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《多元函数微积分》(第二版) 王宝富 钮海 习题解答第一章

习题 1—1 解答 1. 设 f ( x , y ) ? xy ?
x y x y
1 1 y 1 xy

,求 f ( ? x , ? y ), f ( ,
x
y x

1 1 y

), f ( xy ,

x y

),

1 f ( x, y )
1 f ( x, y) y xy
2

解 f ( ? x , ? y ) ? xy ?

;f( ,
x

) ?

?

; f ( xy ,

x y

) ? x

2

? y ;
2

?

? x

2. 设 f ( x , y ) ? ln x ln y ,证明: f ( xy , uv ) ? f ( x , u ) ? f ( x , v ) ? f ( y , u ) ? f ( y , v )
f ( xy , uv ) ? ln( xy ) ? ln( uv ) ? (ln x ? ln y )(ln u ? ln v ) ? ln x ? ln u ? ln x ? ln v ? ln y ? ln u ? ln y ? ln v ? f ( x, u ) ? f ( x, v) ? f ( y, u ) ? f ( y, v)

3. 求下列函数的定义域,并画出定义域的图形: (1) f ( x , y ) ?
1? x
2

?
2

y

2

? 1;

(2) f ( x , y ) ?

4x ? y ln( 1 ? x
x a
2 2

2

? y )
2

;

(3) f ( x , y ) ?

1?

?

y b

2 2

?

z c

2 2

;

(4) f ( x , y , z ) ?

x ? 1? x
2

y ? ? y
2

z ? z
2

.

解(1) D ? {( x , y ) x ? 1, y ? 1 ?

y

1 -1 O -1 1 x

2 2 2 (2) D ? ?( x , y ) 0 ? x ? y ? 1, y ? 4 x ?

y 1

-1

O -1

1

x

1

(3) D ? ? ( x , y )
?

?

x a

2 2

?

y b

2 2

?

z c

2 2

? ? 1? ?

z c -a

-b a x

O

b

y

(4) D ? ?( x , y , z ) x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 , x ? y ? z ? 1?
2 2 2

z



O x
4.求下列各极限: (1) lim
1 ? xy x
2



y



x? 0 y?1

? y

2

=

1? 0 0 ?1

?1

(2) lim

ln( x ? e x
2?
2

y)

x?1 y? 0

?
2

ln( 1 ? e )
0

? y

1? 0
(2 ?

? ln 2

(3) lim

xy ? 4 xy

x? 0 y? 0

? lim

xy ? 4 )( 2 ? xy ( 2 ?

xy ? 4 )

x? 0 y? 0

xy ? 4 )

? ?

1 4

(4) lim

sin( xy ) y

x? 2 y? 0

? lim

sin( xy ) xy

x? 2 y? 0

?x ? 2

5.证明下列极限不存在: (1) lim
x? y x? y ;

x? 0 y? 0

(2) lim

x y x y
2 2

2

2 2

x? 0 y? 0

? (x ? y)

(1)证明 如果动点 P ( x , y ) 沿 y ? 2 x 趋向 ( 0 , 0 ) 则 lim
x? y x? y ? lim x ? 2x x ? 2x ? ?3 ;

x? 0 y?2 x? 0

x? 0

如果动点 P ( x , y ) 沿 x ? 2 y 趋向 ( 0 , 0 ) ,则 lim

x? y x? y

y? 0 x?2 y? 0

? lim

3y y

y? 0

? 3

2

所以极限不存在。 (2)证明: 如果动点 P ( x , y ) 沿 y ? x 趋向 ( 0 , 0 )
x y x y
2 2 2 2 2

则 lim

x? 0 y? x? 0

? (x ? y)

? lim

x x

4 4

x? 0

? 1;

如果动点 P ( x , y ) 沿 y ? 2 x 趋向 ( 0 , 0 ) ,则 lim 所以极限不存在。 6.指出下列函数的间断点: (1) f ( x , y ) ?
y
2

x y x y
2 2

2

2 2

x? 0 y?2 x? 0

? (x ? y)

? lim

4x 4x
4

4 2

x? 0

? x

? 0

? 2x

y ? 2x



(2) z ? ln x ? y 。

解 (1)为使函数表达式有意义,需 y ? 2 x ? 0 ,所以在 y ? 2 x ? 0 处,函数间断。
2 2

(2)为使函数表达式有意义,需 x ? y ,所以在 x ? y 处,函数间断。 习题 1—2 1. (1) z ?
x y ?z ?x 1 y ? y x y x
2

?

?



?z ?y

?

1 x

?

x y
2

.

