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2013届高三数学二轮复习(5)数学方法之特殊解法精品教学案


【专题五】数学方法之特殊解法
【考情分析】 近年高考题尽量减少繁烦的运算,着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力,以及观察、 分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧,突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大, 以认识型和思维型的题目为主,许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊”方法 求解。其中,配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法 是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它们不仅有明确的内涵,而且具有可操作性, 有实施的步骤和作法,事半功倍是它们共同的效果。 纵观近几年高考命题的趋势,在题目上还是很注意特殊解法应用,应为他起到避繁就简、 避免分类讨论、避免转化等作用。 预测 2013 年的高考命题趋势为: (1)部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值 等知识点的题目会用到这几种特殊解法; (2)这些解题方法都对应更一般的解法,它们的规律不太容易把握,但它们在实际的考试中 会节省大量的时间,为后面的题目奠定基础; 【知识归纳】 1.换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简 化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目 的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准 化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系 起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复 杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在 研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在 已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有 时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先变形为设 2 =t(t>0) , 而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与 三角知识中有某点联系进行换元。 如求函数 y= x + 1? x 的值域时, 易发现 x∈[0,1], 设 x=sin α , ∈[0, α
2 x x x

? ], 问题变成了熟悉的求三角函数值域。 为什么会想到如此设, 2
2 2

其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x +y = r (r>0)时,则可作三角代换 x=rcosθ 、y=rsinθ 化为三角问题。
-12

均值换元,如遇到 x+y=S 形式时,设 x=

S S +t,y= -t 等等。 2 2

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变 量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。 如上几例中的 t>0 和 α ∈[0, 2.待定系数法 要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数 的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 f(x) ? g(x)的充要条 件是:对于一个任意的 a 值,都有 f(a) ? g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具 有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个 问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式, 如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求 复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定 系数法求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 3.参数法 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量 (参数) ,以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都 是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就 是要揭示事物之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化 状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已 经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数 提供的信息,顺利地解答问题。 4.配方(凑)法 (1)配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找 到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项” 与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未 知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。 (2)配凑法:从整体考察,通过恰当的配凑,使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决 问题的方法。常见的配凑方法有:裂项法,错位相减法,常量代换法等。 【考点例析】 1.配方(凑)法典例解析 例 1. (2012 高考重庆) tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根, tan(? ? ? ) (1) 设 则 的值为( )
-2-

? ]。 2

(A)-3 【答案】A;

(B)-1

(C)1

(D)3

【解析】因为 tan? , tan? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,所以 tan? ? tan? ? 3 ,

tan? tan ? ? 2 ,所以 tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 3 ? ? ?3 ,选 A. 1 ? tan? tan ? 1 ? 2

(2)已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角 线长为( ) (A) 2 3 (B) 14 (C)5 (D)6

分析:设长方体三条棱长分别为 x、y、z,则依条件得: 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24。 而欲求的对角线长为

x 2 ? y 2 ? z 2 ,因此需将对称式 x 2 ? y 2 ? z 2 写成基本对称式

x+y+z 及 xy+yz+zx 的 组 合 形 式 , 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 是 配 方 法 , 故

x 2 ? y 2 ? z 2 ? ( x ? y ? z ) 2 ? 2( xy ? yz ? xz) =62-11=25。 ∴

x2 ? y2 ? z2 ? 5 , 应选 C。

点评:本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析 三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。 这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例 2. (1)设 F1 和 F2 为双曲线 ∠F1PF2=90°,则 Δ F1PF2 的面积是( (A)1 (B)

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 4
) (D) 5 (1),而由已知能得到什么呢? (2),

5 2

(C)2

分析:欲求 S ?PF1F2 ?

1 | PF1 | ? | PF2 | 2
2 2

由∠F1PF2=90°,得 | PF1 | ? | PF2 | ? 20

又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面 积 有 何 联 系 呢 ? 我 们 发 现 将 (3) 式 完 全 平 方 , 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即

|| PF1 | ? | PF2 || 2 ?| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?2 | PF1 | ? | PF2 |? 16 ,
故 | PF1 | ? | PF2 |? ∴

1 1 (| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?16) ? ? 4 ? 2 2 2

S ?PF1F2 ?

