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第七章不等式7.2二元一次不等式组与简单的线性规划问题


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§7.2

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考纲展示? 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 考点 1 二元一次不等式(组)表示平面区域

二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C =0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)________边界直线,把边界直线画成虚线;不等 式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域(半平面)________边界直线,把边界直线画成实线. (2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),使得 Ax+By+C 的值符号相同,也 就是位于同一半平面的点,如果其坐标满足 Ax+By+C>0,则位于另一个半平面内的点,其 坐标满足________. (3)可在直线 Ax+By+C=0 的同一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的________就可以判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的 ________. 答案:(1)不包括 包括 (2)Ax+By+C<0 (3)符号 (4)公共部分

(1)[教材习题改编]不等式组?

?x-3y+6<0, ? ? ?x-y+2≥0

表示的平面区域是(

)

A

B
-1-

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C 答案:C

D

-x+y-2≥0, ? ? (2)[ 教材习题改编 ] 已知 x , y 满足 ?x+y-4≤0, ? ?x-3y+3≤0, ________. 答案:0

则 z =- 3x + y 的最小值为

不等式表示平面区域的易错点:方程 Ax+By+C=0 中 Ax+By+C 的符号与不等式表示的 平面区域的关系. (1)不等式 2x-y-3>0 表示的平面区域是________. 答案:直线 2x-y-3=0 的右下方(不包括边界) 解析:将原点(0,0)代入 2x-y-3,得 2×0-0-3=-3<0,所以不等式 2x-y-3>0 表示直线 2x-y-3=0 的右下方(不包括边界),如图所示.

(2)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 表示的平面区域是________.
-2-

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答案:直线 x-2y+1=0 与 x+y-3=0 之间的上、下两部分(包括边界) 解析:原不等式等价于
?x-2y+1≥0, ? ? ? ?x+y-3≤0

或?

?x-2y+1≤0, ? ? ?x+y-3≥0. ? ?x-2y+1≥0, ?x+y-3≤0 ?

在平面直角坐标系中作出不等式组 ? 面区域.

和?

? ?x-2y+1≤0, ?x+y-3≥0, ?

所表示的平

故不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 表示的平面区域如图中的阴影部分所示.

x-y≥-1, ? ? [典题 1] (1)[2017·山东青岛月考]若实数 x,y 满足不等式组?x+y≥1, ? ?3x-y≤3,
约束条件所围成的平面区域的面积是( A.3 C.2 [答案] C ) B. 5 2

则该

D.2 2

-3-

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[解析] 因为直线 x-y=-1 与 x+y=1 互相垂直,所以如图所示的可行域为直角三角形, 易得 A(0,1),B(1,0),C(2,3), 故|AB|= 2,|AC|=2 2, 1 其面积为 ×|AB|×|AC|=2. 2

x+y-2≤0, ? ? (2)若不等式组?x+2y-2≥0, ? ?x-y+2m≥0

表示的平面区域

4 为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为( 3 A.-3 C. 4 3

) B.1 D.3

[答案] B [解析] 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m<2,则 m>-1.

由?

? ?x+y-2=0, ?x-y+2m=0, ?

解得?

? ?x=1-m, ?y=1+m, ?

即 A(1-m,1+m).

-4-

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由?

?x+2y-2=0, ? ? ?x-y+2m=0,

2 4 x= - m, ? ? 3 3 解得? 2 2 y= + m, ? ? 3 3

?2 4 2 2 ? 即 B? - m, + m?, ?3 3 3 3 ?
所围成的区域为△ABC,则 S△ABC=S△ADC-S△BDC 1 1 2 = (2+2m)(1+m)- (2+2m)· (1+m) 2 2 3 1 4 2 = (1+m) = , 3 3 解得 m=-3(舍去)或 m=1.故选 B. [点石成金] 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不 等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与 特殊点异侧的平面区域. (2)当不等式中带等号时,边界应画成实线;不带等号时,边界应画成虚线,特殊点常取 原点.

考点 2 求目标函数的最值

y≤2, ? ? (1)[教材习题改编]已知变量 x, y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x-y≤1,
________. 答案:11 解析:由约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,

则 z=3x+y 的最大值为

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解方程组?

? ?x-y=1, ?y=2, ?

得?

? ?x=3, ?y=2, ?

即 A(3,2).

