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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义作业 Word版含解析高中数学人教A版必修4

精 品 [A.基础达标] 1.下列说法正确的是( ) A.平行于同一向量的两个向量是共线向量 B.单位向量都相等 C.a∥b?存在唯一的实数 λ,使得 a=λb D.与非零向量 a 相等的向量有无数个 解析:选 D.若两个向量都与零向量平行,它们可能不共线,所以选项 A 不正确;单位向 量只是长度相等,方向不确定,故选项 B 不正确;“a∥b?存在唯一的实数 λ,使得 a=λb” 需在 b≠0 的前提下才成立,故选项 C 不正确;平移非零向量 a,所得向量都与 a 相等,故与 非零向量 a 相等的向量有无数个.故选 D. 2.已知 e1,e2 是平面内不共线的两个向量,a=2e1-3e2,b=λe1+6e2,若 a,b 共线,则 λ 等于( ) A.-9 B.-4 C.4 D.9 解析:选 B.由 a,b 共线知 a=mb,m∈R,于是 2e1-3e2=m(λe1+6e2),即(2-mλ)e1= ?6m+3=0, ? (6m+3)e2.由于 e1,e2 不共线,所以? ∴λ=-4.故选 B. ? ?2-mλ=0, → → → 3.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC=0,则( ) → → → → A.AO=2OD B.AO=OD → → → → C.AO=3OD D.2AO=OD → → → 解析:选 B.∵D 为 BC 的中点,∴OB+OC=2OD, → → → → → → ∴2OA+2OD=0,∴OA=-OD,∴AO=OD. → → → → 4.在四边形 ABCD 中,若AB=3a,CD=-5a,且|AD|=|BC|,则四边形 ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰梯形 → → → → → → 解析:选 C.由AB∥DC且|AB|≠|DC|知,四边形 ABCD 是梯形.又|AD|=|BC|,知梯形 ABCD 是等腰梯形. → → 5.已知向量 a 与 b 不共线,且AB=λa+b(λ∈R),AC=a+μb(μ∈R),则点 A,B,C 三点 共线应满足( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 → → 解析:选 D.若 A,B,C 三点共线,则AB=kAC(k∈R), 即 λa+b=k(a+μb),∴λa+b=ka+μkb, ?λ=k, ? ∴? 消去 k 得,λμ=1,故选 D. ?1=μk, ? 1 2 6.若向量 a=3i-4j,b=5i+4j,则( a-b)-3(a+ b)+(2b-a)=________. 3 3 精 品 1 2 解析:( a-b)-3(a+ b)+(2b-a) 3 3 1 11 = a-b-3a-2b+2b-a=- a-b 3 3 11 =- (3i-4j)-(5i+4j) 3 44 =-11i+ j-5i-4j 3 32 =-16i+ j. 3 32 答案:-16i+ j 3 7.若|a|=5,b 与 a 的方向相反,且|b|=7,则 a=________b. 解析:因为|a|=5,|b|=7, |a| 5 所以 = ,又方向相反, |b| 7 5 所以 a=- b. 7 5 答案:- 7 8.设 a,b 是两个不共线的非零向量.若向量 ka+2b 与 8a+kb 的方向相反,则 k= ________. 解析:∵向量 ka+2b 与 8a+kb 的方向相反, ∴ka+2b=λ(8a+kb)?k=8λ,2=λk?k=-4(∵方向相反,∴λ<0?k<0). 答案:-4 → → → 9.已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线,如果AB=2e1+3e2,BC=6e1+23e2,CD=4e1- 8e2,求证:A,B,D 三点共线. → → 证明:∵BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2, → → → ∴BD=BC+CD =(6e1+23e2)+(4e1-8e2)=10e1+15e2. → → → 又∵AB=2e1+3e2,∴BD=5AB, → → ∴AB,BD共线,且有公共点 B. ∴A,B,D 三点共线. → → → 10.已知 O,A,M,B 为平面上四点,且OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠1,λ≠0). (1)求证:A,B,M 三点共线. (2)若点 B 在线段 AM 上,求实数 λ 的范围. → → → 解:(1)证明:因为OM=λOB+(1-λ)OA, → → → → 所以OM=λOB+OA-λOA, → → → → OM-OA=λOB-λOA, → → 即AM=λAB, → → 又 λ∈R,λ≠1,λ≠0 且AM,AB有公共点 A,所以 A,B,M 三点共线. → → (2)由(1)知AM=λAB,若点 B 在线段 AM 上, → → → → 则AM,AB同向且|AM|>|AB|(如图所示). 精 品 所以 λ>1. [B.能力提升] 1.化简 1?1 ?2a+8b?-?4a-2b??的结果是( ) ? 3?2 A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 1 1 解析:选 B.原式= (a+4b-4a+2b)= (6b-3a)=2b-a. 3 3 → → → → → 2. 如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则( ) 2 1 A.x= ,y= 3 3 1 2 B.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4 3 1 D.x= ,y= 4 4 → → → → → → → 2→ → 2 → 解析:选 A.由题意可知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+ BA=OB+ (OA- 3 3 2 1 → 2→ 1→ OB)= OA+ OB,所以 x= ,y= ,故选 A. 3 3 3 3 AC 1 → → 3.点 C 在线段 AB 上,且 = ,则AC=________AB. CB 2 AC 1 解析:如图,因为 = ,且点 C 在线段 AB 上, CB 2

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