(2)

?z ?x
?z ?y

? y cos( xy ) ? 2 y cos( xy ) sin( xy ) ? y [cos( xy ) ? sin( 2 xy )]

? x cos( xy ) ? 2 x cos( xy ) sin( xy ) ? x [cos( xy ) ? sin( 2 xy )]

(3)

?z ?x

? y (1 ? xy )

y ?1

y ? y (1 ? xy )
2

y ?1

,
1 ?z z ?y ? ln( 1 ? xy ) ? y x 1 ? xy

lnz= yln(1+xy),两边同时对 y 求偏导得

,

?z ?y

? z [ l n 1 ? xy ) ? (

xy 1 ? xy

] ? (1 ? xy ) [ l n 1 ? xy ) ? (
y

xy 1 ? xy

];

(4)

?z ?x

1? ? x?

2y x x
3

y
2

?

x ? 2y
3

x(x ? y)
3

,

3

1 ?z ?y ? x x?
2

y x
2

? x

1
3

? y

;

?u

(5) ? x

?

y z

y

?1

x

z

,

?u ?y

?

1 z

y

x

z

ln x ,

?u ?z

? ?

y z
2

y

x

z

ln x

;

(6)

?u ?x

?

z(x ? y)

z ?1 2z

1 ? (x ? y) z(x ? y)

,

?u ?y ?u ?z

z ?1 2z

? ?

1 ? (x ? y)
z

,

?

( x ? y ) ln( x ? y ) 1 ? (x ? y)
2z

;

2.(1)

z x ? y , z y ? x , z xx ? 0 , z xy ? 1, z yy ? 0 ;

(2) z x ? a sin 2 ( ax ? by ), z y ? b sin 2 ( ax ? by ),
z xx ? 2 a
2

cos 2 ( ax ? by ), z xy ? 2 ab cos 2 ( ax ? by ), z yy ? 2 b
2 2

2

cos 2 ( ax ? by ) .

3

fx ? y

2

? 2 xz , f y ? 2 xy ? z , f z ? 2 yz ? x , f xx ? 2 z , f xz ? 2 x , f yz ? 2 z ,

f xx ( 0 , 0 ,1) ? 2 , f xz (1, 0 , 2 ) ? 2 , f yz ( 0 , ? 1, 0 ) ? 0 .

4

z x ? ? 2 sin 2 ( x ? 2z

t 2

), z t ? sin 2 ( x ? t 2
y

t 2

), z xt ? 2 cos 2 ( x ? t 2 ) ? 0.
y

t 2

), z tt ? ? cos 2 ( x ?

t 2

)

tt

? z xt ? ? 2 cos 2 ( x ?

) ? 2 cos 2 ( x ?
y

5.(1) z x ? ?

y x
2

y

ex, zy ?

1 x

e x , dz ? ?

y x
2

e x dx ?

1 x

e x dy ;

(2) z ?

1 2

ln( x

2

? y ) ,zx ?
2

x x
2

? y

2

,zy ?

y x
2

? y

2

, dz ?
x

x
2

? y

2

dx ? x

y
2

? y

2

dy ;

?

y x y x
2

1
? ? )
2

(3) z x ?
1? (

y x
2

? y

2

, zy ?

x x ? 2 2 y 2 x ? y 1? ( ) x

, dz ?

? ydx ? xdy x
2

? y

2

;

4

(4) u x ? yzx

yz ? 1

, u

y

? zx

yz

ln x , u z ? yx
yz

yz

ln x , ln xdz .

du ? yzx

yz ? 1

dx ? zx

ln xdy ? yx

yz

6. 设对角线为 z,则 z ?

x

2

? y , zx ?
2

x x
2

? y

2

,zy ?
x

y
2

, dz ?
2

xdx ? ydy x
2

? y

? y

2

当 x ? 6 , y ? 8 , ? x ? 0 . 05 , ? y ? ? 0 . 1 时, ? z ? dz ?

6 ? 0 . 05 ? 8 ? ( ? 0 . 1) 6
2

=-0.05(m).

?8

2

7. 设两腰分别为 x、y,斜边为 z,则 z ?
zx ? x x
2

x

2

? y ,
2

? y

2

,zy ?
x

y
2

, dz ?
2

xdx ? ydy x
2

,

? y

? y

2

设 x、y、z 的绝对误差分别为 ? x 、 ? y 、 ? z , 当 x ? 7 , y ? 24 , ? x ? ?
? z ? dz ?
? 0 . 1, ? y ? ? ? 0 . 1 时, z ? 7
2

x

y

? 24

2

? 25

7 ? 0 . 1 ? 24 ? 0 . 1 7
?z z
2

=0.124,z 的绝对误差 ?

? 24

2

z

? 0 . 124

z 的相对误差 8.

?

0 . 124 25

? 0 . 496 % .