当直线 y=-3x+z 经过点(3,2)时,z 取得最大值,即 zmax=3×3+2=11. (2)[教材习题改编]投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平 方米;投资生产 B 产品时,每生产 100 吨需要资金 300 万元,需场地 100 平方米.现某单位 可使用资金 1 400 万元,场地 900 平方米,则上述要求可用不等式组表示为________.(用 x,

y 分别表示生产 A,B 产品的吨数)
2x+3y≤1 400, ? ?2x+y≤900, 答案:? x≥0, ? ?y≥0 解析:生产 A 产品 x 吨,生产 B 产品 y 吨, 2x+3y≤1 400, ? ?2x+y≤900, 则有? x≥0, ? ?y≥0.

[考情聚焦] 线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式, 多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起, 使数学问题的解答变得更加新颖别致. 主要有以下几个命题角度: 角度一 转化为截距(形如 z=ax+by)

-6-

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x+2y≥1, ? ? [典题 2] [2017·山东荣成六中高三月考]若变量 x,y 满足条件?x+4y≤3, ? ?y≥0,
=x+y 的最大值是( A.3 C.1 [答案] A ) B.2 D.0

则z

[解析] 可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A(1,0),B(3,0),C(-1,1),所以直 线 z=x+y 过点 B 时取最大值 3,故选 A. 角度二 转化为距离[形如 z=(x-a) +(y-b) 或 z=|Ax+By+c|]
2 2

x-y≤1, ? ? [典题 3] [2017·河南开封模拟]设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥2, ? ?y≤2, z=x2+y2 的取值范围为(
A.[2,8] C.[2,13] [答案] C [解析] 作出可行域,如图中阴影部分所示, ) B.[4,13]

则目标函数

?5 ? D.? ,13? ?2 ?

将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方, 从而可得 zmin=|OA| =?
2

?|0+0-2|?2 2 2 ? =2, ? 1 +1 ?

zmax=|OB|2=32+22=13.
故 z 的取值范围为[2,13]. 角度三

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转化为斜率?形如z=

? ?

ay+b ac cx+d

? ? ?
y x

x-1≥0, ? ? [典题 4] [2015·新课标全国卷Ⅰ]若 x,y 满足约束条件?x-y≤0, ? ?x+y-4≤0,
值为________. [答案] 3

则 的最大

[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示, ∵ 表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率, ∴ 点(x,y)在点 A 处时 最大.
? ?x=1, ?x+y-4=0, ? ? ?x=1, ?y=3. ?

y x

y x

由?

得?

∴ A(1,3).

∴ 的最大值为 3. 角度四 线性规划中的参数问题

y x

x-y≥0, ? ? [典题 5] (1)[2015·山东卷]已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2, ? ?y≥0.
大值为 4,则 a=( A.3 C.-2 [答案] B [解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, ) B.2 D.-3

若 z=ax+y 的最

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若 z=ax+y 的最大值为 4,则最优解为 x=1,y=1 或 x=2,y=0,经检验知,x=2,y =0 符合题意,∴2a+0=4,此时 a=2,故选 B.

x+y-2≤0, ? ? (2)已知 x, y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0.
则实数 a=( 1 A. 或-1 2 C.2 或 1 [答案] D )

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,

1 B.2 或 2 D.2 或-1

[解析] 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,

可知 A(0,2),B(2,0),C(-2,-2), 则 zA=2,zB=-2a,zC=2a-2, 要使目标函数取得最大值的最优解不唯一, 只要 zA=zB>zC 或 zA=zC>zB 或 zB=zC>zA,

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解得 a=-1 或 a=2. [点石成金] 1.求目标函数最值的三个步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点 的那一条直线 l. (2)平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点的位置. (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值. 2.常见的三类目标函数 (1)截距型:形如 z=ax+by. 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求 直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z=(x-a) +(y-b) . (3)斜率型:形如 z=
2 2

a b

z b

z b

y-b . x-a

[提醒] 注意转化的等价性及几何意义. 考点 3 线性规划的实际应用

[典题 6]

[2016·新课标全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种

新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产 一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个 工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元. [答案] 216 000 [解析] 由题意,设产品 A 生产 x 件,产品 B 生产 y 件,利润 z=2 100x+900y,线性约

? ?x+0.3y≤90, 束条件为?5x+3y≤600, x≥0, ? ?y≥0,

1.5x+0.5y≤150, 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

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又由 x ∈ N , y ∈ N ,可知取得最大值时的最优解为 (60,100) ,所以 zmax =2 100×60 + 900×100=216 000(元). [点石成金] 1.解线性规划应用题的三个步骤 (1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题. (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.求解线性规划应用题的三个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数 x,y 的取值范围,特别注意分析 x,

y 是否是整数、是否是非负数等.
(3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.

