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2012届高三数学第一轮复习阶段性测试题1集合与简易逻辑

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阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。) 1.(文)(2011· 巢湖市质检)设 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B= {2,3,4},则下列结论中正确的是( A.A?B C.A∪B={1,2,3,4,5} [答案] D (理)(2011· 安徽百校联考)已知集合 M={-1,0,1},N={x|x=ab, a,b∈M 且 a≠b},则集合 M 与集合 N 的关系是( A.M=N C.N?M [答案] C [解析] ∵a、b∈M 且 a≠b,∴a=-1 时,b=0 或 1,x=0 或 -1;a=0 时,无论 b 取何值,都有 x=0;a=1 时,b=-1 或 0,x =-1 或 0.综上知 N={0,-1},∴N?M. 2. (2011· 合肥质检)“a=1”是“函数 f(x)=lg(ax+1)在(0, +∞) 上单调递增”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.M?N D.M∩N=? ) ) B.A∩B={2} D.A∩(?UB)={1}

A.充分必要条件 C.充分不必要条件 [答案] C

[解析] a=1 时,f(x)=lg(x+1)在(0,+∞)上单调递增;若 f(x)
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=lg(ax+1)在(0,+∞)上单调递增,∵y=lgx 是增函数,∴y=ax+1 在(0,+∞)上单调递增, ∴?
?a>0 ?a×0+1>0

,∴a>0,故选 C.

3.(2011· 福州期末)已知 p:|x|<2;q:x2-x-2<0,则綈 p 是綈 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] A [解析] ∵p:-2<x<2,∴綈 p:x≤-2 或 x≥2; q:-1<x<2,∴綈 q:x≤-1 或 x≥2, ∴綈 p 是綈 q 的充分不必要条件. → AC → BC → → → 4.(2011· 福州期末)在△ABC 中,“AB· =BA· ”是“|AC|= → |BC|”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C

→ → cos [解析] 如图,在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB,则|AD|=|AC|· → → cos∠CBA, ∠CAB,|BD|=|BC|· → AC → BC → |AC cos∠CAB=|BA |·→ |· → → → |BC cos∠CBA?|AC → AB · =BA · ?|AB |·→ |· → cos∠CBA?|AD|=|BD|?|AC|=|BC|,故选 C. → → → → |· cos∠CAB=|BC|·

5.(文)(2011· 山东日照调研)设 α、β 是两个不同的平面,l、m 为
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两条不同的直线,命题 p:若 α∥β,l?α,m?β 则 l∥m;命题 q:l ∥α,m⊥l,m?β,则 α⊥β.则下列命题为真命题的是( A.p 或 q C.綈 p 或 q [答案] C B.p 且 q D.p 且綈 q )

[解析] p 为假命题,q 为假命题,故 p 或 q,p 且 q,p 且綈 q 均为假命题,选 C. (理)(2011· 辽宁省丹东四校联考)已知 α、β、γ 为互不重合的三个 平面,命题 p:若 α⊥β,β⊥γ,则 α∥γ;命题 q:若 α 上不共线的三 点到 β 的距离相等,则 α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是 ( ) A.命题“p 且 q”为真 C.命题“p 或 q”为假 [答案] C B.命题“p 或綈 q”为假 D.命题“綈 p 且綈 q”为假

[解析] 如图(1),正方体中,相邻三个面满足 β⊥α,β⊥γ,但 α ⊥γ,故 p 为假命题;如图(2),α∩β=l,直线 AB,CD 是 α 内与 l 平 行且与 l 距离相等的两条直线,则直线 AB,CD 上任意一点到平面 β 的距离都相等,三点 A、B、C 不共线,且到平面 β 的距离相等,故 命题 q 为假命题, ∴“p 或 q”为假命题.

6.(2011· 宁夏银川一中检测)下列结论错误的是( ...

