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抛物线的参数方程


第二讲 参数方程
2.2 圆锥曲线的参数方程 2.2.3 抛物线的参数方程

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1.理解抛物线参数方程的概念。 2.能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程。 3.掌握参数方程化为普通方程的 几种基本方法。 4.利用抛物线的参数方程求最值和有关点的轨迹。
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1 .抛物线 y = 2x2 1 y=- ; ________ 8
1 y=- . ________ 2

? 1? ? ? 0 , F 8 ? ? ,准线方程是 的焦点坐标为 ________

? 1? F?0,2? 2 抛 物 线 x = 2y 的 焦 点 坐 标 为 ________ ? ? ,准线方程是

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2 ? ?x=2pt , 2. 曲线 C 的参数方程为? (t 为参数, t∈R)其中 p ?y=2pt ?

x轴正半轴 上的抛物线参数方程. 为正的常数.这是焦点在______________

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预习 思考

抛物线 y2=x 的一个参数方程为____________________.,

2 ? x = t , ? 答案:? (t 为参数) ? ?y=t

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题型1

抛物线参数方程的理解

例 1 写出圆锥曲线 y2=4x 的参数方程.
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解析:y2=4x,令x=4t2,则y=4t.
2 ? x = 4 t , ? ∴参数方程为? (t为参数). ?y=4t ?

变式 训练
2 ? x = 2 pt , ? 1.已知抛物线的参数方程为? (t 为参数), ? ?y=2pt

其中 p>0,焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3, 则 p=________.

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答案:2

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题型2

抛物线参数方程的应用

例 2 过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 M、N 两点,求线段 MN 的中点的轨迹方程.
分析:本题有多种解法,下面选取两种较典型方法. 解析:解法一
2 ? x = 8 t , ? 设抛物线的参数方程为? (t 为参 ? ?y=8t

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2 数),可设 M(8t2 , 8 t ) , N (8 t 1 1 2,8t2),

8t2-8t1 1 则 kMN= 2 = . 8t2-8t2 t + t 1 1 2

又设 MN 的中点为 P(x,y),

? 则? 8t +8t ?y= 2 =4?t +t ?.
1 2 1 2

2 8t1 +8t2 2 2 x= =4?t2 + t 1 2?, 2

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4?t1+t2? ∴kAP= 2 2 , 4?t1+t2?-1
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1 由 kMN=kAP 知 t1t2=- , 8
2 2 ? x = 4 ? t + t ? 1 2 ?, 又? ? ?y=4?t1+t2?,

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则y

2

?x 1? 2 2 =16(t1+t2+2t1t2)=16? - ?=4(x-1). ?4

4?

∴所求轨迹方程为 y2=4(x-1).

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解法二

设 M(x1,y1),N(x2,y2),

2 ? y ? 1=8x1, 2 由 M、N 在抛物线 y =8x 上知? 2 ? ?y2=8x2, 2 两式相减得 y2 - y 1 2=8(x1-x2),

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即(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2), y1-y2 8 ∴ = =kMN. x1-x2 y1+y2
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设线段MN的中点为P(x,y), ∴y1+y2=2y. y 由kPA= , x-1 y1-y2 8 4 又kMN= = = , x1-x2 y1+y2 y 4 y ∴ =y ,即y2=4(x-1). x-1 ∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2=4(x-1).
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变式 训练

2.如图所示,设 M 为抛物线 y2=2x 上的动点,给 定点 M0(-1,0),点 P 为线段 M0M 的中点,求点 P 的轨 迹方程.
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变式 训练

分析: 合理选取参数, 将抛物线方程转化为参数方程, 再寻求解题方法是本题的解法之一. y2 解析:令 y=2t,则 x= =2t2, 2
2 ? x = 2 t , ? 得抛物线的参数方程? ? ?y=2t,

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设点 P 的坐标为(x,y),
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变式 训练
动点 M(2t2,2t),定点 M0(-1,0),由中点的坐标公式得点 P

? 的坐标为? 1 y = ? 2?0+2t?,
?x=-1+t2, 2 即? ?y=t.

1 x= ?-1+2t2?, 2
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1 这就是点 P 的轨迹的参数方程,可化为普通方程 y =x+ , 2
2

? 1 ? 这是以 x 轴为对称轴,顶点在?-2,0?的抛物线. ? ?

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