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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.1.3 集合的基本运算学案1 新人教A版必修5


1.1.3

集合的基本运算(一)

1.理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自 学阅读能力和自主探究能力. 3.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

1.一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并 集,记作 A∪B(读作“A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 2.一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交 集,记作 A∩B(读作“A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 3.A∩A=__A__,A∪A=__A__,A∩?=__?__,A∪?=A. 4.若 A? B,则 A∩B=__A__,A∪B=__B__. 5.A∩B? A,A∩B? B,A? A∪B,A∩B? A∪B.

对点讲练

求两个集合的交集与并集 【例 1】 求下列两个集合的并集和交集. (1)A={1,2,3,4,5}, (2)A={x|x<-2}, 解

B={-1,0,1,2,3}; B={x|x>-5}.

(1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},

A∩B={1,2,3}.

(2)结合数轴(如图所示)得:

A∪B=R,A∩B={x|-5<x<-2}.

规律方法 求两个集合的交集、并集依据它们的定义,借用 Venn 图或结合数轴分析两 个集合的元素的分布情况,有利于准确写出交集、并集. 变式迁移 1 (1)若集合 A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则 A∪B 等于( A.{x|x>-2} B.{x|x>-1} C.{x|-2<x<-1} )

D.{x|-1<x<2}
1

(2)若将(1)中 A 改为 A={x|x>a},求 A∪B,A∩B. (1)答案 A

解析 画出数轴,故 A∪B={x|x>-2}.

(2)解 如图所示,

当 a<-2 时,A∪B=A,A∩B={x|-2<x<2}; 当-2≤a<2 时,A∪B={x|x>-2},A∩B={x|a<x<2}; 当 a≥2 时,A∪B={x|-2<x<2 或 x>a},A∩B=?.

已知集合的交集、并集求参数

【例 2】 已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}. (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)若 A∪B=R,求 a 的取值范围. 解 (1)由 A∩B=?,

①若 A=?, 有 2a>a+3,∴a>3. ②若 A≠?,如图:

2a≥-1 ? ? ∴?a+3≤5 ? ?2a≤a+3

1 ,解得- ≤a≤2. 2

1 综上所述,a 的取值范围是{a|- ≤a≤2 或 a>3}. 2 (2)由 A∪B=R,如图所示,

? ?2a≤-1 ∴? ?a+3≥5 ?

,解得 a∈?.

规律方法 出现交集为空集的情形, 应首先考虑集合中有没有空集, 即分类讨论. 其次, 与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑.
2

变式迁移 2 已知集合 A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}. (1)若 A∩B=?,试求 a 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},试求 a 的取值范围. 解 (1)如图,有两类情况,一类是 B≠??a>0.

此时,又分两种情况:①B 在 A 的左边,如图 B 所示; ②B 在 A 的右边,如图 B′所示.

B 或 B′位置均使 A∩B=?成立,
2 即 3a≤2 或 a≥4,解得 0<a≤ ,或 a≥4. 3 另一类是 B=?,即 a≤0 时,显然 A∩B=?成立. 2 综上所述,a 的取值范围是{a|a≤ ,或 a≥4}. 3 (2)因为 A={x|2<x<4},A∩B={x|3<x<4}, 如图所示:

集合 B 若要符合题意,显然有 a=3,此时 B={x|3<x<9},所以 a=3 为所求.

交集、并集性质的运用

【例 3】 已知集合 A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},且满足 A∪B=B,求实数 a 的取值 范围. 解 ∵A∪B=B,∴A? B.

(1)当 a=0 时,A=?,满足 A? B.
? 1 2? (2)当 a>0 时,A=?x| <x< ?. ?

a

a?

1 ? ?a≥-1 ∵A? B,∴? 2 ?a≤1 ?

∴a≥2.

? 2 1? (3)当 a<0 时,A=?x| <x< ?. ?

a

a?

3

2 ? ?a≥-1 ∵A? B,∴? 1 ? ?a≤1 ∴a≤-2. 综合(1)(2)(3)知,a 的取值范围是 {a|a≤-2 或 a=0 或 a≥2}. 规律方法 明确 A∩B=B 和 A∪B=B 的含义,根据问题的需要,将 A∩B=B 和 A∪B=B 转化为等价的关系式 B? A 和 A? B 是解决本题的关键.另外在 B? A 时易忽视 B=?时的 情况. 变式迁移 3 设集合 A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值. 解 ∵A∩B=B,∴B? A.

∵A={-2}≠?, ∴B=?或 B≠?. 当 B=?时, 方程 ax+1=0 无解,此时 a=0. 当 B≠?时, 1 此时 a≠0,则 B={- },

a

1 ∴- ∈A,

a

1 1 即有- =-2,得 a= . a 2 1 综上,得 a=0 或 a= . 2

1.A∪B 的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别,它们是“相 容”的.求 A∪B 时,相同的元素在集合中只出现一次. 2.A∩B=A?A? B,A∪B=B?A? B,这两个性质非常重要.另外,在解决有条件 A? B 的集合问题时,不要忽视 A=?的情况.

课时作业

一、选择题 1.设集合 A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于( )
4

A.{x|-5≤x<1} C.{x|x<1} 答案 A

B.{x|-5≤x≤2} D.{x|x≤2}

2.下列四个推理:①a∈(A∪B)? a∈A;②a∈(A∩B)? a∈(A∪B);③A? B? A∪B=B; ④A∪B=A? A∩B=B.其中正确的个数是( A.1 个 答案 C 解析 ②③④正确. 3.设 A={x|1≤x≤3},B={x|x<0 或 x≥2},则 A∪B 等于( A.{x|x<0 或 x≥1} C.{x|x<0 或 x≥2} 答案 A 解析 结合数轴知 A∪B={x|x<0 或 x≥1}. 4.已知 A={x|x≤-1 或 x≥3},B={x|a<x<4},若 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.3≤a<4 答案 C 解析 结合数轴知答案 C 正确. 5.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( A.1 答案 B 解析 由已知得 M={2,3}或{1,2,3},共 2 个. 二、填空题 6.已知 A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则 A∩B=________. 答案 {(2,1)} 7. 设集合 A={x|-1≤x<2}, B={x|x≤a}, 若 A∩B≠?, 则实数 a 的取值范围为________. 答案 a≥-1 解析 由 A∩B≠?,借助于数轴知 a≥-1. 8.已知集合 A={x|x<1 或 x>5},B={x|a≤x≤b},且 A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6}, 则 2a-b=________. 答案 -4 解析 如图所示, B.2 C.3 D.4 ) B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 B.{x|x<0 或 x≥3} D.{x|2≤x≤3} ) B.2 个 C.3 个 )

D.4 个

可知 a=1,b=6,2a-b=-4.
5

三、解答题 9.已知集合 A={1,3,5},B={1,2,x -1},若 A∪B={1,2,3,5},求 x 及 A∩B. 解
2 2

∵B? (A∪B),∴x -1∈A∪B.
2

2

∴x -1=3 或 x -1=5.解得 x=±2 或 x=± 6. 若 x -1=3,则 A∩B={1,3}. 若 x -1=5,则 A∩B={1,5}. 10.设集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -4x+a=0},若 A∪B=A,求实数 a 的取 值范围. 解
2 2 2 2

A={1,2},∵A∪B=A,

∴B? A,集合 B 有两种情况:B=?或 B≠?. (1)B=?时,方程 x -4x+a=0 无实数根, ∴Δ =16-4a<0,∴a>4. (2)B≠?时,当 Δ =0 时,
2

a=4,B={2}? A 满足条件;
当 Δ >0 时,若 1,2 是方程 x -4x+a=0 的根, 由根与系数的关系知矛盾,无解,∴a=4. 综上,a 的取值范围是 a≥4. 【探究驿站】 11.求满足 P∪Q={1,2}的集合 P,Q 共有多少组? 解 可采用列举法:
2

当 P=?时,Q={1,2}; 当 P={1}时,Q={2},{1,2}; 当 P={2}时,Q={1},{1,2}; 当 P={1,2}时,Q=?,{1},{2},{1,2}, ∴一共有 9 组.

6


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