)

A.命题“若 p,则 q”与命题“若綈 q,则綈 p”互为逆否命题 B.命题 p:?x∈[0,1],ex≥1,命题 q:?x∈R,x2+x+1<0,
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则 p∨q 为真 C.“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题 D.若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题 [答案] C [解析] 根据四种命题的构成规律,选项 A 中的结论是正确的; 选项 B 中的命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,故 p∨q 为真命题, 选项 B 中的结论正确;当 m=0 时,a<b?/ am2<bm2,故选项 C 中的 结论不正确;选项 D 中的结论正确. 7.(文)(2011· 福州期末)已知集合 M={y|y=x2+1,x∈R},N= {y|y=x+1,x∈R},则 M∩N 等于( A.(0,1),(1,2) C.{y|y=1 或 y=2} [答案] D [解析] 由集合 M、N 的代表元素知 M、N 都是数集,排除 A、 B;又 M={y|y≥1},N=R,∴选 D. (理)(2011· 陕西宝鸡质检)已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈Z},B ={y|y=x2+1,x∈A},则 A∩B 为( A.? C.[0,+∞) [答案] B [解析] 由 1-x2≥0 得,-1≤x≤1,∵x∈Z,∴A={-1,0,1}, 当 x∈A 时,y=x2+1∈{2,1},即 B={1,2},∴A∩B={1}. 8.(2011· 天津河西区质检)命题 p:?x∈[0,+∞),(log32)x≤1, 则( ) A.p 是假命题,綈 p:?x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 B.p 是假命题,綈 p:?x∈[0,+∞),(log32)x≥1
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) B.{(0,1),(1,2)} D.{y|y≥1}

) B.{1} D.{(0,1)}

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C.p 是真命题,綈 p:?x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 D.p 是真命题,綈 p:?x∈[0,+∞),(log32)x≥1 [答案] C [解析] ∵0<log32<1,∴y=(log32)x 在[0,+∞)上单调递减,∴ 0<y≤1,∴p 是真命题;?的否定为“?”,“≤”的否定为“>”, 故选 C. 9.(2010· 广东湛江模拟)“若 x≠a 且 x≠b,则 x2-(a+b)x+ ab≠0”的否命题是( )

A.若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0. B.若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0. C.若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0. D.若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0. [答案] D 10.(2011· 四川资阳市模拟)“cosθ<0 且 tanθ>0”是“θ 为第三角 限角”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.充分不必要条件 [答案] A

[解析] ∵cosθ<0,∴θ 为第二或三象限角或终边落在 x 轴负半 轴上,∵tanθ>0,∴θ 为第一或三象限角,∴θ 为第三象限角,故选 A. 11.(文)(2011· 湖南长沙一中月考)设命题 p:?x∈R,|x|≥x;q: 1 ?x∈R,x=0.则下列判断正确的是( A.p 假 q 真 C.p 真 q 真 [答案] B
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) B.p 真 q 假 D.p 假 q 假

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1 [解析] ∵|x|≥x 对任意 x∈R 都成立,∴p 真,∵x=0 无解,∴ 1 不存在 x∈R,使x =0,∴q 假,故选 B. (理)(2011· 福建厦门市期末)下列命题中,假命题是( A.?x∈R,2x-1>0 C.?x∈R,x2-x+1>0 [答案] B [解析] 对任意 x∈R,总有|sinx|≤1,∴sinx= 2无解,故选 B. 12.(2011· 辽宁大连期末)已知全集 U=R,集合 A={x|x=2n,n ∈N}与 B={x|x=2n, n∈N}, 则正确表示集合 A、 关系的韦恩(Venn) B 图是( ) B.?x∈R,sinx= 2 D.?x∈N,lgx=2 )

[答案] A [解析] n=0 时,20=1∈A,但 1?B,2×0=0∈B,但 0?A,又当 n=1 时,2∈A 且 2∈B,故选 A. [点评] 自然数集 N 中含有元素 0 要特别注意,本题极易因忽视 0∈N 导致错选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上) 13.已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1 且 b≠3,则命题甲是
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命题乙的________条件. [答案] 既不充分也不必要 [解析] 当 a+b≠4 时, 可选取 a=1, b=5, 故此时 a≠1 且 b≠3 不成立(∵a=1).同样,a≠1 且 b≠3 时,可选取 a=2,b=2,此时 a+b=4,因此,甲是乙的既不充分也不必要条件. [点评] 也可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件. x2 y2 14.方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 ①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<2. 其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号). [答案] ③④ 5 3 [解析] 显然当 t=2时,曲线为 x2+y2=2,方程表示一个圆;而 5 当 1<t<4,且 t≠2时,方程表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表示双 5 曲线,而当 1<t<2时,4-t>t-1>0,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆, 故选项为③④. 15. (文)函数 f(x)=logax-x+2(a>0 且 a≠1)有且仅有两个零点的 充要条件是________. [答案] a>1 [解析] 若函数 f(x)=logax-x+2(a>0,且 a≠1)有两个零点,即 函数 y=logax 的图象与直线 y=x-2 有两个交点,结合图象易知,此 时 a>1; a>1 时, 当 函数 f(x)=logax-x+2(a>0, a≠1)有两个零点, 且
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∴函数 f(x)=logax-x+2(a>0, a≠1)有两个零点的充要条件是 a>1. 且

?4x+3y-12≥0 ? (理)(2010· 济南模拟)设 p:?3-x≥0 ?x+3y≤12 ?
12? ? [答案] ?0, 5 ?
? ?