设内半径为 r,内高为 h,容积为 V,则
V ? ? r h , V r ? 2 ? rh , V h ? ? r , dV ? 2? rhdr ? ? r dh ,
2

2

2

当 r ? 4 , h ? 20 , ? r ? 0 . 1, ? h ? 0 . 1 时,
? V ? dV ? 2 ? 3 . 14 ? 4 ? 20 ? 0 . 1 ? 3 . 14 ? 4 ? 0 . 1 ? 55 . 264 ( cm ) .
2 3

习题 1—3
y x ? )
2

1.

du dx

?

? f dx ? x dx

?

? f dy ? y dx

?

? f dz ? z dx

?

xy z xy z
2

?

1? (

z xy z

1? (

z xy z

? ae )
2

ax

?
1? (

? 2 a ( ax ? 1)

)

2

=
?z ?x

y [ z ? axz ? 2 axy ( ax ? 1 )] z
2

? x y
2

2

=

( ax ? 1 ) e ( ax ? 1 )

ax 4

(1 ? a x )
2 2

? x e
2

2 ax

.
3 4

2.

?

?f ?? ?? ?x

?

?f ?? ?? ?x

=

?
1??
2

? x 1? x
2

? arcsin ? ? ? y
2

4x x
4

? y

=

5

4x

3

arcsin x
4

1? x ? y
?
4

2

? y

2

?

x ln( x (1 ? x
2

4

? y )
4 2 2

? y )( x
? y

? y )
2

?z ?y

?

?f ?? ?? ?y

?f ?? ?? ?y
2

=

?
1??
2

? arcsin ? ? ? y
2

4y x
4

3 4

1? x

2

? y

=

4y

3

arcsin x
4

1? x ? y
4

? y

2

?

y ln( x (1 ? x
2

4

? y )
4 2 2

.
2

? y )( x
xy

? y )

3.

(1)

?u ?x ?u ?x

= 2 xf 1 ? ye

xy

f2,

?u ?y

= ? 2 yf 1 ? xe
?u ?z

f2 .

(2)

=

1 y

? f1 ,

?u ?y

=?

x y
2

? f1 ?

1 z

f2 ,

=?

y z
2

? f2 .

(3)

?u ?x
?u ?x ?z ?x

= f 1 ? yf

2

? yzf 3 ,

?u ?y
?u ?y

= xf

2

? xzf 3 ,

?u ?z

= xyf 3 .
?u ?z

(4)

= 2 xf 1 ? yf
?z ?y

2

? f3

= 2 yf 1 ? xf

2

? f3 ,

= f3.

4

.(1)

? yf 1 ,

? xf 1 ? f 2 ,

? z
2

?x
2

2

? y

2

f 11 ,

? z
2

?x?y

? f 1 ? y ( xf 11 ? f 12 ) ? f 1 ? xyf

11

? yf 12 ,

? z ?y
2

? x ( xf 11 ? f 12 ) ? xf

21

? f 22 = x

2

f 11 ? 2 xf 12 ? f 22

(2)

?z ?x

? y

2

f 1 ? 2 xyf

2

,

?z ?y

? 2 xyf

1

? x

2

f2 ,

? z
2

?x

2

? y (y
2

2

f 11 ? 2 xyf
3

12

) ? 2 yf
2

2

? 2 xy ( y
2

2

f 21 ? 2 xyf

22

)

.

? 2 yf

2

? y

4

f 11 ? 4 xy
2

f 12 ? 4 x y

f 22

? z
2

?x?y

? 2 yf 1 ? y ( 2 xyf ? 2 xy
3

11

? x

2

f 12 ) ? 2 xf

2

? 2 xy ( 2 xyf
2

21

? x

2

f 22 )

? 2 yf 1 ? 2 xf

2

f 11 ? 2 x yf
3

22

? 5x y
2

f 12

6

? z
2

?y

2

? 2 xf 1 ? 2 xy ( 2 xyf
2 2

11

? x

2

f 12 ) ? x ( 2 xyf
2 4

21

? x

2

f 22 )

? 2 xf 1 ? 4 x y
?u ?s ?

f 11 ? 4 x yf 12 ? x
3

f 22
3 ?u 2 ?y ?u ?t ? ?u ?x ?x ?t ? ?u ?y ?y ?t ? ? 3 ?u 2 ?x ? 1 ?u 2 ?y

5 ?

?u ?x ?x ?s

?

?u ?y ?y ?s

?

1 ?u 2 ?x

?

,

,

(

?u ?s
?u ?s

)

2

?

1 ?u 2 3 ?u ?u 3 ?u 2 ?u 2 3 ?u 2 3 ?u ?u 1 ?u 2 ( ) ? ? ( ) ,( ) ? ( ) ? ? ( ) , 4 ?x 2 ?x ?y 4 ?y ?t 4 ?x 2 ?x ?y 4 ?y
?u ?t ?u ?x ?u ?y

?(

)

2

?(

)

2

? (

)

2

?(

) .

