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2017年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷(解析版)


2017 年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷
一.填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A={x||x|≤2},B={x|3x﹣2≥1},则 A∩B= 2.复数 (i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 . . . .

3.已知命题 p:? x∈R,x2+2x+a≤0 是真命题,则实数 a 的取值范围是 4.从长度为 2、3、5、6 的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率为

5.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间[4,5)上的数据的 频数为 .

6.在如图所示的算法流程图中,若输出的 y 的值为 26,则输入的 x 的值为



7.在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x2=8y 的焦点,则点 F 到双曲线 x2 ﹣ =1 的渐近线的距离为 . 2b﹣ . (填“>”、“<”或“=”) , .

8.已知 a,b 为实数,且 a≠b,a<0,则 a

9. D 是斜边 BC 的中点, △ABC 是直角边等于 4 的等腰直角三角形, 向量 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界) ,则 的取值范围是

10.已知四数 a1,a2,a3,a4 依次成等比数列,且公比 q 不为 1.将此数列删去
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一个数后得到的数列 (按原来的顺序) 是等差数列, 则正数 q 的取值集合是



11.已知棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,F 是棱 BC 的中点,M 是线段 A1F 上的动点,则△MDD1 与△MCC1 的面积和的最小值是 .

12.已知函数 f(x)=﹣x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(﹣∞,0],若关于 x 的 不等式 f(x)>c﹣1 的解集为(m﹣4,m+1) ,则实数 c 的值为 .

13.若对任意的 x∈D,均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数 f(x)为 函数 f1(x)到函数 f2(x)在区间 D 上的“折中函数”.已知函数 f(x)=(k﹣1) x﹣1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且 f(x)是 g(x)到 h(x)在区间[1, 2e]上的“折中函数”,则实数 k 的值构成的集合是 14.若实数 x,y 满足 x﹣4 =2 . .

,则 x 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 上,点 A(1,0) ,点 B 在单位圆上,∠AOB=θ (0<θ<π) . (1)若点 B(﹣ , ) ,求 tan(θ+ (2)若 + = , = )的值; ﹣θ) .

,求 cos(

16.如图,六面体 ABCDE 中,面 DBC⊥面 ABC,AE⊥面 ABC. (1)求证:AE∥面 DBC; (2)若 AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC.

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17.如图,某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东 α 角方向的 OB,位于该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM=3 km,且∠AOM=β,现要

修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线 段,且经过大学 M,其中 tanα=2,cosβ= (1)求大学 M 在站 A 的距离 AM; (2)求铁路 AB 段的长 AB. ,AO=15km.

18.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,直线 y=x+

与以原点

为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 x= 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 D, 若圆 D 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,求△ABD 的面积; (3)如图,A1,A2,B1,B2 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点, 直线 B2P 交 x 轴于点 F,直线 A1B2 交 A2P 于点 E,设 A2P 的斜率为 k,EF 的斜率 为 m,求证:2m﹣k 为定值.

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19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*) . (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 2010 的 n 的最小值. 20.已知函数 f(x)= ax2+lnx,g(x)=﹣bx,其中 a,b∈R,设 h(x)=f(x) ﹣g(x) , (1)若 f(x)在 x= 单调区间; (2)若 a=0 时,函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2 ①求 b 的取值范围; ②求证: >1. 处取得极值,且 f′(1)=g(﹣1)﹣2.求函数 h(x)的 >

[选做题](选修 4-2:矩阵与变换) 21.已知点 P(a,b) ,先对它作矩阵 M= 对应的变换,得到的点的坐标为(8,4 对应的变换,再作 N= ) ,求实数 a,b 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]
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22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合, 若直线 l 的极坐标方程为 psin(θ﹣ )=2 .

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知 P 为椭圆 C: 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值.

