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2015高考数学(理)二轮专题复习作业:专题一 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质


数学(理科) 班级:__________________ 姓名:__________________

第一部分

知识复习专题

专题一

集合、常用逻辑用语、函数与 导数

第二讲

函数、基本初等函数的图象与性质
1 2 3 4 5 6

题号 答案 一、选择题

1. (2014·北京卷)下列函数中, 定义域是 R 且为增函数的是(

)

A.y=e

-x

B.y=x

C.y=ln x D.y=|x| 答案:B 2.函数 f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2

解析:∵f(a)=2 ∴a3+sin a=1.

a3+sin a+1=2,

∴f(-a)=-a3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0. 答案:B (a-3)x+5,x≤1, 3.已知函数 f(x)= 2a,x>1 是(-∞,+∞)上的 x 减函数,那么 a 的取值范围是( A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] a-3<0, 解析:由题意得 2a>0, 2a (a-3)×1+5≥ , 1 )

解得 0<a≤2.故选 D. 答案:D

3 4.函数 y=ln( x+1)(x>-1)的反函数是( A.y=(1-ex)3(x>-1) B.y=(ex-1)3(x>-1) C.y=(1-ex)3(x∈R) D.y=(ex-1)3(x∈R)

)

3 3 解析:由已知函数可得 x+1=ey(y∈R),即 x=ey-1,所以 x =(ey-1)3,x,y 对调即得原函数的反函数为 y=(ex-1)3(x∈R).故 选 D. 答案:D

5.对实数 a 和 b,定义运算“

” :a

b=

a,a-b≤1, b,a-b>1.

设函数 f(x)=(x2-2)

(x-1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象 )

与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) B.(-2,- 1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1] x2-2,x2-2-(x-1)≤1, x-1,x2-2-(x-1)>1

解析:f(x)= =

x2-2,-1≤x≤2, x-1,x<-1 或 x>2,

则 f(x)的图象如下图所示.

∵函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ∴函数 y=f(x)与 y=c 的图象有两个交点,由图象可得-2<c≤

-1 或 1<c≤2.故选 B. 答案:B ex+e x 6.函数 y= x -x的图象大致为( e -e


)

解析:函数有意义,需使 ex-e x≠0,其定义域为{x|x≠0},排


ex+e x e2x+1 2 除 C,D,又因为 y= x -x= 2x =1+ 2x ,所以当 x>0 时函 e -1 e -e e -1


数为减函数.故选 A. 答案:A

二、填空题 7.若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析 29 41 x(1-x) ,0≤x≤1, 式为 f(x)= 则 f 4 +f 6 =________. sin πx,1<x≤2, 29 41 解析:f 4 +f 6 13 17 13 17 4+ 4+ =f 4 +f 6 =f 4 +f 6 3 7 4- 4- =f 4 +f 6

3 7 - - =f 4 +f 6 3 7 =-f 4 -f 6 3 3 1- 7 =- × 4 -sin π 4 6 3 1 5 =- + = . 16 2 16 答案: 5 16

8.已知函数 f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列命题: ①f(x)的定义域是{x|x<-1-a 或 x>1}; ②f(x)有最小值; ③当 a=0 时,f(x)的值域是 R; ④当 a>0 时,f(x)在区间[2,+∞)上是单调函数. 其中真命题的序号是________. 解析:∵-1-a 与 1 的大小不能确定,须分类讨论,故①不对, 而当 a=0 时,f(x)的值域是 R,即③正确,故②不对.显然,当 a> 0 时 f(x)在(1,+∞)上单调递增,故在[2,+∞)上是单调函数,故④ 对. 答案:③④

三、解答题 a 9.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)判断函数 f(x)的奇偶性;

(2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

解析:(1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2) 方 法 一 设 x2 > x1 ≥ 2 , f(x1) - f(x2) = x 2 1+ a a -x2 = 2- x1 x2

x1-x2 [x1x2(x1+x2) -a],由 x2>x1≥ 2,得 x1x2(x1+x2)> 16, x1-x2 x1x2 <0,x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16. 故 a 的取值范围是(-∞,16]. 方法二 a f′(x)=2x- 2,要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, x

a 只需当 x≥2 时,f′(x)≥0 恒成立,即 2x- 2≥0,则 a≤2x3∈[16, x +∞)恒成立,故当 a≤16 时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.故 a 的取值范围是(-∞,16].

10.f(x)的定义域为 R,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)证明:f(x)在 R 上是减函数;

(3)求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

答案:(1)证明:函数 f(x)的定义域 R 关于原点对称,又由 f(x+y) =f(x)+f(y), 得 f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=f(0). 又 f(0+0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.从而有 f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x).由于 x∈R, ∴f(x)是奇函数. (2)证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=- f(x2-x1). ∵x1<x2,∴x2-x1>0. ∴f(x2-x1)<0. ∴-f(x2-x1)>0,即 f(x1)>f(x2),从而 f(x)在 R 上是减函数. (3)解析:由于 f(x)在 R 上是减函数,故 f(x)在[-3,3]上的最大 值是 f(-3),最小值是 f(3),由 f(1)=-2,得 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6.从而 f(x)在区间[-3,3]上的最大值是 6,最小 值是-6.

11.已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R,且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性. (2)是否存在实数 t, 使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成 立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由.

1x 解析:(1)∵f(x)=e - e ,且 y=ex 是增函数,
x

1x y=- e 是增函数,∴ f(x)是增函数. ∵f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e x-ex=-f(x),


∴f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, 由 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对 x∈R 恒成立, 则 f(x-t)≥f(t2-x2). ∴t -x ≤x-t
2 2

x + x≥t + t 对 x∈R 恒成立
2 2

1 t+ 2 2 ≤

1 x+ 2 2 min 对一切 x∈R 恒成立

1 t+ 2 2 ≤0

1 t=- . 2

1 即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都 2 成立.


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