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云南省昆明一中高三数学上学期第二次月考 理 新人教A版【会员独享】

昆明一中 2011 届高三年级第二次月考 数 学 试 题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。请将答案写在答题卡上,写 在试卷上的无效。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题) ,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填入答题卡对应的空格内) 。 1.已知集合 A ? x x ? ?1或x ? 1 , B ? x log2 x ? 0 , 则A ? B ? A. x x ? 1

?

?

?

?

( D. x x ? ?1或x ? 1 ( D.第四象限 (



?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x x ? ?1

?

?

?

?


2.已知 z(1 ? i) ? 1, 则复数z 在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3.已知 p : a ? b, q : am2 ? bm2 , 则p是q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



4.已知向量 a ? (cos? ,?2),b ? (sin? ,1)且a ∥ b, 则 tan(? ? A.3 5. f ( x ) ? B.-3 C.

?
4

)等于 D.-





1? x 的反函数为 x 1 1 ( x ? ?1) ( x ? ?1) A. y ? B. y ? 1? x 1? x 1 1 ( x ? 1) D. y ? ( x ? ?1) C. y ? 1? x 1? x

1 3

1 3
( )

6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图 (如下图) 。为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系,要从这 1000 中再用分层抽样 方法抽出 100 人作出一步调查,则在[2500,3000] (元)/月收入段应抽出( )人。 A.20 B.25 C.40 D.50

7.已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a2 ? a13 ? 4? , 则cos(a2 ? a12 ) 的值为





A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

8.设 l , m, n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,有如下四个命题: ①若 ? ? ? , l ? ? , 则 l ∥ ? ③若 l ? m, m ? n, 则 l ∥ n 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 9.函数 f ( x) ? ②若 ? ? ? , l ? ? , 则 l ? ? ④若 m ? ? , n ∥ ? 且 ? ∥ ? , 则m ? n ( C.3 D.4 ( ) )

lg( x ) x

的图像可能是

10.如图为 12 个单位正方形组成的长方形图形,若沿格线从左下角顶点 A 走到右上角顶点 B, 每步只走一个单位长度,则所有最短路线的走法中,经过点 C 的走法种数是( ) A.42 B.35 C.20 D.15 11.已知正实数 a , b 满足: (a ? 1)(b ? 1) ? 4, 则ab 的最小值是 A.-1 B. 3 C.3 D.9 ( )

12.设函数 f ( x) 的定义域为 R,且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x), 若f (4) ? ?1, f (2011 )

?

a?3 , 则a 的取值范围是 a ?3
B. ( 0,3) C. ( 3,??)

( D. (??,0) ? (3 ? ?)



A. (??,3)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 注意事项: 本卷 10 小题,用黑色碳素笔将答案答在答题卡上,答在试卷上的答案无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案直接答在答题卡上。

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? 13. x, y 满足 ? x ? 0 则z ?y ? 0 ?

? 2 x ? y 的最大值

14.已知 A、B 是球状、O 球面上两点,在空间直角坐标系中 O(0,0,0) ,A( 2,?1,1),

B(0, 2, 2 ), 则 A、B 在该球面上的最短距离是



3 x2 y2 15.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上横坐标为 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的 2 a b
距离,则该双曲线两条渐近线所夹的锐角的取值范围是 16.已知 b 为二项式 (9 ? x) n 展开式中各项系数之和,且 lim 。

n??

b ? an 1 ? ,则实数 a 取值 n ?1 a 10b ? a

范围是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

a, b, c 分别为角 A、 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, B、 C 的对边, 且满足 b ? c ? a ? bc.
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, 设角B的大小为 x, ?ABC的周长为y, 求y ? f ( x) 的最大值。

18. (本小题满分 12 分)某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中 装有 9 张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝” (世博会吉祥 物)图案;抽奖规则是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可 获奖,否则,均为不获奖。卡片用后入回盒子,下一位参加者继续重复进行。 (Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人答:我只知道,从盒 中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是

5 ,求抽奖者获奖的概率; 18

(Ⅱ) 现有甲乙丙丁四人依次抽奖, 用 ? 表示获奖的人数, 求 ? 的分布列及 E?,D ? 的值。

19. (本小题满分 12 分)

在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯 形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2。 (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PBD; (Ⅲ)设 Q 为侧棱 PC 上一点,PQ ? ? PC, 试确定 ? 的值,使得二面角 Q—BD—P 为 45°。

的前 n项和 S n ? 20. (本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?