【必做题】第 23 题、第 24 题,每题 10 分,共计 20 分. 23.抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底 面落于桌面,记所得数字分别为 x,y.设 ξ 为随机变量,若 为整数,则 ξ=0; 若 为小于 1 的分数,则 ξ=﹣1;若 为大于 1 的分数,则 ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0) ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) . 24.已知(x+2)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2…+an(x﹣1)n(n∈N*) . (1)求 a0 及 Sn= ai;

(2)试比较 Sn 与(n﹣2)3n+2n2 的大小,并说明理由.

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2017 年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A={x||x|≤2},B={x|3x﹣2≥1},则 A∩B= 【考点】交集及其运算. 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B, 找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:﹣2≤x≤2,即 A={x|﹣2≤x≤2}, 由 B 中不等式解得:x≥1,即 B={x|x≥1}, 则 A∩B={x|1≤x≤2}, 故答案为:{x|1≤x≤2} {x|1≤x≤2} .

2.复数

(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为

4



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】化简复数为 a+bi(a,b∈R) ,然后由复数的实部等于零且虚部不等于 0 求出实数 a 的值. 【解答】解: ∵复数 是纯虚数 = .



,解得:a=4.

故答案为:4.

3.已知命题 p:? x∈R,x2+2x+a≤0 是真命题,则实数 a 的取值范围是 ∞,1] .

(﹣

【考点】特称命题. 【分析】根据特称命题的等价条件,建立不等式关系即可.
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【解答】解:若命题 p:? x∈R,x2+2x+a≤0 是真命题, 则判别式△=4﹣4a≥0, 即 a≤1, 故答案为: (﹣∞,1].

4.从长度为 2、3、5、6 的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式.



【分析】 列举出所有情况, 让能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概 率. 【解答】解:从长度为 2、3、5、6 的四条线段中任选三条, 共有 2、3、5;2、3、6;2、5、6;3、5、6;4 种情况, 能构成三角形的有 2、5、6;3、5、6,共两种情况, 所以 P(任取三条,能构成三角形)= = . 故答案为:

5.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间[4,5)上的数据的 频数为 30 .

【考点】频率分布直方图. 【分析】根据频率分布直方图各组频率之和为 1,从图中的各段的频数计算出在 区间[4,5)上的频率,再由频率= 【解答】解:根据题意, 在区间[4,5]的频率为:1﹣(0.05+0.1+0.15+0.4)×1=0.3,
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,计算其频数.

而总数为 100,因此频数为 30. 故答案为 30.

6.在如图所示的算法流程图中,若输出的 y 的值为 26,则输入的 x 的值为 4 .



【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 y= 的值,当输出的 y 的值为 26 时,显然 x<4,有 x2﹣2x+2=26,

即可解得 x 的值. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 y= 的值,

当输出的 y 的值为 26 时,显然 x<4,有 x2﹣2x+2=26, 解得:x=﹣4 或 x=6(舍去) 故答案为:﹣4

7.在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x2=8y 的焦点,则点 F 到双曲线 x2 ﹣ =1 的渐近线的距离为 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,再由点到直线的距离公式计 算即可得到所求值. 【解答】解:抛物线 x2=8y 的焦点 F(0,2) ,
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双曲线

的渐近线方程为 y=±3x,

则 F 到双曲线

的渐近线的距离为

d=

=

. .

故答案为:

8.已知 a,b 为实数,且 a≠b,a<0,则 a < 【考点】不等式比较大小. 【分析】作差即可得出大小关系. 【解答】解:∵a≠b,a<0, ∴a﹣(2b﹣ ∴a<2b﹣ . )= <0,

2b﹣

. (填“>”、“<”或“=”)

故答案为:<.

9. D 是斜边 BC 的中点, △ABC 是直角边等于 4 的等腰直角三角形, 向量 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界) ,则



的取值范围是 (﹣2,

6) . 【考点】平面向量数量积的运算. AC 为 y 轴, 【分析】 以 AB 为 x 轴, 作图如右图, 利用向量的坐标运算求则 的取值范围. 【解答】解:以 AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,作图如右图, 点 A(0,0) ,B(4,0) ,C(0,4) ,D(2,2) , 则 = (4,0)+m(0,4)=(1,4m) ,则 M(1,4m) .