2

6 (1) 设 F ( x , y , z ) ? x ? y ? z ? e
Fz ? 1 ? e
?(x? y? z)

?(x? y? z)

, Fx ? 1 ? e

?(x? y? z)

,Fy ? 1? e

?(x? y? z)

,

,
?z ?y ? ? Fy Fz ? ?1

?z ?x

? ?

Fx Fz

? ?1 ,

( 2 )设 F ( x , y , z ) ? z ?

x

2

? y

2

tan x
2

z ? y
2 2

,
3 2

Fx ? ? x

x
2

tan
2

z x
2

?
2

x

2

? y

sec

2

z x
2

(?
2

1 2

)( x

2

? y )
2

?

2 xz

? y
x

? y
z

? y
z

=?
x
y x
2
2

tan
2

?
2

xz x
2

? y

x
z x
2

2

? y

? y

2

sec

2

,
2

x

2

? y

Fy ?

tan
2

?
2

x

2

? y

2

sec

2

z x
2

(?
2

1 2

)( x

2

? y )
2

?

3 2

( ? 2 yz )

? y

? y

? y

=?
x
2

y ? y
2

tan x
? y
2

z
2

?
2

yz x
2

? y
2

? y

2

sec

2

z x
2

,
2

? y

Fz ? 1 ?

x

2

sec

z x
2

1
2

= ? tan
2

2

z x
2

,
2

? y

x
z

2

? y
?

? y

?z ?x
?z ?y

? ?

Fx Fz Fy Fz

? ? x
2

x ? y y x
2 2

cot x
2

xz x
2

? y z

2

? y yz

2

(1 ? cot

2

z x
2

),
2

? y z

? ?

? ?

cot
2

?
2

? y

x

2

? y

x

2

? y

2

(1 ? cot

2

).
2

x

2

? y

7

(3) 设 F ( x , y , z ) ? x ? 2 y ? z ? 2 xyz , F x ? 1 ?
?z ?x

yz x
xyz

Fy ? 2 ?

xz y

Fx ? 1?

xy z

,

? ?

Fx Fz

=

yz ?

xyz

xyz ? xy
x z

,

?z ?y

? ?

Fy Fz

=

xz ? 2

xyz ? xy

.

(4) 设 F ( x , y , z ) ?

? ln

z y

?

x z

? ln z ? ln y , F x ?

1 z

, Fy ?

1 y

Fz ? ?

x z
2

?

1 z

,

?z ?x

? ?

Fx Fz

?

z x? z

,

?z ?y

? ?

Fy Fz

?

z

2

y(x ? z)

,

7.设 F ( x , y , z ) ? x ? 2 y ? 3 z ? 2 sin( x ? 2 y ? 3 z ) , F x ? 1 ? 2 cos( x ? 2 y ? 3 z ),
? F y ? 2 ? 4 cos( x ? 2 y ? 3 z ) , F z ? ? 3 ? 6 cos( x ? 2 y ? 3 z ) ,

?

?z ?x ?z ?x

? ?

Fx Fz

?

1 ?z 3 ?y

,

? ?

Fy Fz

?

2 3

,

?

?

?z ?y

?1 .

8.设 F ( x , y , z ) ? ? ( cx ? az , cy ? bz ), F x ? c ? 1 , F y ? c ? 2 , F z ? ? a ? 1 ? b ? 2 ,
?z ?x ? ?

Fx Fz

?

c? 1 a? 1 ? b? 2
? b

,

?z ?y

? ?

Fy Fz

?

c? 2 a? 1 ? b? 2

,

?

a

?z ?x

?z ?y

? c.

9. (1)方程两边同时对 x 求导得
x ( 6 z ? 1) ? dy dy ? dz ? ? , ? 2x ? 2y , ? ? ? dx 2 y ( 3 z ? 1) dx dx 解之得 ? ? dy dz dy x ? ?2 x ? 4 y ? 6z ? 0, ? ? dx dx dx ? 3z ? 1 ?

(2) 方程两边同时对 z 求导得
dy ? dx ? ? 1 ? 0, ? dz dz 解之得 ? dy dx ?2 x ? 2y ? 2z ? 0 dz dz ?
y? z ? dx ? , ? ? dz x? y ? dy z? x ? ? . ? dz x? y ?

(3) 方程两边同时对 x 求偏导得

8

? u 1? e ? ? ?0 ? e u ?

?u

sin v ? ?u ? u , ? e (sin v ? cos v ) ? 1 ?x ?x ? x 解之得 ? ? x ? u ?u ?u ?v ?v cos v ? e ? ? c o sv ? u s i nv , ? . u ?x ?x ?x ? ?x u [ e (sin v ? cos v ) ? 1] ?

?

