2015西城区高三二模数学(理)试题及答案(word版)

北京市西城区2015 年高三二模试卷

数

学（理科）

2015.5

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷 3 至6 页，共150 分．考 试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本 试卷和答题纸一并交回。

第I卷（选择题 共40 分）
1．设集合 A． （－1? 3） B． （1? 3］ ，集合 C． ［1? 3） ，则 A B ＝（ ）

D． （－1? 3］

2．已知平面向量 则实数k ＝（ ） A．4

，

，

B．－4

C．8

D．－8

3． 设命题 p ：函数 数．则下列命题中真命题是（ ）

在R上为增函数；命题q：函数

为奇函

4．执行如图所示的程序框图，若输入的 输出的s属于（ ）

，则

A．

{1? 2}

B．{1? 3} C．{2 ? 3} D．{1? 3? 9}

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5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x 满足函数关系 （ ） A．3 ，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为

B．4

C ．5

D．6

6．数列 A．

为等差数列，满足 B．21 C．42 D．84

，则数列

前21 项的和等于（ ）

7．若“ x ＞1 ”是“不等式2 A．a ＞3

x

? a ? x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
C．a ＞ 4 D．a ＜ 4

B．a ＜ 3

8． 在长方体

， 点M 为AB1 的中点， 点P 为

对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合） ，则MP＋PQ 的最 小值为（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）
二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数 ＝＿＿＿＿

10．双曲线C ：

的离心率为

；渐近线的方程为 ；cos 2 ? ＝

．

11．已知角 ? 的终边经过点（－3，4） ，则cos ? ＝ 12． 如图，P 为 与 O 外一点， PA是切线， A为切点， 割线PBC

．

O 相交于点B 、C ，

且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交 O 于点 E ．若PB ＝ PA ＝

3 ，则 4
．

；AD·DE ＝

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13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种． （用数字作答） 14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记 形 ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f 论： ，OP 所经过的在正方 ，那么对于函数f（x）有以下三个结 （x）

①

；

②任意

，都有

③任意 其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题：本大题共6 小题，共80 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13 分） 在锐角△ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝ 7 ，b ＝3， ． （Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积． 16． （本小题满分13 分） 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台） ，并根据这 10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．

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为了鼓励卖场， 在同型号电视机的销售中， 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”． （Ⅰ）当a ＝ b ＝ 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星 级卖场”数量为n ，比较m，n 的大小关系； （Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场” 的个数，求X 的分布列和数学期望． （Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达 到最小值． （只需写出结论）

17． （本小题满分14 分） 如图 1，在边长为4 的菱形ABCD中， 折起到 ⑴ 求证： ⑵ 求二面角 的位置，使 平面BCDE ； 的余弦值； ，如图 2． 于点E ，将△ADE沿DE

⑶ 判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面 值；若不存在，说明理由．

？若存在，求出

的

图1 18． （本小题满分13 分） 已知函数 ，其中a ? R ．

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⑴ 当

时，求 f (x)的单调区间；

⑵ 当a＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立． 19． （本小题满分14 分） 设 分别为椭圆E：

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点， a 2 b2

点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2． ⑴ 若椭圆E 的离心率为 ，求椭圆E 的方程；

⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线 直径的圆经过点F1，证明：

与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为

20． （本小题满分13 分） 无穷数列 P ： ，满足 ，其中 （Ⅰ） 若数列P :1? 3? 4 ? 7 ? …，写出 （Ⅱ）若 （Ⅲ）已知 ＝46，求 ，求数列P 前n项的和； 的值． 表示集合 ； ，对于数列P ，记 中最小的数．

第5页

第6页

第7页

第8页

第9页

第 10 页

第 11 页

第 12 页

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