又∵点 M 在△ACD 的内部(不含边界) ,∴1<4m<3, <m< , 则 ═(1,4m)?(﹣3,4m)=16m2﹣3,∴﹣2<16m2﹣3<6,
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故答案为: (﹣2,6) .

10.已知四数 a1,a2,a3,a4 依次成等比数列,且公比 q 不为 1.将此数列删去 一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则正数 q 的取值集合是 { , } .

【考点】等差数列的性质. 【分析】因为公比 q 不为 1,所以不能删去 a1,a4.设{an}的公差为 d,分类讨 论,即可得出结论. 【解答】解:因为公比 q 不为 1,所以不能删去 a1,a4.设{an}的公差为 d,则 ①若删去 a2,则由 2a3=a1+a4 得 2a1q2=a1+a1q3,即 2q2=1+q3, 整理得 q2(q﹣1)=(q﹣1) (q+1) . 又 q≠1,则可得 q2=q+1,又 q>0 解得 q= ;

②若删去 a3, 则由 2a2=a1+a4 得 2a1q=a1+a1q3, 即 2q=1+q3, 整理得 q (q﹣1) (q+1) =q﹣1. 又 q≠1,则可得 q(q+1)=1,又 q>0 解得 q= 综上所述,q= 故答案为:{ , . }. .

11.已知棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,F 是棱 BC 的中点,M 是线段 A1F 上的动点,则△MDD1 与△MCC1 的面积和的最小值是 【考点】棱柱的结构特征. 【分析】 由题意, 就是求 M 到 DD1 与 CC1 距离和的最小值, 由于 A1F 在平面 ABCD
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1



上的射影为 AF,故问题转化为正方形 ABCD 中,AF 上的点到 D,C 距离和的最小 值. 【解答】解:由题意,就是求 M 到 DD1 与 CC1 距离和的最小值,由于 A1F 在平面 ABCD 上的射影为 AF,故问题转化为正方形 ABCD 中,AF 上的点到 D,C 距离和 的最小值,如图所示,O 为所求,则由射影定理,可得,DO= ∠CDO= ∴CO= , =1, )= + , ,sin∠ADO=cos

∴△MDD1 与△MCC1 的面积和的最小值是 (1+ 故答案为: + .

12.已知函数 f(x)=﹣x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(﹣∞,0],若关于 x 的 不等式 f(x)>c﹣1 的解集为(m﹣4,m+1) ,则实数 c 的值为 【考点】二次函数的性质;一元二次不等式的解法. 【分析】 本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究,得到方程的根与解集 的关系,利用两根之差为定值,求出实数 c 的值,得到本题结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=﹣x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(﹣∞,0], ∴△=0, ∴a2+4b=0, ∴b= . .

∵关于 x 的不等式 f(x)>c﹣1 的解集为(m﹣4,m+1) , ∴方程 f(x)=c﹣1 的两根分别为:m﹣4,m+1, 即方程:﹣x2+ax =c﹣1 两根分别为:m﹣4,m+1,

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∵方程:﹣x2+ax , ∴两根之差为:2 c=﹣ . .

=c﹣1 根为:

=(m+1)﹣(m﹣4) ,

故答案为:

13.若对任意的 x∈D,均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数 f(x)为 函数 f1(x)到函数 f2(x)在区间 D 上的“折中函数”.已知函数 f(x)=(k﹣1) x﹣1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且 f(x)是 g(x)到 h(x)在区间[1, 2e]上的“折中函数”,则实数 k 的值构成的集合是 【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】在区间[1,2e]上分 g(x)≤f(x)及 f(x)≤h(x)两种情况考虑即 可. 【解答】解:根据题意,可得 0≤(k﹣1)x﹣1≤(x+1)lnx 在 x∈[1,2e]上恒 成立. 当 x∈[1,2e]时,函数 f(x)=(k﹣1)x﹣1 的图象为一条线段, 于是, 另一方面, 令 则 由于 1≤x≤2e, 所以 , . = ,解得 k≥2. 在 x∈[1,2e]上恒成立. , {2} .