?u

s i nv ? u c o sv

?v

,

同理方程两边同时对 y 求偏导得
? u 0 ? e ? ? ? ?1 ? e u ? ?
? cos v ? ?u ? u , ? e (sin v ? cos v ) ? 1 ? ?x ?y ?y ?y 解之得 ? u ?u ?u ?v ?v sin v ? e ? ? c o sv ? u s i nv , ? . u ?y ?y ?y ? ?x u [ e (sin v ? cos v ) ? 1] ?

?u

?

?u

s i nv ? u c o sv

?v

,

9

习 题1 ? 4 1。 求 下 列 函 数 的 方 向 导 数
2 2 2

?u ?l
p
0

(1) u ? x ? 2 y ? 3 z , p 0 (1,1, 0 ), l ? (1, ? 1, 2 ) ?u 解: ?x ?u ?y ?u ?z
0 p0 p0 p0

? 2x ? 4y ? 6z 1 6 ,?

p0

? 2, ? 4, ? 0, 2 6 ? 4 * (? 1 6 )? ? 2 6 .

p0

p0

l ? ( ? ?u ?l y x ?u 解: ?x ?u ?y ?u ?z
0 p0 p0 p0

1 6

, 1 6

)

p0

? 2*
z

( 2 )u ? (

) , p 0 (1,1,1), l ? ( 2 ,1, ? 1); ? z( ? z( ? ( 2 6 y x , 1 6 ? ( ? 1) *
2 2

y x y x
z

)

z ?1

(?

y x
2

)

p0

? ? 1,

)

z ?1

1 ( ) x y x ) 1 6 2 6

p0

? 1, ? 0,

) ln ( ,?

p0

l ? ( ? ?u ?l

), ? 1* 1 6 ? ? 1 6

p0

.

(3) u ? ln ( x ? y ), p 0 (1,1), l 与 o x 轴 夹 角 为 ?u 解: ?x ?u ?y ? ?u ?l
p0 p0

?
3



p0

? ?

2x x ? y
2 2 p0

? 1, ? 1,

2y x ? y
2 2 p0

? cos

?
3

? s in

?
3

?

1? 2

3

.

10

????? ( 4 ) u ? x y z , p 0 (5,1, 2 ), p 1 (9 , 4 ,1 4 ), l ? p 0 p 1 . ?u 解: ?x ?u ?y ?u ?z
p0 p0 p0

? yz ? xz ? xy

p0

? 2, ? 10, ? 5,
0

p0

p0

l ? ( 4 , 3,1 2 ), ? l ? ( ? ?u ?l
p0

4 3 12 , , ), 13 13 13 3 13 ? 5* 12 13 ? 98 13 .

? 2*

4 13

? 10 *

2 .求 下 列 函 数 的 梯 度 g r a d f . (1) f ( x , y ) ? s in ( x y ) ? c o s ( x y );
2 2

?f 2 2 2 解 : ? c o s ( x y ) * ( 2 x y ) ? s in ( x y ) y , ?x ?f ?y ? c o s ( x y ) * y ? s in ( x y ) * ( 2 x y ),
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? g r a d f ? (c o s ( x y ) * ( 2 x y ) ? s in ( x y ) y , c o s ( x y ) * y ? s in ( x y ) * ( 2 x y )). (2) f ( x, y ) ? y x ?f y y y 1 1 y y y 解 : ? (? 2 )e ? e ? e (1 ? ), ?x x x y x x ?f ?y
x x x x x

e .

y

? ?e

y

?

y x y x

x

e (?
y x

x y
2

x

)? e (
y

1 x

?

1 y

),

? gradf ? (

), e (

y

1 x

?

1 y

)).
2 2

3 .山 坡 的 高 度 z 由 公 式 z = 5 - x - 2 y 近 似 , 其 中 x 和 y 是 水 平 直 角 坐 标 , 他 决 定 按 最 陡 的 道 路 上 登 , 问应当沿什么方向上登。 ?z 解: ?x ?z ?y
3 3 (- ,-1, ) 2 4

3 3 (- ,-1, ) 2 4

? ?2 x

3 3 (- ,-1, ) 2 4

? 3,

? ?4 y

3 3 (- ,-1, ) 2 4

? 4,

? 按 最 陡 的 道 路 上 登 ,应 当 沿 (3,4)方 向 上 登 。

习题 1-5 1、求曲线 x 解:当 t
T
(

?

t 1? t

, y ? 1 2

t ?1 t

, z ?t

2

在对应于 t

? 1 点处的切线及法平面方程。

? 1 时, x (1 ) ?

