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2013届莆田市高三3月毕业班教学质量检查数学(理)试题Word版含答案


2013 年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷
数学(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
A 1.设全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? , A ? ? 2, 4, 6 ? , B ? ? 2, 3, 5 ? ,则 ? ?U ? ? B 等于(



A. ? 3, 5?
?

B. ? 4 , 6 ?
?

C. ?1, 2 , 3, 5 ?
? ?

D. ?1, 2 , 4 , 6 ? )

2.已知平面向量 a ? ? x , ? 1 ? , b ? ? ? 2,1 ? ,若 a // b ,则实数 x 的值等于( A.2 B.-2 C.
1 2

D. ?

1 2

3. x ? 1 ”是“ ln x ? 0 ”的( “ ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 4. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序。 若输入 x ? i( i 为虚数单位) , 则输出的结果是( ) A.1 B. i C.-1 D. ? i 5.若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体的正视图不可 .. 能的是( . )

6.任意画一个正方形,再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方 形,依此类推,这样一共画了 4 个正方形,如图所示。若向图形中随机投 一点,则所投点落在第四个正方形的概率是( ) A.
2 4
2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

B 7. 抛物线 y ? 4 x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线的直线相交于 A 、 两

点,其准线与 x 轴的交点为 M ,则过 M , A , B 三点的圆的标准方程是( A.x ? y ? 5
2 2


2 2

B. x ? 1 ? ? y ? 1 ?
2 2

C. x ? 1 ? ? y ? 2 ?
2 2

D. x ? 1 ? ? y ? 4 ?
??? ?? ?? 1, n s 则i
A

1 ? 8. ? A B C 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 。 a ? , b 2 在 角 若

, C C? 且 A B

的值是( A.
1 2

) B.
2 4

C.

3 4

D.

21 14

? 3 ? x ? 1? , ?y ? ? 3 ? ? 9.若不等式组 ? y ? k ? x ? 1 ? , 表示的平面区域是一个等腰三角形区域,则直线 ? y ? 0 ? ? ?
y ? k ? x ? 1?

的倾斜角 ? 的大小是( A. 3 0
0


0 0

B. 3 0 , 7 5

C. 3 0 ,1 2 0

0

0

D. 7 5 ,1 2 0

0

0

10. 对于函数 f ? x ? ,x ? D , 若满足对任意正数 ? , 总存在正数 ? , 使得对任意 x1 , x 2 ? D ,
x1 ? x 2 ,只要 x1 ? x 2 ? ? ,就有 f

? x1 ? ?

f

? x2 ?

? ? ,则称函数 f

? x ? 在定义域 D 内具
1 x , x ? ? 0, 2 ? ;

有性质 P。下列四个函数:① f ? x ? ? x ? 2 , x ? ? 0 , 2 ? ; ③ f ? x ? ? 2 , x ? ? 0, 2 ? ;
x

② f ?x? ?

④ f ?x? ? ?

?
2

4, x ? 0,

? x , 0 ? x ? 2.

其中在定义域内具有性质 P 的函数的序号是( A.①② B.①③ C.②④ D.③④



二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填写在答题卷的相应位置. 11.若 c o s ? ?
2

1 2

,? ? ? 0, ?
3

? ,则 c o s ?
2 2

??

? ?? ? ? ? 2 ?

。 。
1 b s in

12. ? a ? b ? ? b ? c ? 的展开式中 a b c 的系数是
b a 13. 已知 a 、 为实数, b ? 0 , 若函数 f ( x ) ?
x a ?

?x
2

? a ? b ? 1 是奇函数, f ? 1 ? 则

的最小值是



14. 一组数据如茎叶图所示。 若从中剔除 2 个数据, 使得新数据组的平均数不变且方差最小, 则剔除的 2 个数据的积等于 。 15.已知 P 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 右支上异于顶点的一点, F1 、 F 2 分别是双曲
1 2

线 的 左 、 右 焦 点 , M 是 ? P F1 F 2 的 内 切 圆 的 圆 心 。 若 S ? M P F ? S?
1

M P 2F

?

S?