于是函数 x﹣lnx 为增函数, 从而 x﹣lnx≥1﹣ln1>0, 所以 m′(x)≥0, 则函数 m(x)为[1,2e]上的增函数.
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所以 k﹣1≤[m(x)]min=m(1)=1, 即 k≤2. 综上,k=2. 故答案为:{2}.

14.若实数 x,y 满足 x﹣4

=2

,则 x 的取值范围是

[4,20]∪{0} .

【考点】基本不等式;函数的零点与方程根的关系. 【分析】本题可以采用代数法和几何法,通过换元,数形结合,分类讨论求解变 量 x 的取值范围. 【解答】解:方法一: 【几何法】 当 x=0 时,解得 y=0,符合题意,当 x>0 时,解答如下: 令 t= ∈[0, ],原方程可化为:﹣2t+ = ,t∈[0, , ],

记函数 f(t)=﹣2t+ ,g(t)=

这两个函数都是关于 t 的函数,其中 x 为参数, f(t)的图象为直线,且斜率为定值﹣2, g(t)的图象为四分之一圆,半径为为 ,

问题等价为,在第一象限 f(t) ,g(t)两图象有公共点, ①当直线与圆相切时,由 d=r 解得 x=20, ②当直线过的点 A(0, )在圆上的点(0, 即 = ,解得 x=4, )处时,

因此,要使直线与圆有公共点,x∈[4,20], 综合以上分析得,x∈[4,20]∪{0}. 方法二: 【代数法】 令 t= ∈[0, ],原方程可化为:x﹣4t=2 ,

因为 x﹣y=x﹣t2≥0,所以 x≥t2≥0, 两边平方并整理得,20t2﹣8xt+x2﹣4x=0(*) , 这是一个关于 t 的一元二次方程,则方程(*)有两个正根(含相等) ,

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,解得,x∈[4,20]∪{0}. 特别地,当 x=0 时,y=0,符合题意. 故答案为:[4,20]∪{0}.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 上,点 A(1,0) ,点 B 在单位圆上,∠AOB=θ (0<θ<π) . (1)若点 B(﹣ , ) ,求 tan(θ+ (2)若 + = , = )的值; ﹣θ) .

,求 cos(

【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】 (1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出; (2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差
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公式即可得出. 【解答】解: (1)由点 B(﹣ , ) ,∴sinθ= , ,tanθ=﹣ .

∴tan(θ+ (2)∵ ∴ +

)= ,

=

=﹣ ;

=

=(1+cosθ,sinθ) . = , ,

∴(cosθ,sinθ)?(1+cosθ,sinθ)=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1= 解得 cosθ= ∴cos( ,∵0<θ<π,∴ ﹣θ)= = = + . =



16.如图,六面体 ABCDE 中,面 DBC⊥面 ABC,AE⊥面 ABC. (1)求证:AE∥面 DBC; (2)若 AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC.

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足,由已知得 DO⊥面 ABC,由此能证明 AE∥面 DBC. (2)由已知得 DO⊥AB,AB⊥面 DBC,从而 AB⊥DC,由此能证明 AD⊥DC. 【解答】证明: (1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足. 因为面 DBC⊥面 ABC,又面 DBC∩面 ABC=BC,DO? 面 DBC, 所以 DO⊥面 ABC. 又 AE⊥面 ABC,则 AE∥DO.
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又 AE?面 DBC,DO? 面 DBC,故 AE∥面 DBC. (2)由(1)知 DO⊥面 ABC,AB? 面 ABC,所以 DO⊥AB. 又 AB⊥BC,且 DO∩BC=O,DO,BC? 平面 DBC,则 AB⊥面 DBC. 因为 DC? 面 DBC,所以 AB⊥DC. 又 BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB? 面 ABD,则 DC⊥面 ABD. 又 AD? 面 ABD,故可得 AD⊥DC.