,q:x2+y2>r2(x,y

∈R, r>0), p 是 q 的充分不必要条件, r 的取值范围是________. 若 则

[解析]

?4x+3y-12≥0 ? 设 A={(x, ?3-x≥0 y)| ?x+3y≤12 ?

}, B={(x, 2+y2>r2, y)|x

x,y∈R,r>0},则集合 A 表示的区域为图中阴影部分,集合 B 表示 以原点为圆心,以 r 为半径的圆的外部,设原点到直线 4x+3y-12 =0 的距离为 d,则 d= |4×0+3×0-12| 12 = 5 ,∵p 是 q 的充分不必 5

12 要条件,∴A?B,则 0<r< 5 .

16.(2011· 河南豫南九校联考)下列正确结论的序号是________. ①命题?x∈R,x2+x+1>0 的否定是:?x∈R,x2+x+1<0. ②命题“若 ab=0,则 a=0,或 b=0”的否命题是“若 ab≠0, 则 a≠0 且 b≠0”. ^ ③已知线性回归方程是y=3+2x,则当自变量的值为 2 时,因变 量的精确值为 7. 1 π ④若 a,b∈[0,1],则不等式 a2+b2<4成立的概率是4.

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[答案] ② [解析] ?x∈R,x2+x+1>0 的否定应为?x∈R,x2+x+1≤0, ^ 故①错;对于线性回归方程y=3+2x,当 x=2 时,y 的估计值为 7,
?1? 1 ×π×?2?2 4 ? ? 1 故③错; 对于 0≤a≤1,0≤b≤1, 满足 a2+b2<4的概率为 p= 1×1

π =16,故④错,只有②正确. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)(文)(2011· 重庆南开中学期末)已知函数 f(x) = x+1 的定义域是集合 A,函数 g(x)=lg[x2-(2a+1)x+a2+a]的 x-2

定义域是集合 B. (1)分别求集合 A、B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)A={x|x≤-1 或 x>2} B={x|x<a 或 x>a+1}.
? ?a>-1 (2)由 A∪B=B 得 A?B,因此? ?a+1≤2 ?

所以-1<a≤1,所以实数 a 的取值范围是(-1,1]. (理)已知函数 f(x)= 6 -1的定义域为集合 A,函数 g(x)= x+1

lg(-x2+2x+m)的定义域为集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值.

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[解析] 由

6 -1≥0 知,0<x+1≤6, x+1

∴-1<x≤5,A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3} 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3} ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2· 4+m=0,解得 m=8. 此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 18.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)是 R 上的增函数,a、b ∈R,对命题“若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).” (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. [解析] (1)逆命题是: f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b), a+b≥0, 若 则 真命题. 用反证法证明: 设 a+b<0,则 a<-b,b<-a, ∵f(x)是 R 上的增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 矛盾,所以逆命题为真. (2)逆否命题:若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 则 a+b<0,为真命题. 由于互为逆否命题同真假,故只需证原命题为真. ∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a, 又∵f(x)在 R 上是增函数,
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∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a). ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),∴原命题真,故逆否命题为真. (理)(2011· 厦门双十中学月考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点. → OB → (1)求证:“如果直线 l 过点(3,0),那么OA· =3”是真命题. (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说 明理由. [解析] (1)设 l:x=ty+3,代入抛物线 y2=2x,消去 x 得 y2-2ty -6=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=2t,y1·2=-6, y → OB → OA· =x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2 =t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2 =-6t2+3t· 2t+9-6=3. → OB → ∴OA· =3,故为真命题. → OB → (2)(1)中命题的逆命题是:“若OA· =3,则直线 l 过点(3,0)” 它是假命题. 设 l:x=ty+b,代入抛物线 y2=2x,消去 x 得 y2-2ty-2b=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2t,y1·2=-2b. y → OB → ∵OA· =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt· 2t+b2-2b=b2-2b, 令 b2-2b=3,得 b=3 或 b=-1, 此时直线 l 过点(3,0)或(-1,0).故逆命题为假命题. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 华安、连城、永安、漳平龙海, 泉港六校联考)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx

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+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. [解析] A={x|-1≤x≤3} B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)∵A∩B=[0,3],
?m-2=0 ?m=2 ? ? ∴? ,? ,∴m=2. ? ? ?m+2≥3 ?m≥1

故所求实数 m 的值为 2. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2} A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3. 因此实数 m 的取值范围是 m>5 或 m<-3. ( 理 )(2011· 东 潍 坊 模 拟 ) 已 知 全 集 U = R , 非 空 集 合 A = 山 x-2 x-a2-2 {x| <0},B={x| <0}. x-?3a+1? x-a 1 (1)当 a=2时,求(?UB)∩A; (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 9 x-4 x-2 1 5 [解析] (1)当 a=2时, A={x| 5<0}={x|2<x<2}, B={x| 1<0} x-2 x-2 1 9 ={x|2<x<4}. 1 9 5 ∴(?UB)∩A={x|x≤2或 x≥4}∩{x|2<x<2}

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9 5 ={x|4≤x<2}. (2)若 q 是 p 的必要条件,即 p?q,可知 A?B, 由 a2+2>a,得 B={x|a<x<a2+2}, 1 当 3a+1>2,即 a>3时, A={x|2<x<3a+1},
?a≤2 ? 3- 5 1 ? 2 ,解得3<a≤ 2 ; ? ?a +2≥3a+1

1 当 3a+1=2,即 a=3时, A=?,符合题意; 1 当 3a+1<2,即 a<3时, A={x|3a+1<x<2}.
?a≤3a+1 ? 1 1 ? 2 ,解得-2≤a<3; ? ?a +2≥2

1 3- 5 综上,a∈[-2, 2 ]. 20.(本小题满分 12 分)(2010· 常德模拟)已知命题 p:?x∈[1,2], x2-a≥0.命题 q: 0∈R, ?x 使得 x2+(a-1)x0+1<0.若“p 或 q”为真, 0 “p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. [解析] 由条件知,a≤x2 对?x∈[1,2]成立,∴a≤1;
2 ∵?x0∈R,使 x0+(a-1)x0+1<0 成立,

∴不等式 x2+(a-1)x+1<0 有解,∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3 或 a<-1; ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 与 q 一真一假.
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①p 真 q 假时,-1≤a≤1; ②p 假 q 真时,a>3. ∴实数 a 的取值范围是 a>3 或-1≤a≤1. 21.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=x2-2x+5,若存在一 个实数 x0,使不等式 f(x0)-m>0 成立,求实数 m 的取值范围. [解析] 不等式 f(x0)-m>0 可化为 m<f(x0),若存在一个实数 x0 使不等式 m<f(x0)成立, 只需 m<f(x)min. 又∵f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4, ∴f(x)min=4,∴m<4. 故所求实数 m 的取值范围是(-∞,4). (理)(2011· 雅安中学期末)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有 的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. [解析] 令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,则 g′(x)=ln(x+1)+1-a, 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1. (1)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0. 所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数. 又 g(0)=0,所以对 x≥0,有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. (2)当 a>1 时,对于 0<x<ea-1-1,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,ea-1-1)上是减函数. 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea-1-1,有 g(x)<g(0), 即 f(x)<ax. 所以当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立.综上所

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述 a 的取值范围是(-∞,1]. 22.(本小题满分 12 分)若规定 E={a1,a2,?,a10}的子集{ai1, ai2,?,ain}为 E 的第 k 个子集,其中 k=2i1-1+2i2-1+?+2in- 1,则 (1){a1,a3}是 E 的第几个子集? (2)求 E 的第 211 个子集. [解析] (1)由 k 的定义可知 k=21-1+23-1=5. 因此{a1,a3}是 E 的第 5 个子集. (2)∵21-1=1,22-1=2,23-1=4,24-1=8,?k=211,且 211=128+ 64+16+2+1,∴i1=1,i2=2,i3=5,i4=7,i5=8,故 E 的第 211 个子集是{a1,a2,a5,a7,a8}. [点评] 本题是新定义题型,构思新颖,视角独特,亮点明显, 对考生在新情境下灵活运用所学知识分析,解决问题的能力要求较 高,有较高的区分度.

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