, y (1 ) ? 2 , z (1 ) ? 1 ,

1 2

? { x (1 ), y (1), z (1 )} ? {
' ' ' , 2 ,1 )

1 ? (1 ? t ) ? 1 ? t (1 ? t )
2

,

t ? ( t ? 1) t
2

, 2 t}
t ?1

?{

1 4

, ? 1, 2 }

11

故所求切线方程为: 法平面方程为:
1 4

x ?1 2 1 4

?

y?2 ?1

?

z ?1 2

,即:

x ?1 2 1

?

y?2 ?4

?

z ?1 8

(x ?

1 2

) ? ( y ? 2 ) ? 2 ( z ? 1) ? 0

即:

2 x ? 8 y ? 16 z ? 1

2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程 (1) ?
?x2 ? y2 ? 2 ? ?y ?
2

? z

2

? 2

在点 (1,1,1)

解 :将方程两端对 x 求导,得
x ? dy dy ? ? ? 2x ? 2y ? 0 ? dx ? y ? ? dx ? ? ? ? dz ? x ? 2 y dy ? 2 z dz ? 0 ? ? dx dx dx ? z ?

在M

(1,1,1)

处T

? (1, ? 1,1)

故所求的切线方程为: x 法平面方程: x ? (2) ?

?1 ?

y ?1 ?1

? z ?1

y? z ?1

?x2 ? y2 ? z2 ? 6 ?x ? y ? z ? 0

在点 (1, ? 2 ,1)

解法 1:将方程两端对 x 求导,得
dy dz ? 2x ? 2 y ? ? 2z ? ?0 ? ? dx dx ? ?1 ? dy ? dz ? 0 ? dx dx ? dy dz ? y? ? z? ? ?x ? ? dx dx ?? ? dy ? dz ? ? 1 ? dx dx ?

当J ?

y 1

z 1 ? x ?1

? y ? x ? 0 时,有

dy dx

?

1 J

?

z 1

?

z? x y? z



dz dx

?

1 J

?

y 1

? x ?1

?

x? y y? z

?T
( 1 , ? 2 ,1 )

? dy dz ? ? ?1 , , ? ? dx dx ?

( 1 , ? 2 ,1 )

? z? x x? y? ? ?1 , , ? ? y? z y? z?

? {1, 0 , ? 1}
( 1 , ? 2 ,1 )

z ?1 ?x ?1 ? ? 故所求的切线方程为: ? ? 1 1 ?y ? 2 ? 0 ?

法平面方程: ? ( x ? 1) ? 0 ? ( y ? 2 ) ? ( z ? 1) ?

0

即: x ?

z ?0

12

解法 2:将方程组两端求微分:得 ? ∴曲线在点 (1, ? 2 ,1) 处的切向量为
3. (题略) 解: (1)令 F(x,y,z)=arctg P 0 的切平面方程为:x ?1 ? 1 2

? 2 xdx ? 2 ydy ? 2 zdz ? 0 ? dx ? dy ? dz ? 0

y x

-z, F x ( P0 ) ? ?
'

1 2

, F y ( P0 ) ?

'

1 2

, F z ( P0 ) = -1,曲面在点

'

1 2

( x ? 1) ?

1 2

( y ? 1 ) ? ( ? 1 )( z ?

?
4

) ? 0 ,即: x - y - 2z z ? ? 2

?
2

=0;

法线方程为:

?

y ?1 1 2

z ? ?

?
4

?
4

?1

,即:

x ?1 1

?

y ?1 ?1



(2)令 F ( x , y , z ) ? 则 Fx
? ? 1 x

z ? y ? ln

x z 1 z

, Fy

? ? 1 , Fz ? 1 ?

曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为: n 故所求的切平面方程为:( ? 1) ? ( x ? 1) ? ( ? 1) ? ( y ? 1) ? 法线方程为:
x ?1 ?1 ? y ?1 ?1 ? z ?1 2
x z y z

? { ? 1, ? 1, ? 2 }

2 ( z ? 1) ? 0 即: x ? y ? 2 z ? 0

(3)令 F(x,y,z)= 2 +2 -8, F x ( P0 ) ? 4 ln 2 , F y ( P0 ) ? ? 4 ln 2 , F z ( P0 ) =' ' '

16ln2,曲面在点 P 0 的切平面方程为:4ln2(x-2)-4ln2(y-2)-16ln2(z-1)=0,

即:x-y-4z=0,法线方程为:
?z ?x ? 1 x? y

x?2 4 ln 2

?

y ?2 4 ln 2

?

z ?1 ? 16 ln 2
?{

,即:
1

x? 2 1

?

y ? 2 1

?

z ?1 ? 4

4、解:?



?z ?y

?

1 x? y

? ?z

(1 , 2 )

x? y

,

1 x? y

}
(1 , 2 )

1 1 ?{ , } 3 3

又∵抛物线 y 2

? 4x

在(1,2)点处的切线斜率为:

dy dx
(1 , 2 )

?1

∴抛物线 y 2

? 4x

在(1,2)点处偏向 x 轴正向的切线方向为 T

? ? dy ? ?1, ? dx ?