17.如图,某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东 α 角方向的 OB,位于该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM=3 km,且∠AOM=β,现要

修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线 段,且经过大学 M,其中 tanα=2,cosβ= (1)求大学 M 在站 A 的距离 AM; (2)求铁路 AB 段的长 AB. ,AO=15km.

【考点】正弦定理. 【分析】 (1)在△AOM 中,利用已知及余弦定理即可解得 AM 的值; (2)由 cos ,且 β 为锐角,可求 sinβ,由正弦定理可得 sin∠MAO,结合

tanα=2,可求 sinα,cosα,sin∠ABO,sin∠AOB,结合 AO=15,由正弦定理即可 解得 AB 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分)
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解: (1)在△AOM 中,A0=15,∠AOM=β,且 cosβ=

,OM=3



AM2=OA2+OM2﹣2OA?OM?cos∠AOM= 由余弦定理可得: (3 ×15× =72. ,大学 M 在站 A 的距离 AM 为 6 ,且 β 为锐角,∴sinβ= = , ,即

2 ) +152﹣2×

所以可得:AM=6 (2)∵cos

km…6 分

在△AOM 中,由正弦定理可得: ∠MAO= ∴∠MAO= , ,∴∠ABO=α﹣ ,cosα= )= , , ,

=

,∴sin

∵tanα=2,∴sin ∴sin∠ABO=sin(

又∵∠AOB=π﹣α,∴sin∠AOB=sin(π﹣α)= 在△AOB 中,AO=15,由正弦定理可得: ∴解得 AB=30 ,即铁路 AB 段的长 AB 为 30

. = km…12 分 ,即 ,

18.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,直线 y=x+

与以原点

为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 x= 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 D, 若圆 D 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,求△ABD 的面积; (3)如图,A1,A2,B1,B2 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点, 直线 B2P 交 x 轴于点 F,直线 A1B2 交 A2P 于点 E,设 A2P 的斜率为 k,EF 的斜率 为 m,求证:2m﹣k 为定值.

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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由于直线 y=x+ O 相切,可得 可得出. ( 2 ) 把 x= 代入椭圆方程可得: ,可得⊙D 的方程为: 即可得 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 = ,b2=a2﹣c2,联立解得即

=b,解得 b.又离心率 e=

.令 x=0,解得 y,可得|AB|,利用 S△ABD= 出.

(3)由(1)知:A1(﹣2,0) ,A2(2,0) ,B2(0,1) ,可得直线 A1B2AD 的方 程,设直线 A2P 的方程为 y=k(x﹣2) ,k≠0,且 k≠ ,联立解得 E.设 P(x1,

y1) ,与椭圆方程联立可得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.解得 P.设 F(x2,0) , 则由 P,B2,F 三点共线得, 【解答】 (1)解:∵直线 y=x+ 圆 O 相切, ∴ =b,化为 b=1. = ,b2=a2﹣c2=1,联立解得 a=2,c= =1; ,解得 y=± . . .可得 F.即可证明 2m﹣k 为定值. 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的

∵离心率 e=

∴椭圆 C 的方程为

(2)解:把 x= 代入椭圆方程可得:

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∴⊙D 的方程为: 令 x=0,解得 y=± ∴|AB|= ∴S△ABD= , = ,



=



(3)证明:由(1)知:A1(﹣2,0) ,A2(2,0) ,B2(0,1) , ∴直线 A1B2 的方程为 , ,

由题意,直线 A2P 的方程为 y=k(x﹣2) ,k≠0,且 k≠ 由 ,解得 .

设 P(x1,y1) ,则由

,得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.

∴2x1=

,∴x1=

,y1=k(x1﹣2)=





. .

设 F(x2,0) ,则由 P,B2,F 三点共线得,



=

,∴x2=

,∴F



∴EF 的斜率 m=

=



∴2m﹣k=

﹣k= 为定值.

