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高三数学第一轮复习函数测试题



高三数学第一轮复习《函数》测试题
一、选择题(共 50 分): 1.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象过点(3,2) ,则函数 f ( x ) 的图象关于 x 轴的对称图形一定过点 A. (2,-2) B. (2,2) C. (-4,2) D. (4,-2) A.增函数且最小值为 m 3. 与函数 y ? 0.1 2.如果奇函数 f ? x ? 在区间 ?a, b? ?b ? a ? 0? 上是增函数,且最小值为 m ,那么 f ? x ? 在区间 ? ?b, ?a? 上是

lg? 2 x?1?

B.增函数且最大值为 ?m C.减函数且最小值为 m D.减函数且最大值为 ?m 的图象相同的函数解析式是 B. y ?

A. y ? 2 x ? 1 ( x ?

1 ) 2

1 2x ?1

C. y ?

1 1 (x ? ) 2x ?1 2

D. y ?

1 2x ?1

4.对一切实数 x ,不等式 x 2 ? a | x | ?1 ≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. ( ?? ,-2] B. [-2,2] C. [-2, ?? ) D. [0, ?? ) 5 .已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线

y ? x 对称,则 g ( x) ? g (? x) 的值为
A.2 B.0 C.1 D.不能确定 6.把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位,所得的图像为 C,C 关于 x 轴对称的图像为 y ? 2 x 的图像, 则 y ? f ( x) 的函数表达式为 A. y ? 2 B. y ? ?2 C. y ? ?2 7. 当 0 ? a ? b ? 1 时,下列不等式中正确的是
1
x?2 x?2 x ?2

D. y ? ? log2 ( x ? 2)
b

8.当 x ? ?0,2? 时,函数 f ( x) ? ax2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是 A. [? , ??) 9.已知 f ( x) ? ? A. (0,1)

A. (1 ? a) b ? (1 ? a) b

B. (1 ? a) a ? (1 ? b) b C. (1 ? a) b ? (1 ? a) 2 C. ?1,???

D. (1 ? a)a ? (1 ? b)b

1 2

B. ?0,???

D. [ , ??)

2 3

?(3a ?1) x ? 4 a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 x ?1 ?log a x, 1 1 1 1 B. (0, ) C. [ ,1) D. [ , ) 3 7 7 3
2

10.某种电热水器的水箱盛满水是 200 升,加热到一定温度,即可用来洗浴。洗浴时,已知每分钟放水 34 升, 在放水的同时按 t 分钟注 2t 升自动注水。当水箱内的水量达到最小值时,放水程序自动停止,现假定每人 洗浴用水量为 65 升,则该热水器一次至多可供 A.3 人洗浴 B.4 人洗浴 C.5 人洗浴 D.6 人洗浴 二、填空题(共 25 分) 11.已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, 2? 内单调递减,若 a ? f ? ?1? , b ? f (log 0.5 关系为 。 。

1 ), c ? f ? lg 0.5? ,则 a, b, c 之间的大小 4

12. 函数 y ? log a x 在 [2, ??) 上恒有 y ? 1 ,则 a 的取值范围是 13. 若函数 y ?

ax ? 1 ? 4? ? a ? ? 的图象关于直线 y ? x 对称,则 a = 4x ? 5 ? 5?



14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的以3为周期的奇函数,若 f (1) ? 1, f (2) ? 是 。

2a ? 3 ,则 a 的取值范围 a ?1

15.给出下列四个命题:

第 1 页 共4 页

①函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? loga a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同;

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;③函数 y ? ? x 与y? 都是奇函数;④函数 y ? ( x ?1)2 与 x 2 2 ?1 x?2
3 x

(把你认为正确命题序号都填上) y ? 2x?1 在区间 [0, ??) 上都是增函数,其中正确命题的序号是_____________。 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ??? 上为增函数, 且满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ?3? ? 1 (1)求 f ?9? , f ? 27? 的值 (2)解不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8? ? 2

17.(本题满分 12 分) 已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x | (1)当 a =2 时,求 A ? B;

x ? 2a ? 0} . x ? (a 2 ? 1)

(2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)函数 f ( x ) ? 2 x ?