3 (a n ? 1), n ? N ? . 2

(1)证明数列 ?an ?为等差数列,并求 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? log3 an ,求数列 ?an bn ?的前 n 项和。

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? e (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最值;

x ?m

? x, 其中m ? R.

[a, b] 上连续,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么, (Ⅱ)给出定理:如果函数 y ? f ( x)在区间
函数 y ? f ( x)在区间 (a, b) 内有零点,即存在 x0 ? (a, b),使得f ( x0 ) ? 0.

(m,2m) 内是否存在零点。 运用上述定理判断,当 m ? 1 时,函数 f ( x)在区间

22. (本小题满分 12 分)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动 点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0 ,点 N 的轨迹为曲线 E。 (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H(点 G 在点 F、H 之间) ,且 满足 FG ? ? FH, 求? 的取值范围。

参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1—6 AABBAB 7—12 DADCDC 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.6 14. ? 15. (0,

?
3
2

)

16. (??,?10) ? ? 10,???

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.解: (I)在 ?ABC 中,由 b ? c ? d ? bc 及余弦定理,得
2 2

b2 ? c2 ? a2 1 cos A ? ? , 2bc 2
而 0 ? A ? ? , 则A ? (II)由 a ?

…………3 分

?
3

…………5 分 及正弦定理,得

3, A ?

?
3

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 3 2

? 2,

2? 2? 2? ? x, 则b ? 2 sin x, c ? 2 sin( ? x)( 0 ? x ? ). …………7 分 3 3 3 2? ? ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2 sin x ? 2 sin( 3 6 2? ? ? 5? 得 ? x? ? , 由0 ? x ? 3 6 6 6
而 B ? x, C ? 当x?

?

6

?

?

2

即x ?

?

3

时, y max ? 3 3.

…………10 分

18.解: (I)设“世博会会徽”卡有 n 张, 由
2 Cn 5 ? , 得 n=5, 2 C9 18
2 C4 1 ? 2 C9 6
k

故“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为

…………5 分
4? k

(II) ? ~ B ( 4, ) 的分布列为 P(? ? k ) ? C 4 ( ) ( )
k

1 6

1 6

5 6

(k ? 0,1,2,3,4)
3
3 1 3 5 1 C4 ( ) ( ) 6 6

?
P

0

1

2

4
4 1 4 5 0 C4 ( ) ( ) 6 6

0 1 0 5 4 1 1 1 5 3 2 1 2 5 2 C4 ( ) ( ) C4 ( ) ( ) C4 ( ) ( ) 6 6 6 6 6 6 1 2 1 5 ? E? ? 4 ? ? , D? ? 4 ? (1 ? ) ? . 6 3 6 9

…………12 分

19.解: (1)取 PD 的中点 F,连接 EF,AF,

因为 E 为 PC 中点,所以 EF//CD,且 EF ?

1 CD ? 1 , 2

在梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=1, 所以 EF//AB,EF=AB,四边形 ABEF 为平行四边形, 所以 BE//AF, BE ? 平面 PAD,AF ? 平面 PAD, 所以 BE//平面 PAD。 …………3 分 (2)平面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD, 所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD。 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz。 则 A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,1)

DB ? (1,1,0), BC ? (?1,1,0).
所以 BC ? DB ? 0, BC ? DB. 又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC, 所以 BC⊥平面 PBD。 …………7 分

(3)平面 PBD 的法向量为 BC =(-1,1,0)

PC ? (0,2,?1), PQ ? ? PC, ?(0,1),
所以 Q (0,2? ,1 ? ? ) 设平面 QBD 的法向量为 n ? (a, b, c) 则 n ? DB ? 0, n ? DQ ? 0, 得? 所以 n ? ( ?1,1, 所以 cos 45? ?

?a ? b ? 0 , ?2?b ? (1 ? ? ) ? 0

2? ), ? ?1

n ? BC | n || BC |

?