1 | PF1 | ? | PF2 |? 1 ,∴ 选(A)。 2

点评:配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化。

-3-

(2)设方程 x 2 +kx+2=0 的两实根为 p、q,若( 值范围。

p 2 q 2 ) +( ) ≤7 成立,求实数 k 的取 q p

解析:方程 x 2 +kx+2=0 的两实根为 p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2,

( p 2 ? q 2 )2 ? 2 p 2 q 2 [( p ? q )2 ? 2 pq]2 ? 2 p 2 q 2 p 2 q 2 p4 ? q4 ( ) +( ) = = = = ( pq ) 2 ( pq )2 ( pq )2 q p

( k 2 ? 4) 2 ? 8 ≤7,解得 k≤- 10 或 k≥ 10 。 4
又 ∵p、q 为方程 x 2 +kx+2=0 的两实根, ∴△=k 2 -8≥0 即 k≥2 2 或 k≤-2 2 综合起来,k 的取值范围是:- 10 ≤k≤- 2 2 或者 2 2 ≤k≤ 10 。 点评:关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ ”;已知方程有两根 时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p+q、pq 后,观察已知不等式,从其结构 特征联想到先通分后配方,表示成 p+q 与 pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将 出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这 一点我们要尤为注意和重视。 2.待定系数法典例解析 例 3. (2012 高考浙江)(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:
x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率 a 2 b2

1 为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 2

与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位 置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。 【答案】(Ⅰ)由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 .∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,

-4-

? xA2 y A2 + ?1 ? ? ∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ?

? k AB ?

y A ? yB 3 x ? xB 3 2x 3 ?? ? A ?? ? 0 ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2
? x2 y2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 .∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB =
m2 ? 3 . 3
( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB = 1 ? k AB

∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB

4?

m2 . 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离表示为: d ?
m2 1 1 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB



当|m+2|= 4 ?

m2 1 ,即 m=﹣3 或 m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 3 2

3 1 此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? . 2 2

例 4. (2012 高考新课标)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线

y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)



2

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

【答案】C; 【 解 析 】 设 等 轴 双 曲 线 方 程 为 x ? y ? m(m ? 0) , 抛 物 线 的 准 线 为 x ? ?4 , 由
2 2

AB ? 4 3 , 则

y A ? 2 3 , 把 坐 标 (?4,2 3 ) 代 入 双 曲 线 方 程 得

m ? x 2 ? y 2 ? 16 ? 12 ? 4 , 所 以 双 曲 线 方 程 为 x 2 ? y 2 ? 4 , 即

x2 y2 ? ?1 ,所以 4 4

a 2 ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C.
3.换元法典例解析

) 例 5 . 1 ) 2012 年 高 考 重 庆 ) 设 函 数 f ( x)? x ? 4 x? 3 , g ( x ? ( (
2

x

3? 集 合 2,

M ? { x ? R| f ( g( x) ? )

0 } , ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为 N




-5-

A. (1, ??)
【答案】 :D;

B.(0,1)

C.(-1,1)

D. (??,1)

【解析】由 f ( g ( x)) ? 0 得 g ( x) ? 4 g ( x) ? 3 ? 0 则 g ( x) ? 1 或 g ( x) ? 3 即 3x ? 2 ? 1 或
2

3x ? 2 ? 3
所 以 x ? 1 或 x ? log 3 5 ; 由 g ( x) ? 2 得 3x ? 2 ? 2 即 3x ? 4 所 以 x ? l o g 3

4 故

M ? N ? (??,1)
【考点定位】本题考查了利用整体代换,直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式 的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定. (2)设 a>0,求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx?cosx-2a 2 的最大值和最小值。 解析:设 sinx+cosx=t,则 t∈[- 2 , 2 ],由(sinx+cosx) 2 =1+2sinx?cosx 得:

sinx?cosx=

t2 ?1 , 2

1 1 (t-2a) 2 + (a>0) ,t∈[- 2 , 2 ], 2 2 1 t=- 2 时,取最小值:-2a 2 -2 2 a- , 2 1 当 2a≥ 2 时,t= 2 ,取最大值:-2a 2 +2 2 a- ; 2 1 当 0<2a≤ 2 时,t=2a,取最大值: 。 2
∴f(x)=g(t)=-

?1 2 ) ? (0 ? a ? 1 ?2 2 2 ∴f(x)的最小值为-2a -2 2 a- ,最大值为 ? 。 2 1 2 ? 2 ?? 2a ? 2 2a ? 2 ( a ? 2 ) ?
点评:此题属于局部换元法,设 sinx+cosx=t 后,抓住 sinx+cosx 与 sinx?cosx 的 内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。 换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[- 2 , 2 ])与 sinx+cosx 对应,否则将会出 错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置 关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地,在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大 值和最小值的题型时,即函数为 f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转 化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 例 6.点 P(x,y)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动时,求函数 u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值。 4
-6-

解析:∵点 P(x,y)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动, 4

∴可设 ?

