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数学理卷·2014届黑龙江省佳木斯一中高三第三次调研(2013.11)


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黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷

数学试卷(理)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 设 A ? {x | y ? ln( x ? 2)} , B ? {?2,?1,0,1,2, } ,则 (C R A) ? B =( A. {1,2} 2.直线
1



B. {?2}

C. {?2,?1,0}
2

D. {2} )

? : (3 ? a) x ? 4 y ? 5 ? 3a 和直线 ?
B. ?7

: 2 x ? (5 ? a ) y ? 8 平行,则 a ? (
D. ?1

A. ?7或 ? 1

C.7 或 1

?1 ? a n (n为偶数) ? 2 1 ? 3.数列{ an }定义如下: a1 =1,当 n ? 2 时, an ? ? ,若 an ? ,则 n 的值 1 4 (n为奇数) ? ? an ?1 ?
等于( A. 7 ) B. 8 C. 9 D. 10

4. 某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体的体 积为( A. ) B. 32 ? 8 3 π
3

4? 3 π 3

C.

32 ? 3 π 3

D.

4?3 3 π 3

正视图

侧视图

俯视图

第 4 题图

5.圆心在曲线 y ? ( )
2

2 ( x ? 0) 上,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为 x

A. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5
2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 25
2 2

6.在△ABC中,AC= 7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( A. 3 2 3 3 B. 2 C. 3+ 6 2 D. 3+ 4

) 39

2 2 7.已知实数 x, y 满足 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,则 2 x ? y ? 2 的最小值是(



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A. 5 ? 5 B. 4 ? 5 C. 5 ? 1 D. 5 5

8. 设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0 ?3 x ? 4, x ? 0

,若互不相等的实数 x1 , x2 , x3 满足 ) D. (

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是(
A. (

20 26 , ] 3 3

B. (

20 26 , ) 3 3

C. (

11 , 6] 3

11 , 6) 3

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴 a2 b2 的一端点P作圆O的两条切线,切点为A、B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为(
9.已知椭圆 ) A. 3 2 B. 2 2 C. 5 3 D. 3 3

10.已知函数 f ( x) 的图象向右平移 a ? a ? 0 ? 个单位后关于 x ? a ? 1 对称,当 x2 ? x1 ? 1 时, ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) <0 恒成立,设 a ? f (? ) , b ? f (2) ,

1 2

c ? f (e) ,则 a, b, c 的大小关系为(
A.c>a>b 11.已知 f ? x ? ? B.c>b>a

) C.a>c>b D.b>a>c )

1 2 ?? ? 则 ( x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, f ? ? x ? 的图像是 4 ?2 ?

12.已知 x ? R, 符号

? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ? x ? ?
) C. ? , ? ? 4 5?
? 3 4? ?1 2?

? x? ? a
x

? x ? 0 ? 有且仅

有 3 个零点,则 a 的取值范围是( A. ? , ? ? 2 3?
? 1 2?

B. ? , ? ?2 3?

D. ? , ? ?4 5?

?3 4?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 i 为虚数单位,若

a ? bi ? 2 ? i ( a, b ? R),则 ab ? 1? i

.

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14. 已知公比为 q 的等比数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 满足 2 S1 ? S3 ? 3S 2 ,则公比 q 的值 为 15.设 F1 是椭圆 值为 .

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,则 PF1 ? PO 的最大 4
.

16.已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂 直,则球心到截面 ABC 的距离为____________. 三、解答题 17. (本小题满分 10 分)正项数列 ?a n ? 满足: a n ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 .
2

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列 ?a n ? 的前 n 项和 Tn . (n ? 1)an

18. (本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点A(0,3),直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设 圆 C 的半径为1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点A作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
y A l

O

19. (本小题满分12分)设函数 f ( x) ? sin 2 ?x ? 2 3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ? ? ,

1 ( x ? R) 的图象关于直线 x ? ? 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1) . 2
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(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)若 y ? f (x) 的图象经过点 (

?

,0) ,求函数 f (x) 在 x ? [0, ] 上的值域. 4 2

?

20. (本小题满分 12 分)在几何体 ABCDE 中,AB=AD=BC=CD=2, AB ? AD ,且 AE ? 平 面 ABD ,平面 BCD ? 平面 ABD . (1)当 AB // 平面 CDE 时,求 AE 的长; (2) 当 AE ? 2 ? 2 时,求二面角 A ? EC ? D 的大小.

E C A

D

B
21. (本小题满分 12 分)已知圆 M : x ? 2

?

?

2

? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,若椭圆

C:

x2 y2 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若存在直线 l : y ? kx , 使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A, B 两点, 与圆 M 分别交于 G, H 两点,点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 的半径 r 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? x ln x (a ? 0) .
2

(1) 若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx ? 2 x 恒成立, 求实数 b 的取值范围;
2

(2)若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当
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1 y 1 ? ln y 的大小. ? x ? y ? 1 时,试比较 与 e x 1 ? ln x

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黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷

数 学 答 案(理科)
一、选择题 BBCAA 二、填空题 13. 3; BADBD AC

14.2;

15. 4 ? 2 3

16.