2 2 ? , 2? 2 2 2 ?( ) ? ?1
…………12 分

注意到 ? ? (0,1), 得? ? 20.解: (I)因为 S n ? 所以 S n ?1 ?

2 ? 1.

3 (a n ? 1), n ? N , 2

3 (a n ?1 ? 1). 2 3 (a n ?1 ? a n ), 2

两式相减,得 S n ?1 ? S n ?

即 a n ?1 ?

3 (a n ?1 ? a n ), 2
…………3 分

? an?1 ? 3an , n ? N ? ,
又 s1 ?

2 3 (a1 ? 1)即a1 ? (a1 ? 1) , 3 2

所以 a1 ? 3

?{an } 是首项为 3,公比为 3 的等比数列,
从而 {an } 的通项公式是 an ? 3n , n ? N ? …………6 分

(II)由(I)知 bn ? log3 an ? n, 设数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn。 则 Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n

3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,
两式相减得

? 2Tn ? 1? 3 ? 1? 32 ? 1? 33 ? ? ? 1? 3n ? n ? 3n?1
3 n (3 ? 1) ? n ? 3 n ?1 , 2 2n ? 1 n ?1 3 ?3 ? . 所以 Tn ? 4 4 ?
21.解: (I)? f ( x)在(??,??)上连续 ,

…………10 分

…………12 分

f ' ( x) ? e x?m ? 1,
令 f ' ( x) ? 0, 解得x ? m.

当x ? (??, m)时, e x ?m ? 1, f ' ( x) ? 0 当x ? (m,??)时, e x ?m ? 1, f ' ( x) ? 0.
? f ( x) min ? f (m) ? 1 ? m,
由(*)知 f(x)无最大值, (II)函数 f ( x)在[m,2m] 上连续, 而 f (2m) ? e ? 2m,
m

(*)

所以,当 x=m 时,f(x)取极小值也是最小值,

…………6 分

令g (m) ? e m ? 2m, 则g ' (m) ? e m ? 2, ? m ? 1, ? g ' (m) ? e ? 2 ? 0, ? g (m)在(1,??)上递增.
由 g (1) ? 3 ? 2 ? 0, 得g (m) ? g (1) ? 0,即f (2m) ? 0, 又 f (m) ? 1 ? m ? 0,? f (m) ? 0, 根据定理,可判断函数 f(x)在区间(m,2m)上存在零点 22.解: (I)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0 ∴NP 为 AM 的垂直平分线, …………12 分 …………10 分 …………8 分

? | NA |?| NM |,
又? | CN | ? | NM |? 2 2,? | CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距2c ? 2.

? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1.
∴曲线 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

…………4 分

(II)当直线 GH 斜率存在时, 设直线 CH 方程为 y ? kx ? 2,

x2 ? y2 ? 1, 代入椭圆方程 2
1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0. 2 3 由? ? 0得k 2 ? . 2
得( 设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y 2 ), 则 x1 ? x2 ?

…………6 分

? 4k 3 , x1 x2 ? 1 1 ? k2 ? k2 2 2

又? FG ? ? FH,?( x1 , y1 ? 2) ? ?( x2 , y2 ? 2)
2 ? x1 ? ?x2 ,? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x2 ? ?x2 .

?(

x1 ? x 2 2 xx 2 ) ? x2 ? 1 2, 1? ? ?

? 4k 2 3 ) 1 1 ? k2 ? k2 2 2 ? ? , 整理得 (1 ? ? ) ? (
16 3 16 3 ? k 2 ? ,? 4 ? ? . 3 2 3 ?3 2 2k 1 16 ?4 ? ? ? ? 2 ? . ? 3 1 解得 ? ? ? 3. 3 1 又 ? 0 ? ? ? 1,? ? ? ? 1. 3

16 (1 ? ? ) ? 1 ? 3( 2 ? 1) 2k

2

…………10 分

1 1 又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0, FG ? FH , ? ? . 3 3 1 ?1 ? ? ? ? ? 1, 即所求 ? 的取值范围是 ? ,1? 3 ?3 ?
…………12 分