? x ? 2 cos? , ? y ? sin ?
2 2

于是 u ? x ? 2 xy ? 4 y ? x ? 2 y = 4 cos ? ? 4 sin? cos? ? 4 sin ? ? 2 cos? ? 2 sin?
2 2

= 2[(cos? ? sin? ) ? cos? ? sin? ? 1]
2

令 cos? ? sin? ? t , ∵ sin? ? cos? ?

2 sin(? ? ) ,∴|t|≤ 2 。 4 1 2 3 2 于是 u= 2(t ? t ? 1) ? 2(t ? ) ? ,(|t|≤ 2 ) 2 2

?

当 t= 2 ,即 sin(? ? ∴θ =2kπ +

?

? (k∈Z)时, u max ? 6 ? 2 2 。 4

4

) ? 1 时,u 有最大值。

4.参数法典例解析 例 7. (2012 年高考山东)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆 心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚 ??? ? 动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为____. 答案: (2 ? sin 2,1 ? cos 2) 解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点

P 旋转了 2 弧度,此时点 P 的坐标为:

x P ? 2 ? cos(2 ? ) ? 2 ? sin 2, 2 ? y P ? 1 ? sin(2 ? ) ? 1 ? cos 2, . 2 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos 2)
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程: 为?

?

? x ? 2 ? cos? 3? ,且 ?PCD ? 2, ? ? ? 2, 2 ? y ? 1 ? sin ?

3? ? ? x ? 2 ? cos( 2 ? 2) ? 2 ? sin 2 则点 P 的坐标为 ? ,即 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos 2) . 3? ? y ? 1 ? sin( ? 2) ? 1 ? cos 2 2 ?
点评:设问形式的存在性问题很常规,但是题目内容却多年不见,考查了点参数问题, 根本不需要设直线方程,更没有直线与圆锥曲线的联立,这是大部分学生所不适应的。本题 设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立 t 的表达式求解。

-7-

例 8.实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,求 a 2 +b 2 +c 2 的最小值。 分析:由 a+b+c=1 想到“均值换元法” ,于是引入了新的参数,即设 a=

1 +t 1 ,b= 3

1 1 +t 2 ,c= +t 3 ,代入 a 2 +b 2 +c 2 可求。 3 3 1 1 1 解析:由 a+b+c=1,设 a= +t 1 ,b= +t 2 ,c= +t 3 ,其中 t 1 +t 2 +t 3 =0, 3 3 3 1 1 1 1 2 ∴a 2 +b 2 +c 2 = ( +t 1 )2 + ( +t 2 )2 +( +t 3 ) 2 = + (t 1 +t 2 +t 3 )+t 1 2 3 3 3 3 3 1 1 +t 2 2 +t 3 2 = +t 1 2 +t 2 2 +t 3 2 ≥ , 3 3 1 所以 a 2 +b 2 +c 2 的最小值是 。 3
点评:由“均值换元法”引入了三个参数,却将代数式的研究进行了简化,是本题此种解法 的一个技巧。本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解,解法是: a 2 +

b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ac)≥1-2(a 2 +b 2 +c 2 ),即 a 2 +b 2 +c 2 ≥ 。两种解
法都要求代数变形的技巧性强,多次练习,可以提高我们的代数变形能力。 【方法技巧】 1. 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 , 将这个 公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:

1 3

a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab;

a 2 +ab+b 2 =(a+b) 2 -ab=(a-b) 2 +3ab=(a+ a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca=

3 b 2 ) +( b) 2 ; 2 2

1 [(a+b) 2 +(b+c) 2 +(c+a) 2 ] 2

a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) 2 -2(ab-bc-ca)=?
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α =1+2sinα cosα =(sinα +cosα ) ;
2

x2+

1 1 2 1 2 ) -2=(x- ) +2 ;?? 等等。 2 =(x+ x x x

2.如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: (1)利用对应系数相等列方程; (2)由恒等的概念用数值代入法列方程; (3)利用定义 本身的属性列方程; (4)利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式, 其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所

-8-

得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆 锥曲线的方程。 【专题训练】 1.y=sinx?cosx+sinx+cosx 的最大值是_________。 2.设 f(x 2 +1)=log a (4-x 4 ) (a>1) ,则 f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中,a 1 =-1,a n?1 ?a n =a n?1 -a n ,则数列通项 a n =___________。 4.设实数 x、y 满足 x 2 +2xy-1=0,则 x+y 的取值范围是___________。