某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆, 且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 答案:C 解析:设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆, 目标函数为 z=1 600x+2 400y,则约束条件为 ) B.36 000 元 D.38 400 元

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36x+60y≥900, ? ?y-x≤7, ?y+x≤21, ? ?x,y∈N,

作出可行域,如图中阴影部分所示,

可知目标函数过点(5,12)时,有最小值 zmin =36 800(元).

[方法技巧]

1.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后

用字母表示变量,列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题. 2. 点 P1(x1, y1)和 P2(x2, y2)位于直线 Ax+By+C=0 的两侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2 +By2+C)<0;位于直线 Ax+By+C=0 同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0. [易错防范] 1.在画平面区域时,要注意实虚线. 2.在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距 取最大 值时,z 也取最大值,截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取 最小值,截距 取最小值时,z 取最大值.

z b

z b

z b

z b

z b

真题演练集训

x+y≤2, ? ? 1.[2016·山东卷]若变量 x,y 满足?2x-3y≤9, ? ?x≥0,
A.4 C.10 答案:C B.9 D.12

则 x +y 的最大值是(

2

2

)

解析:作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,
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设 P(x,y)为平面区域内任意一点,则 x +y 表示|OP| .显然,当点 P 与点 A 重合时,x +y 取得最大值, 由?
?x+y=2, ? ?2x-3y=9, ? ? ?x=3, ?y=-1, ?
2

2

2

2

2

解得?

故 A(3,-1).所以 x +y 的最大值为 3 +(-1) =10.故选 C.

2

2

2

2

2x-y≤0, ? ? 2.[2016·北京卷]若 x,y 满足?x+y≤3, ? ?x≥0, A.0 C.4 答案:C 2x-y≤0, ? ? 解析:不等式组?x+y≤3, ? ?x≥0

则 2x+y 的最大值为(

)

B.3 D.5

表示的可行域如图中阴影部分所示,

? ?2x-y=0, 由? ?x+y=3, ?

解得?

? ?x=1, ?y=2, ?

故当目标函数 z=2x+y 经过点 A(1,2)时,z 取得最大

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值,zmax=2×1+2=4.故选 C. 3.[2015·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每 种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( 甲 乙 2 2 B.16 万元 D.18 万元 ) 原料限额 12 8

A(吨) B(吨)
A.12 万元 C.17 万元 答案:D

3 1

解析: 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所获利润为 z 万元,则有 3x+2y≤12, ? ? ?x+2y≤8, ? ?x≥0,y≥0,

目标函数为 z=3x+4y,作出可行域如图中阴影部分所示,由图形可

知,当直线 z=3x+4y 经过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为 3×2+4×3=18(万元). 4.[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组?
? ?x+y≥1, ?x-2y≤4 ?

的解集记为 D,有下面四个命题:

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2; p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2; p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3; p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( A.p2,p3 C.p1,p2 ) B.p1,p4 D.p1,p3

答案:C

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解析:作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.

由?

?x+y=1, ? ? ?x-2y=4,

得交点 A(2,-1).

1 目标函数的斜率 k=- >-1, 2 观察直线 x+y=1 与直线 x+2y=0 的倾斜程度,可知 u=x+2y 过点 A 时取得最小值 0?y=- + , 表示纵截距?.结合题意知 p1,p2 正确. 2 2 2 ? ?

?

x u u

?

x-y+1≥0, ? ? 5.[2016·新课标全国卷Ⅲ]若 x,y 满足约束条件?x-2y≤0, ? ?x+2y-2≤0,
大值为________. 3 答案: 2

则 z=x+y 的最

? 1? 解析:约束条件对应的平面区域是以点?1, ?,(0,1)和(-2,-1)为顶点的三角形,当 ? 2?
3 ? 1? 目标函数 y=-x+z 经过点?1, ?时,z 取得最大值 . 2 2 ? ? 课外拓展阅读 非线性目标函数最值的求解 类型 1 斜率型非线性规划问题的最值(值域) 目标函数形式一般为 z=

ay+b (ac≠0),求解步骤为 cx+d

? b? y-?- ? b? a ? a? ? d (1)需先弄清其几何意义, z= · 表示的是可行域内的点(x, y)与点?- ,- ?所 a? c ? c ? d? x-?- ? ? c?