3 3

三、解答题 17.解: (1)由已知可得:

(a n ? 2n)(a n ? 1) ? 0 ? an ? 0 ? a n ? 2n
(2) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)a n 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 2(n ? 1)

18.解:联立 y ? x ? 1 和 y ? 2 x ? 4 可得圆心 C (3,2),又因为半径为1, 所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

设过点A的切线方程为: y ? kx ? 3 圆心到直线的距离为

3k ? 3 ? 2 1? k 2

?1

所以 k ? 0 或 k ? ?

3 4

所求切线方程为 y ? 3 和 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 (2)设点 M ( x, y ) 因为 MA ? 2 MO
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所以 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4
又因为点 M 在圆 C 上, 所以圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 与圆 C 相交, 设点 C (a,2a ? 4) 两圆圆心距满足: 1 ?

(a ? 1) 2 ? (2a ? 4) 2 ? 3 ,
2 2

所以 a ? ( ,2) .

4 5

19.解:(1)因为f(x)=sin ω x-cos ω x+2 3sin ω x?cos ω x+λ =-cos 2ω x+ 3 π sin 2ω x+λ =2sin (2ω x- )+λ , 6 由直线x=π 是y=f(x)图象的一条对称轴,可得 π sin (2ω π - )=±1, 6 π π k 1 所以2ω π - =kπ + (k∈Z),即ω = + (k∈Z). 6 2 2 3 1 5 又ω ∈( ,1),k∈Z,所以k=1,故ω = . 2 6 6π 所以f(x)的最小正周期是 . 5 π π (2)由y=f(x)的图象过点( ,0),得f( )=0, 4 4 5 π π π 即λ =-2sin ( ? - )=-2sin =- 2, 6 2 6 4 即λ =- 2. 5 π 故f(x)=2sin ( x- )- 2, 3 6

? 5 ? ? 2? ? x ? [0, ] ? x ? ? [? , ] 2 3 6 6 3

函数f(x)的值域为[-1- 2,2- 2].

20.解: (1)设 AE ? a ,如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,a), 取 BD 的中点 T,连接 CT,AT,则 CT ? BD. 又? 平面 BCD ? 平面 ABD, 所以 CT ? 平面 BCD, 所以 CT//AE.
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E C A

D

B

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? AB=AD=BC=CD=2, AB ? AD ,
所以 CD ? CB, ?CT ?

2,

? C(1,1,

2 ),

? AB ? (2,0,0), DE ? (0,?2, a ), DC ? (1,?1, 2 ).
设平面 CDE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则有 ? 2 y ? az ? 0, x ? y ?

2z ? 0 ,

? n ? (a ? 2 2 , a,2) .

? AB//平面 CDE,
?

AB ? n ? 0 ? a ? 2 2 ? 0, ?a ? 2 2

即 AE 的长为 2 2 . (2)连接 AC,当 AE ? 2 ? 2 时,由(1)可知平面 CDE 的一个法向量 n ? (2 ? 2 ,2 ? 又 BD ? AT,BD ? AE, ? BD ? 平面 ACE,

2 ,2) ,

? 平面 ACE 的一个法向量 BD ? (?2,2,0)

? cos ? n, BD ??

1 , 2

? 二面角 A ? EC ? D 的大小为

?
3

.

21.解: (1)设椭圆的焦距为 2c,因为 a ? 所以椭圆的方程为 C :

2,

c 2 ? ,? c ? 1, b ? 1 a 2

x2 ? y 2 ? 1。 2

(2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 联立方程得 ?
2

?
2

y ? kx
2

2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

所以 (1 ? 2k ) x ? 2 ? 0

x1 ? x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? ?
2

2 1 ? 2k 2

8 8(1 ? k 2 ) ? 则? AB ? (1 ? k ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

又点 M ( 2 ,0) 到直线 l 的距离 d ?

2k 1? k 2



则 GH ? 2 r ?
2

2k 2 1? k 2

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显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,与已知矛盾,所以 要使 AG ? BH ,只要 AB ? GH ,所以

8(1 ? k 2 ) 2k 2 ? 4(r 2 ? ) 1 ? 2k 2 1? k 2 2k 2 2(1 ? k 2 ) 2 2(3k 4 ? 3k 2 ? 1) k4 2 r ? ? ? ? 2(1 ? 4 ) 1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2k 4 ? 3k 2 ? 1 2k ? 3k 2 ? 1
当 k ? 0 时, r ?

2.
1 1 ) ? 2(1 ? ) ? 3, 1 3 2 ? 2 ?2 4 k k

当 k ? 0 时, r 2 ? 2(1 ?

又显然 r ? 2(1 ?
2

1 ) ? 2 ,所以 2 ? r ? 3 。 1 3 ? ?2 k4 k2

综上,圆 M 的半径 r 的取值范围是 [ 2 , 3 ) 。 22.

(Ⅱ)

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