? ? ? ? {1,1} (1 , 2 ) ? ?

13

∴T 0

1 ? ? 1 ? ? , ? 2? ? 2

故所求的方向导数为: 习题 1-6
1(题略). 解:由
?f ?x ? 4 ? 2 x ? 0,

?z ?T
(1 , 2 )

1 ? ?1 1 ? ? 1 ? ? , ??? , ? ? 2? ?3 3? ? 2

2 6

?

2 6

?

2 3

?f ?y

? ? 4 ? 2 y ? 0 ,有 x=2, y=-2, 即 P 0 (2, -2)为 f(x,y) 的驻点,



? f
2

?x

2

? ?2,

? f
2

?x?y

? 0,

? f
2

?y

2

? ?2,

D(P 0 )=4>0,

? f
2

?x

2

( P0 ) =-2

故 P 0 (2,-2)为 f(x,y)的极大值点, 其极大值为 f(2,-2)=8.

2(题略).
? ?f 2 ? 3 x ? 6 y ? 39 令 0 ? ? ?x ? ?f ? ? 2 y ? 6 x ? 18 令 0 ? ?y ?
? f
2

解:由

有?

? x 2 ? 2 y ? 13 ? 0 ? y ? 3x ? 9 ? 0

驻点:(5,6)和 (1, ? 6 )

?

?x

2

? 6x

? f
2

?y

2

? 2

? f
2

?x?y

? ?6

?

(5,6 )

? 6 x ? 2 ? (?6)

2 (5,6 )

? ?12 x ? 36

? (5,6 )

? 24 ? 0

,而

? f
2

?x

2 (5,6 )

? 6x

(5,6 )

? 30



f ( x , y ) 在点(5,6)取得极小值 f ( 5 , 6 ) ? ? 88

又∵ ? ∴

(1 , ? 6 )

? 6 x ? 2 ? (?6)

2 (1 , ? 6 )

? ?12 x ? 36

? (1 , ? 6 )

? ? 24 ? 0

f ( x , y ) 在点 (1, ? 6 ) 不取得极值

3、求 z

? x

2

? y

2

在闭区域 x 2

? 4y ? 4
2

上的最大值和最小值

? ?z ? 2x ? 0 ? ? ?x 解:由 ? ?z ? ? ?2 y ? 0 ? ?y ?

,得唯一驻点(0,0)

14

又∵在边界 x 2
d (4 ? 5 y ) dy

? 4y ? 4
2

即椭圆

x

2

? y ? 1 上, z ? x ? y ? 4 ? 5 y
2
2 2

2

y ? ( ? 1,1)

4



? 0 ,得驻点: y ? 0 ? ( ? 1,1)

∴所有可能的极值点为:(0,0) 相应的函数值为: 0 4、求抛物线 y
? x
2

(2,0) 4

(-2,0) 4

(0,-1) -1

(0,1) -1

和直线 x ?
? x
2

y?2?0

之间的最短距离。
y?2?0

解:设 P(x,y)为抛物线 y
d ? x? y?2 2

上任意一点,它到直线 x ?

的距离为

,d 最小当且仅当 d 2 最小
? 1 2 ( x ? y ? 2)
2

此问题即是求 d 2

在条件 y 2

? x

下的最小值。

解法 1(用拉格朗日乘数法) 设L ?
1 2
1 ? L ? ? 2 ( x ? y ? 2) ?1 ? 2 x? 令 0 ? x 2 ? 1 ? 由 ? L y ? ? 2 ( x ? y ? 2 ) ? ( ? 1) ? ? 令 0 2 ? ? L? ? y ? x 2 令 0 ? ?

( x ? y ? 2) ? ? ( y ? x )
2 2

? (1 ? 2 ? ) x ? y ? 2 ? 0 ? ,即 ? ? ? x ? y ? 2 ? 0 ? 2 ?y ? x ? 0

得唯一驻点 (

1 1 , ) 2 4

故由实际问题知抛物线 y
d min ? d ? 7 8 2

? x

2

和直线 x ?

y?2?0

之间的最短距离在在,为:

(

1 1 , ) 2 4

解法 2(转化为无条件极值) 设抛物线 y
d ?
? x
2

上点 P ( x , x 2 ) ,它到直线 x ?
x? x ?2
2

y?2?0

的距离为

x? y?2 2

?

2
?
2

∵d 最小当且仅当 d 2 设
f (x) ? 1 2
2

1 2

( x ? x ? 2)
2

2

最小

( x ? x ? 2)

15



2 f ? ( x ) ? ( x ? x ? 2 ) ? (1 ? 2 x ) 令 0

?唯一驻点 x

?