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19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*) . (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 2010 的 n 的最小值. 【考点】数列与不等式的综合;等比关系的确定;数列的求和. 【分析】 (1)利用递推式,再写一式,两式相减,可得数列{an+1}为等比数列, 从而可求数列{an}的通项公式; (2)求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,代入可求满足不等式 最小值. 【解答】 (1)证明:当 n=1 时,2a1=a1+1,∴a1=1. ∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an﹣1=Sn﹣1+n﹣1,n≥2, 两式相减得 an=2an﹣1+1,n≥2,即 an+1=2(an﹣1+1) ,n≥2, ∴数列{an+1}为以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an+1=2n,∴an=2n﹣1,n∈N*; (2)解:bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)?2n, ∴Tn=3?2+5?22+…+(2n+1)?2n, ∴2Tn=3?22+5?23+…+(2n+1)?2n+1, 两式相减可得﹣Tn=3?2+2?22+2?23+…+2?2n﹣(2n+1)?2n+1, ∴Tn=(2n﹣1)?2n+1+2
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>2010 的 n 的



>2010 可化为 2n+1>2010

∵210=1024,211=2048 ∴满足不等式 >2010 的 n 的最小值为 10.

20.已知函数 f(x)= ax2+lnx,g(x)=﹣bx,其中 a,b∈R,设 h(x)=f(x) ﹣g(x) , (1)若 f(x)在 x= 单调区间; (2)若 a=0 时,函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2 ①求 b 的取值范围; ②求证: >1. 处取得极值,且 f′(1)=g(﹣1)﹣2.求函数 h(x)的

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭 区间上函数的最值. 【分析】 (1)根据极值点处的导数为零,结合 f(1)=g(﹣1)﹣2 列出关于 a, b 的方程组,求出 a,b,然后再利用导数研究导数研究单调区间; (2)①将 a=0 代入,研究极值的符号,即可求出求 b 的取值范围, ②结合①的结论,通过适当的变形,利用放缩法和基本不等式即可证明. 【解答】解: (1)由已知得 f 所以 由 f′(1)=g(﹣1)﹣2, 得 a+1=b﹣2, 所以 b=1. 所以 h(x)=﹣x2+lnx+x, (x>0) . 则 , (x>0) , , (x>0) ,

,所以 a=﹣2.

由 h′(x)>0 得 0<x<1,h′(x)<0 得 x>1.
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所以 h(x)的减区间为(1,+∞) ,增区间为(0,1) . (2)①由已知 h(x)=lnx+bx, (x>0) . 所以 h , (x>0) ,

当 b≥0 时,显然 h′(x)>0 恒成立,此时函数 h(x)在定义域内递增,h(x) 至多有一个零点,不合题意. 当 b<0 时,令 h′(x)=0 得 x= <0 得 . )=﹣ln(﹣b)﹣1>0,解得 . >0,令 h′(x)>0 得 ;令 h′(x)

所以 h(x)极大=h(

且 x→0 时,lnx<0,x→+∞时,lnx>0. 所以当 时,h(x)有两个零点.

②证明:由题意得

,即



①×②得 因为 x1,x2>0, 所以﹣b(x1+x2)>0, 所以 因为 0<﹣b< , 所以 e﹣b>1, 所以 x1x2> 所以 >1. >





>e2,

[选做题](选修 4-2:矩阵与变换) 21.已知点 P(a,b) ,先对它作矩阵 M= 对应的变换,再作 N=

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对应的变换,得到的点的坐标为(8,4 【考点】几种特殊的矩阵变换.

) ,求实数 a,b 的值.

【分析】利用矩阵的乘法,求出 MN, (NM)﹣1,利用变换得到的点的坐标为(8, 4 ) ,即可求实数 a,b 的值. ,…

【解答】解:依题意,NM=

=

由逆矩阵公式得, (NM)﹣1=

,…

所以

=

,即有 a=5,b=﹣





[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合, 若直线 l 的极坐标方程为 psin(θ﹣ )=2 .