(1)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)函数 y ? f ( x ) 在 x ? ( 0 , 1 ] 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a 为实数). x

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 的图象与函数 h( x) ? x ? 数 f ( x) 的解析式(2)若 g ( x) = f ( x) +

1 ? 2 的图象关于点 A(0,1)对称.(1)求函 x

a ,且 g ( x) 在区间(0, 2] 上的值不小于 6 ,求实数 a 的取值范围. x

20.(本小题满分 14 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立。

第 2 页 共4 页

答案
一、1.D 2. B 3.C 4.C 5.A 6.B 7. D 8.D 9.D 10.B 二.11. c ? a ? b 三.解答题 ( 2)

1 12. ( ,1) (1, 2) 2

2 13.-5 14. (-1, ) 15. ⑴⑶ 3

16.解: (1) f ?9? ? f ?3? ? f ?3? ? 2, f ? 27? ? f ?9? ? f ?3? ? 3

f ? x ? ? f ? x ? 8? ? f ? ? x ? x ? 8?? ? ? f ?9? 而函数 f(x)是定义在 ? 0, ??? 上为增函数

?x ? 0 ? ??x ? 8 ? 0 ?8? x?9 ? x ( x ? 8) ? 9 ?
即原不等式的解集为 (8,9) 17. 解: (1)当 a =2 时,A=(2,7) ,B =(4,5)∴ A (2)∵ B=( a , a +1) ,
2

B=(4,5).………4 分

1 时,A=(3 a +1,2) ………………………………5 分 3 ? 2a ? 3a ? 1 要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 a =-1;………………………………………7 分 ?a ? 1 ? 2 1 当 a = 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在;……………………………………9 分 3 1 当 a > 时,A=(2,3 a +1) 3 ? 2a ? 2 要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 1≤ a ≤3.……………………………………11 分 ? a ? 1 ? 3a ? 1 综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}……………………………12 分
当a< 18. 解: (1)显然函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , ? ? ) ; ……………3 分 (2)若函数

y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,则任取 x1 , x 2 ? ( 0.1] 且 x1 ? x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,
a

即 ( x1 ? x2 )(2 ? x x ) ? 0 1 2 只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, 故 a 的取值范围是 ( ?? ,?2] ; 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; 由(2)得当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值, 当 …………………………5 分 由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 , …………………………7 分 (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值,

x ? 1 时取得最小值 2 ? a ;
?2 a 2

当 ?2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0. 当x?
?2a 2

] 上单调减,在 [

?2a 2

, 1 ] 上单调增,无最大值,

时取得最小值 2 ? 2a .

…………………………12 分

19. 解: (1)设 f ( x) 图象上任一点坐标为 ( x, y ) ,点 ( x, y ) 关于点 A(0,1) 的对称点 (? x,2 ? y ) 在 h( x) 的图象上………… 3 分 1 1 1 …… 6 分 ? 2 ? y ? ?x ? ? 2,? y ? x ? , 即 f ( x) ? x ? x ?x x
第 3 页 共4 页

(2)由题意

a ?1 a ?1 ?6 ,且 g ( x) ? x ? x x 2 ∵ x ?(0, 2] ∴ a ? 1 ? x(6 ? x) ,即 a ? ? x ? 6 x ? 1,………… 9 分 g ( x) ? x ?
令 q( x) ? ? x 2 ? 6 x ? 1, x ?(0, 2] , q( x) ? ? x 2 ? 6 x ? 1 =-( x ? 3) 2 ? 8 , 方法二: q ?( x) ? ?2 x ? 6 , ∴ x ?(0, 2] 时, q( x) max ? 7 …11′∴ a ? 7 ……………… 12 分

x ?(0, 2] 时, q ?( x) ? 0 即 q( x) 在(0,2 ] 上递增,∴ x ?(0,2 ] 时, q( x) max ? 7 ∴ a ? 7
20. 解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1 (2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上 1 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a= 4 1 ∴f(x)= (x+1)2 4 (3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 1 f(x+t)≤x ? (x+t+1)2≤x ? x2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0. 4 令 g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m]. …………………………3 分

…………………………7 分

? ? g (1) ? 0 ??4 ? t ? 0 ?? ? ? g ( m) ? 0 ? ?1 ? t ? 2 ?t ? m ? 1 ? t ? 2 ?t
∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9. ………………………… 14 分

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