1 2

2 2 2 f ?? ( x ) ? (1 ? 2 x ) ? (1 ? 2 x ) ? ( x ? x ? 2 ) ? ( ? 2 ) ? (1 ? 2 x ) ? 2 ( x ? x ? 2 )

1 2 2 ? f ?? ( ) ? (1 ? 2 x ) ? 2 ( x ? x ? 2 ) 2

?

?

1 2

?

7 2

? 0

∴当 x

?

1 2

时,
2

f ( x ) 有极小值,从而该极小值就是所求的最小值(∵唯一驻点)

∵d

1 2

?

x? x ?2 2
1 2

=

7 8

2

故抛物线 y

? x

2

和直线 x ?
2 2

y?2?0

之间的最短距离为

7 8

2

5、 求抛物线 z 最短距离。

? x ? y

被平面 x ?

y ? z ? 1 截成一椭圆,求原点到此椭圆的最长与

解:设椭圆上任意一点为(x,y,z),它到原点的距离为 d 此问题即是求 d
2 2

?

x ? y ? z
2 2

2

?

x ? y ? z
2 2

2

在条件 ?
2

?z ? x2 ? y2 ?x ? y ? z ? 1

下的最大值和最小值。

令 L ? x ? y ? z ? ? ( x ? y ? z ) ? ? ( x ? y ? z ? 1)
2 2

?L x ? ?L y ? ? 由 ? Lz ? ? L? ? ? L? ?

? 2 x ? 2?x ? ? 令 0 ? 2 y ? 2?y ? ? 令 0 ? 2z ? ? ? ? 令0 ? x ? y ? z 令0
2 2

① ② ③ ④ ⑤

? x ? y ? z ?1令0

由①-②得 2(1 若?

? ? )( x ? y ) ? 0

? ? 1 代入①,得 ? ? 0 ,

再代入④,?

z ? ?

1 2

<0, 不合题意

? ? ? ? 1 ,有 x ? y

代入④,⑤由 ?

?2 x 2 ? z ?2 x ? z ? 1

,解得 y

? x ?

?1? 2
16

3



z ? 2?

3

∴驻点为: P1 ( ∴d
?
2

?1? 2
2 2

3

,

?1? 2

3

,? 1 ?

3 ) 和 P2 (
?
2

?1? 2
2 2

3

,

?1? 2
?

3

,? 1 ?

3)

P1

x ? y ? z

?
P1

9?5 3

,d

P2

x ? y ? z

9?5 3

P2

由实际问题知,所求最大值和最小值存在,分别为
6(题略).

9 ? 5

3


?
3

9?5 3

解: 设圆柱高为 H,圆锥高为 h ,圆柱圆锥底半径为 r,则浮标体积 V= ? r H ? 2
2

r h,

2

故:3V- ? r ( 3 H ? 2 h ) =0
2

(1)
2 2

浮标表面积 S(r,h,H)= 2 ? rH ? 2 ? r r ? h 令 L(r,h,H)= 2 ? r ( H ? 由
?L ?r ? 2? ( H ?
2

? 2? r ( H ?
2

r

2

? h )
2

r

2

? h ) + ? [ 3V ? ? r ( 3 H ? 2 h )
2

?
(2)

r

? h ) ? 2?
2

r r
2

2

? 2 r ?? ( 3 H ? 2 h ) =0 ? h
2

?L ?h

? 2? r

rh
2

? 2 ?? r =0
2 2

(3)

? h

?L ?H

? 2 ? r ? 3?? r
2 3

2

? 0

(4)
h r
2

有?r ?

,

代入(3)有

?
2

2 3

? 0 , 故

r h

?

5 2

,

r=

5 2

h,再由(2) ,有 H=h,

? h

h=

2 5

r

,

(

r,

2 5

r

,

2 5

r

)



S(r,h,H)

唯一驻点,由于实际问题存在最值,故当 H=h, 7(题略) 解 S=
F 1 2 ( ? h = ,? a ? 2 ) ?f ?h ? ? S h
2

r h

?

5 2

时,材料最省。

:


1 2 C ?Da ? 2 s 2 sin ?

BC=a,






S h ? h ? ctg ?



积 , 湿 周

(BC+AD)h=

(2a ? 2hctg ? )h = (a + h ctg ? )h, a = h S h ? ? h ? ctg ? ? 2 i? n h s i? n



? ctg ? ?

? 0

(1)

17

?f ??

?

1 ? 2 cos ? sin
2

?

? 0

(2)

由(2)有 1-2cos ? ? 0 , ? ?

?
3

,

由(1), h=
4

S 3

, 即(

?
3

,
4

S 3

)为唯一驻点,故当 ? ?

?
3

,

h=
4

S 3

时,湿周最小.

18