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3[1].2立体几何中的向量方法(一)


平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
思考1:立体几何问题研究的基本对象是什么? 点、直线、平面以及由它们组成的空间图形 思考2:如何用向量的方法表示点、直线、平面 以及它们在空间的位置关系呢?

3.2 立体几何中的向量方法(一)

探究:怎样用向量来表示点、直线、平 面在空间中的位置?
一、点的空间向量表示
在空间中,我们取一定点 O 作为基点, 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向 量 ??? ? ??? ? OP 来表示,我们把向量 OP 称为 点P的位置向量.

P

O

二、直线的空间向量表示 空间中任意一条直线l的位置 P 可以由

? a

直线l上一个定点A以及一个方 向向量 a 确定。

B A O

?

空间直线的向量表示式

1.OP ? OA ? t a
3. AP ? t AB

2.OP = (1- t )OA + tOB

三、平面的空间向量表示
我们知道,两条相交直线确定一个平面 设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为

a,b

对于平面 ? 上的任一点 P ,存在有序实数对 ( x, y) ,使得

??? ? ? ? OP ? xa ? yb

? b

P
? a

? O

空间平面的向量表示式

结论:

点O与两条相交直线的方向向量可以确定平面 ? 的位置

方法2:法向量
l

作直线l ? ? ,

取直线l的方向向量 a

a

?

A

则向量a叫做平面?的 法向量
记作:

a ??

思考:给定一点 A和一个向量a, 那么过点A且以 向量a为法向量的平面是唯一 确定的吗? 结论: 给定一点A和一个向量a, 那么过点A且

以向量a为法向量的平面是唯一确定的 法向量的特点: 1.法向量一定是非零向量;
2.平面的法向量有无数多个 3.一个平面的所有法向量都互相平行;

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z)
(2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标a ? (a1 , b1 , c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组? ?n ? b ? 0
(4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

??? ? ???? 例:已知AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3),
? 设平面的法向量为n ? (x,y,z), ? ??? ? ? ???? 则n ? AB, n ? AC ( ?(2, 2,1) ? 0, ? x,y,z) ?? ( ?(4,5,3) ? 0, ? x,y,z) 1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0 ? ? y ? ?1 ? 1 ? n ? ( , ?1,1) 2

求平面ABC的法向量。

4、法向量的运用
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂 直、夹角等位置关系。

四、空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等 位置关系的向量表示。 l a 1、平行 v m b

u

?

?
设直线l, m的方向向量分别是 a, b, 设平面?,?的法向量分别是 u, v,

1.l // m ? a // b ? a ? ? b, ? ? R 2.l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 3.? // ? ? u // v ? u ? ? v, ? ? R

2、垂直

b

m
a

l

u

v

?

?

设直线l, m的方向向量分别是 a, b, 设平面?,?的法向量分别是 u, v,

1.l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 2.l ? ? ? a // u ? a ? ? u, ? ? R
3.? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0

?? l2 的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ? b分别是直线 l1 ?
条件判断 l1 与 l 2 的位置关系: ? ? ? ? ① a ? (2,3, ?1), b ? (?6, ?9,3) ② a ? (5,0,2), b ? (0,4,0) ? ? ③ a ? (?2,1,4), b ? (6, 3, 3)

分析:直线方向向量与直线位置关系,

? ? ? ? l1 ∥ l2 ? a ∥ b; l1 ⊥ l2 ? a ⊥ b
①平行②垂直③相交或异面

据此可判断两直线的位置关系

? ? 例1 (2)设 u? v分别是平面 ? ?? 的法向量,根据下列条件 判断 ? 与 ? 的位置关系:
? ? ? ? 1 ① u ? (1, ?1,2), v ? (3,2, ? ) ②u ? (0,3,0), v ? (0, ?5,0) 2 ? ? ③ u ? (2, ?3,4), v ? (4, ?2,1)

? ? ? ? ? ∥ ? ? u ∥v;? ⊥ ? ? u ⊥v
据此可判断两平面的位置关系

分析:平面法向量与两平面位置关系,

①垂直②平行③相交(不垂直)

? ? 例1 (3)设 u 是平面 ? 的法向量, a是直线 l

的方向向 量,根据下列条件判断 ? 与 l 的位置关系: ? ? ? ? ① u ? (2,2, ?1), a ? (?3,4,2) ② u ? (0,2, ?3), a ? (0, ?8,12) ? ? ③ u ? (4,1,5), a ? (2, ?1,0)

分析:直线方向向量与平面法向量关系和直 线与平面位置关系,

? ? ? ? l ∥? ? a ⊥ u; l ⊥? ? a ∥u

据此可判断直线和平面的位置关系

① l ? ? 或l ∥? ②垂直③相交(斜交)

例2 已知平面? 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面? 的一个法向量.
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) ??? ? ??? ? AB ? (1, ?2, ?4), AC ? (2, ?4, ?3) ∴

? 设平面 ? 的法向量是 n ? ( x, y, z )
? x ? 2 y ? 4z ? 0 ? ? 2 x ? 4 y ? 3z ? 0

? ??? ? ? ???? 依题意,有 n ? AB ? 0且n ? AC ? 0 ,即

? ∴平面 ? 的一个法向量是 n ? (2,1,0)

解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2

五、典型例题
1.在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,M , N分别是C1C , B1C1的中点,求证:MN // 平面A1 BD

z

D1 A1

N
B1

C1

M
D

O
B

C

y

A

问题:如何求平面的法向量? ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ? ? ?n ? a ? 0 组 ?? ? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

例2
在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,E , F分别是BB1、D1 B1 的中点,求证:EF ? 平面B1 AC

z

D1

F
A1 B1

C1

E
D

O
B

C

y

A

例3:在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1的边长为4,M , N , E , F分别是棱A1 D1 , A1 B1 , D1C1 , B1C1的中点。 求证:平面AMN // 平面EFBD

z

M
A1

D1

E
B1

C1

F

N

D

O
B

C

y

A

例4:证明面面垂直 在四面体ABCD中,AB ? 平面BCD,BC ? CD. ?BCD ? 90 , ?ADB ? 30 , E , F分别是AC、AD的
0 0

中点。求证:平面BEF ? 平面ABC

z

A F

E

y
x
B

O
C

D


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