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连直线的斜率的 倍.

a c

b? ? d (2)数形结合,确定定点?- ,- ?,观察可行域的范围.

? c

a?

(3)确定可行域内的点(x,y),看(x,y)取何值时,斜率最大(注意若可行域不含边界点, 有可能取不到最大值);(x,y)取何值时,斜率最小(注意若可行域不含边界点,有可能取不 到最小值);通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值.

x+y-4≥0, ? ? [典例 1] 已知变量 x, y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?2x-y-5≤0,
围是________. [思路分析]

x+2y 则 f(x, y)= 的取值范 2x+y

[解析] 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,

x+2y f(x,y)= 2x+y
1+2· = 2+

y x

y x

.

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y 1+2k 3 令 =k,则 g(k)= =2- . x 2+k 2+k
而 k= 表示可行域内的点 P(x, y)与坐标原点 O 的连线的斜率, 观察图形可知, kOA≤k≤kOB, 1-0 1 3-0 而 kOA= = ,kOB= =3, 3-0 3 1-0 1 所以 ≤k≤3, 3 5 7 即 ≤f(x,y)≤ . 7 5

y x

?5 7? [答案] ? , ? ?7 5?

类型 2 距离型非线性规划问题的最值(值域) 1.目标函数形式为 z=(x-a) +(y-b) 时,求解步骤为: (1)其表示的是可行域内的点(x,y)与点(a,b)之间的距离的平方. (2)数形结合,确定定点(a,b),观察可行域的范围. (3)确定可行域内的点(x,y),看(x,y)取何值时,距离最大(注意若可行域不含边界点, 有可能取不到最大值);(x,y)取何值时,距离最小(注意若可行域不含边界点,有可能取不 到最小值);通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a,b)到可行域边界直线的垂足处取 得. 2.目标函数形如 z=|Ax+By+C|时,一般步骤为: (1)将 z=|Ax+By+C|= A +B ·
2 2 2 2 2 2

|Ax+By+C| ,问题转化为求可行域内的点(x,y)到直 A2+B2

线 Ax+By+C=0 的距离的 A +B 倍的最值. (2)确定可行域,通过数形结合的方法求出所求的最值.

x-y+5≥0, ? ? [典例 2] 设 x, y 满足约束条件?x+y≥0, ? ?x≤3,
A.80 C.25 [思路分析] 作出可行域 →

则 z=(x+1) +y 的最大值为(

2

2

)

B.4 5 D. 17 2

结合目标函数的几何意义:两点间距离的平方
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→ 数形结合,求得z的最大值

x-y+5≥0, ? ? [解析] 作出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3

表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

(x+1) +y 可看作点(x,y)到点 P(-1,0)的距离的平方,由图可知,可行域内的点 A 到 点 P(-1,0)的距离最大. 解方程组?
? ?x=3, ?x-y+5=0, ?
2 2

2

2

得点 A 的坐标为(3,8),
2 2

代入 z=(x+1) +y ,得 zmax=(3+1) +8 =80. [答案] A

x-y+2≥0, ? ? [ 典例 3] 实数 x , y 满足不等式组 ?2x-y-5≤0, ? ?x+y-4≥0,
________. [思路分析]

则 z = |x + 2y -4| 的最大值为

[解析] 解法一:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

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z=|x+2y-4|=

|x+2y-4| · 5, 5

即其几何意义为阴影区域内的点到直线 x+2y-4=0 的距离的 5倍.
? ?x-y+2=0, 由? ?2x-y-5=0, ?

得点 B 的坐标为(7,9),

显然点 B 到直线 x+2y-4=0 的距离最大, 此时 zmax=21. 解法二:由图可知,阴影区域内的点都在直线 x+2y-4=0 的上方,显然此时有 x+2y -4>0,于是目标函数等价于 z=x+2y-4,即转化为简单的线性规划问题,显然当直线经过 点 B 时,目标函数取得最大值,zmax=21. [答案] 21 技巧点拨 解决这类问题时,需充分把握好目标函数的几何意义,在几何意义的基础上加以处理.

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专题7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(解析版).doc
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7-2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习与测试有答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组 ...
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18版高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式组....doc
18版高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式组与简单的线性规划问题真题
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第七章 不等式 专题 2 二元一次不等式(组与简单的线性规划问题(理科 【三年高
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