0 ,故 e x ? ex( x ? 0) ,
1 e 2 2 2 所以 e ? e e ? xe ? xe ( x ? 0) , 若存在 x1 使 g ( x1 )? 0 则需 e ? 2m , x1 显然存 2 在,如可取 x1 ? 2ln(2m) ? 1 ; 故 存 在 x2 ? (0, x0 ), x3 ? ( x0 , x1 ) 使 f ?( x) ? g ( x) ? 0 , 且 x ? (0, x2 ) 时 f ?( x) ? 0 , x ? ( x2 , x3 ) 时 f ?( x) ? 0 , x ? ( x3 ,??) 时 f ?( x) ? 0 ;所以 f ( x3 ) ? f ( x)min ? 0

x

x 2

x 2

x

x

x

2 ? e x3 ? m x3 ? 0 ----------------------------------------------9 分 ?? x 3 ?e ? 2m x3 ? 0 e2 m ? 得 x3 ? 2 ,故 .-------------------------------10 分 4 ex 法 2:由 f ( x) ? e x ? mx2 ? 0 ( x ? 0) 得 m ? 2 ( x ? 0) 且等号成立. ------5 分 x x e 令 g ( x) ? 2 ( x ? 0) ,则 m ? g ( x) ( x ? 0) , x e x ? x 2 ? e x ? 2 x xex ( x ? 2) ? ( x ? 0) ;---------------------6 分 因为 g ?( x) ? x4 x4 所以, x ? (0,2) 时 g ?( x) ? 0 , x ? (2,??) 时 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 (0,2) 上单调递减,

e2 在区间 (2,??) 上单调递增,所以 g ( x) min ? g (2) ? , 4 e2 e2 即有 m ? ,m 只可取 .------------------------------7 分 4 4 2 e e2 2 x x ( x ? 0) ,以下做法同方法 1(iv) 又m ? 时, f ( x ) ? e ? 4 4
注:方法 1 中(i)可不出现,有(ii)即可. (III) f ( x) ? ex ? mxk ? 0 ? e x ? mxk ( x ? 0)
x k (i) m ? 0 时由 e ? 1 ? mx ( x ? 0) 知命题成立; --------------------11 分 x k x (ii) m ? 0 时,若 k ? 0 ,则 x ? 1 时 e ? mx ? e ? m ,命题成立; ------12 分 x (iii) m ? 0 且 k ? 0 时,由(II)的证明知 e ? ex( x ? 0)

ex k ?1 e k ?1 ) ?( ) ? x ? xk k ?1 k ?1 e k ?1 m ) ? x ? m ,取 x0 ? 只需 ( ? 1,则 x∈(x0,+∞)时,恒有 f ( x) ? 0 . e k ?1 k ?1 ( ) k ?1
所以 e ? (e k ?1 )
x k ?1

x

?(

综上,命题成立. --------------------------------------------14 分

-8-

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