当前位置:首页 >> 高一数学 >>

从力做功到向量的数量积学案


§5 从力做的功到向量的数量积(学案) 姓名: 姓名: 班级: 班级: 学号: 学号: 一、预习目标: (1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。 (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;向量的夹角。 (3)掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。 F 二、回顾旧知 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义,问如何计算力 θ s 。如图: F 发生一段位移 S 所做的功 W= 这个公式有什么特点?请完成下列填空: ① W(功)是 量,② F(力)是 量,③ S(位移)是 量,④ θ是 功;θ=90°,w 0,力不做功; 0°≤θ<90°时,w 0,力做 90°<θ≤180°,w 0,力做 功。 你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量, 其结果又该如何表述?还应该注意 什么问题? 三、新知探索 1.向量夹角的概念:范围 画出以下几组向量的夹角: 。

在 ?ABC 中已知 A=45°,B=50°,C=85°求下列向量的夹角: uuu uuur r uuu uuu r r uuur uuu r (1) AB与 AC (2) AB与BC (3) AC与BC 的夹角。 2.射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明;并指出应注意哪些问题.

r r 给出如下六个图形,让学生指出 b 在 a 方向上的射影,并判断其正负。
B B B

r b

r b

θ
O

θ
r B1 a A
B1 O

r a A

θ r A O( B1 ) a

O

A

B

B

O

A

注意:①射影也是一个数量,不是向量。 注意 ②当θ为锐角时射影为 值;当θ为钝角时射影为 为 ;当θ = 0°时射影为 ;当θ = 180°时射影为 3.数量积定义: r r r r rr 注意: 注意:① a ? b 不能写成 a × b 或 ab 的形式。

值;当θ为直角时射影

②两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有 关。其正负如何确定? r r r r r r r r 0;当 θ 为钝角时, a ? b = a b cos θ 0; 当 θ 为锐角时, a ? b = a b cos θ
r r r r 当 θ = 90° 时, a ? b = a b cos θ r r r r 当 θ = 180° 时, a ? b = ? a b 。 r r r r 0;当 θ = 0° 时, a ? b = a b ;

几何意义: 物理意义:
4.数量积的性质

请完成下列练习,并通过观察,看看自己能否发现向量数量积的性质。 r r r r (1)已知 a = 2 , e 为单位向量,当它们的夹角为时 60°,求 a 在 e 方向上的投影及 e?a, a ?e ? , 性质为: r r r r r r (2)已知 a = 2 , b = 3 , a 与 b 的交角为 θ = 90° ,则 a ? b = 性质为:
r r r r r r (3)若 a = 1 , b = 3 , a 、 b 共线,则 a ? b =

;a·a=



性质为:

ur r r r r r (4)已知 m = 3 , n = 4 ,且 m ? n = 6 ,则 m 与 n 的夹角为
性质为: 性质: : ①e?a=__ ②a⊥b ?__ ③当 a 与 b 同向时,a?b =__;当 a 与 b 反向时,a?b =__。 特别的 a?a =__或 | a |= a ? a ④cosθ =__(|a||b|≠0) ⑤ |a?b|__|a||b|(当且仅当 a ∥ b 时等号成立)

5.运算定律: 1.交换律: 2.数乘结合律: 3.分配律: 四:课后感悟 1、判断下列各题正确与否: r ①若 a = 0 ,则对任一向量 b ,有 a · b = 0.

( ( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) ) )

r ②若 a ≠ 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a · b ≠ 0. r r ③若 a ≠ 0 , a · b = 0,则 b = 0 .
④若 a · b = 0,则 a 、 b 至少有一个为零.

r r r ⑤ 若 a ≠ 0 , a · b = a · c ,则 b = c r r r ⑥若 a · b = a · c ,则 b = c ,当且仅当 a ≠ 0 时成立.
r r r ⑦对任意向量 a , b , c ,有( a · b ) · c ≠ a · b · c ) (
⑧对任意向量 a ,有 a · a = | a |2. 3、看例 1 完成

已知︱ a ︱=5,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角θ=120°,求 a · b 。

例 1、已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°,求( a +2 b )( a -3 b ) a +2 b |; · ( 2 3 ,| 2 并思考此运算过程类似于哪种实数运算?

例 2、对任意向量 a ,b 是否有以下结论: (1) ( a + b )2= a 2+2 a · b + b 2 (2) ( a + b )·( a - b )= a 2— b 2 随堂练习:1、课本第 93 页 1、2. r r r r r r 2、已知 a = 2, b = 5, a ? b = ?3 ,则 a + b =
r r , a ?b =

.

3、已知:︱ a ︱=2,︱ b ︱=3, a 与 b 的夹角θ=120°,求(3 a + b )( a -2 b ) · ( 2 作业:1、课本 P95 习题 2-5,2、4、6 2、 拓展与提高: 已知 a 与 b 都是非零向量, a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,a -4 b 与 7 a -2 b 垂 且 直,求 a 与 b 的夹角。 (本题供学有余力的同学选做)


赞助商链接
相关文章:
更多相关标签: