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走向高考3-1


基础达标检测 一、选择题 1.(文)如果函数 f(x)=x4-x2,那么 f ′(i)=( A.-2i C.6i [答案] D [解析] 因为 f ′(x)=4x3-2x, 所以 f ′(i)=4i3-2i=-6i. (理)设函数 f(x)=(1-2x3)4,则 f ′(1)等于( A.0 C.-24 [答案] D [解析] ∵f ′(x)=4(1-2x3)3· (-6x2), ∴f ′(1)=4(1-2)3×(-6)=24. 2.下列求导数运算正确的是( 1 1 A.(x+x)′=1+x2 C.(3x)′=3xlog3e [答案] B 1 1 [解析] (x+x )′=1-x2,A 错;(3x)′=3xln3,C 错; (x2cosx)′=2xcosx-x2sinx,D 错;故选 B. 3.(文)(2014· 黄石模拟)已知 f(x)=xlnx,若 f ′(x0)=2,则 x0= ( ) ) 1 B.(log2x)′=xln2 D.(x2cosx)′=-2xsinx B.-1 D.24 ) B.2i D.-6i )

A.e2 ln2 C. 2 [答案] B

B.e D.ln2

[解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=lnx+1, 由 f ′(x0)=2,即 lnx0+1=2,解得 x0=e. (理)若函数 f(x)=x2+bx+c 的图像的顶点在第二象限,则函数 f ′(x)的图像是( )

[答案] C [解析] b
? b 4c-b2? ?在第二象限 由题意可知?- , 4 ? ? 2

?-2<0 ?? 4c-b ? 4 >0
2

?b>0,又 f ′(x)=2x+b,故选 C.

4.(文)曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2

)

C.e [答案] A

1 D.e

[解析] ∵y′=ex,故所求切线斜率 k=ex|x=0=e0=1. (理)(原创题)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f ′0(x),f2(x)=f ′1(x),…,fn
+1

(x)=f ′n(x),n∈N,则 f2 015(x)等于( A.sinx C.cosx [答案] D

)

B.-sinx D.-cosx

[解析] ∵fn(x)=fn+4(x),∴f2 015(x)=f3(x)=-cosx. 5.(2013· 全国大纲)已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切 线的斜率为 8,则 a=( A.9 C.-9 [答案] D [解析] y′=4x3+2ax,y′|x=-1=-4-2a=8 ∴a=-6. 6.(文)已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平 行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为( A.(0,0) C.(0,1) [答案] D [解析] 由题意知, 函数 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线的斜率等于 3,即 f ′(x0)=4x3 0-1=3,∴x0=1,将其代入 f(x)中可得 P(1,0). (理)若函数 f(x)=exsinx,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的 倾斜角为( ) ) ) B.6 D.-6

B.(1,1) D.(1,0)

π A.2 C.钝角 [答案] C [解析] f ′(x)=exsinx+excosx π =ex(sinx+cosx)= 2exsin(x+4).

B.0 D.锐角

π f ′(4)= 2e4sin(4+4)<0,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线 的倾斜角为钝角,故选 C. 二、填空题 7.(文)已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f ′(-1)=4,则 a 的值为 ________. [答案] 10 3

[解析] f ′(x)=3ax2+6x, 10 又∵f ′(-1)=3a-6=4,∴a= 3 . 1 (理)若函数 f(x)=3x3-f ′(-1)· x2+x+5,则 f ′(1)=________. [答案] 6 1 [解析] ∵f(x)=3x3-f ′(-1)x2+x+5, ∴f ′(x)=x2-2f ′(-1)x+1, ∴f ′(-1)=(-1)2-2f ′(-1)(-1)+1, 解得 f ′(-1)=-2. ∴f ′(x)=x2+4x+1,∴f ′(1)=6. 8. (文)(2013· 江西高考)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线 经过坐标原点,则 α=________.

[答案] 2 [解析] y′=αxα-1,y′|x=1=α,则切线方程为 y-2=α(x-1),切线方程过原点, 则 0-2=α(0-1),∴α=2. (理)(2013· 广东高考)若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行 于 x 轴,则 k=________. [答案] -1 1 [解析] y′=k+x,y′|x=1=k+1=0, ∴k=-1. lnx 9.(文)函数 f(x)= x 在点(x0,f(x0))处的切线平行于 x 轴,则 f(x0) =________. [答案] 1 e

1-lnx 1-lnx0 lnx [解析] ∵f(x)= x ,f ′(x)= x2 ,切线斜率 f ′(x0)= x2 0 1 =0,∴x0=e,∴f(x0)=f(e)=e. (理)(2013· 江西高考)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ ex,则 f′(1)=________. [答案] 2 1 [解析] ∵f(ex)=x+ex,∴f(x)=x+lnx,f ′(x)=1+x,∴f′(1) =1+1=2. 三、解答题 1 4 10.已知曲线 y=3x3+3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程;

(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. [分析] (1)在点 P 处的切线以点 P 为切点. (2)过点 P 的切线,点 P 不一定是切点,需要设出切点坐标. [解析] (1)∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2 =4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 4 (2)设曲线 y=3x3+3与过点 P(2,4)的切线相切于点 1 4? ? A?x0,3x3 0+ ?, 3
? ?
2 则切线的斜率 k=y′|x=x0 =x0 .

4? 2 ?1 ∴切线方程为 y-?3x3 0+ ?=x0(x-x0), 3
? ?

2 4 2 即 y=x0 · x-3x3 0+ . 3 2 3 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0- x0+ , 3 3
2 3 2 2 即 x3 0-3x0+4=0.∴x0+x0-4x0+4=0.

∴x2 0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0. ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2. 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 能力强化训练 一、选择题 1.(文)已知 f0(x)=cosx,f1(x)=f ′0(x),f2(x)=f ′1(x),f3(x)= f ′2(x),…,fn+1(x)=f ′n(x),n∈N+,则 f2 014(x)=( A.sinx C.cosx B.-sinx D.-cosx )

[答案] D [解析] f1(x)=-sinx,f2(x)=-cosx,f3(x)=sinx, f4(x)=cosx,f5(x)=-sinx…,故 fn(x)的周期为 4, ∴f2014(x)=f2(x)=-cosx. 5π? ? sinθ 3cosθ (理)设函数 f(x)= 3 x3+ 2 x2+tanθ, 其中 θ∈?0,12?, 则导 ? ? 数 f ′(1)的取值范围为( A.[-2,2] C.[ 3,2] [答案] D [解析] ∵f ′(x)=sinθ· x2+ 3cosθ· x, π? ? ∴f ′(1)=sinθ+ 3cosθ=2sin?θ+3?.
? ?

) B.[ 2, 3] D.[ 2,2]

5π? ? π ?π 3π? ∵θ∈?0,12?,∴θ+3∈?3, 4 ?.
? ? ? ?

π? ? 2 ? ? ∴sin?θ+3?∈? ,1?, ? ? ?2 ? ∴f ′(1)∈[ 2,2],故选 D. 1 1 2.(文)若曲线 y=x-2在点(a,a-2)处的切线与两个坐标轴围成 的三角形的面积为 18,则 a=( A.64 C.16 [答案] A 1 3 1 [解析] 求导得 y′=-2x-2(x>0),所以曲线 y=x-2在点(a,a 1 1 3 -2)处的切线 l 的斜率 k=y′|x=a=-2a-2,由点斜式,得切线 l 的 ) B.32 D.8

1 1 3 方程为 y-a-2=-2a-2(x-a),易求得直线 l 与 x 轴,y 轴的截距 3 1 1 分别为 3a,2a-2,所以直线 l 与两个坐标轴围成的三角形面积 S=2 3 1 9 1 ×3a×2a-2=4a2=18,解得 a=64. (理)如果 f ′(x)是二次函数,且 f ′(x)的图像开口向上,顶点坐 标为(1, 3),那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范 围是( ) π π B.[3,2) π D.[3,π)

π A.(0,3] π 2π C.(2, 3 ] [答案] B

[解析] 由题意可设 f ′(x)=a(x-1)2+ 3,(a>0), 因此函数图像上任一点处切线的斜率为 k=f ′(x)=a(x-1)2+ 3≥ 3,即 tanα≥ 3, π π 所以3≤α<2,选 B. 二、填空题 π 3.(2014· 柳州模拟)已知函数 f(x)=2xsinx,则当 x=2时,其导函 数的值为________. [答案] 2 [解析] f ′(x)=2sinx+2xcosx, π π π π ∴f ′(2)=2sin2+2· · cos 2 2=2. 4.(文)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________. [答案] 4x-y-3=0

[解析] 本题考查导数的几何意义,考查切线方程的求法. y′=3lnx+4, 故 y′|x=1=4, 所以曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=4(x-1),化为一般式方程为 4x-y-3=0. 在过某一点的切线方程时,先通过求导得出切线的斜率,利用点 斜式即可写出切线方程,注意最后应将方程化为一般式. (理)点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则 P 到直线 y=x-2 的 距离的最小值是________. [答案] 2

[解析] 作直线 y=x-2 的平行线使其与曲线 y=x2-lnx 相切, 则切点到直线 y=x-2 的距离最小. 1 1 由 y′=2x-x=1,得 x=1,或 x=-2(舍去). ∴切点为(1,1),它到直线 x-y-2=0 的距离为 d= |1-1-2| 2 = 2. 2 2= 2 1 +?-1?

三、解答题 5.(文)求下列函数的导数 (1)y=sinxcosx (2)y=x2ex (3)y=( x+1)( 1 -1) x

x x (4)y=sin2(1-2cos24) [解析] (1)y′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′ =cosxcosx-sinxsinx =cos2x. (2)y′=(x2)′ex+x2(ex)′

=2x· ex+x2· ex =(x2+2x)ex. (3)∵y=1- x+
1 2

1 -1 x



=-x +x

1 2 1 2
3 2

1 - ∴y′=-2x 1 - =-2x
1 2

1 - -2x

1 1 (1+x-1)=- (1+x). 2 x

x x 1 (4)∵y=sin2(-cos2)=-2sinx 1 1 ∴y′=(-2sinx)′=-2cosx. (理)求下列函数的导数: (1)y=ex· lnx 1 1 (2)y=x(x2+x +x3) π (3)y=sin2(2x+3) (4)y=ln(2x+5). 1 [解析] (1)y′=(ex· lnx)′=exlnx+ex· x 1 =ex(lnx+x). 1 (2)∵y=x3+1+x2, 2 ∴y′=3x2-x3.

π (3)设 y=u2,u=sinv,v=2x+3, 则 y′x=y′u· u′v· v′x=2u· cosv· 2 π π 2π =4sin(2x+3)· cos(2x+3)=2sin(4x+ 3 ). (4)设 y=lnu,u=2x+5,则 y′x=y′u· u′x, ∴y′= 1 2 · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5

6.(文)已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. [解析] (1)由 f(x)=x3-3x 得 f ′(x)=3x2-3, 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f ′(1)=0, ∴所求的直线方程为 y=-2. (2)设过 P(1, -2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0, y0), 则 f ′(x0) =3x2 0-3. 又直线过(x0,y0),P(1,-2),
3 y0-?-2? x0 -3x0+2 故其斜率可表示为 = , x0-1 x0-1

x3 0-3x0+2 2 又 =3x0 -3, x0-1
2 即 x3 0-3x0+2=3(x0-1)(x0-1),

1 解得 x0=1(舍去)或 x0=-2, 1 9 故所求直线的斜率为 k=3×(4-1)=-4, 9 ∴y-(-2)=-4(x-1),即 9x+4y-1=0.

b (理)设函数 f(x)=ax-x ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程 为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 7 [解析] (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3.当 x=2 时,y 1 b =2.又 f ′(x)=a+x2. b 1 ? ?2a-2=2, 于是? b 7 ? a + ? 4=4,
? ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x-x. ? ?b=3.

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+x2知曲线在点 P(x0, y0)处的切线方程为 3? ? y-y0=?1+x2?(x-x0),
?
0?

3? ? 3? ? 即 y-?x0-x ?=?1+x2?(x-x0).
?
0?

?

0?

6 令 x = 0 得 y =- x ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为
0

6? ? ?0,- ?. x0? ? 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为 (2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面 1? 6 ? 积为2?-x ?|2x0|=6. ? 0?

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三 角形的面积为定值,此定值为 6.


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