M1 F 2 F

,则

b a

?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16. (本小题满分 13 分) 数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,对 n ? N ,点 ? n , a n ? 恒在直线 f ( x ) ? ? 2 x ? k 上,点 ? n , S n ?
*

恒在抛物线 g ( x ) ? a x ? x 上,其中 k , a 为常数。
2

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)求直线 f ( x ) 与抛物线 g ( x ) 所围成的封闭图形的面积。 17. (本小题满分 13 分) 某数学兴趣小组共10名学生, 参加一次只有5道填空题的测试。 填空第 i 题的难度计算公式为 Pi ?
Ri N
'

(其中 R i 为答对该题的人数, N 为参加测试的总人数) 。该次测试每道填空题的考前预估难度 p i 及 考后实测难度 Pi 的数据如下表:
题号 考前预估难度 p i 考后实测难度 Pi
'

1 0.9 0.8

2 0.8 0.8

3 0.7 0.7

4 0.6 0.7

5 0.4 0.2

( 1 ) 定 义 描 述 填 空 题 难 度 预 估 值 与 实 测 值 偏 离 程 度 的 统 计 量 为
S ?
* 2 1 ? ? p1 ' ? P1 ? ? ? n ?

?p

' 2

? P2 ? ? ? ?
2

?p

' n

* ? Pn ? ? ,若 S ? 0.01 ,则称填空题的难度预估 ? ?
2

是合理的,否则为不合理。请你判断该次测试中填空题的难度预估是否合理?并说明理由; (2)从该小组中随机抽取 2 个考生,记被抽取的考生中第 5 题答对的人数为 ? ,求 ? 的分 布列及数学期望。 18. (本小题满分 13 分) 已知 a 为实数,函数 f ( x ) ? ?
1 3 x ? x ? (a ? 2a ) x 。
3 2 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 上单调递减,求 f ( ? 3) 的取值范围。 19. (本小题满分 13 分) 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, 为棱 CD 上的一点, P 且三棱锥 A- CP D1 的体积为 (1)求 CP 的长; (2)求直线 AD 与平面 APD1 所成的角 ? 的正弦值; (3)请直接写出正方体的棱上满足 C1M∥平面 APD1 的所有点 M 的位 .. 置,并任选其中的一点予以证明。 20. (本小题满分 14 分) 已知直线 3 x ? 2 y ? 2 3 ? 0 过椭圆 E : 的两个顶点。 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)F 为椭圆 E 的左焦点,且 P ( x 0 , y 0 ) 椭圆上的动点,过点 M (
1 4 x 0 , 0 ) 作直线 PF 的垂线, 2 3



x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

垂足为 N,当 x 0 变化时,线段 PN 的长度是否为定值?若是,请写出这个定值,并证明你的

结论;若不是,请说明理由。

21. (本小题满分 14 分) 湄洲湾港被誉为“世界不多,中国少有”的天然良港。港口 各泊位每天的水深(水面与洋底的距离) f ( x ) (单位:米) 与时间 x (单位:小时)的函数关系近似地满足
?? ? f ( x ) ? A sin ? x ? ? ? ? B ( A , B ? 0 , 0 ? ? ? 2 ? ) 。在通常 6 ? ?

情况下, 港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务, 而当货船的吨位超过泊位的 额定吨位时,货船需在涨潮时驶入航道,靠近码头卸货,在落潮时返回海洋。 该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务, 货船将凌晨 0 点在该泊位开始 卸货。已知该泊位当天的最低水深 12 米,最大水深 20 米,并在凌晨 3 点达到最大水深。 (1)求该泊位当天的水深 f(x)的解析式; (2)已知该货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 12。5 米,安全条例规定,当船底与 洋底距离不足 1。5 米时,货船必须停止卸货,并将船驶向较深的水域。据测算,一个装卸 小队可使货船吃水深度以每小时 0。1 米的速度减少。 (Ⅰ)如果只安排一装卸小队进行卸货,那么该船在什么时间必须停止卸货,并将船驶向较 深的水域(精确到小时)? (Ⅱ) 如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务, 问能否连续不间断的完成 卸货任务?说明你的理由。


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