1 ? 3? x 5.方程 =3 的解是_______________。 1 ? 3x
6.不等式 log 2 (2 x -1) ?log 2 (2 x?1 -2)〈2 的解集是_______________。 7 设 2 x =3 y =5 z >1,则 2x、3y、5z 从小到大排列是________________。 8 若 k<-1,则圆锥曲线 x 2 -ky 2 =1 的离心率是_________。 9 点 Z 的虚轴上移动,则复数 C=z 2 +1+2i在复平面上对应的轨迹图像为 ____________________。 10 三棱锥的三个侧面互相垂直,它们的面积分别是 6、4、3,则其体积为______。 11 设函数 f(x)对任意的 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0, 则 f(x)的 R 上是______函数。(填“增”或“减”) 12 椭圆

y2 x2 + =1 上的点到直线 x+2y- 2 =0 的最大距离是_____。 16 4
B.

A. 3
13(x)=

11

C.

10

D. 2 2

x +m,f(x)的反函数 f ?1 (x)=nx-5,那么 m、n 的值依次为_____。 2 5 5 5 5 A. , -2 B. - , 2 C. , 2 D. - ,-2 2 2 2 2 1 1 14 不等式 ax 2 +bx+2>0 的解集是(- , ),则 a+b 的值是_____。 2 3
A. 10
3

B. -10
10

C.

14
5

D. -14

15(1-x )(1+x) 的展开式中,x 的系数是_____。

A. -297

B.-252

C. 297

D. 207

3 1 16 函数 y=a-bcos3x (b<0)的最大值为 ,最小值为- ,则 y=-4asin3bx 的最小正 2 2
周期是_____。 17 与直线 L:2x+3y+5=0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L’的方程是_______________。

-9-

y2 18 与双曲线 x - =1 有共同的渐近线, 且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。 4
2

【参考答案】 1 小题: sinx+cosx=t∈[- 2 , 2 ], y= 设 则

t2 1 +t- , 对称轴 t=-1, t= 2 , 当 2 2

y max =

1 + 2; 2

2 小题:设 x 2 +1=t (t≥1),则 f(t)=log a [-(t-1) 2 +4],所以值域为(-∞,log a 4]; 3 小题:已知变形为

1 a n?1



1 1 =-1,设 b n = ,则 b 1 =-1,b n =-1+(n-1)(-1) an an

=-n,所以 a n =-

1 ; n

4 小题:设 x+y=k,则 x 2 -2kx+1=0, △=4k 2 -4≥0,所以 k≥1 或 k≤-1; 5 小题:设 3 x =y,则 3y 2 +2y-1=0,解得 y=

1 ,所以 x=-1; 3 5 ,log 2 3)。 4

6 小题:设 log 2 (2 x -1)=y,则 y(y+1)<2,解得-2<y<1,所以 x∈(log 2
x y z

7 小题:设 2 =3 =5 =t,分别取 2、3、5 为底的对数,解出 x、y、z,再用“比较法” 比较 2x、3y、5z,得出 3y<2x<5z; 8 已知曲线为椭圆,a=1,c= 1 ?

1 1 ,所以 e=- k k

k2 ? k ;

9 小题:设 z=bi,则 C=1-b +2i,所以图像为:从(1,2)出发平行于 x 轴向右的射 线; 10 小题:设三条侧棱 x、y、z,则

2

1 1 1 xy=6、 yz=4、 xz=3,所以 xyz=24,体积为 4。 2 2 2

11 小题:f(0)=0,f(0)=f(x)+f(-x),所以 f(x)是奇函数,答案:减; 12 小题:设 x=4sinα 、y=2cosα ,再求 d=

|4 sin ? ? 4 cos ? ? 2| 5

的最大值,选 C。

x ?1 +m 求出 f (x)=2x-2m,比较系数易求,选 C; 2 1 1 1 1 2 14 小题:由不等式解集(- , ),可知- 、 是方程 ax +bx+2=0 的两根,代入 2 3 2 3
13 小题:由 f(x)= 两根,列出关于系数 a、b 的方程组,易求得 a+b,选 D; 15 小题:分析 x 的系数由 C 10 与(-1)C 10 两项组成,相加后得 x 的系数,选 D;
- 10 5
5 2

5

16 小题: 由已知最大值和最小值列出 a、 的方程组求出 a、 的值, b b 再代入求得答案

2? ; 3

17 小题:设直线 L’方程 2x+3y+c=0,点 A(1,-4)代入求得 C=10,即得 2x+3y+10 =0; 18 小题: 设双曲线方程 x 2 -

y2 x2 y2 =λ , 点(2,2)代入求得 λ =3, 即得方程 - =1。 4 3 12

- 11 -


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