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知 P 为椭圆 C: 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可; (2)设 P( cosα,3sinα) ,利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离

d,利用余弦函数的值域确定出最小值即可. 【解答】解: (1)直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ﹣ 整理得:ρ(sinθcos 即 ρsinθ﹣ρcosθ=4, 则直角坐标系中的方程为 y﹣x=4,即 x﹣y+4=0; (2)设 P( cosα,3sinα) ,
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)=2 ρcosθ=2

, ,

﹣cosθsin

)=

ρsinθ﹣

∴点 P 到直线 l 的距离 d= =2 ﹣ , ﹣ .

=



则 P 到直线 l 的距离的最小值为 2

【必做题】第 23 题、第 24 题,每题 10 分,共计 20 分. 23.抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底 面落于桌面,记所得数字分别为 x,y.设 ξ 为随机变量,若 为整数,则 ξ=0; 若 为小于 1 的分数,则 ξ=﹣1;若 为大于 1 的分数,则 ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0) ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) . 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)数对(x,y)共有 16 种,利用列举法求出使 为整数的种数,由 此能求出概率 P(ξ=0) . (2)随机变量 ξ 的所有取值为﹣1,0,1,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 【解答】解: (1)依题意,数对(x,y)共有 16 种,其中使 为整数的有以下 8 种: (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (2,1) , (3,1) , (4,1) , (4,2) , 所以 ;

(2)随机变量 ξ 的所有取值为﹣1,0,1, ξ=﹣1 有以下 6 种: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) , 故 , ,

ξ=1 有以下 2 种: (3,2) , (4,3) ,故 ∴P(ξ=0)=1﹣ ∴ξ 的分布列为: ξ ﹣1 0 1
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= ,

P ξ 的数学期望为 .

24.已知(x+2)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2…+an(x﹣1)n(n∈N*) . (1)求 a0 及 Sn= ai;

(2)试比较 Sn 与(n﹣2)3n+2n2 的大小,并说明理由. 【考点】二项式定理的应用;二项式系数的性质. 【分析】 (1)令 x=1,则 ,再令 x=2,则 ,可得 Sn= ai 的值.

3n+2n2 的大小, 3n+2n2 的大小. (2) 要比较 Sn 与 (n﹣2) 只要比较 4n 与 (n﹣1) 检 验可得当 n=1 或 4 或 5 时,4n>(n﹣1)3n+2n2,当 n=2 或 3 时,4n>(n﹣1) 3n+2n2.猜测当 n≥4 时,4n>(n﹣1)3n+2n2,再用下面用数学归纳法、放缩法 证明结论. 【解答】解: (1)令 x=1,则 3n. (2)要比较 Sn 与(n﹣2)3n+2n2 的大小,只要比较 4n 与(n﹣1)3n+2n2 的大小. 当 n=1 时,4n>(n﹣1)3n+2n2, 当 n=2 或 3 时,4n<(n﹣1)3n+2n2,当 n=4 或 5 时,4n>(n﹣1)3n+2n2. 猜想:当 n≥4 时,4n>(n﹣1)3n+2n2.下面用数学归纳法证明: ①由上述过程可知,当 n=4 时,结论成立. ②假设当 n=k(k≥4,k∈N*)时结论成立,即 4k>(k﹣1)3k+2k2, 两边同乘以 4,得 4k+1>4[(k﹣1)3k+2k2]=k3k+1+2(k+1)2+[(k﹣4)3k+6k2﹣ 4k﹣2], 而(k﹣4)3k+6k2﹣4k﹣2=(k﹣4)3k+6(k2﹣k﹣2)+2k+10=(k﹣4)3k+6(k﹣ 2) (k+1)+2k+10>0, 所以 4k+1>[(k+1)﹣1]3k+1+2(k+1)2, 即 n=k+1 时结论也成立.
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,令 x=2,则

,所以 Sn=

ai =4n﹣

由①②可知,当 n≥4 时,4n>(n﹣1)3n+2n2 成立. 综上所述,当 n=1 时, Sn<(n﹣2)3n+2n2; 当 n≥4 时, . ;当 n=2 或 3 时,4n<(n﹣1)3n+2n2,

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2017 年 3 月 9 日

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