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高中数学选修4-5(人教A版)4-5第一讲不等式和绝对值不等式1.2知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修4-5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式

一、知识清单
绝对值不等式的解法

二、知识讲解
1.绝对值不等式的解法 描述: 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义、几何意义及不等式的基本性质. (1)|f (x)| > |g(x)| ? f 2 (x) > g 2 (x); (2)|f (x)| > g(x)(g(x) > 0) ? f (x) > g(x) 或 f (x) < ?g(x); (3)|f (x)| < g(x)(g(x) > 0) ? ?g(x) < f (x) < g(x); (4)含两个及两个以上绝对值符号的不等式可用零点分段法求解,也可用图象法去求解. 例题: 解不等式 1 < |x + 1| < 3 . 解:原不等式等价于

1 < x + 1 < 3 或 ? 3 < x + 1 < ?1,
解得 0 < x < 2 或 ?4 < x < ?2,故原不等式的解集为

{x | 0 < x < 2 或 ? 4 < x < ?2}.
解不等式: x + |2x ? 1| < 3 . 解:因为 x + |2x ? 1| < 3 ,所以 |2x ? 1| < 3 ? x,等价于

x ? 3 < 2x ? 1 < 3 ? x,
解得 ?2 < x <

4 ,故原不等式的解集为 3 4 ∣ {x ∣ ? 2 < x < } . ∣ 3

解不等式 |x ? 1| + |x + 2| ? 5 . 解:当 x < ?2 时,原不等式化为 1 ? x ? x ? 2 ? 5 ,解得 x ? ?3; 当 ?2 ? x ? 1 时,原不等式化为 1 ? x + x + 2 ? 5 ,不等式无解; 当 x > 1 时,原不等式化为 x ? 1 + x + 2 ? 5 ,解得 x ? 2. 综上,原不等式的解集为 {x | x ? ?3或x ? 2}. 若不等式 |x ? 4| + |x ? 3| > a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:由绝对值的几何意义可知,|x ? 4| + |x ? 3| 表示的是数轴上点 x 到 3 和 4 的距离之

和. 若不等式 |x ? 4| + |x ? 3| > a 对一切实数 x 恒成立,则 (|x ? 4| + |x ? 3|)min > a ,因为 (|x ? 4| + |x ? 3|)min = 1 ,所以 a < 1.

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